Nechepurenko_ФТИ. Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти

• Название: Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти
• Анкор: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Дата: 19.06.2018
• Размер: 14.23 Mb.
• Имя файла: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Тип: Документы; #20470
• страница: 1 из 6

АНАЛИЗ БОЛЬШИХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Ю.М. НЕЧЕПУРЕНКО
МФТИ
ФИВТ, кафедра ФТИ
2012

1.
Компьютерные вычисления
2. Линейные системы управления
3. Анализ соединений в СБИС
4
. Крыловские методы редукции
5
. Сбалансированное усечение
6
. Методы решения уравнений Ляпунова
7
. Решение задач оптимального управления
8. Граничное уравнение уравнением теплопроводности
9. Управление течениями жидкости и газа
10. Задача управления течением в канале
11. Анализ нестационарных моделей ядерных
реакторов, учитывающих запаздывающие нейтроны
12. Расширенный список литературы
СОДЕРЖАНИЕ

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
• точность
• скорость
• память
101
процессор регистры кэш
ОП
диск
b
100
Mb
Kb
Gb
Tb
раз
в
замедление
диска
с
подкачка
памяти
b
и
минуты
операций
n
100 10 4
2
)
3 2
(
10 2
10000 9
12
памяти
b
n
операций
n
b
a
c
B
A
C
n
k
kj
ik
ij
8 3
2
,
2 3
1
матриц
n
n
Умножение
MATLAB
FORTRAN
C++
ПК
(10Gflops)
Рабочие станции
(100Gflops)
Кластеры
(10Tflops)

РАБОТА С ПАМЯТЬЮ
102
pp
p
p
pp
p
p
pp
p
p
B
B
B
B
A
A
A
A
C
C
C
C












1 1
11 1
1 11 1
1 11
p
k
kj
ik
ij
B
A
C
1
pm
n
ПК
диск
C
B
A
,
,
)
,
,
1
(
:
;
0
p
k
B
A
S
S
S
kj
ik

)
2
(
,
2
чисел
m
B
A
kj
ik
ij
C
)
2
(
3
операций
m
При
m>100
замедления не будет

103
ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
• параллельные вычисления
AB
S
S
)
,...,
1
;
,...,
1
(
:
)
,...,
1
;
,...,
1
(
0
:
p
j
p
i
B
A
S
S
p
j
p
i
S
kj
ik
ij
ij
ij
1 1
11 11
:
k
k
B
A
S
S
kp
pk
pp
pp
B
A
S
S
:
kj
ik
ij
ij
B
A
S
S :


C
B
A
,
,
• конвейерные вычисления
)
,
,
(
kj
ik
ij
B
A
S

ТОЧНОСТЬ
104 8
2 1
54 2
1

64 8
2 1
54 2
1 2
0

машинная
десятичное
бинарное
)
(
2
)
(
2 1
1 0
512 11111111 0
)
(
2
)
(
2 1
0 512 11111111
машинный
десятичное
бинарное
17 16 54 10 10 2
|
|
),
1
(
/
/
b
a
b
a
fl
!
,
10
|
|
|
|
,
|,
|
|
|
17
чушь
полную
ожидать
можно
то
y
x
если
большой
будет
ь
погрешност
ная
относитель
y
x
Если
Довольно часто используют 128 разрядную арифметику
1 2
1 2
1
)
(
)
1
)(
)
1
)(
((
)
)
(
(
y
x
x
y
y
x
y
y
x
fl
fl

ТОЧНОСТЬ
n
k
k
k
b
a
s
1
)
,
,
1
(
:
;
0
n
k
b
a
s
s
s
k
k

n
k
k
k
b
a
n
s
s
1
|
||
|
|
ˆ
|
s
s
s
|
ˆ
|
них
На
арифметику
разрядную
и
регистры
разрядные
имеют
процессоры
Многие
80 80
Но
)
,
,
1
(
:
;
0
),
2 3
(
)
1 2
,(
n
k
b
a
s
s
s
j
k
k
i
ij
ij
ij

n
k
j
k
k
i
ij
ij
b
a
n
s
s
1
),
2 3
(
)
1 2
,(
|
||
|
|
ˆ
|
или режим накопления:
105

ТОЧНОСТЬ
106
Более аккуратные вычисления:
!
|
|
|
|
|
|
|
|
,
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3
2 1
4 3
2 1
ать
упорядочив
желательно
слагаемые
a
a
a
a
случае
в
чем
больше
ь
погрешност
a
a
a
a
случае
В
4 4
3 2
3 3
2 1
2 1
3 4
2 3
1 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
)
(
)
)(
(
)
1
)(
)
1
)(
)
1
)(
(((
)
))
)
(
(
(
(
a
a
a
a
s
a
a
a
a
s
a
a
a
a
fl
fl
fl
fl
a
a
a
a
s
2 2
b
a
c
|
|
|
|
,
)
/
(
1
|
|
|
|
|
|
,
)
/
(
1
|
|
2 2
a
b
b
a
b
b
a
a
b
a
c

МАТРИЦЫ
n
n
x
x
x
C

1
ax
y
x
,
aA
B
A
a
a
a
a
A
n
m
nn
m
n
,
,
1 1
11
C





0 0
0 0

x
n
j
j
n
j
j
j
x
x
x
x
y
x
y
x
1 2
2 1
|
|
)
,
(
,
)
,
(
2
/
1
*
max
2 2
0 2
)
(
sup
,
:
A
A
x
Ax
A
A
x
m
n
C
C
107

МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
108
Матричные операции:
1
*
,
,
,
,
,
,
A
A
A
A
AB
aA
B
A
T
I
A
A
AA
A
A
I
A
A
AA
A
A
r
r
r
R
O
I
T
T
T
nn
n
n
*
*
*
1 1
0
,
0 0
0 0
,
1 0
0 1









Квадратные матрицы:

МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
109
Решение линейных систем:
Вычисление собственных значений и векторов:
b
Ax
x
Ax
*
*
*
*
*
*
*
*
,
,
0
,
Z
QS
B
Z
QS
A
A
A
если
Q
Q
A
либо
QSQ
A
V
U
A
QR
A
A
A
если
LL
либо
LU
A
B
A
b
Q
Rx
b
x
QR
b
Ax
*
)
(
0
)
det(
A
I
y
Ux
b
Ly
b
x
LU
,
)
(
)
(
2
n
O
x
Q
y
y
Sy
x
x
QSQ
*
*
,
)
(
)
(
3
n
O
Использование разложений:

0 0
0 0
0 0










МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
b
Ax
)
(n
O
Трехдиагональная матрица:
Ленточные
Блочно
- ленточные матрицы (сжатие ленты,
LU- разложение, быстрые прямые методы).
Разреженные общего вида (методы Арнольди, Ланцоша,
Дэвидсона,
CG, GMRES и т.п. с предобусловливателями на основе неполного
LU разложения, мултигрида, ортогональных многочленов,
SOR и т.п.).
110

МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
111
LINPACK, EISPACK 1960-1970- е
LAPACK с конца
1980- х детальная проработка алгоритмов,
максимальный учет специфики матриц,
BLAS
SPARSE_PACK с
1990- х
MKL c конца 1990
- х
MATLAB с конца 1990
- х
попытка освободить пользователя от необходимости думать как решается задача
2
/
)
(
:
ˆ
ˆ
,
*
*
*
*
A
A
A
A
A
матлабе
в
XBX
A
B
B

СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
112
i
i
i
u
Av
U
AV
i
i
i
v
u
A
V
U
A
*
*
0
),
,...,
(
,
1 1
*
*
*
n
n
diag
I
VV
UU
V
U
A
• решение систем с прямоугольными и плохо обусловленными матрицами
• сжатие информации
• построение ортонормированных базисов
Алгоритм Голуба
-
Кахана
2 2
*
ˆ
ˆ
ˆ
A
n
U
V
A
2
max
*
max
*
16
max min
*
,
|
ˆ
|
,
|
ˆ
|
,
10
/
,
n
V
U
X
n
Q
Q
S
Пусть
з
с
найти
X
X
S
j
j
j
j

ПРОЕКТОР
113
m
n
X
C
I
X
X
*
*
X
X
P
m
P
rank
y
XX
I
y
y
XX
X
y
X
y
y
y
X
y
X
X
y
X
y
X
y
X
y
y
y
y
y
m
m
j
j
j
j
j
j
m
m
)
(
,
,
)
,
(
,
*
*
1 1
||
*
1 1
||
||

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
–
управление (вход)
p
u
u
u

1
q
p
n
,
–
наблюдение
(выход)
–
состояние
n
n
p
n
n
q
n
n
q
y
y
y

1
n
x
x
x

1
dt
dx
B
x
A
u
C
y
x
O
q
O
rank
p
C
rank
)
,
,
(
n
q
p
201

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
• Выделение линейных фрагментов
• Линеаризация относительно стационарного состояния в предположении малости управления
Нелинейная часть
)
(t
u
)
(t
y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
Ox
t
y
t
Cu
t
Ax
t
dt
dx
B
)
,
( u
x
f
dt
dx
0
)
0
,
0
(
f
)
(
)
(
)
(
t
Cu
t
Ax
t
dt
dx

u
u
f
x
x
f
u
x
f
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
)
,
(
202

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
• Анализ соединений в интегральных схемах
• Управление гидродинамическими течениями и ламинарно
- турбулентным переходом
• Стабилизация летательных аппаратов
Некоторые приложения
Задачи
• задано
u(t), найти
y(t)
• задано
y(t), найти
u(t)
•
u(t)=0
и задано
y(t) (t>0),
найти
x(0)
• задано
x(0),
найти оптимальное
u(t) (t<0)
203

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
n
n
n
Y
I
sN
S
sI
X
A
sB
i
f
n
n
i
f
,
0 0
Y
X ,
Теорема 1.
Если пучок
sB-A
–
регулярный
,
т.е. то найдутся невырожденные матрицы такие, что
0
,
0 1
l
l
N
N
–
нильпотентная матрица
:
N
–
конечный спектр
1
l
–
индекс
(
бесконечного собственного значения
)
0
)
det(
:
)
,
(
)
(
A
sB
s
A
B
S
def
f
},
0
{
ker ker
B
A
0 0
0 0
0 0
204

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
0 0
det
0
det
)
(
22
)
(
22
)
(
11
B
A
B
S
diag
S
S
i
f
i
f
n
R
n
A
B
A
B
n
L
n
A
B
A
B
A
B
I
M
I
S
sS
S
sS
I
M
I
S
sS
S
sS
S
sS
0 0
0 0
0
)
(
22
)
(
22
)
(
11
)
(
11
)
(
22
)
(
22
)
(
12
)
(
12
)
(
11
)
(
11
R
A
B
A
B
A
B
L
A
B
S
sS
S
sS
S
sS
S
sS
)
(
22
)
(
22
)
(
12
)
(
12
)
(
11
)
(
11
)
(
)
(
0
Y
X
)
(
22
)
(
11 1
)
(
22
)
(
22 1
)
(
11
)
(
11
)
(
22
)
(
22
)
(
11
)
(
11 0
0 0
0 0
0
A
B
n
A
B
B
A
n
A
B
A
B
S
S
I
S
sS
S
S
sI
S
sS
S
sS
i
f
Z
S
sS
Q
A
sB
A
B
)
(
)
(
3
n
O
205

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Cu
x
Y
I
dt
d
N
S
dt
d
I
X
Ax
dt
dx
B
i
f
n
n
0 0
Wu
x
S
dt
x
d
Mu
x
dt
x
d
N
M
W
C
X
x
Y
x
x
Y
x
Y
Y
Y
1
,
,
,
x
x
Y
x
1

Mu
dt
du
NM
dt
x
d
N
Mu
dt
x
d
N
x
2 2
2
Mu
dt
u
d
M
N
dt
x
d
N
l
l
l
l
l
l

1 1
1 206