Конспект лекций по курсу Электронные промышленные устройства Смоленск 2006 2
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) филиал в г. Смоленске М.А. Амелина Кафедра промышленной электроники КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по курсу «Электронные промышленные устройства» Смоленск 2006 2 1. ФИЛЬТРЫ Фильтром называют устройство, которое передает (пропускает) синусоидальные сигналы в одном определенном диапазоне частот (в полосе пропускания) и не передает (задерживает) их в остальном диапазоне частот (в полосе задержания). Естественно, фильтры используют для передачи не только синусоидальных сигналов, но, определяя полосы пропускания и задерживания, ориентируются именно на синусоидальные сигна- лы. Зная, как фильтр передает синусоидальные сигналы, обычно достаточно легко оп- ределить (с помощью спектрального анализа), как он будет передавать сигналы и другой формы. В устройствах электроники фильтры используются очень широко. Различают аналоговые и цифровые фильтры. В аналоговых фильтрах обрабатываемые сигналы не преобразуют в цифровую форму, а в цифровых перед обработкой сигналов осуществ- ляют такое преобразование. Ниже рассматриваются аналоговые фильтры. Такие фильтры строят на основе как пассивных (конденсаторов, катушек индуктивности, резисторов), так и активных элемен- тов (транзисторов, операционных усилителей). Для аналоговой фильтрации широко ис- пользуют также электромеханические фильтры: пьезоэлектрические и механические. В пьезоэлектрических фильтрах используют естественный и искусственный кварц, а также пьезокерамику. Основу механического фильтра составляет то или иное механическое устройство. Рис. 1.1. Диапазоны частот фильтров и эквивалентная схема кварцевого резонатора Важно различать требования, предъявляемые к фильтрам силовой и информаци- онной электроники. Фильтры силовой электроники должны иметь как можно больший коэффициент полезного действия. Для них очень важной является проблема умень- шения габаритных размеров. Такие фильтры часто строят на основе только пассивных элементов. К фильтрам силовой электроники относятся сглаживающие фильтры, рас- сматриваемые при изучении вторичных источников питания. Фильтры информационной 3 электроники чаще разрабатывают при использовании активных элементов. При этом широко используют операционные усилители. Фильтры, содержащие активные элементы, называют активными. Ниже рассматри- ваются активные фильтры, в которых обычно не используются катушки индуктивности. Поэтому они могут быть изготовлены с применением технологии интегральных микро- схем (катушки с большой индуктивностью не удается изготовить по указанной техноло- гии). Нередко активные фильтры оказываются дешевле соответствующих фильтров на пассивных элементах и занимают меньшие объемы. Активные фильтры способны уси- ливать сигнал, лежащий в полосе пропускания. Во многих случаях их достаточно легко настроить. Укажем также и недостатки активных фильтров: • использование источника питания; • невозможность работы на таких высоких частотах, на которых используемые опе- рационные усилители уже не способны усиливать сигнал. 1.1. Общее математическое описание фильтров Фильтры вообще и активные фильтры, в частности, являются настолько важными устройствами электроники, что вопросам их строгого, математического описания уделя- лось и уделяется самое серьезное внимание. Публикуется большое число научных ста- тей и книг, посвященных фильтрам. Для того, чтобы инженер или научный работник был в состоянии воспользоваться указанными источниками информации, а также средствами автоматизированного проектирования, он должен хотя бы в общих чертах знать особен- ности математического описания фильтров. Обычно фильтр анализируется как конечная линейная электронная схема с сосре- доточенными параметрами. Если реальная схема фильтра является нелинейной (на- пример, содержит транзисторы или операционные усилители), то при анализе она ли- неаризуется и затем рассматривается как линейная. В соответствии с изложенным фильтр описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением некоторого порядка n: x b dt dx b dt x d b dt x d b y a dt dy a dt y d a dt y d a n m m m m m n n n n n n 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 + + + + = + + + + − − − − − − где х = x(t) — входной сигнал фильтра (обычно — входное напряжение); у = y(t) — выходной сигнал фильтра (обычно — выходное напряжение); а i , i= 0, ..., n; b i , i = 0, ..., m — вещественные коэффициенты. Для фильтров, которые могут быть реализованы, выполняется соотношение n ≥ m. Величину n называют также порядком фильтра. Если, например, n=2, то говорят, что фильтр второго порядка. Необходимо отметить, что вместо записанного одного уравнения фильтр может быть описан линейной системой из n дифференциальных уравнений первого порядка (системой дифференциальных уравнений в форме Коши). Показано, что величина n равна или меньше количества реактивных элементов (конденсаторов и катушек индук- 4 тивности) фильтра. Например, если в фильтре три конденсатора, то он может быть третьего или меньшего порядка. Инженеру нужно знать, что порядок фильтра определя- ется количеством тех напряжений на конденсаторах и токов катушек индуктивности, ко- торые могут задаваться как начальные независимо друг от друга. Для примера обратимся к схеме, приведенной на рис. 1.2. Рис. 1. 2. Пример схемы 2-го порядка Уже до составления одного дифференциального уравнения или эквивалентной системы дифференциальных уравнений можно сказать, что это схема второго порядка, так как начальные напряжения при расчете переходного процесса можно задавать неза- висимо для двух из трех конденсаторов. Применим к приведенному выше уравнению прямое преобразование Лапласа и оп- ределим передаточную функцию T(s) как отношение операторного изображения Y(s) вы- ходной величины к операторному изображению X(s) входной величины: ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s T n n n n m m m m + + + + + + + = = − − − − . где s — комплексная частота. Запишем передаточную функцию в следующем виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n т p s p s p s z s z s z s K s X s Y s T − − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ = = 2 1 2 1 (1). где К — вещественный коэффициент; Z 1 …Z m — корни полинома числителя (их принято называть нулями); p 1 ...р n — корни полинома знаменателя (их принято называть полюсами). Известно, что полюсы и нули могут быть или вещественными, или комплексно- сопряженными. Как уже отмечалось, при описании свойств фильтров обычно ориентируются на си- нусоидальные сигналы. При этом имеют в виду установившийся режим работы. В такой ситуации широко используют частотную передаточную функцию T(j ω ), которую получа- ют из обычной передаточной функции при использовании подстановки S =j ω где ω — круговая частота, рад/сек. Получаем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n т p j p j p j z j z j z j K s X s Y s T − − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ = = ω ω ω ω ω ω 2 1 2 1 (2). Укажем три характеристики, которые широко используются для описания фильт- ров: 5 • амплитудно-частотная; • фазочастотная; • групповой задержки (группового времени задержки). Амплитудно-частотная характеристика представляет собой зависимость вида ( ) ( ) ω ω j T A = . Значение А( ω ) на некоторой частоте дает отношение действующих (или амплитуд- ных) значений сигналов на выходе и входе фильтра. На практике широко используют амплитудно-частотную характеристику в децибелах, которая представляет собой зави- симость вида: ( ) ( ) ω ω j T A дб lg 20 ⋅ = . Фазочастотная характеристика — это зависимость вида ( ) ( ) ( ) ω ω ϕ j T arg = . Значение ϕ ( ω ) на некоторой частоте является сдвигом по фазе выходной величи- ны по отношению ко входной. Характеристика времени задержки — это зависимость вида ( ) ( ) ω ω ϕ ω τ d d − = . Величина τ ( ω ) — это время замедления (групповое). Оно характеризует сдвиг по времени выходной величины по отношению к входной. Наиболее широко используют амплитудно-частотную и фазочастотную характери- стики. Характеристика времени задержки не несет принципиально новой информации по сравнению с фазочастотной характеристикой, но является весьма полезной и использу- ется достаточно часто. Для уяснения роли времени замедления при анализе фильтров кратко рассмотрим проблему искажения формы сигнала, содержащего несколько гармо- ник, при прохождении его через фильтр. Напомним, что фильтр рассматривается как ли- нейное устройство, поэтому речь идет не о нелинейных искажениях. Имеются в виду ис- кажения, причиной которых является несовершенство фазочастотной характеристики фильтра. Вначале рассмотрим фильтр с настолько совершенной фазочастотной характери- стикой, что искажение формы сигнала отсутствует. Такая фазочастотная характеристика является линейной однородной функцией круговой частоты и определяется выражением ( ) ω ω ϕ ⋅ − = k , где k — постоянная положительная величина. Приведем соответствующий график (рис. 1.3, а). Пусть входным сигналом является напряжение u вх , содержащее две гармо- ники (рис. 1.3, б): 6 а) б) Рис. 1.3. Иллюстрация линейной ФЧХ фильтра: а — линейная ФЧХ, б — сигнал, содержащий 2 гармо- нические составляющие с частотой ω 1 и 2· ω 1 Для первой гармоники фильтр обеспечивает сдвиг по фазе ϕ 1 ( ω )=-k· ω 1 , а для второй гармоники сдвиг по фазе будет равен ϕ 2 ( ω )=-k· ω 2 . Обозначим через Т 1 и T 2 пе- риоды соответственно первой и второй гармоник, а через f 1 и f 2 — их частоты. Опреде- лим сдвиги по времени t 1 и t 2 , соответствующие сдвигам по фазе ϕ 1 и ϕ 2 . Обратимся к первой гармонике. Для нее сдвиг по фазе -2 π соответствует периоду Т 1 , а сдвиг по фазе ϕ 1 соответствует искомому времени t 1 Составим пропорцию: 1 1 1 2 t T = ⋅ − ϕ π . отсюда: k k f T t = − − = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ω ω ω ϕ π ϕ π ϕ . Аналогично получаем k k f T t = ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ω ω π ϕ π ϕ . Таким образом, в рассматриваемом случае гармоники будут сдвинуты по времени на одну и ту же величину k и поэтому сигнал не будет искажен, т. е. форма его останется прежней. Но, естественно, выходной сигнал будет сдвинут относительно входного на время +k (в рассматриваемом случае выходной сигнал будет отставать от входного на время k ). Определим для рассматриваемого фильтра время замедления: ( ) ( ) k d d = − = ω ω ϕ ω τ . 7 Таким образом, в рассматриваемом случае время замедления — это время, на ко- торое выходной сигнал будет сдвинут относительно входного. Если фазочастотная характеристика не будет линейной однородной функцией кру- говой частоты, то различные гармоники будут сдвинуты фильтром на различные отрезки времени, и поэтому форма сигнала, содержащего не одну гармонику, будет искажаться. Чем ближе фазочастотная характеристика некоторого фильтра к линейной однородной функции (и чем меньше значения времени замедления отличаются от некоторой кон- станты), тем искажения будут меньше. Поэтому при использовании систем автоматизированного проектирования (САПР) характеристику времени замедления часто выводят на экран компьютера и используют для оценки искажений сигналов фильтром. Время замедления называют также време- нем запаздывания и временем задержки. Из изложенного следует, что частотные характеристики фильтра полностью опре- деляются значением коэффициента К передаточной функции, а также значением ее ну- лей и полюсов. Нули и полюсы часто изображают в виде точек на плоскости комплекс- ной частоты (s-плоскости), получая так называемую диаграмму нулей и полюсов. Такая диаграмма вместе с коэффициентом К несет полную информацию о частотных свойст- вах фильтра. Имея диаграмму нулей и полюсов, легко определить значения модуля и аргумента частотной передаточной функции, т. е. коэффициент усиления и сдвиг по фа- зе. Допустим, что некоторый полюс р к расположен на s-плоскости так, как показано на рис. 1.4. Пусть круговая частота равна ω 1 . Тогда для учета полюса р k в знаменатель дроби, определяющей величину |T(j ω )| , следует добавить сомножитель, равный длине вектора с началом в полюсе р k и окончанием на мнимой оси с ординатой ω 1 , a в алгеб- раическую сумму, определяющую величину arg[T(j ω )] , следует добавить слагаемое - ϕ k , где ϕ k — угол, указанный на рисунке. Рис. 1.4. Иллюстрация влияния полюса p k на частотную характеристику фильтра 1.2. Классификация фильтров по виду их амплитудно-частотных характеристик Рассмотрим основные типы фильтров, классифицируемых по виду амплитудно- 8 частотных характеристик. Фильтры нижних частот. Для фильтров нижних частот (ФНЧ) характерно то, что входные сигналы низких частот, начиная с постоянных сигналов, передаются на выход, а сигналы высоких частот задерживаются. Приведем примеры амплитудно-частотных характеристик фильтров нижних частот. На рис. 1.5, а показана характеристика идеального (не реализуемого на практике) фильтра (ее иногда называют характеристикой типа «кирпичная стена»). На других ри- сунках представлены характеристики реальных фильтров. Полоса пропускания лежит в пределах от нулевой частоты до частоты среза ω с Обычно частоту среза определяют как частоту, на которой величина А( ω ) равна 0,707 от максимального значения (т. е. меньше максимального значения на 3 дБ). Рис. 1.5. АЧХ фильтров нижних частот Полоса задерживания (подавления) начинается от частоты задерживания ω з и про- должается до бесконечности. В ряде случаев частоту задерживания определяют как частоту, на которой величина А( ω ) меньше максимального значения на 40 дБ (т. е. меньше в 100 раз). Между полосами пропускания и задерживания у реальных фильтров расположена переходная полоса. У идеального фильтра переходная полоса отсутствует. Фильтры верхних частот. Фильтр верхних частот характерен тем, что он пропус- кает сигналы верхних и задерживает сигналы нижних частот. Частотные характеристики фильтров верхних частот, как и характеристики фильт- ров нижних частот, многообразны в своих деталях. Изобразим для иллюстрации две характеристики: идеальную, нереализуемую (рис. 1.6, а), и одну из типичных реальных (рис. 1.6, б). Через ω с и ω з обозначены частоты среза и задерживания. 9 Рис. 1.6. АЧХ фильтров верхних частот Полосовые фильтры (полосно-пропускающие). Полосовой фильтр пропускает сигналы одной полосы частот, расположенной в некоторой внутренней части оси частот. Сигналы с частотами вне этой полосы фильтр задерживает. Изобразим амплитудно-частотную характеристику для идеального (нереализуемо- го) фильтра (рис. 1.7, а) и одну из типичных реальных характеристик (рис. 1.7, б). Через ω с1 и ω с2 обозначены две частоты среза, ω 0 — средняя частота. Она определяется вы- ражением: 2 1 0 c c ω ω ω ⋅ = . Рис. 1.7. АЧХ полосовых фильтров |