лаб. Теория вероятностей и математическая статистика (1). Методические указания по их выполнению, а также программа курса и необходимый для решения задач теоретический материал
 Скачать 1.1 Mb.
|
Министерство образования и наукирОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ––––––––––––– Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени С. М. Кирова –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Кафедра высшей математики Теория ВЕРОятностей и математическая статистика Программа курса, контрольные задания и методические указания для студентов заочного отделения ФЭУ (специальность 080100 экономика) Санкт-Петербург 2013 Рассмотрены и рекомендованы к изданиюучебно-методической комиссией лесоинженерного факультетаСанкт-Петербургского государственного лесотехнического университетая 2013 г. С о с т а в и т е л ь: кандидат физико-математических наук, доцент В. Е. Алексеева,О т в. р е д а к т о р кандидат технических наук, доцент Р е ц е н з е н т кафедра высшей математики СПбГЛТУ Теория вероятностей и математическая статистика : методические указания / сост.: В. Е. Алексеева. – СПб.: СПбГЛТУ, 2013. – 34 с.В методических указаниях даны программа курса, контрольные задания и методические указания по их выполнению. Темплан 2013 г. Изд. № Предисловие Изучение теории вероятностей и математической статистики является важной составляющей математического образования бакалавра, специализирующегося по экономике, поскольку на этой дисциплине базируется экономическая статистика. Теория вероятностей используется также при моделировании многих экономических процессов. Данное методическое руководство имеет целью помочь студенту справиться с трудностями, возникающими при заочном изучении курса теории вероятностей и математической статистики. Поэтому, наряду с контрольными заданиями, даются методические указания по их выполнению, а также программа курса и необходимый для решения задач теоретический материал. Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Тема 1. Вероятность случайного события Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Тема 2. Случайные величины Случайная величина. Функция распределения случайной величины. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики и функция распределения дискретных случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Нормальный закон распределения. Тема 3. Предельные теоремы теории вероятностей Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Тема 4. Двумерные случайные величины Функция распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Коэффициент корреляции. Линейное корреляционное уравнение. Тема 5. Математическая статистика Статистические методы обработки экспериментальных данных. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое оценивание параметров распределения. Выравнивание статистического ряда. Проверка статистических гипотез. Выборочный коэффициент корреляции. Теоретический минимум§ 1. Вероятность случайного события Исходными понятиями теории вероятностей являются: испытание, элементарный исход испытания, событие. Испытание считается заданным, если описаны все его элементарные исходы (непосредственные результаты). Испытание всегда заканчивается одним и только одним из элементарных исходов, каким именно, зависит от случая. Испытание в принципе может быть повторено сколько угодно раз. События, рассматриваемые в теории вероятностей, тесно связаны с элементарными исходами. По отношению к любому из них точно определено, будет ли оно иметь место при данном элементарном исходе или нет. Так как исход испытания нельзя предсказать и, следовательно, заранее неизвестно, произойдёт или нет то или иное событие в результате испытания, события, о которых идёт речь в теории вероятностей, обычно называют случайными событиями. Событие называется достоверным и обозначается через U, если оно имеет место при любом исходе данного испытания. Событие называется невозможным и обозначается через v, если оно не может произойти ни при каком исходе данного испытания. Два события называются несовместными, если они не могут появиться при одном и том же элементарном исходе испытания. Два события называются совместными, если можно указать хотя бы один элементарный исход испытания, при котором имеют место оба эти события. Суммой событий Aи B (обозначение A+B) называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением событий Aи B (обозначение AB) называется событие, состоящее в том, что происходят оба эти события, и событие A, и событиеA. Отрицанием события A, или событием, противоположным событию A, называется событие,
 , и состоящее в том, что событие Aне происходит. Проиллюстрируем эти определения при помощи картинок. Пусть испытание состоит в том, что совершается точечный выстрел по прямоугольной мишени, попадание в которую гарантируется (поэтому сам прямоугольник символизирует достоверное событие U). На мишени нарисованы два круга. Попадание в первый из них – событие A, во второй –событие B. На первой картинке за-штрихована область, попадание в которую означает появление суммы событий Aи B, на второй – так же, при помощи штриховки, изображается произведение событий Aи B, на третьей – отрицание события A. Очевидно, что события A и  несовместны и что A + =U. Пример. Испытание состоит в бросании игральной кости – кубика, на гранях которого нанесены числа очков от 1 до 6. Испытание может закончиться одним из шести элементарных исходов: «1», «2», «3», «4», «5», «6». Обозначим через A событие, состоящее в выпадении чётного числа очков, через B– нечётного числа очков, через С – числа очков, делящегося на 3, через D – выпадение шестёрки. Событию A благоприятствуют элементарные исходы «2», «4», «6», событию B – «1», «3», «5», событию С – «3», «6», событиеD совпадает с элементарным исходом «6». Очевидно, что событие Aи Bнесовместны, AB=v, A+B=U, =B. Ясно также, что события Aи С совместны и AС=D.Существуют разные способы определения вероятности события. При любом из них вероятность события A представляет собой число, обозначаемое P(A) и удовлетворяющее следующим требованиям:  ;  ;  ;  при условии, что Aи B несовместны. Если элементарные исходы испытания равновозможны, а число их конечно, вероятность события Aопределяется формулой  , где n– число всех элементарных исходов испытания, m– число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению событияA (классическое определение вероятности). Например, вероятность выпадения двойки при бросании игральной кости равна 1/6, а вероятность наугад вытащить из урны красный шарик при условии, что в ней находится 3 красных и 4 синих, равна 3/7. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле  . Для несовместных событий, как уже было сказано ранее .
Так как  , с одной стороны, и, с другой стороны,  , вероятность события  связана с вероятностью события Aравенством  , и, следовательно, P( ) = 1 –P(A).События Aи B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей, то есть если P(AB) = P(A)P(B). Для произвольных событий Aи B, имеющих ненулевую вероятность, вводится понятие условных вероятностей P(A/B) – вероятности события A, при условии что B произошло – и P(B/A) – вероятности B, при условии что A произошло; P(A/B)  ,P(B/A)  . Из этих определений следует, что  . Для независимых событий условные вероятности совпадают, очевидно, с «безусловными». § 2. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Пусть проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события Aравна p. Тогда вероятность того, что в этой серии событие A наступит ровно k раз,  , вычисляется по формуле = , где  , а q= 1 – p (напомним, что  ). Эта формула называется формулой Бернулли.Вычисляя p, если оно не дано, следует помнить, что p=P(A); а P(A) – это вероятность появления Aпри одном (отдельно взятом) испытании, так что числа nи kпри вычислении p заведомо не следует использовать. Формула полной вероятности, о которой речь пойдёт ниже, применяется чаще всего тогда, когда испытание состоит из двух этапов, причём интересующее нас событие A происходит (или не происходит) на последнем этапе. Применима формула полной вероятности и в той ситуации, когда любой исход испытания может быть охарактеризован с двух разных сторон, одна из которых (вторая) связана с появлением или непоявлением события A. В обоих случаях рассматривается так называемая полная группа n попарно несовместных событий  , называемых гипотезами (полнота группы означает, что  , то есть что хотя бы одна из гипотез обязательно имеет место). В первом случае – все исходы первого этапа испытания, во втором – соответствуют разным вариантам первой характеристики исхода испытания. Вероятность события A в том и другом случаях может быть вычислена по формуле  , где  – вероятность появления события Aпри условии, что событие  произошло. Эта формула и называется формулой полной вероятности. § 3. Случайные величины. Функция распределения и числовые характеристики случайных величин Величина, принимающая при каждом элементарном исходе испытания определённое значение, называется случайной величиной. Функцией распределения случайной величины X называется функция  , определяемая равенством  . Случайная величина называется дискретной, если её значения можно перенумеровать. Дискретные случайные величины обычно задаются своим законом распределения. законом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в первой строке которой перечислены значения случайной величины, а во второй – вероятности, с которыми эти значения принимаются. закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
 , i =1, 2, …, n.Так как в результате испытания случайная величина обязательно принимает какое-нибудь значение, 
Приведём пример графика функции распределения дискретной случайной величины, имеющей конечное число значений. Её функция распределения равна 0 при  , и равна 1 при  .Рассмотрим числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическим ожиданием  дискретной случайной величины X называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми она эти значения принимает. Таким образом, =  .дисперсией дискретной случайной величины X называется число, обозначаемое D[X], которое вычисляется по формуле D[ X ] =M[ X 2] – M 2[ X ]. Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением и обозначается через  ,  .Важным классом случайных величин являются непрерывные случайные величины. Случайная величина X называется непрерывной, если существует такая неотрицательная функция  , называемая плотностью распределения, что для любых чисел α и β (а также символов  )1 вероятность попадания значений случайной величины X в интервал (α, β) равна интегралу от плотности распределения по этому промежутку, то есть .
Т  ак как событие  , достоверно,  . Поэтому  По определению плотности распределения интеграл с переменным верхним пределом  . Неравенства  и  имеют одинаковый смысл, поэтому  . Но  по определению функции распределения случайной величины, поэтому для непрерывной случайной величины  . В курсе математического анализа доказывается, что интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является первообразной для этой функции (теорема Барроу). Поэтому функция распределения является первообразной для плотности распределения на тех интервалах, на которых плотность распределения непрерывна. Это означает, что в точках непрерывности функции верно равенство  .Для непрерывных случайных величин, так же как и для дискретных, определены математическое ожидание и дисперсия:  , D[ X ] =M[ X 2] – M 2[ X ], где  . среднее квадратическое отклонение определяется той же формулой, что и для дискретных случайных величин,  . |
x
… 
