МКТ Терм. Момент силы относительно оси
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
Часть I. Механика ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ДЛЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА Цель работы проверка основного закона динамики для вращательного движения с помощью инерционного маятника. Приборы и принадлежности инерционный маятник, секундомер. Теоретическое введение Основной закон динамики для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси записывается в виде : , i I M где M — момент силы относительно оси I — момент инерции тела относительно оси i — угловое ускорение. Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела при вращательном движении. Момент инерции материальной точки относительно произвольной оси равен произведению ее массы на квадрат расстояния до этой оси Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции всех точек тела относительно этой оси (см. рис. 1). Для тел правильной геометрической формы момент инерции может быть найден расчетным путем, для остальных тел — экспериментально. При вращательном движении действие силы определяется не только величиной этой силы, но и ориентацией вектора силы относительно оси вращения. По этой причине вместо силы при вращательном движении рассматривается момент силы. Различают момент силы относительно точки и относительно оси. Рис. 1. Схема определения момента инерции твердого тела Рис. 2. Определение направления момента силы относительно точки Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора на величину силы F (см. рис. 2): Величина момента равна sin 0 r F M , где α — угол между векторами и F Вектор расположен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора r и. Его направление (из двух возможных) определяется по правилу векторного произведения векторы и 0 M должны образовывать правую систему, те. при вращении вектора r по направлению О О m 1 m 2 m 3 m i r i r 1 r 2 r 3 0 M о О к вектору F вдоль наименьшего угла направление вектора 0 M определяется по правилу правого винта. Рис. 3. Определение момента силы относительно оси Рис. 4. Определение момента силы относительно оси в случае, когда сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения Рис. 5. Определение плеча силы Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, лежащей на данной оси см. рис. 3). В частности, если вектор силы F лежит в плоскости, СО перпендикулярной коси вращения, момент этой силы относительно точки O, лежащей на пересечении оси и плоскости, будет направлен вдоль оси (см. рис. 4). В этом случае величина проекции M 0 на ось совпадает с самим моментом M 0 . Тогда момент силы относительно оси будет равен h F r F M sin где h — плечо силы F (см. рис. 5). Для практики данный случай особенно важен. Угловое ускорение и угловая скорость Угловой скоростью называется производная угла поворота радиус-вектора повремени Угловым ускорением называется производная угловой скорости повремени или вторая производная угла поворота радиус-вектора повремени Векторы и i направлены вдоль оси вращения (направление определяется по правилу винта, см. рис. 6). i r r v m Рис. 6. Определение направления угловой скорости и углового ускорения Первый способ проверки закона. Описание установки На вертикальной оси OO’ прибора жестко закреплен блок Б (см. рис 7), который можно привести в движение вращение) с помощью намотанного на него шнура и груза m. На этой же оси закреплен стержень с массивными грузами m 1 и m 2 , положение которых относительно оси можно изменять пожеланию. Второй блок Б, расположенный горизонтально, служит для изменения направления действующей силы. Путь H 1 , пройденный грузом m, можно измерять с помощью вертикальной шкалы. Установка снабжена тормозом Т. Описанное устройство называется инерционным маятником. Его параметры имеют следующие значения кг P=mg=(1,506 0,005)H; l ст =(0,510 0,005)м; ст 0,001) кг r=(10 -2 5·10 -5 ) м. Рис. 7. Схема установки m 2 l Б Б 1 Б 2 H 2 0 d m 1 O R R 1 H 1 h 2 m T O’ 0 Описание эксперимента. Экспериментальная проверка основного закона динамики для вращающегося тела заключается в том, чтобы из экспериментальных данных определить независимо друг от друга величины M, I и i и сравнить полученное значение момента силы M со значением произведения I·i. 1. Определение углового ускорения вращающегося стрежня с грузами Пусть груз m опускается с высоты H 1 , ускоренно раскручивая при этом стержень с грузами. Угловое ускорение стержня можно определить из формулы, связывающей угловое и линейное ускорения r a i , (1) где a — линейное ускорение, с которым падает грузи, следовательно, движется любая точка нити, сматывающейся с блока Б r — радиус блока Б 1 Линейное ускорение a можно найти из уравнения R R m 2 Б Б 2 нат F сопр F нат F g m сопр F Вид сверху на блок Б нат F Рис. 8. Силы, действующие нагрузи блок при движении. 2 2 1 at H , (2) где H 1 — высота, на которую опустился груз m за время падения t — время падения груза. Из этой формулы получаем 2 1 2 t H a , (3) Подставляя (3) в (1), получаем формулу для расчета углового ускорения r t H i 2 1 2 , (4) 2. Определение момента инерции стержня с грузами Момент инерции стержня с грузами складывается из момента инерции грузов m 1 и m 2 и момента инерции стержня 12 ) ( 2 2 2 1 ст ст ст гр l m R m m I I I (5) Моментом инерции легких блоков Б и Б, ввиду их малости, можно пренебречь. 3. Определение момента силы, вызывающей раскручивание стержня с грузами На груз m при падении действуют две силы (см. рис. 8) — сила тяжести g m и сила натяжения нити нат F . Под действием этих сил груз движется с ускорением a, существенно меньшим ускорения свободного падения На блок Б действуют силы натяжения нити нат F и сопротивления сопр F Их равнодействующая равна сопр нат F F F . Так как радиус блока является плечом силы, момент силы, вызывающей раскручивание, равен r F F r F M сопр нат ) ( Можно принять mg F нат , так как ускорение a мало. Сила сопротивления находится на основании закона сохранения энергии. Падая с высоты H 1 , груз, после достижения наинизшего положения, поднимается на высоту H 2 . Часть потенциальной энергии mg(H 1 -H 2 ) переходит при этом в работу против сил сопротивления при раскручивании и закручивании нити на блок Б ) ( ) ( 2 1 2 1 H H F H H mg сопр Отсюда 2 1 2 1 ) ( H H H H mg F сопр , Тогда 2 1 2 2 1 2 1 2 ) ( H H mgH H H H H mg mg F F F сопр нат и r H H mgH Fr M 2 1 2 2 (6) Определив M, I и i, можно сравнить величину момента силы M с величиной произведения I·i. Рекомендуется проводить эксперименты при максимально возможной высоте падения груза H 1 и при двух расстояниях от центров грузов m 1 и m 2 до оси вращения (R 1 = 20 см и R 2 = 10 см. Порядок выполнения работы 1. Поставить грузы m 1 итак, чтобы расстояние от их центров до оси вращения было равно 20 см. Грузы должны быть надежно закреплены с помощью винтов. Измерить высоту падения (H 1 ) груза m. 2. Установить верхний край груза m напротив деления 0 на шкале. 3. Открыть тормоз, одновременно включив секундомер. 4. Измерить время падения груза t, выключив секундомер в тот момент, когда груз опустится на всю длину нити. 5. Отметить деление шкалы, напротив которого остановится верхний край груза m при его подъеме вверх. Вычитая номер этого деления из H 1 , найти высоту H 2 , на которую поднялся груз m. 6. Опыт повторить пять раз при расстоянии до оси вращения R 1 = 20 см и еще пять раз — при R 1 = 10 см. Полученные результаты для H 1 , t и занести в таблицу 1. Вычислить приближенные значения величин и абсолютные погрешности. 7. Вычислить величины i, I и M для R 1 = 20 см и R 1 = 10 см по формулам (4), (5), (6) соответственно, используя приближенные значения величин из таблицы 1. Полученные результаты занести в таблицу 2. Все расчеты проводить в системе СИ с точностью до трех значащих цифр. 8. Найти абсолютные и относительные погрешности для M и произведения (I·i) по формулам M M , где 2 1 2 1 2 2 H H H H r r H H P P M M ; ) ( ) ( i I i I , где t t r r H H I I i I i I 2 ) ( 1 1 , принимая ΔI = 0,001 кг·м 2 ; ΔH 1 =ΔH 2 =5·10 -3 м ΔP=5·10 -3 Нм Расчеты провести один раз для случая R 1 или R 2 9. Записать окончательный результат в виде М оп = ММ оп = I·i ± Δ (I·i) 10. Сравнить доверительные интервалы, в которых лежат M и I·i, отложив эти интервалы на числовой оси. Если доверительные интервалы перекрываются, те. разность значений M и I·i по абсолютной величине меньше полусуммы доверительных интервалов, значения M и I·i совпадают в пределах погрешностей и закон подтверждается. Таблица 1 Результаты измерений № п/п H 1 R 1 = 0,2 мм, см, см Приближенное значение Абсолютная погрешность Таблица 2 Результаты вычислений i I I·i M R 1 = 20 см R 2 = 10 см Второй способ проверки закона Описание установки (см. рис ) На вертикальной оси ОО’ прибора укреплен блок Б диаметром d, который при помощи намотанной на него нити и груза m можно привести во вращение. На этой же оси укреплена крестовина, состоящая из горизонтального стержня с массивными грузами 1 и 2 равной массы (m 1 = m 2 ). Крестовина и блок Б вращаются как единое целое. Второй блок Б, ось которого горизонтальна, служит для изменения направления нити. Установка снабжена тормозом Т и шкалой для измерения пути, пройденного грузом m. Вид сверху на блок Б с намотанной на него нитью толщиной показан на рис. 9. Описание эксперимента (рис. 7) При освобождении от тормоза груз m опускается равноускоренно из положения О в положение 1, проходя путь Н. Соответственно крестовина вращается равноускоренно. Это движение длится t 1 c. Затем груз m резко меняет направление скорости на противоположное и поднимается равнозамедленно из положения 1 в положение 2, пройдя путь Н за время t 2 с. Соответственно крестовина вращается равнозамедленно, нов отличие от груза m не меняет направления своего движения. В положении О и 2 скорость груза (а также и крестовины) равна 0. В положении 1 величина скорости груза не имеет определенного значения при приближении к пункту 1 она больше, чем при удалении от него. Это является следствием частичной потери кинетической энергии. Экспериментальное определение Ни Н, t 2 d Б h н x ׀ y y ׀ A Рис. 9. К расчету момента сил, действующих на блок достаточно для независимых друг от друга расчетов I, M и i, что позволяет проверить основной закон динамики для вращательного движения. Расчет момента инерции крестовины. Момент инерции крестовины относительно оси ОО’ не зависит от состояния ее движения и может быть рассчитан по формуле I=I гр +I ст где гр – момент инерции грузов m 1 и m 2 , а ст – момент инерции стержня, на котором они закреплены. Поскольку m 1 = m 2 , гр, где R – расстояние от оси ОО’ до центра груза, одинаковое для обоих грузов. 12 2 l m I ст ст , где ст- масса стержня. Таким образом 12 2 2 ст) Учет моментов сил, действующих на крестовину. На каждом участке движения (ускоренном или замедленном) на крестовину действуют моменты двух сил силы натяжения нити ни силы трения в опорных деталях конструкции. Обозначим эти моменты соответственно Ми. Для расчета М надо знать величину силы ни плечо h этой силы относительно оси вращения ОО’. Силу н можно оценить, применив второй закон Ньютона к движению груза m. g m F a m н В наших опытах ускорение груза. Поэтому можно принять н Сложнее оценить плечо h. Дело в том, что н не является сосредоточенной силой, а распределена по поперечному сечению нити. Учитывая спиралевидный переплет волокон, из которых состоит нить, следует считать это распределение равномерным. Тогда распределенную силу н можно заменить сосредоточенной, действующей вдоль осевой линии нити (на рис осевая линия обозначена пунктиром. Для сосредоточенной силы получим h=0,5(d+ ) где d - диаметр блока Б, а – диаметр нити. Таким образом M= н mg (2) Величина тормозящего момента практически одинакова на всех участках движения. Это позволяет провести опыт так, чтобы исключить из рассмотрения момент . Для участка ускоренного движения крестовины основной закон запишется в виде Для участка замедленного движения будем иметь где i 1 и i 2 - угловые ускорения на первом и втором участке. Складывая два уравнения, получим I(i 1 + i 2 )=2M или I i (3) где i=0,5(i 1 + i 2 ) Уравнение (3) подлежит экспериментальной проверке. Расчет угловых ускорений Угловое ускорение i связано с ускорением a поступательного движения груза m. Поскольку v 0 =v 2 =0, то из формулы пути равнопеременного движения получим 2 1 1 1 2 t H a и 2 2 2 2 2 t H a на участке ускоренного и замедленного движения соответственно. Все точки нити, расположенные в сечении xx’ (см. рис. 9), движущемся поступательно, имеют одинаковое ускорение, равное ускорению груза. Но точки нити, расположенные в сечении yy’, имеют разные тангенциальные ускорения, поскольку этот участок нити вращается вместе с блоком Б 1 Ускорение груза m совпадает с величиной тангенциального ускорения точки, лежащей на осевой линии нити (точка А на рис. 9). Радиус вращения точки А A = =0,5(d+ ). Угловые ускорения i блока Биточки А одинаковы вследствие отсутствия проскальзывания нити. Пользуясь связью между угловыми тангенциальным ускорением точки А находим. 2 , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 t H a i t H а i i А 1 2 2 2 2 1 1 t H t H i (4) Порядок выполнения работы. 1. Внимательно прочтите раздел Описание эксперимента. 2. Измерьте расстояние Нот нулевого деления шкалы до нижнего положения груза m при полностью раскрученной нити. Отсчет сделайте по верхнему краю груза m. 3. Установите грузы m 1 и m 2 на одинаковом расстоянии R от оси вращения ОО’, указанном преподавателем. 4. Расположите верхний край груза m против деления 0 на шкале и зафиксируйте это положение тормозом. Установка готова к выполнению эксперимента. 5. Определите опытным путем отрезки времени и t 2 . Для этого воспользуйтесь двумя секундомерами. Освободите тормози одновременно включите один из секундомеров. Когда груз опустится в крайнее нижнее положение, остановите работающий секундомер (отчет t 1 ) и одновременно включите другой. Второй секундомер остановите, когда груз поднимется в положение 2, показанное на рис. 7 (отчет t 2 ) . Зафиксируйте груз в этом положении, включив тормоз. Сделайте отчет h по верхнему краю груза. Если Выработаете с одним секундомером, то отчеты и t 2 придется делать при двух разных запусках груза m. 6. Повторите указанные измерения 5 раз. Результаты занесите в табл. 1. Определите приближенные (средние) значения 1 t , 2 t , h а также абсолютные погрешности t 1 , t 2 , по методу Стьюдента. В эту же таблицу запишите измеренное в п. 2 значение Ни выбранную величину R. Поскольку случайный разброс практически равен нулю, 1 1 H H , H 1 =1 10 -2 мм. Запишите в таблицу 2 параметры экспериментальной установки, приближенные значения которые указаны на самом приборе. 8. По формулами) рассчитайте приближенные значения J , M , i , подставив в них приближенные значения соответствующих величин, взятые из табл. 1 и 2. Определите приближенные значения произведения J i iJ . Заполните табл. 3. Если M iJ M 05 , 0 , то формулу (3) можно считать подтвержденной. 9. Более строгим подтверждением формулы (3) является проверка доверительных интервалов величин Мина их перекрытие. Для этого надо рассчитать абсолютные погрешности M и (J i) по формулами записать доверительные интервалы в виде M M M и Для наглядности эти интервалы изобразить на числовой оси. чиcловая ось M M M M M ) (Ji Ji ) (Ji Ji Ji Таблица 1. Результаты измерений № п.п. t 1 , c t 2 , c h, мм, м 1 2 3 4 5 1 10 -2 5 10 -3 Таблица 2. Параметры установки кг, м ст, кг m, кг, м 431 10 -3 510 10 -3 111 10 -3 152 10 -3 10,4 10 -3 1 10 -3 5 10 -3 1 10 -3 1 10 -3 Таблица 3. Результаты вычислений H 2 , м, c -2 I, кг м 2 I i M, Нм Контрольные вопросы 1. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением Их направление и единицы измерения. 2. Как в данной работе определялось угловое ускорение стержня с грузами 3. Что называется моментом инерции тела Единицы измерения момента инерции в системе СИ. Отчего зависит величина момента инерции 4. Где должна проходить ось вращения, чтобы момент инерции тела был наименьшим Как рассчитать момент инерции тела относительно осине проходящей через его центр масс Как рассчитать момент инерции тела с грузами в данной работе 5. Что называется моментом силы относительно точки и относительно оси Единицы измерения момента силы. 6. В чем состоит основной закон динамики для вращательного движения Как этот закон проверялся в данной работе Литература 1. Савельев ИВ. Курс физики. В 3 тт. СПб.: Издательство Лань, 2008. 2. Детлаф А. А, Яворский Б. М. Курс физики Учебн. пособие для втузов. - М Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ с. 588-603. 3. Трофимова Т.И. Курс физики учеб. пособие для вузов //Т.И. Трофимова. – у изд, стер. – М Издательский цунтр Академия, 2008. – с. 4. Биргер Б.Н. Приближения при вычислениях и измерениях Метод. указания к решению задачи выполнению лабораторных работ по физике - Иваново, ИХТИ, 1989 гс. Бутман М.Ф., Кудин Л.С. Обработка и представление результатов измерений. Методические указания к лабораторному практикуму. - Иваново 2005. с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы ознакомление с физическим маятником и определение его момента инерции относительно оси вращения. Изучение зависимости величины момента инерции маятника от пространственного распределения массы. Приборы и принадлежности физический маятник с кронштейном для его подвеса, металлическая призма для определения положения центра тяжести маятника, секундомер. Теоретическое введение. Физическим маятником (рис) называется любое твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси (О, не проходящей через центр его тяжести (С. Точка подвеса маятника является центром вращения. Рис. Физический маятник O l |