математика. Подготовлено на кафедре математики сунц ургу печатается по решению Ученого Со вета сунц урГУ протокол 10 от

• Название: Подготовлено на кафедре математики сунц ургу печатается по решению Ученого Со вета сунц урГУ протокол 10 от
• Дата: 23.05.2022
• Размер: 281.3 Kb.
• Имя файла: математика.pdf
• Тип: Протокол; #545001
• страница: 1 из 5

Сборник задач по математике для 9 и 10 классов
Екатеринбург
2001

УДК 51(075.3)
Подготовлено на кафедре математики
СУНЦ УрГУ
Печатается по решению Ученого Со- вета СУНЦ УрГУ: протокол №10 от
20.09.2001г
Сборник задач по математике для 9 и 10 классов. Составитель Ануфриенко С.А.
Екатеринбург 2001. 59с.
В сборник включены задачи по основным темам программы по математике для поступающих в физико-математический и математико-экономический классы СУНЦ УрГУ. Сборник предназначен для слушателей подготовительных курсов СУНЦ УрГУ, старшеклассников и учителей математики.
c
⃝ Составитель С.А. Ануфриенко, 2001

Оглавление
Введение
4 1.
Алгебра
6 1.1.
Функции и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.2.
Линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 1.3.
Квадратичная функция
9 1.4.
Уравнения и неравенства с модулем
12 1.5.
Иррациональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . .
14 1.6.
Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 1.7.
Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 1.8.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . . . . .
19 1.9.
Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 1.10. Функции целой и дробной части
25 1.11. Расположение корней квадратного трехчлена . . . . . . . . . . . . . .
26 1.12. Задачи с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 1.13. Нестандартные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 2.
Геометрия
33 2.1.
Вписанные углы, касательные, хорды
33 2.2.
Вписанная и описанная окружности. Теорема Пифагора. Теорема си- нусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 2.3.
Равенство и подобие треугольников. Медианы треугольника . . . . .
37 2.4.
Площадь треугольника. Формула Герона . . . . . . . . . . . . . . . . .
39 2.5.
Биссектрисы. Высоты. Теорема косинусов . . . . . . . . . . . . . . . .
42 2.6.
Теоремы Чевы и Менелая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 2.7.
Параллелограмм. Ромб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46 2.8.
Трапеция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49 2.9.
Декартова система координат. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 2.10. Геометрические места точек. Задачи на построение
53 3.
Программа по математике
56 3.1.
Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56 3.2.
Геометрия
57 3.3.
Основные математические навыки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Введение
Подготовительные курсы СУНЦ УрГУ существуют уже семь лет. Заня- тия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов школ города и обла- сти. Данный сборник предназначен для занятий с группами абитуриентов
9 и 10 классов, поступающих в физико-математический и математико- экономический классы лицея. Он также может быть использован старше- классниками для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам.
Первая глава сборника посвящена алгебре. Наряду с традиционными темами (решение основных типов уравнений и неравенств), сборник со- держит задачи с параметрами, логические задачи, задачи по элементар- ной теории чисел. Логически связанным блоком в сборник вошли систе- мы уравнений, задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии и текстовые задачи. Задачи по планиметрии составляют вторую главу сборника. Важно отметить, что практически в каждый параграф пер- вых двух глав включены задачи, предлагавшиеся в разные годы на всту- пительных экзаменах в СУНЦ УрГУ. Заключительная глава содержит программу по математике для поступающих в физико-математический и математико-экономический классы лицея.
Далее приводится список задачников и методических пособий, исполь- зованных при составлении данного сборника.
1. Ануфриенко С.А., Соколова Е.М. Задачи вступительных экза- менов по математике в СУНЦ УрГУ (лицей): 1991-98 годы. Екате- ринбург: УрГУ, 2000. 196 с.
2. Расин В.В. Функции. Графики. Квадратный трехчлен. Екатерин- бург: УрГУ, 1997.
3. Литвиненко В.Н., Мордкрвич А.Г. Практикум по элементарной математике. М.: Просвещение, 1991. 352 с.

ВВЕДЕНИЕ
5 4. Тынянкин С.А. 514 задач с параметрами. Волгоград, 1991.
5. Ткачук В.В. Математика — абитуриенту. Т. 1–2. М.: ТЕИС, 1995.
6. Яковлев Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы.
М., 1985.
7. Шарыгин И.Ф. Решение задач: 10 класс. М.,1994.
8. Шарыгин И.Ф. Геометрия — 8. М.: РОСТ, МИРОС, 1996. 240 с.
9. Никольская В.Г. Факультативный курс по математике: 7 – 9 клас- сы. М., 1989.
10. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М., 1991. Ч. 1,2.
11. Мельников И.И., Сергеев Н.Н. Как решать задачи по матема- тике на вступительных экзаменах. М., 1990.
12. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике: Уравнения и неравен- ства. М., 1987.
13. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике: Алгебра. М., 1987.
14. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасеченко П.И. Нестандартные методы решений уравнений и неравенств. М., 1991.

Глава 1
Алгебра
1.1. Функции и графики
В задачах 1–6 найти область определения функций.
1. y =
x
2
− 2x + 1
x
− 1 2. y =
x
3
− 2x
2
+ 1
x
2
− 1 3. y =
√
x
− 2 +
√
2
− x. 4. y =
√
1
− x.
5. y =
√
x + 2
x
− 1 6. y =
√
x
− 3
x
2
− 4
В задачах 7–12 найти область определения и изобразить графики функ- ций, заданных несколькими условиями.
7. y =
|x| =
{
−x, x < 0,
x,
x
> 0.
8. y = sign x =



−1, x < 0,
0,
x = 0,
1,
x > 0.
9. y =







−1, −1 6 x < 0,
0,
0 6 x < 1,
1,
1 6 x < 2 2,
2 6 x < 3.
10. y =
{
−x, x < 0,
x
2
,
x
> 0.
11. y =







−x, x < −1,
x
2
,
−1 < x 6 1,
2,
1 6 x < 2
x,
2 6 x.

1.2. Линейная функция
7 12. y =



x
2
− 5,
x <
−2 или x > 2,
−1,
−2 < x 6 −1 или 1 6 x < 2,
1
− 2x
2
,
−1 < x < 1.
В задачах 13–36 построить графики функций (при построении исполь- зовать основные способы преобразования графиков функций).
13. y = x
2
+ 2.
14. y =
√
x
− 2.
15. y =
√
x + 2.
16. y = x
2
− 4x + 4.
17. y =
−x
2
+ 2x
− 1. 18. y = −
√
x + 1.
19. y =
√
−x.
20. y =
1
−x
21. y =
x
x + 1 22. y =
x
x
− 1 23. y = 1
−
√
x + 1.
24. y = 2
−
√
1
− x.
25. y =
−
3
√
x + 3 + 1. 26. y = 2
−
3
√
1
− x.
27. y = 2x
2 28. y =
−x
2
/2.
29. y =
|x
2
− 4x + 3|. 30. y = |x
2
− x − 2|.
31. y =
x + 1
x
32. y =
2x
− 1
x
− 1 33. y = x
2
− 4|x| + 3. 34. y = x
2
− |x| − 2.
35. y =
1
|x| − 1 36. y =
1
|x| + 1 1.2. Линейная функция
1.
Доказать, что графиком функции y = kx + b является прямая линия.
2. Доказать, что для любой прямой l , не параллельной оси Oy , най-

8
Глава 1. Алгебра дется линейная функция y = kx + b , графиком которой является прямая
l .
3.
Доказать, что при k > 0 функция y = kx + b является строго возрастающей.
4.
Доказать, что при k < 0 функция y = kx + b является строго убывающей.
5. Доказать, что если функция y = kx + b является строго возраста- ющей, то k > 0 .
6. Доказать, что если функция y = kx+b является строго убывающей,
то k < 0 .
7. Определить знаки k и b для линейных функций, графики которых изображены на следующих рисунках.
6
-
y
x
O
6 6
6 6
-
-
-
-
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
a)
b)
c)
d)
e)
8. Построить график функции y =
x
2
− 2x + 1
x
− 1 9. Построить график функции y =
−x
2
+ x + 2
x + 1 10. Записать уравнение прямой, проходящей через точки A(
−2, 3) и
B(1, 1) .
11. Записать уравнение прямой, проходящей через точки A(3, 1) и
B(4, 6) .
12. Лежат ли точки A(1, 2) , B(0, 1) и C(80, 82) на одной прямой?
13. Лежат ли точки A(
−1, 2) , B(1, 1) и C(91, −43) на одной прямой?
14. Найти все a , при которых имеет бесконечно много решений си- стема уравнений
{
y
− 2x = 3,
(1
− a)y + 4x = 2a − 12.

1.3. Квадратичная функция
9 15. Найти все a , при которых не имеет решений система уравнений
{
3y
− x = 2,
(a
− 4)y − ax = 5 + a.
16. На плоскости xOy нарисовали графики функций y = 2x
− 2 и
y = 5
− x , а затем стерли ось Oy . Восстановить недостающую ось и масштаб изображения.
17. На плоскости xOy нарисовали графики функций y = 2x
− 1 и
y = 3
− x , а затем стерли ось Ox . Восстановить недостающую ось и масштаб изображения.
18. Изобразить на плоскости xOy множество точек, координаты ко- торых удовлетворяют неравенству y
> 2x − 4 .
19. Изобразить на плоскости xOy множество точек, координаты ко- торых удовлетворяют неравенству y
6 3 − 2x .
20. Найти площадь фигуры, заданной системой



x
> −1,
y + x
6 1,
y + 2
> 2x.
21. Найти площадь фигуры, заданной системой



y
> 0,
2y + x
6 5,
y + 1 6 x.
1.3. Квадратичная функция
1. Определить знаки a , b и c для квадратичных функций y = ax
2
+
bx + c , графики которых изображены на следующих рисунках.
6
-
x
y
O
-
x
y
-
6
x
y
-
x
y
O
-
6
x
y
a)
b)
c)
d)
e)
6 6
2. Построить график функции y =
x
3
− 1
x
− 1

10
Глава 1. Алгебра
3. Построить график функции y =
x
3
+ x
2
− 4x − 4
x + 1 4. Известно, что прямая x = 2 является осью симметрии функции
y = ax
2
− (a + 6)x + 3 . Постройте ее график.
5. Найти все a , при которых симметричны относительно x = 1 корни уравнения (a
2
+ 1)x
2
− 4(a + 2)x + 3 = 0 .
6. Разложить на множители квадратный трехчлен f (x) = 2x
2
−5x+2 .
7. Разложить на множители квадратный трехчлен
f (x) =
−3x
2
+ 5x
− 2 .
Используя теорему Виета найти корни уравнений 9–10.
8. x
2
− 8x + 7 = 0.
9. x
2
− 12x + 20 = 0.
10. При каких значениях a корни уравнения x
2
− (1 + 2a)x + 2a = 0

совпадают между собой?
11. Найти все значения параметра a , при которых единственный ко- рень имеет уравнение
x
2
− (2a + 1)x + a
2
+ a
x
− 2
= 0 .
12. Найти все значения параметра a , при которых единственный ко- рень имеет уравнение
x
2
− (2a + 1)x + 2a
x
− a
= 0 .
13. Известно, что x
1
и x
2
являются корнями уравнения
x
2
+ px + q = 0 . Найти значения следующих выражений:
a) x
2 1
+ x
2 2
,
b) x
2 1
+ 3x
1
x
2
+ x
2 2
,
c) x
4 1
x
2
+ x
4 2
x
1
,
d)
1
x
1
+
1
x
2
,
e)
1
√
x
1
+
1
√
x
2 14. Используя теорему Виета, определить знаки корней уравнения
x
2
− 4x + 2 = 0 .
15. Используя теорему Виета, определить знаки корней уравнения
x
2
+ 4x + 2 = 0 .
16. Найти все значения параметра a , при которых положительны все корни уравнения x
2
+ (a + 4)x + 8 = 0 .
17. Найти все значения параметра a , при которых отрицательны все корни уравнения x
2
+ 7ax + 16 = 0 .

1.3. Квадратичная функция
11 18. Найти все значения параметра a , при которых корни уравнения
x
2
+ 12x + 3a = 0 имеют разные знаки.
Решить уравнения 20–29.
19. x
4
− 4x
2
+ 4 = 1. 20. x
4
− 7x
2
+ 6 = 0.
21. (x
2
+ x
− 2)(x
2
+ x
− 3) = 12 .
22. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2)
− 12 = 0 .
23. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 .
24. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 .
25. x
3
+ 2x
− 3 = 0.
26. (1 + x)(1
− x)(1 + x
2
) =
−15.
27. 7
(
x +
1
x
)
+ 2
(
x
2
+
1
x
2
)
= 5. 28. 7
(
x +
1
x
)
− 2
(
x
2
+
1
x
2
)
= 9.
29. Найти корни уравнения
1
x
2
+
1
(x + 2)
2
=
10 9
Решить неравенства 31–36.
30. x
2
+ 2x
− 3 > 0.
31. 2x
2
− 3x + 1 > 0.
32. 1
− 3x
2
+ 4x > 0. 33. (x
− 2)(2x + 1) < 1 − x + x
2 34. x
2
− 6x + 9 6 0.
35. 7x
2
+ 5 < 0.
36. Решить неравенство
x
2
− (2a + 1)x + 2a
x
− a
6 0 .
Решить методом интервалов неравенства 38–45.
37. (x + 1)
7
(x
− 2)
4
(x + 3)
3 6 0. 38. (2x + 1)
2
(x + 1)(x + 2)
6 0.
39.
(x + 3)(x
− 2)
(x + 1)
2 6 0.
40.
x
2
(x
− 1)
3
x + 2
> 0.
41.
x
3
− 3x
2
− x + 3
x
2
+ 3x + 2
> 0.
42.
x
3
− 3x
2
+ 2
x
2
+ 2x
− 3 6 0.
43.
x
2
+ 7x + 6
x
< 2.
44.
2
− x
2 1
− x
6 x.
45. Изобразить на координатной плоскости множество точек, коорди- наты которых удовлетворяют условию 8x
2
− 6xy + y
2
= 0 .

12
Глава 1. Алгебра
46. Найти количество точек пересечения графиков функций
y = x
2
− 4x + 3 и y = 2x − 2 .
47.
При каких значениях k графики функций y = x
2
− 4x + 3 и
y = kx
− 2 пересекаются в одной точке?
48. Записать уравнение прямой, не параллельной оси Oy , касающейся графика функции y = x
2
− 4x + 3 в точке с абсциссой x = 9 .
1.4. Уравнения и неравенства с модулем
Решить уравнения 1–14.
1.
|x − 1| = 3.
2.
|x
2
− 1| = 1.
3.
|x − 1| − 2
= 3.
4.
||x + 2| − 3| + 1
= 1.
5.
|x| = −3x − 5.
6.
|x + 1| = −2x − 2.
7.
|x − 1| + |x − 3| = 2. 8. |x + 2| + |x − 1| = 3.
9.
|3 − x| + |x + 2| − |x − 4| = 3 .
10.
|x − 3| + |2x + 4| − |x + 1| = 2x + 4 .
11.
|x
2
− 4| + |9 − x
2
| = 5.
12.
|x
2
− 2x| + |x − 3| = 3.
13.
|2x − 1| − 5
+ x = |6 − x|. 14.
x − |4 − x|
− 2x = 4.
Решить неравенства 15–20.
15. x
2
+
|6x − 5| > 0.
16. 2
|x + 1| > x + 4.
17. x
2
− 5|x| + 6 < 0.
18. x
2
+ 4
|x − 3| − 7x + 11 > 0.
19.
|x
2
− 2x − 3| > 3x − 3. 20. |x
2
+ 3x
| + x
2
− 2 > 0.

1.4. Уравнения и неравенства с модулем
13
Решить методом интервалов неравенства 21-26.
21.
x + 2
x
− 1
> 3.
22.
2x
− 1
x + 2 6 4.
23.
x
2
− 7|x| + 10
x
2
− 6x + 9
< 0.
24.
2x
− |3 − x|
|3 − x| + 2
< 1.
25.
x
2
− |x| − 12
x
− 3
> 2x. 26.
|x − 3|
x
2
− 5x + 6
> 2.
Решить системы уравнений 27–30.
27.
{
|x + 1| = 4y − 4,
|y − 1| + |x + 1| = 5.
28.
{
y
− 2|x| + 3 = 0,
|y| + x − 3 = 0.
29.
{
|x
2
− 2x| + y = 1,
x
2
+
|y| = 1.
30.
{
|xy − 4| = 8 − y
2
,
xy = 2 + x
2
.
Построить графики функций в задачах 31–32.
31. y =
x
2
− x − 6
√
x
2
+ 4x + 4
. 32. y =
√
(x
2
+ x
− 6)(x
2
− 6x + 8)
x
2
− x − 12
Изобразить на плоскости xOy множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям задач 33–36.
33.
y
2
− 3y
|y|
− |x + 1| 6 1. 34.
2x
2
+ x
− 6
|x + 2|
+
|y| 6 0.
35. y +
2x
2
+ x
− 10
|x − 2|
6 0. 36. |y| +
2x
2
+ x
− 10
|x − 2|
6 0.
37. Пусть f (x) =
{
4x + 1,
если x <
−1,
−2x − 5, если x > −1.
(a) Решить неравенство f (x)
6 x − 5 .
(b) Найти значения a, b, c таким образом, чтобы при всех значениях x
было выполнено равенство f (x) = ax + b
− |3x + c| .
38. При каком значении параметра a существует и симметрично от- носительно x
0
= 1 решение неравенства
|2x − 4| + x − 1 6 a ?

14
Глава 1. Алгебра
39. Решить уравнение
√
x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
|x|
= 2 .
40. Изобразить график функции y =
√
x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
|x|
.
41. Построить график функции y =
√
x
2
+
1
x
2
+ 2
−
√
x
2
+
1
x
2
− 2 .
42. Построить график функции y =
x
2
− 2|x| + 1
|x| − 1 43. g(x) =
|x − 1| . Функция f(x) определяется следующим образом:
f (x) =
{
x + a,
x < 1;
−x
2
+ x + a,
x
> 1.
Найти все значения параметра a , при которых на отрезке [0, 2] уравнение f (x) = g(x) имеет единственное решение.
1.5. Иррациональные уравнения и неравенства
Решить уравнения 1–13.
1.
√
x
− 2 +
√
1
− x = 1. 2.
√
x
− 2 = 1 − x.
3.
√
17 + x
−
√
17
− x = 2 .
4.
√
x +
√
x + 11 +
√
x
−
√
x + 11 = 4 .
5. x
2
− 4x − 6 =
√
2x
2
− 8x + 12. 6.
√
x
2
+ 32 +
4
√
x
2
+ 32 = 3.
7.
√
x + 4 +
√
x
− 4 2
= x +
√
x
2
− 16 − 6.
8.
√
15
− x +
√
3
− x = 6.
9.
√
x
2
+ 9
−
√
x
2
− 7 = 2.
10.
3
√
9
−
√
x + 1 +
3
√
7 +
√
x + 1 = 4. 11.
3
√
5x + 7
−
3
√
5x
− 12 = 1.
12.
√
x
− 1 + 2
√
x
− 2 −
√
x
− 1 − 2
√
x
− 2 = 1 .
13.
√
x + 2 + 2
√
x + 1 +
√
x + 2
− 2
√
x + 1 = 2 .
14. При всех значениях параметра a решить уравнение
√
x + a = x .

1.5. Иррациональные уравнения и неравенства
15 15. При всех значениях параметров a и b решить уравнение
3
√
x + a
−
3
√
x + b = 1 .
Решить неравенства 16–19.
16.
√
x
2
− x − 12 < x.
17.
√
x
2
− 5x + 6 6 x + 4.
18.
√
3x
2
− 22x > 2x − 7. 19.
√
x
2
− 4x > x − 3.
Решить методом интервалов неравенства 20–28.
20.
x
√
x + 2
x + 3
> 0.
21.
2
−
√
x + 2 1
−
√
x + 2 6 0.
22.
√
x + 5 1
− x
< 1.
23.
4
−
√
x + 1 1
−
√
x + 3 6 3.
24.
√
24
− 2x − x
2
x
< 1. 25.
1
√
x + 1
>
1 2
− x
26.
√
4
−
√
1
− x −
√
2
− x > 0 .
27.
√
3x
2
+ 5x + 7
−
√
3x
2
+ 5x + 2 > 1 .
28.
√
12
− x − x
2 2x
− 7
>
√
12
− x − x
2
x
− 5 29. При всех значениях параметра a решить неравенство
√
5x
2
+ a
2
> −3x .
30. Найти все значения параметров a и b , при которых решением неравенства
√
x
− a >
√
2x
− b является промежуток 1 6 x < 5 .
31. Упростить выражение
√
9 + 6p + p
2
−
√
9
− 6p + p
2
√
9 + 6p + p
2
+
√
9
− 6p + p
2 32. Имеет ли корни уравнение x
2
+ 5x
− 8
√
x + 20 = 0?
33. Пусть f (x) =
(√
9
− x
2
)
2
+
(√
x
2
+ x
− 2
)
2
.
(a) Найти область определения функции y = f (x) .
(b) Построить график функции y = f (x) .

16
Глава 1. Алгебра
34. Доказать, что разность
√
|2
√
2
− 3| −
√
2
√
2 + 3
является целым числом. Найти это число.
35. Построить график функции
y =
1 2
(
1 +
√
9
− x
2
+
1 −
√
9
− x
2
)
.
1.6. Метод интервалов
Решить неравенства 1–22.
1. (x
− 1)(x − 2)
2
(x
− 3)
3
> 0 .
2. (x + 1)
7
(x
− 2)
4
(x + 3)
3 6 0 .
3. (3x
2
− 13x + 4)(4x
2
+ 12x + 9)
6 0 .
4. (2x
− 5)(x
2
− 4)(x
3
+ 8)
6 0 .
5.
x
3
− 2x
2
− x + 2
x
2
− 6x + 5
> 0 6.
x
2
+ 3x + 4
x
2
+ 4x + 3
> x
7. (x
2
− 2x)(2x − 2) −
18x
− 18
x
2
− 2x
6 0 .
8. (x
2
+ 3x)(2x + 3)
− 16 2x + 3
x
2
+ 3x
> 0 .
9. 7
(
x +
1
x
)
− 2
(
x
2
+
1
x
2
)
6 9 .
10.
1
x
2
+
1
(2 + x)
2 6
10 9
11.
|x + 1| + |x + 2| > 2.
12.
|x − 2| >
9
|x − 5| − 3
. 13.
|x − 2|
|x − 1| − 1 6 1.
14.
(x + 1)(x + 2)
x
2
− |x| − 2
> −3x .

1.7. Системы уравнений
17 15.
√
6 + x
− x
2 2x + 5
>
√
6 + x
− x
2
x + 4 16.
√
12
− x − x
2 2x
− 7
>
√
12
− x − x
2
x
− 5 17.
√
x
2
− 1
x
− 2
> 1. 18.
√
x
2
− 1
|x − 2|
> 1.
19. (
√
x + 10
− 3x)(|x + 14| − 2x) < 0 .
20.
√
x
− 1 + 2
√
x
− 2 −
√
x
− 1 − 2
√
x
− 2
x
6 1.
21.
√
24
− 2x − x
2
x
6 1. 22.
√
x
2
− 5x − 24
x + 2
> 1.
1.7. Системы уравнений
Решить системы 1–23.
1.
{
x + 4 = y
3
,
x
2
− y
6
= 8.
2.
{
2x
− y = −1,
x
2
+ y
3
= 28.
3.
{
ax + y = 2,
x + ay = 2a.
4.
{
(3 + a)x + 2y = 3,
ax
− y = 3.
5.
{
x
2
− x + y = 2,
2x
2
− 2x − y = −2.
6.
{
x
2
+ 2y =
−5,
2x
2
+ 3y
2
= 29.
7.
{
x
2
y + xy
2
= 2,
xy + x + y = 3.
8.



x
2
y + y
2
x = 20,
1
x
+
1
y
=
5 4
.
9.





1
x
+
1
y
=
5 6
,
1
x
2
−
1
y
2
=
5 36
.
10.
{
x
3
+ y
3
= 9,
xy = 2.

18
Глава 1. Алгебра
11.
{
y
2
− 1 = 4x
2
+ 4x,
4x
2
+ y
2
− 3xy = 1.
12.
{
x + y =
−1,
16x
2
− y
4
= 0.
13.
{
x
2
− 5xy + 6y
2
= 0,
√
x + y + 2 + x + y = 4.
14.
{
4x
2
− 3xy − y
2
= 0,
32x
2
− 36xy + 9y
2
= 6.
15.
{
2x
2
+ 3xy
− y
2
= 4,
3x
2
+ 2xy
− 2y
2
= 3.
16.
{
x
2
− 3xy + y
2
=
−1,
3x
2
− xy + 3y
2
= 13.
17.



2x + y + z = 7,
x + 2y + z = 8,
x + y + 2z = 9.
18.



x + 2y + 3z = 3,
3x + y + 2z = 7,
2x + 3y + z = 2.
19.
{
x
2
y
3
= 16,
x
3
y
2
= 2.
20.













yz
x
=
10 3
,
zx
y
=
15 2
,
xy
z
=
6 5
.
21.
{ √
x +
√
y +
√
x
− √y = 2,
√
y +
√
x
−
√
y
−
√
x = 1.
22.



√
x + y +
√
y + z = 3,
√
y + z +
√
z + x = 5,
√
z + x +
√
x + y = 4.
23.



√
x + a
y
+
√
y
x + a
= 2,
x + y = xy + a.
24. При каких значениях a единственное решение имеет система
{
y
− x = a,
x
2
+ y
2
= 4.
25. При каких значениях a единственное решение имеет система
{
y
− ax = 0,
y
− x
2
+ 4x
− 3 = 0.
26. При каких a имеет 3 решения система
{
y + x
2
= 1,
y +
|x| = a.

1.8. Арифметическая и геометрическая прогрессии
19 27. Найти все значения параметра b , для каждого из которых числа
x и y , удовлетворяющие системе уравнений
{
2x + y = b + 2,
x
− y = b,
удовлетворяют также неравенству x
2
+ xy
6 0 .
28. Определить все значения параметра a , при которых система урав- нений
{
x
2
+ y
2
= 2(1 + a),
(x + y)
2
= 14
имеет в точности два решения.
29. При каких значениях a не имеет решений система
{
a
2
x + (2
− a)y = 4 + a
3
,
ax + (2a
− 1)y = a
5
− 2.
30. При каких значениях a два решения имеет система
{
|x + y| = a,
x
2
+ y
2
= 1.
31. Найти прямую y = kx + b , проходящую через точку (1,
−1) и касающуюся графика функции y = x
2
− 4x + 3 .
32. При каком значении параметра a уравнения
x
2
− (a − 2)x − 3 = 0 и x
2
+ (3a
− 4)x + 3 = 0
имеют общий корень? Найти этот корень.
1.8. Арифметическая и геометрическая прогрессии
1. Пусть
{a
n
} — арифметическая прогрессия. Натуральные числа k ,
l , m и n таковы, что k + l = m + n . Доказать, что a
k
+ a
l
= a
m
+ a
n
2. Вывести из предыдущей задачи, что для любых натуральных
k < n и для любой арифметической прогрессии
{a
n
} выполняется ра- венство
a
n
−k
+ a
n+k
2
= a
n

20
Глава 1. Алгебра
3. Пусть
{a
n
} — арифметическая прогрессия и S
n
— сумма первых ее n членов (т.е. S
n
= a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
). Доказать, что
S
n
=
n(a
1
+ a
n
)
2
=
n
(
2a
1
+ (n
− 1)d
)
2
.
4. Пусть
{b
n
} — геометрическая прогрессия. Натуральные числа k ,
l , m и n таковы, что k + l = m + n . Доказать, что b
k
b
l
= b
m
b
n
5. Вывести из предыдущей задачи, что для любых натуральных
k < n и для любой геометрической прогрессии
{b
n
} выполняется равен- ство
√
b
n
−k
b
n+k
= b
n
6. Пусть
{b
n
} — геометрическая прогрессия и S
n
— сумма первых ее
n членов (т.е. S
n
= b
1
+ b
2
+ . . . + b
n
). Доказать, что
S
n
=
b
1
(1
− q
n
)
1
− q
.
7. Сумма первого и пятого члена арифметической прогрессии равна
5/3 , а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72 . Найти сумму семнадцати первых членов прогрессии.
8. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами ариф- метической прогрессии, равна 2, а сумма квадратов этих чисел равна
14/9 . Найти эти числа.
9. В арифметической прогрессии дано: a
p
= q , a
q
= p ( p
̸= q ). Найти формулу общего члена прогрессии.
10. Найти сумму всех четных двузначных чисел.
11. Найти сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3.
12. Решить уравнение
x
− 1
x
+
x
− 2
x
+ . . . +
1
x
= 3 .
13. Найти сумму 50 2
− 49 2
+ 48 2
− 47 2
+ . . . + 2 2
− 1 .
14. Найти сумму девятнадцати первых членов арифметической про- грессии
{a
n
} , если известно, что a
4
+ a
8
+ a
12
+ a
16
= 224 .
15. Найти a
1
+ a
6
+ a
11
+ a
16
, если известно, что
{a
n
} — арифмети- ческая прогрессия и
a
1
+ a
4
+ a
7
+ . . . + a
16
= 147.

1.8. Арифметическая и геометрическая прогрессии