Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск

• Название: Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
• Дата: 25.03.2023
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Колебания и волны.-1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #1014022
• страница: 1 из 9

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра физики АС. Климов, А.В. Медовник, ЮГ. Юшков КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Учебно-методическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
2018

2 Рецензент Андреев Ю.А., канд физмат наук, доцент кафедры физики Томск. гос. унта систем упр. и радиоэлектроники Климов, Александр Саргеевич Колебания и волны : учеб.-метод. пособие по аудиторным практ. занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки / АС. Климов, А.В. Медовник, ЮГ. Юш- ков. – Томск : Томск. гос. унт систем упр. и радиоэлектроника,
2018. – 114 с. Содержит краткую теорию, примеры решения задач, тестовые задания, задачи для аудиторных практических занятий и самостоятельного решения, список рекомендуемой литературы, а также вопросы для самоконтроля по разделу Колебания и волны дисциплины Физика (Физика для информатики, Физика и естествознание и т.п.). Для студентов очной, очно-заочной и заочной форм образования всех направлений подготовки.
© Климов АС, Медовник А.В.,
ЮГ. Юшков, 2018
© Томск. гос. унт систем упр. и радиоэлектроники, 2018

3 Введение Колебания и волны – раздел физики изучающий колебательные и волновые явления в системах различной природы (механической, электрической, тепловой, биологической и др. К колебаниям относятся изменение положения в пространстве маятника часов, струны музыкальных инструментов, изменение величины напряжения и тока в электрическом контуре, а также суточной температуры воздуха, сокращение сердечной мышцы и т.д. Примерами волн являются распространение звука в газах и твердых телах, возмущение воды отпадающих капель, сейсмические волны – землетрясения, а также свети радиоволны. Несмотря на огромное разнообразие колебательных и волновых процессов им всем независимо от их природы присущи некоторые общие закономерности. Данное учебно-методическое пособие включает краткие теоретические сведения по теории колебаний и волн, примеры решения задач, примеры тестовых вопросов, а также задачи для самоконтроля.
Учебно-методическое пособие может быть использовано преподавателями на практических занятиях для различных вариантов контроля знаний студентов, а также студентами для самостоятельной подготовки к контрольным работами экзаменам.

4
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1.1. Краткая теория
1.1.1. Общие сведения о колебаниях Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния) в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от физической природы колебательного процесса и механизма его возбуждения различают
– механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и др. сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука, качка корабля, волнение моря и т. п
– электромагнитные (колебания переменного электрического тока вцепи, колебания векторов E

и B

электрической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля и т. д
– электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя и т. пи др. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой. Свободными колебаниями (собственными колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний T система совершает одно полное колебание.

5 Частотой периодических колебаний называется величина
1
T
 
, равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической, или круговой частотой периодических колебаний называется величина
2 2
T

   
равная числу полных колебаний, совершающихся за
2
единиц времени. В электротехнике
2
  
называют угловой частотой. При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины от времени
t
удовлетворяет условию


 
s t T
s Периодические колебания величины
 
s t называются гармоническими колебаниями, если
 


0
sin
s t
A
t

  
или
 


1
cos
s t
A
t

   , где
2
const
   
– циклическая, или круговая, частота гармонических колебаний, max const
0
A
s



– максимальное значение колеблющейся величины называемое амплитудой колебаний,
0

и
1 0
2

   
– постоянные величины. Значение s в произвольный момент времени t определяется значением фазы колебаний
 
0
t
t

    (соответственно
 
1 1
t
t

    ). Величины
0

и
1

представляют собой начальные фазы колебаний, те. значения
 
t

ив момент


0
t 
начала отсчета времени
 
0 0
  
и
 
1 1
0
  Скорость и ускорение гармонически колеблющейся величины ( )
s также совершают гармонические колебания той же циклической частоты 
  
 
     , причем амплитуды скорости и ускорения соответственно равны
0
A
и
2 0
A
. Начальная фаза скорости равна 2

 
, те. разность фаз

6 колебаний
/
ds dt
и s постоянна и равна
2

(скорость
/
ds опережает
s по фазе на
2

). Начальная фаза ускорения
2 2
d равна  
4
T
2
T
U
0 3
2
T
U
T
U
2 2
,
,
ds d s
s
dt
dt
A
Aω
Aω
2
ds
dt
2 2
d Рис. 1.1 те. ускорение
2 2
d опережает s по фазе на 
.
Графики зависимости от времени величин s ,
/
ds и
2 2
d при гармонических колебаниях для случая
0 0
 
показаны на рис. 1.1. Видно, что гармонически колеблющаяся величина s удовлетворяет дифференциальному уравнению
2 2
2 0
d s
s
dt
 
 . Величина s совершает гармонические колебания в томи только в том случае, если она удовлетворяет написанному выше дифференциальному уравнению, называемому, поэтому дифференциальным уравнением гармонических колебаний Гармонические колебания можно изобразить графически в виде вектора на плоскости. Для этого изначала координат Она плоскости проводят вектор A рис. 1.2), модуль которого равен амплитуде А рассматриваемых колебаний и составляет с осью координат
OX
угол
0
t
    
, равный фазе колебаний в данный момент времени t.

7 Рис. 1.2 Стечением времени угол φ увеличивается так, что вектор A равномерно вращается вокруг точки
O
с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний

. Соответственно проекция вектора A на вертикальную ось совершает гармонические колебания по закону


0
sin
y
A
s
A
t
 
  Графическое изображение гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм Им широко пользуются, например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.
1.1.2. Механические гармонические колебания Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат ОХ около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты х точки от времени
t
имеет вид,


0
sin
x
A
t

  Проекции скорости

и ускорения a точки на ось равны


0 0
cos
x
t
  
  
и


0 0
sin
x
a
a
t
 
  
, где
0
A
  
– амплитуда скорости,
2 0
0
a
A
    
– амплитуда ускорения. Сила F , действующая на материальную точку, равна
F
ma



и
2
x
F
m
x
  
, где m – масса материальной точки. Следовательно, сила F пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону
2
F
m
xi
  


, где i

– орт оси
OX
0
A
A
t

x

8 Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы. Поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупругими силами. Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна




2 2
2 Кили К 1 cos 2 2
4
m
A
W
t





  

 . Кинетическая энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до 2
2
m
A

, совершая гармонические колебания с циклической частотой
2
и амплитудой
2 2
4
m
A

около среднего значения, равного
2 Потенциальная энергияматериальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна


2 2 2
2 Пили П 0
1 cos 2 2
1 cos 2 2
4 4
m
A
m
A
W
t
t








  


    




. Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до
2 2
2
m
A

, совершая гармонические колебания с циклической частотой
2
и амплитудой
2 2
4
m
A

около среднего значения, равного
2 2
4
m
A

. Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π, так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при колебаниях

9 2
2 2
K
П
m
A
W
W
W




Графики зависимости 
x t ,
dx
dt
,
2 2
d К Пот времени t для случая
0 0
 
показаны на рис. 1.3. Рис. 1.3 Линейный гармонический осциллятор – материальная точка массы m , совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы УПР 


. Примером такой системы может служить пружинный маятник – груз массы т подвешенный на абсолютно упругой пружине – коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины, коэффициент жесткости пружины. Уравнение движения
2 2
d x
m
kx
dt
 
и
2 2
0
d x
k
x
m
dt

 .
t
t
t
x
v
a
0
0
0
A

A

0
A


0
A


2
0
A


2
0
A


t
t
t
x
К
П
0
0
0
A

A

E
2
E
E
2
E

10 Из этого уравнения следует, что осциллятор (пружинный маятник) совершает гармонические колебания по закону
 


0
sin
x t
A
t

  с циклической частотой си периодом T , равными
k
m
 
и
2
m
T
k
 Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора П Физический маятник – твердое тело, имеющее возможность качаться под действием силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной осине проходящей через центр тяжести тела (рис. 1.4) и называемой осью качания маятника Центр тяжести маятника совпадает сего центром инерции С. Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной коси качания, называется точкой подвеса маятника. Рис. 1.4 В отсутствие сил трения в подвесе уравнение движения маятника имеет вид
2 2
sin
d
J
mgd
dt

 
 ,
O
O
1
C

mg
d ПР

11 где

– угол поворота маятника вокруг оси качания из положения равновесия
d
OC

– расстояние от центра инерции маятника до оси качания J – момент инерции маятника относительно той же оси m – масса маятника, g – ускорение свободного падения. При малых колебаниях маятника sin   
и уравнение движения маятника имеет вид
2 2
0
d
mgd
J
dt


  , те. угол

удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний. Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими


0 0
sin
t
  
  
, где
0

– амплитуда колебаний угла

, аи циклическая частота и период малых колебаний физического маятника. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания вверти- кальной плоскости под действием силы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре инерции, так что длина математического маятника. Момент инерции такого маятника относительно оси качания
2
J
ml

. Соответственно, циклическая частота и период малых колебаний математического маятника равны
g
l
 
и
2
l
T
g
 Малые колебания физического и математического маятников являются примерами изохронных колебаний, те. колебаний, частоты и периоды которых не зависят от амплитуд. В общем случае период колебаний физического маятника зависит от его амплитуды
0

2 2
2 4
0 0
1 1 3 2
1
sin sin
2 2
2 4 2
J
T
mgd




 


 






 


 







12 Изменение значения T при увеличении
0

доне превосходит
0,5 %. Приведенной длиной физического маятника ПР называется длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний
ПР
,
c
J
J
l
d
d
md
md




где
c
J
– момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через центр инерции C маятника и параллельной его оси качания. Точка
1
O , лежащая на прямой OC на расстоянии ПР от точки подвеса маятника
O
(см. рис. 1.4), называется центром качания физического маятника Центр качания
1
O и точка подвеса
O
обладают свойством взаимности если маятник подвесить так, чтобы его ось ка- чаний проходила через точку то точка
O
будет совпадать с новым положением центра качания маятника, те. приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними.
1.1.3. Сложение гармонических колебаний Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай соответствует, например, колебаниям грузика 1 (рис. 1.5), который колеблется относительно грузика2 на пружине аи вместе с ним на пружине b. Этот же случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колебательной системы (давления, температуры, плотности, электрического заряда, тока и т. п. Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний и
 


2 2
2 2
sin
s
t
A
t

  
можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм. На рис. 1.6 показаны векторы
 
1
A t и
 
2
A t амплитуд соответственно первого и второго
b
a
2
1 Рис. 1.5

13 колебаний в произвольный момент времени
t
, когда фазы этих колебаний равны
 
1 1
1
t
t

    и
 
2 2
2
t
t

    . Рис. 1.6 Результирующим колебаниям
1 соответствует вектор
 
 
 
1 2
A t
A t
A t


, проекция которого на вертикальную ось равна По теореме косинусов
 
 
 
2 2
2 2
1 2 2
1 2
cos
i
A t
A
A
A A
t
t




 







 ;
 
1 1
2 2
1 1
2 2
sin
( )
sin
( )
cos
( )
cos
( Два гармонических колебания
1
s и
2
s называются когерентными если разность их фаз не зависит от времени
 
 
2 1
0;
d
t
t
dt

 





 
 
2 1
const.
t
t

 Поскольку
 
  



2 1
2 1
2 1
t
t
t

 
   
   
, то циклические частоты когерентных колебаний должны быть одинаковы, те. В любой момент времени разность фаз когерентных колебаний равна разности их начальных фаз
 
  

2 1
2 1
t
t

 
   