Главная страница
Навигация по странице:

  • Уравнение

  • Получим

  • 1. основные математические понятия и обозначения


    Скачать 0.51 Mb.
    Название1. основные математические понятия и обозначения
    Дата18.01.2022
    Размер0.51 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаMAT1.doc
    ТипДокументы
    #335102
    страница4 из 12
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

    2.5Экономическая интерпретация действий над матрицами


    Пусть имеется n-видов товара, причем известны их цены.

    Pi – цена соответствующего товара (i=1,2,3,….n).

    Xi – приобретенное количество соответствующего товара.

    Запишем это в виде матриц-столбцов.

    P1 X1

    P2 X2

    P = …. X = …..

    Pn Xn
    Используя эти матрицы, стоимость всех приобретенных товаров можно определить с помощью произведения следующих матриц:
    X1 n

    PT * X = ( P1 P2 …..Pn ) * X2 = P1*X1+P2*X2+….+Pn*Xn = Pi*Xi

    …. i=1

    Xn
    Допустим, что товары данного вида приобрели K покупателей. Обозначим Xij – количество товара i-того вида, приобретенное j-тым покупателем.

    Здесь i=1,2,….n; j=1,2,….k. Введем матрицу:
    x11 x12 x13 …… x1k

    x21 x22 x23 …… x2k

    X = …………………………….

    Xn1 xn2 xn3 …… xnk
    Элементы j-того столбца матрицы представляют собой кол-во различных товаров, приобр. j–тым покупателем., а элементы i-той строки представляют собой количество товара i-того вида, приобретенных различными покупателями.

    Произведение матриц РТ*Х будет являться вектором-столбцом, все элементы которого представляют собой затраты каждого покупателя.

    2.6 Системы линейных уравнений


    Определение. Уравнение вида а111122+….+а1nn=b1 (1) называют линейным алгебраическим уравнением с n-неизвестными , где

    а11, а12,…. а1n, b1 - заданные числа (известные).

    х1, х2,…, хn - неизвестные числа.

    Определение. Упорядоченный набор чисел k1,k2,…kn называют решением уравнения (1), если при подстановке этих чисел в уравнение (1) вместо неизвестных х1, х2,…, хn в соответствии с равными индексами, мы получаем верное равенство.

    Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:

    а111122+….+а1nn=b1

    а211222+….+а2nn=b2

    ………………………………………. (2)

    аm11m22+….+аmnn=bm
    Определение. Упорядоченный набор чисел k1,k2,…kn называют решением системы (2), если этот набор чисел является решением каждого уравнения этой системы.

    Определение. Две линейные системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

    Определение. Систему линейных уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение,

    Несовместной - если она не имеет решений.

    Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение.

    Система является неопределенной, если она имеет более одного решения.

    2.7Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера


    Рассмотрим систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.

    а111122133=b1

    а211222233=b2

    а311322333=b3

    Введем обозначения: за определитель  обозначим определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных. В определителях 1, 2, 3 соответствующий столбец коэффициентов заменен столбцом свободных членов уравнений:

    а11 а12 а13 b1 а12 а13

    = а21 а22 а23 , 1= b2 а22 а23 ,

    а31 а32 а33 b3 а32 а33
    а11 b1 а13 а11 а12 b1

    2= а21 b2 а23 , 3= а21 а22 b2

    а31 b3 а33 а31 а32 b3
    Теорема: если определитель  отличен от 0, то данная система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

    X1= 1/ X2= 2/ X3= 3/ формулы Крамера.

    Доказательство:

    Умножим первое уравнение данной системы на А11, второе – на А21, третье – на А31 и все сложим. Получим следующее равенство:

    (a11*A11 + a21* A21+ a31* A31 )*X1 + (a12 * A11+ a22* A21 + a32* A31 ) * X2 +
    + (a13*A11 + a23* A21 + a33* A31 )*X3 = (b1*A11 +b2*A21 + b3*A31 ) = 1

    поскольку: (a11*A11 + a21* A21+ a31* A31 ) = 

    (a12 * A11+ a22* A21 + a32* A31 ) = 0

    (a13*A11 + a23* A21 + a33* A31 ) = 0

    X1 = 1 и X1 = 1 / 

    Аналогично получим:

    X2 = 2 и X2 = 2 /  , если домножим на A12; A22; A32 .

    X3 = 3 и X3 = 3 /  , если домножим на A13; A23; A33 .
    Верность решения доказана.
    Пример:

    x+ 2*y + z = 4 1 2 1

    3* х - 5*y+3*z = 1 ;  = 3 -5 3 = 5+12+21+10-21+6 =

    2*х + 7*y – z = 8 2 7 -1 = 33
    4 2 1

    1= 1 -5 3 = 20+7+48+40-84+2=33 x = 1 /  = 33/33 = 1

    8 7 -1
    1 4 1

    2= 3 1 3 = -1+24+24-2-24+12=33 y = 2 /  = 33/33 = 1

    2 8 -1
    1 2 4

    3= 3 -5 1 = -40+84+4+40-7-48=33 z = 3 /  = 33/33 = 1

    2 7 8
    Следствие: если определитель  равен 0, то система либо не имеет решений, т.е. несовместна, либо имеет бесконечно много решений, т.е. неопределенная.

    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


    написать администратору сайта