1. основные математические понятия и обозначения

• Название: 1. основные математические понятия и обозначения
• Дата: 18.01.2022
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: MAT1.doc
• Тип: Документы; #335102
• страница: 8 из 12

3.6Теоремы о проекции вектора на ось

Теорема 1: Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и числовой осью.
Пр_lAB = AB * cos ,  = ( AB, l )
Доказательство: рассмотрим 2 случая:
1 ) B A₁B₁ l , cos = AC / AB

A  C

l AC = AB *cos,

A₁ B₁ A₁B₁ = AB * cos

Пр_lAB = AB * cos

Что и требовалось доказать.
2 ) B  A₁B₁ l

C

A l AC = AB * cos ( 180⁰ -  )

B₁ A₁

A₁B₁ = - AB * cos 
- A₁B₁ = AB * cos  , т.о. Пр_lAB = AB * cos

Что и требовалось доказать.
Т еорема 2: Проекция вектора на числовую ось равна разности координат начала и конца вектора.

A (X_A,Y_A,Z_A) , B(X_B,Y_B,Z_B), Пр_XAB = X_B - X_A , Пр_YAB = Y_B - Y_A Пр_ZAB = Z_B - Z_A ,

Д оказательство:

A₁B₁ = OA₁ + OB₁ , OA₁ = X_A ; OB₁ = - X_B

B

C A₁B₁ = X_A – X_B , - A₁B₁ = X_B – X_A

A l

B₁ О A₁ Пр_XAB = X_B - X_A

Что и требовалось доказать.
Т еорема 3: Проекция суммы двух векторов на числовую ось равна сумме проекций этих векторов на данную ось.

Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b

Д оказательство:

A2 Поскольку длина A₁^’ A₃^’ = A₁^’ A₃^’ + A₁^’ A₃^’ ,

a b

A3 то Пр_l A₁A₃ = Пр_l A₁A₂ + Пр_l A₂A₃ ,

A1

a + b l то есть Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b ,

A₁^’ A₂^’ A₃^’

что и требовалось доказать.
Т еорема4: При умножении вектора на число его проекция также умножается на это число (отличное от нуля):

Пр_l (*  ) = * Пр_l 

Д оказательство:

*  (>0)

 = (  , l )



 l ₁ = (*  , l ), если  <0

₁

*  (<0)

1) >0, Пр_l (*  ) = *  * cos =  *  * cos = *  *cos =

= * Пр_l 
2 ) <0, Пр_l (*  ) = *  *cos(180⁰-)= - * * cos = -  *  *cos =
= * Пр_l  ,

что и требовалось доказать.
Если в пространстве задан вектор , то для него вводят координаты (_x, _y, _z) , _x = Пр_x  , _y = Пр_y  , _z = Пр_z  .
Следствия из теорем:

1 )  = (_x, _y, _z) ,

b = (b_x, b_y, b_z) ,   b = (_x b_x, _y b_y, _z b_z)
2) *  = (*_x, *_y, *_z)
3) Условие коллинеарности векторов:
  b = _x / b_x = _y / b_y = _z / b_z

3.7Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

Z

a_Z Пусть a = (a_X, a_Y, a_Z)
a



O  a_Y Y



a_X

X Так как a является диагональю параллелепипеда, то квадрат его длины равен сумме квадратов всех измерений параллелепипеда:
a ² = (a²_X + a²_Y + a²_Z), откуда a  = (a²_X + a²_Y + a²_Z)
Пр_Xa = a *cos, Пр_Ya = a *cos, Пр_Za = a *cos,
Направляющие косинусы вектора а будут
cos = a_X / a  cos = a_Y / a  cos = a_Z / a 
Из вышеизложенного следует, что для направляющих косинусов справедливо следующее:
сos² + cos² + cos² = (a²_X + a²_Y + a²_Z) / a ² = 1