Главная страница
Навигация по странице:

  • Теорема

  • Достаточность

  • 1. основные математические понятия и обозначения


    Скачать 0.51 Mb.
    Название1. основные математические понятия и обозначения
    Дата18.01.2022
    Размер0.51 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаMAT1.doc
    ТипДокументы
    #335102
    страница10 из 12
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

    3.11Смешанное произведение векторов



    Определение: Скалярное произведение векторного произведения векторов  и b на вектор c называют смешанным произведением векторов  , b и c .
    ( x b) *с =  * b *с
    П усть  = (x ,y,z ) b = (bx ,by,bz ) с = (сxyz )

    i j k

     x b = xyz =

    bx by bz
    y* z xzxy

    = bx by * i - bx bz * j + bx by * k
    yz xzxy

    ( x b) * c = bx by * cx - bx bz * cy + bx by * cz =
    xyz

    = bx by bz =  * b * c (условное обозначе-

    cx cy cz ние смешанного произведения).
    Получили формулу для нахождения смешанного произведения:
    xyz

     * b * c = bx by bz

    cx cy cz
    Пример:
    Даны 3 вектора.  = (1,2,1) , b = (3,4,0) , c = (0,1,1).
    Найти смешанное произведение:
    1 2 1

    ( x b) * c = 3 4 0 = 4 + 3 – 6 = 1

    0 1 1

    3.11.1Свойства смешанного произведения



    1)  * b * c = -  * c * b = - c * b * 

     * b * c = b * c *  = c *  * b
    2)  * ( b1 + b2) * c =  * b1 * c +  * b2 * c
    3) (* ) * b * c = * ( * b * c ) ,  - число.

    3.12Геометрический смысл смешанного произведения векторов



    Пусть даны векторы , b, c , которые не лежат в одной плоскости.
    d Построим на них параллелепипед:

    C

     c  = OA b = OB c = OC

    O B

    B d =  x b d = Sосн – площадь основания.



    A V = Sосн * H объем тела. H – высота.
    H = Прd c проекция вектора с на вектор d, который перпендикулярен плоскости основания.
    О бъем Vn =  d  * Прd c = d * c = (  x b ) * c =  * b * c , если  острый.

    Если  - тупой, то Vn =   * b * c  - модуль смешанного произведения.

    Теорема (условие компланарности 3-х векторов) :
    Три вектора  , b , c – компланарны  * b * c = 0

    Доказательство:

    1 . Необходимость: Допустим, что  , b , c – компланарны, т.е. все находятся в одной плоскости.
    d =  x b
    d будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат  и b ,
    тогда c  d , т.к. c лежит в той же плоскости, что и  и b
    п оэтому: ( x b )* c = 0

    2 . Достаточность: Пусть  * b * c = 0 - исходное условие.

    Пусть  , b , c - некомпланарны, т.е. они не лежат в одной плоскости.

    Однако объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно лишь в том случае, когда все линии его граней лежат в одной плоскости.

    Откуда  , b , c - компланарны , что и требовалось доказать.

    3.13N-мерные векторы


    Определение: n-мерным вектором называют упорядоченную совокупность n чисел.

     = (1, 2, ….., n)
    b = (b1, b2, …...., bn)

    Для n –мерных векторов существует N-мерное пространство.

    Для n –мерных векторов вводят операции сложения векторов и умножения вектора на число:
     + b = (1+ b1, 2+ b2,….., n + bn )
     * = ( *1,  *2, …..,  *n)
    Определение:N-мерным векторным пространством называют множество всех n –мерных векторов относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число:

    Rn - n - мерное пространство.

    R 2 – двумерное пространство векторов  = (1, 2)
    Пусть дана система n-мерных векторов: 1, 2, ….., n (1)
    Определение: Вектор b называется линейной комбинацией системы, если существуют такие числа 1, 2, …..n, , для которых выполняется следующее равенство:
    b = 1*1 + 2* 2 +….. + n*n

    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12


    написать администратору сайта