1. основные математические понятия и обозначения
Скачать 0.51 Mb.
|
3.11Смешанное произведение векторовОпределение: Скалярное произведение векторного произведения векторов и b на вектор c называют смешанным произведением векторов , b и c . ( x b) *с = * b *с П усть = (x ,y,z ) b = (bx ,by,bz ) с = (сx ,сy,сz ) i j k x b = x y z = bx by bz y* z x z x y = bx by * i - bx bz * j + bx by * k y z x z x y ( x b) * c = bx by * cx - bx bz * cy + bx by * cz = x y z = bx by bz = * b * c (условное обозначе- cx cy cz ние смешанного произведения). Получили формулу для нахождения смешанного произведения: x y z * b * c = bx by bz cx cy cz Пример: Даны 3 вектора. = (1,2,1) , b = (3,4,0) , c = (0,1,1). Найти смешанное произведение: 1 2 1 ( x b) * c = 3 4 0 = 4 + 3 – 6 = 1 0 1 1 3.11.1Свойства смешанного произведения1) * b * c = - * c * b = - c * b * * b * c = b * c * = c * * b 2) * ( b1 + b2) * c = * b1 * c + * b2 * c 3) (* ) * b * c = * ( * b * c ) , - число. 3.12Геометрический смысл смешанного произведения векторовПусть даны векторы , b, c , которые не лежат в одной плоскости. d Построим на них параллелепипед: C c = OA b = OB c = OC O B B d = x b d = Sосн – площадь основания. A V = Sосн * H объем тела. H – высота. H = Прd c проекция вектора с на вектор d, который перпендикулярен плоскости основания. О бъем Vn = d * Прd c = d * c = ( x b ) * c = * b * c , если острый. Если - тупой, то Vn = * b * c - модуль смешанного произведения. Теорема (условие компланарности 3-х векторов) : Три вектора , b , c – компланарны * b * c = 0 Доказательство: 1 . Необходимость: Допустим, что , b , c – компланарны, т.е. все находятся в одной плоскости. d = x b d будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат и b , тогда c d , т.к. c лежит в той же плоскости, что и и b п оэтому: ( x b )* c = 0 2 . Достаточность: Пусть * b * c = 0 - исходное условие. Пусть , b , c - некомпланарны, т.е. они не лежат в одной плоскости. Однако объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно лишь в том случае, когда все линии его граней лежат в одной плоскости. Откуда , b , c - компланарны , что и требовалось доказать. 3.13N-мерные векторыОпределение: n-мерным вектором называют упорядоченную совокупность n чисел. = (1, 2, ….., n) b = (b1, b2, …...., bn) Для n –мерных векторов существует N-мерное пространство. Для n –мерных векторов вводят операции сложения векторов и умножения вектора на число: + b = (1+ b1, 2+ b2,….., n + bn ) * = ( *1, *2, ….., *n) Определение:N-мерным векторным пространством называют множество всех n –мерных векторов относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число: Rn - n - мерное пространство. R 2 – двумерное пространство векторов = (1, 2) Пусть дана система n-мерных векторов: 1, 2, ….., n (1) Определение: Вектор b называется линейной комбинацией системы, если существуют такие числа 1, 2, …..n, , для которых выполняется следующее равенство: b = 1*1 + 2* 2 +….. + n*n |