1. основные математические понятия и обозначения

• Название: 1. основные математические понятия и обозначения
• Дата: 18.01.2022
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: MAT1.doc
• Тип: Документы; #335102
• страница: 1 из 12

1.ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Одним из основных математических понятий является понятие множества.

Определение: Множеством называют совокупность каких-то объектов, объединенных по некоторому правилу или признаку.

Примеры множеств: - натуральные числа, целые числа, действительные числа.

Определение: Объекты, которые входят в состав множества, называют элементами данного множества.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (A, B, C), а их элементы – малыми (a, b, c).

Определение: Множество, которое имеет конечное число элементов – именуется конечным множеством; бесконечное - бесконечным.

Обычно любое множество задается некоторым свойством, т.е. таким свойством, которым обладают только элементы данного множества, например: M = a,b,c,d - некоторое множество.

Множество натуральных четных чисел: N₂={2*n, где nN}

О пределение: Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается 0

1.1Множества чисел и их обозначения

N - множество натуральных чисел- {1,2,3,…, n,…. }

Z - множество целых чисел {…-3,-2,-1,0,1,2,………. }

Q - множество рациональных чисел – это те числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m -принадлежит множеству целых чисел, а n - множеству натуральных чисел

Q={m/n, mZ, nN}

Иррациональные числа: J={ 2, 3, , e, …..}

Множество действительных чисел: R=Q U J

Множество комплексных чисел:

C={a+i*b; i=-1, a, bR}
Любое множество графически можно изобразить в виде круга (диаграммы Эйлера-Венна):
А

Определение: Множество В называется подмножеством множества А ,
(В  А), если любой элемент множества В, является элементом множества А.


A

B В  А

1.2Основные операции над множествами

1. Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

В виде характеристического свойства - А U В={x, xA или xB}

Е сли изображают

в виде кругов A B А U В

Пример:

А={1,2,3} B={2,4,5} А U В={1,2,3,4,5}
2. Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А  В={x, xA и xB}

д ля рассмотренного

в ыше примера: A B А  В

А  В={2}
3. Разность двух множеств А и В (обозначается А\В) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В

А\В={x, xA и x B} A B А\В

Д ля рассмотренного выше

примера:

А\В={1,3}

1.3Логические символы

Для краткости записи, вместо слов: существует, найдется, будет использован символ ,

вместо слов любой, каждый, всякий .

Примеры: x, x+1N ; xX,X:2

1.4Специальные математические символы

Для краткости записи произведения первых n-натуральных чисел вводят:

1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал.

1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120,

0!=1 0-факториал.

Для краткости записи суммы и произведения будем использовать символы:

n 

сумма a_i = a₁+a₂+a₃+….+a_n ; a_i = a₁+a₂+…+a_n +...;

i=1 i=1

n

Произведение  a_i = a₁*a₂*a₃*….*a_n

i=1

2.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2.1Определители и их свойства

Определение1: Определителем второго порядка называется число, которое:

• 
  обозначается следующим символом
  

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

• 
  и вычисляется по следующей формуле
  

a₁₁ a₁₂

= a₁₁*a₁₂ – a₂₁*a₁₂ , где a_ij – числа; i, j = 1,2

a₂₁ a₂₂ a_ij – элемент определителя, расположенный в i-той

строке и j-том столбце.

1 2

= 1*4 – 2*3 = 4 – 6 = -2

3 4
Определение2:Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается следующим символом и вычисляется по следующей формуле:
a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₂₁*a₃₂ * a₁₃ -

a₃₁ a₃₂ a₃₃ - a₃₁*a₂₂ * a₁₃ – a₂₁*a₁₂ * a₃₃ – a₃₂*a₂₃ * a₁₁
Для более легкого запоминания формул используется правило треугольников:

“ + “ “ – “
* * * * * *

* * * ; * * *

* * * * * *
В соответствии со схемой треугольников вычисляются произведения и, при формировании общей суммы, произведения элементов берутся:

- по главной диагонали и образующим треугольникам со сторонами, параллельными этой диагонали, – со знаком “+”

- по вспомогательной диагонали и образующим треугольникам со сторонами, параллельными этой диагонали, – со знаком “-“
Пример: Вычислить определитель:
1 2 3

0 -1 1 = 1*(-1)*6 + 0*4*3 + 2*(-1) * 3 - 2*(-1) * 3-

2 4 6 - 0*2 * 6 – 4*1*1 = -6 + 0 + 4 + 6 – 0 – 4 = 0
Определение: Определитель первого порядка равен непосредственно своему единственному элементу: | a₁₁ | = a₁₁ .

Определение: Минором элемента a_ij некоторого определителя называют определитель, который обозначают М_ij и получают из данного определителя, вычеркиванием i – строки и j-того столбца.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

Для определителя:  = a₂₁ a₂₂ a₂₃ получим:

A₃₁ a₃₂ a₃₃
a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₃ a₂₁ a₂₂

M₁₁ = a₃₂ a₃₃ M₁₂ = a₃₁ a₃₃ M₁₃ = a₃₁ a₃₂

и так далее.
Для представленного выше примера:
1 3 1 2

M₂₂ = 2 6 = 1*6 – 2*3 = 0 , M₂₃ = 2 4 = 1*4 – 2*2 = 0.
Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij называют число А_ij, которое вычисляют по следующей формуле

А_ij = (-1)^(i+j) * М_ij