1. основные математические понятия и обозначения

• Название: 1. основные математические понятия и обозначения
• Дата: 18.01.2022
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: MAT1.doc
• Тип: Документы; #335102
• страница: 9 из 12

3.8Понятие базиса. Разложение вектора по базису

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат.
Изобразим вектор  так, чтобы он выходил из начала координат:
Z

_Z
 A

k

O j _Y Y

i

_X B

X

Определение: Базисом для прямоугольной системы координат называют
тройку векторов i, j, k,
Теорема ( Разложение вектора по базису):

Любой вектор в пространстве, который имеет координаты (_X,_Y,_Z) может быть разложен по базису следующим образом:
 = _X * i + _Y * j + _Z * k

Доказательство:
O A = OB + OA_Z - (см.рис). Из основания параллелепипеда можно
получить, что вектор OB = OA_X + OA_Y откуда: OA = OA_X + OA_Y + OA_Z

Рассмотрим векторы:
OA_X  i - коллинеарен, т.е. OA_X = _X * i
OA_Y  j , тогда OA_Y = _Y * j
OA_Z  k , тогда OA_Z = _Z * k ,
т .о.  = _X * i + _Y * j + _Z * k, что и требовалось доказать.

3.9Скалярное произведение векторов

О пределение: Скалярным произведением векторов  и b называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

 * b =   * b * cos 



  =  ( , b),  b * cos  = Пр_ b



b   * cos  = Пр_b , тогда
 * b =   * Пр_ b =  b * Пр_b 

3.9.1Свойства скалярного произведения.

1)  * b = b *  - переместительное свойство
2) (  *  ) * b =  * ( * b )
3 ) ( + b ) * c =  * c + b * c - распределительное относительно суммы
( + b ) * c = c * Пр_C ( + b ) = c* (Пр_C  + Пр_Cb) =  * с + b * c
4 )  *  = ² - квадрат длины
5) Условие перпендикулярности двух векторов:
  b  * b = 0

3.9.2Следствия из свойств скалярного произведения.

1. Скалярные произведения одноименных ортов равны 1
i ² = j ² = k ² = 1

2. Скалярные произведения разноименных ортов равны 0
i * j = j * k = k * i = 0

3.9.3Скалярные произведения векторов через координаты

Пусть  = _x *i+ _y *j+ _z*k b = b_x *i+ b_y *j + b_z *k

Тогда на основании выше рассмотренных свойств
 * b = _x *b_x* i ²+ _x *b_y*i * j+ _x*b_z*i * k + _y*b_x* j * i +
+ _y * b_y * j ²+ _y * b_z * j * k + _z * b_x * k * i + _z * b_y * k * j+
_{ z} * b_z * k ² = _x * b_x + _y * b_y + _z * b_z

3.10Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением векторов  и b является такой вектор c, для которого выполняются следующие условия:

1 ) Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и b

2 ) c перпендикулярен  и c перпендикулярен b , c ; c b

3 ) вектор c направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от вектора  к вектору b происходил против часовой стрелки, при условии, что мы наблюдаем с конца вектора c. В этом случае говорят, что векторы , b, c, образуют правую тройку векторов.
c

b


Свойства векторного произведения:
1)  x b = - b x  2) * x b = *(  x b )
3) (  + b ) x c =  x c + b x c 4)  x b = 0   b
Следствия из данных свойств:
1) i x j = j x j = k x k = 0 ;
2) i x j = k , j x i = - k , k x i = j , i x k = - j,
j x k = i , k x j = - i ;
3)  = _x *i + _y*j + _z *k , b = b_x *i + b_y *j + b_z *k ,
 x b = _x*b_x* i x i + _x*b_y* i x j + _x*b_z* i x k + _y*b_x* j x i + _y*b_y* j x j
+ _y*b_z* j x k + _z*b_x* k x i + _z*b_y* k x j + _z*b_z* k x k =
= _x*b_y* k - _x*b_z* j - _y*b_x* k + _y*b_z* i + _z*b_x* j - _z*b_y* i =
= (_y*b_z - _z*b_y ) * i + (_z*b_x - _x*b_z) * j + (_x*b_y - _y*b_x) * k =
i j k

= _x _y* _z

b_x b_y b_z
Пример:  = ( 3 ; -1 ; 2 ) , , b = (- 2 ; 3 ; -5)
- 1 2 3 2 3 - 1

 x b = 3 - 5 * i - - 2 - 5 * j + 2 3 * k
= -1* i + 11* j + 11* k