|
|
1. основные математические понятия и обозначения
3.14Линейная зависимость (независимость) системы векторов
Определение: Система (1) называется линейно зависимой, если существуют числа k1, k2, …..kn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, но при этом выполняется следующее равенство:
k1*1 + k2* 2 +……. + kn*n = 0
Определение: Система векторов (1) называется линейно независимой, если последнее равенство выполняется только тогда, когда все числа равны нулю:
k1 = k2 = …. = kn = 0
Теорема (критерий линейной зависимости векторов) : Если ранг матрицы, составленной из координат векторов системы равен числу векторов, то данная система линейно независима.
Если ранг матрицы, составленной из координат векторов системы меньше числа векторов, то система векторов линейно зависима.
П ример: ( 3, 0, 2, 4) b = 2 * b - 2 * = 0
b ( 6, 0, 4, 8) откуда: и b линейно зависимы.
( 4, 1) 4 1 4 1
b ( 5, 6) 5 6 0 19
r(A)=2 – числу векторов – вывод – векторы линейно независимы, т.е.
k1* + k2* b = 0 , если k1 = k2 = 0
3.15Разложение вектора по некоторому базису
Определение: Базисом системы векторов (1) называют такую ее подсистему, векторы которой линейно независимы, а любой вектор системы является их линейной комбинацией.
Для трехмерного пространства i (1,0,0)
R3 базисом будут: j (0,1,0)
k (0,0,1) .
Тогда любой вектор (x, y, z) может быть представлен:
= x* i + y* j + z* k
Т еорема: Если векторы 1, 2, ….., n принадлежат n-мерному векторному пространству, образуют базис, а вектор b - это произвольный вектор данного пространства, тогда вектор b может быть разложен по векторам базиса и, при этом, единственным образом.
b = 1* 1 + 2* 2 +….. + n*n .
4.ЭЛЕМЕНТЫ аналитическОЙ геометриИ 4.1Прямая линия на плоскости и в пространстве.
Прямая на плоскости
Пусть на плоскости нам дана некоторая прямая.
Определение: Угол между данной прямой и положительным направлением оси ОХ называется углом наклона данной прямой ().
Определение: Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом данной прямой ( k = tg ).
Уравнение прямой мы получим, если известны:
- ее угловой коэффициент и
- величина отрезка, который прямая отсекает от оси OY
M(x,y)
O C
b
B N
B = из треугольника находим: tg = MN/BN = k
Рассмотрим отрезки MN и BN: MN=MC+CN MN=y-b BN=x
(y-b)/x=k откуда
y=k*x+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Дано: y=k*x+b - уравнение прямой. M(x1,y1) – точка на данной прямой.
Поскольку x1,y1 – координаты точки на прямой - y1 = k * x1 + b :
b = y1 - k * x1 .
Подставив данное соотношение в уравнение прямой получим:
y = k*x + y1 - k * x1 или y - y1= k*(x - x1) - уравнение прямой,
проходящей через данную точку и имеющей
угловой коэффициент “k”.
4.1.2Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M1(x1,y1) M2(x2,y2) – две точки, через которые проходит заданная прямая y=k*x+b.
y1 = k * x1 + b y = k*x + y1 - k * x1
y2 = k * x2 + b y = k*x + y2 - k * x2
k*x + y1 - k * x1 = k*x + y2 - k * x2 y1 - k * x1 = y2 - k * x2
y2 - y1 = k * ( x2 - x1 ) откуда:
Угловой коэффициент равен k=(y2-y1)/(x2-x1)
При условии, что y2 y1 и x2 x1 данное уравнение можно записать в следующем виде:
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
4.1.3Уравнение прямой, проходящей через две данные точки,
если y1=y2
y = y1
4.1.4Уравнение прямой, проходящей через две данные точки,
если x1=x2
x = x1
4.1.5У гол между двумя прямыми
Y
l2 Пусть заданы две прямые:
l1 l1 : y = k1 * x + b1 ;
l2 : y = k2 * x + b2 ;
= (l1,l2) , = 2 - 1
1 2 0 /2
X tg = tg (2 - 1 ) =
= (tg 2 – tg 1 )/(1 + tg 1 * tg 2 )=
= (k2 – k1 )/(1 + k1 * k2 )
Знак модуля необходим для случая, когда тупой.
= arctg ((k2 – k1 )/(1 + k1 * k2 ) )
4.1.6Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть даны две прямые:
l1 : y = k1 * x + b1
l2 : y = k2 * x + b2
1) l1 l2 тогда угол между прямыми = 0 и tg =0, а следовательно:
(k2 – k1 )/(1 + k1 * k2 ) = 0 откуда: (k2 – k1 )= 0, т.е. k2 = k1 ;
l1 l2 k2 = k1
2) l1 l2 тогда угол между прямыми = 900 и tg - не существует
т.о. (1 + k1 * k2 ) = 0 , откуда k1 = - 1/k2 ;
l1 l2 k1 * k2 = 1
4.1.7Общее уравнение прямой
Теорема: Любая прямая на плоскости есть множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению:
A*x+B*y+C = 0
где A, B и C - числа, которые все одновременно не равны 0.
Данное уравнение называют общим уравнением прямой:
A*x+B*y+C =0 (1)
Доказательство: Известно, что если прямая не перпендикулярна OX, то ее уравнение можно записать как уравнение прямой с угловым коэффициентом “k”.
Преобразовав уравнение A*x+B*y+C=0 легко показать, что это уравнение задает на плоскости прямую:
y = - (A/B)*x – C/B, а это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где : k = - (A/B); b = – C/B
что и требовалось доказать.
4.1.8Частные случаи общего уравнения прямой
1) Если в общем уравнении коэффициент С=0,
то прямая проходит через O(0,0).
2) Если в общем уравнении коэффициент А=0,
то прямая параллельна оси OX.
3) Если в общем уравнении коэффициент В=0,
то прямая параллельна оси OY.
4) Если в общем уравнении коэффициенты А=С=0,
то это уравнение оси OX.
5) Если в общем уравнении коэффициенты В=С=0,
то это уравнение оси OY.
4.1.9Уравнение прямой на плоскости в отрезках
Пусть дана прямая линия l: A*x + B*y + C = 0
Преобразуем данное уравнение:
A*x + B*y = - C , (A/-C)*x + (B/-C)*y = 1, откуда
x/a + y/b = 1 - уравнение прямой в отрезках,
где a = - C/A b = - C/B.
Модули коэффициентов a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях.
4.1.10Расстояние от точки до прямой
Даны: прямая A*x + B*y + C = 0
и точка M(x1,y1), не принадлежащая прямой
M(x1,y1)
d Тогда расстояние от точки до прямой
d = | A*x1 + B*y1 + C|/ A2 + B2
Знак модуля необходим, поскольку выражение A*x1 + B*y1 + C может дать отрицательный результат, а расстояние может быть только положительным.
|
|
|
Скачать 0.51 Mb.