Пусть в пространстве задана произвольная плоскость , которая проходит через точку M0(x0,y0,z0) при этом N=(A,B,C) – нормальный вектор, т.е. ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.
Z
Через некоторую точку, перпендикулярную
М0 заданному вектору, можно провести плос-
N кость единственным образом:
Y
M 0 A*(x-x0) + B*(y-y0) + C*(z-z0) = 0
либо:
X A*x + B*y + C*z + D = 0,
где: D = - A*x0 - B*y0 - C*z0
Данное уравнение является общим уравнением плоскости в пространстве.
Доказательство: Пусть M(x,y,z) - произвольная точка плоскости.
тогда M0M = (x-x0, y-y0, z-z0) и
M M0M N M0M*N = 0 A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0
4.2.1Угол между плоскостями
Пусть даны 2 плоскости
: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0
: A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0
= (, ) = (N1, N2) N1 =( A1,B1,C1); N2 =( A2,B2,C2);
Из скалярного произведения векторов:
cos = (N1*N2) / N1 *N2 =
= (A1*A2+B1*B2+C1*C2) / ( A12 +B12 +C12) * ( A22 +B22 +C22)
4.2.2Условия
параллельности и перпендикулярности 2-х плоскостей
1) . Две плоскости параллельны тогда и только тогда когда равны отношения соответствующих координат их нормальных векторов и эти отношения не равны отношениям свободных членов (именно не равны, так как в противном случае плоскости будут не параллельными, а совпадающими в пространстве).
N 1N2 A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 D1 / D2
2) Пусть
N1 N2 N1 * N2 = 0, т.о. A1 *A2 + B1 * B2 + C1 * C2 = 0
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда когда скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю.
4.2.3 Расстояние от плоскости до точки
: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 – плоскость; M(x1,y1,z1) – точка.
Тогда расстояние от точки до плоскости:
M(x1,y1,z1) |A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 |
d d =
(A12 + B12 + C12 )
Знак модуля необходим, поскольку
выражение A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1
может дать отрицательный результат,
а расстояние положительная величина.
4.2.4Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
Даны точки: M1(x1,y1,z1) ; M2(x2,y2,z2) ; M3(x3,y3,z3) ; Все эти точки лежат в одной плоскости.
Пусть M(x,y,z) – некоторая точка этой же плоскости.
Построим три вектора:
M2
M3 M1M = (x-x1 ; y-y1 ; z-z1 )
M1 M1M2 = (x2-x1 ; y2-y1 ; z2-z1 )
M M1M3 = (x3-x1 ; y3-y1 ; z3-z1)
Поскольку все три вектора лежат в одной плоскости, то они компланарны. Так как векторы компланарны, то
M1M * M1M2 * M1M3 = 0
Данное соотношение и определяет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
x-x1 y-y1 z-z1 уравнение плоскости,
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0 проходящей через
x3-x1 y3-y1 z3-z1 3 заданные точки
4.3Прямая линия в пространстве 4.3.1Параметрическое уравнение прямой в пространстве и
каноническое уравнение прямой в пространстве
Рассмотрим в пространстве прямую “l”
l
S M M1(x1,y1,z1) l, S l ,
M1 S = (m,n,p)
Вектор S - направляющий вектор прямой.
П усть M(x,y,z) – некоторая точка прямой. Тогда M1M = (x-x1 ; y-y1 ; z-z1 )
т.к. M1MS , имеем:
(x-x1) / m = (y-y1 ) / n = (z-z1 ) / k = t - каноническое уравнение
прямой в пространстве.
(x-x1) = m*t x = x1 + m*t - параметрические
(y-y1) = n*t ; y = y1 + n*t уравнения/
(z-z1) = k*t z = z1 + k*t
Даны: M1(x1,y1,z1); M2(x2,y2,z2) – принадлежащие прямой l
l
M2
M1
S = M1M2 = (x2-x1 ; y2-y1 ; z2-z1 )
Тогда
(x-x1) / (x2-x1) = (y-y1 ) / (y2-y1) = (z-z1 ) / (z2-z1) - уравнение
прямой, проходящей через
две заданные точки.
4.3.3Прямая, как линия пересечения двух плоскостей
Пусть две плоскости пересекаются по прямой.
И меем : A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0
: A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0
= l – прямая линия
A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 - общее уравнение прямой
l : A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0 в пространстве.
l
N1 S
N2
Если две плоскости пересекаются по одной прямой, то
S = N1 x N2
Направляющий вектор этой прямой линии равен векторному произведению нормальных векторов обоих плоскостей.
4.3.4Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть в пространстве заданы прямые:
(x – x1) (y – y1) (z – z1)
l1: = =
m1 n1 p1
(x – x2) (y – y2) (z – z2)
l2: = =
m2 n2 p2
1 ) l1l2 S1S2 M1M2 m1/m2 = n1/n2 = p1/p2 ,
где M1(x1 ,y1,z1), M2(x2,y2,z2) точки на прямых. Прямые не совпадают, иначе их, строго говоря, нельзя назвать параллельными.
2 ) l1 l2 S1 S2 S1 * S2 = 0 , т.е. m1*m2 + n1*n2 + p1*p2 = 0
= ( l1, l2 ) = (S1, S2)
cos = (S1*S2) / S1 *S2 =
= (m1*m2+n1*n2+p1*p2) / ( ( m12 +n12 +p12) * ( m22 +n22 +p22) )
4.3.6Угол между прямой и плоскостью.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть дана прямая l и плоскость
(x – x1) (y – y1) (z – z1)
l: = =
m n p = ( , l )
: A*x + B*y + C*z + D = 0 (900-) = (N, S )
cos(900 - ) = sin = |A*m+B*n+C*p| / (( A2 +B2 +C2) * ( m2 +n2 +p2) ) ,
где N = (A, B, C), S = (m,n,p)
Знак модуля позволяет распространить выражение на случай тупого угла.
Пусть прямая l параллельна плоскости :
l N S N *S = A*m + B*n + C*p = 0
A*x1 +B*y1 +C*z1 +D 0
N M1(x1 ,y1,z1) – точка на прямой.
Второе условие исключает вариант
расположения прямой на плоскости.
l Точка M1(x1 ,y1,z1) не принадлежит
плоскости. Прямая не в плоскости.
S
2 ) Пусть прямая l перпендикулярна плоскости : l NS
l
N NS A/m = B/n = C/p
S
4.4Кривые второго порядка на плоскости
Определение: Окружностью называют множество точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой центром, на заданное расстояние, называемое радиусом окружности.
Y
R (x – a)2 + (y – b)2 = R2 - уравнение окружности
a O
где O(a,b) – координаты центра окружности.
0 b X R - радиус окружности.
Определение: Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
Уравнение эллипса: x2/a2 + y2/b2 = 1
Y
B1 b M A1, A2, B1, B2 – вершины эллипса
A1 F1 F2 A2 X отрезок A1A2 – большая ось эллипса.
-a -c O +c a OA2 – большая полуось эллипса.
B2 -b B1B2 –малая ось эллипса
OВ1 – малая полуось эллипса.
F1, F2 – фокусы эллипса.
F1M, F2M – фокальные радиусы.
По определению F1M + F2M = 2*a > F1F2 = 2*c
2*a > 2*c
b2 = a2 – c2
c = F1F2 / 2
Эксцентриситетом эллипса называют отношение величины с к величине а = c/a < 1
Определение: Гиперболой называют множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до 2-х заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
x2 y2
= 1 - уравнение гиперболы.
a2 b2
Y
M
-a B1 a A1, A2 – вершины гиперболы
F1 b F2 A1A2 - действительная ось
A1 A2 X гиперболы
B2 b B1B2 - мнимая ось гиперболы.
F1, F2 - фокусы гиперболы.
F1M – F2M = 2*a < F1F2 = 2*c ,
b2 = c2 – a2 , эксцентриситет = c/a > 1
Определение: Параболой называют множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от некоторой точки, называемой фокусом и от заданной прямой, называемой директрисой.
Y
FM = FN
F(p/2,0) – фокус параболы
x = -p/2 –директриса
p/2 0 F X Уравнение параболы:
+ p/2
y2 = 2*p*x ,
N M
где p – параметр параболы.
СОДЕРЖАНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 3
1.1 Множества чисел и их обозначения 3
1.2 Основные операции над множествами 4
1.3 Логические символы 4
1.4 Специальные математические символы 4
2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 5
2.1 Определители и их свойства 5
2.2 Свойства определителей 6
2.3 Матрицы и их свойства 9
2.4 Операции над матрицами 9
2.5 Экономическая интерпретация действий над матрицами 12
2.6 Системы линейных уравнений 12
2.7 Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера 13
2.8 Решение систем линейных уравнений матричным способом 14
2.9 Линейные системы общего вида 15
2.10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 18
2.11 Экономическая интерпретация систем линейных уравнений 20
3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 21
3.1 Основные понятия 21
3.2 Действия над векторами 22
3.3 Свойства действий над векторами 22
3.4 Проекция вектора на ось 23
3.5 Координаты точки на числовой оси, на плоскости и в пространстве 23
3.6 Теоремы о проекции вектора на ось 24
3.7 Длина вектора. Направляющие косинусы вектора 26
3.8 Понятие базиса. Разложение вектора по базису 26
3.9 Скалярное произведение векторов 27
3.9.1 Свойства скалярного произведения. 27
3.9.2 Следствия из свойств скалярного произведения. 28
3.9.3 Скалярные произведения векторов через координаты 28
3.10 Векторное произведение двух векторов 28
3.11 Смешанное произведение векторов 29
3.11.1 Свойства смешанного произведения 30
3.12 Геометрический смысл смешанного произведения векторов 31
3.13 N-мерные векторы 32
3.14 Линейная зависимость (независимость) системы векторов 32
3.15 Разложение вектора по некоторому базису 33
4. ЭЛЕМЕНТЫ аналитическОЙ геометриИ 33
4.1 Прямая линия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости 33
4.1.1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом 34
4.1.2 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 34
4.1.3 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, если y1=y2 35
4.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, если x1=x2 35
4.1.5 Угол между двумя прямыми 35
4.1.6 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 35
4.1.7 Общее уравнение прямой 36
4.1.8 Частные случаи общего уравнения прямой 36
4.1.9 Уравнение прямой на плоскости в отрезках 36
4.1.10 Расстояние от точки до прямой 36
4.2 Уравнение плоскости в пространстве 37
4.2.1 Угол между плоскостями 37
4.2.2 Условия параллельности и перпендикулярности 2-х плоскостей 38
4.2.3 Расстояние от плоскости до точки 38
4.2.4 Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. 38
4.3 Прямая линия в пространстве 39
4.3.1 Параметрическое уравнение прямой в пространстве и каноническое уравнение прямой в пространстве 39
4.3.2 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки 39
4.3.3 Прямая, как линия пересечения двух плоскостей 39
4.3.4 Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 40
4.3.5 Угол между двумя прямыми 40
4.3.6 Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости 41
4.4 Кривые второго порядка на плоскости 41
|
Скачать 0.51 Mb.