1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния
 Скачать 4.71 Mb.
|
|
VIII Системам автоматического управления присущи статическая и динамическая ошибки. Статической ошибкой называется установившееся значение разности между заданным и конечным значениями управляемого параметра при постоянном значении задающего или возмущающего воздействия. Динамической ошибкой называется значение разности между заданным и текущим значениями управляемого сигнала. Величины статических и динамических ошибок управления в большей степени зависят от структуры управляющего устройства, определяющего так называемый закон управления. Система, у которой статическая ошибка не равна нулю, называется статической, а с нулевой статической ошибкой – астатической. Статизм и астатизм САУ определяется относительно задающего и возмущающего воздействия. В одной и той же САУ эти свойства могут совпадать или не совпадать, Параметры САУ обусловлены свойствами отдельных ее элементов (например, инерционностью, коэффициентом усиления, трения и т.д.) Параметры системы могут быть постоянными и переменными, в том случае, когда параметры постоянны или изменяются по линейному закону, САУ называется линейной системой, в противном случае – нелинейной системой. Ни в какой реальной САУ параметры никогда не бывают постоянными или изменяющимися по линейному закону, но часть их можно считать таковыми с большей или меньшей степенью точности. 2. Основы теории автоматического управления, декомпозиция систем управления. 2.1. Методы описания процессов в САУ 2.2. Описание процессов с помощью дифференциальных уравнений. 2.2. Передаточная функция 2.4. Временные характеристики (переходная характеристика (функция)) 2.5. Частотные характеристики (комплексный коэффициент передачи (ККП)). Основы математического моделирования. Установившиеся и динамические процессы в технических системах. Понятие состояния, уравнения состояния линейных моделей динамических систем. Дифференциальные уравнения типовых управляемых процессов и технических объектов. Методы операционного исчисления для их анализа и синтеза. Динамические характеристики объектов управления: передаточная функция, переходная характеристика, функция веса. Частотные характеристики САУ. 2.1 Методы описания процессов в САУ В теории автоматического управления рассматривают математическую модель САУ, т. е. модель, которая получается в результате математического описания системы. Для получения математического описания САУ обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности, для получения уравнений САУ составляют уравнения каждого входящего в него элемента. Совокупность полученных уравнений и дает аналитическое описание САУ. При получении математического описания исходят из противоречивых требований. С одной стороны, математическая модель должна как можно полнее отражать свойства оригинала, а с другой стороны, быть по возможности простой, чтобы не усложнять исследование. Для аналитического исследования процессов, происходящих в САУ, составляющие ее элементы целесообразно разделять по виду их статических и динамических характеристик, что существенно упрощает исследование, расчет и проектирование. Элементы САУ — элементарные ячейки, из которых строится система и свойства которых определяют поведение САУ в целом. При анализе и синтезе САУ все элементы систем разделяют не по функциональному или конструктивному признаку, а по динамическим свойствам элементов. Это дает возможность разные элементы, имеющие различные принципы действия и конструктивные решения, описывать одинаковыми уравнениями. Элементы, которые рассматривают с точки зрения их динамических свойств, называют типовыми динамическими звеньями. В энергетическом отношении каждое звено является преобразователем энергии. Общим свойством всех звеньев САУ является однонаправленность их действия, т. е. сигнал в любом звене проходит только от входа к выходу и, следовательно, сигнал на выходе звена не оказывает никакого воздействия на сигнал на входе. Структура САУ — совокупность звеньев и связей между ними. Для анализа работы САУ необходимо иметь зависимости, связывающие входные и выходные сигналы звеньев. При функционировании любой САУ следует выделять два режима: режим невозмущенного движения (равновесное состояние) — установившийся режим; режим возмущенного движения — динамический режим. Статика систем автоматического управления. Статические характеристики звена или системы устанавливают связь между входными и выходными параметрами в установившемся режиме. Статика САУ определяет характеристики установившихся состояний у = f(х). Эта зависимость может быть как линейной, так и нелинейной. Большинство реальных статических характеристик нелинейно. Однако, рассматривая относительно небольшие участки характеристик, связывающих вход и выход в нелинейных элементах, можно считать, что приращения на входе и выходе могут, описываться линейными уравнениями, т. е. эту связь можно линеаризовать, что обычно на практике при анализе и синтезе САУ и имеет место. Связь между входной и выходной величиной можно задать: передаточным коэффициентом — отношением выходной величины к входной в установившемся режиме К = y/x; в форме графиков с помощью статических характеристик, представляющих собой графическое изображение аналитических зависимостей, существующих между входной и выходной величиной; уравнением статики, т. е. некоторой аналитической зависимостью y = f (x). Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую физическую природу, т. е. одинаковые размерности, то коэффициент К размерности не имеет и его называют коэффи- циентом усиления. При разных размерностях входной и выходной величин передаточный коэффициент звена имеет размерность. Примером может служить потенциометрический датчик, представляющий собой реостат, включенный по схеме делителя напряжения (рис. 2.1). Из закона Ома следует: R UR IR U x x вых Предположим, что намотка датчика выполнена равномерно и R проволоки на единицу длины постоянно, тогда l x R R x или x K l Ux U вых , где l U K / — передаточный коэффициент, В/мм . Применительно к датчику коэффициент К называют также чувствительностью. Чем больше К, тем больше выходной сигнал звена при таком же изменении входной величины и тем меньше нужно будет усиливать выходной сигнал до требуемого значения. Методы расчета в установившемся режиме решают две основные задачи: 1) согласование диапазонов изменения координат в элементах системы управления с диапазоном изменения координат объекта управления; 2) определение коэффициента усиления устройства управления на основе заданной статической точности управления. Рис. 2.1. Потенциометрический датчик: а - функциональная схема: I - сила тока, протекающего по датчику; R x — сопротивление введенной части датчика; U — напряжение питания; R — полное сопротивление датчика; б — статическая характеристика Динамический режим. В реальных САУ сигналы от звеньев имеют непостоянный характер и, как правило, меняются во времени. Для звеньев, составляющих САУ, основным режимом работы является режим, при котором входная и выходная вели- чины не остаются постоянными. Такой режим называют динамическим (рис. 2.2). Для работы звена или системы в динамическом режиме используют динамические характеристики и параметры. Переходный процесс звена или системы характеризуется переходной характеристикой, под которой понимается зависимость выходной величины от времени t. Рис. 2.2. Переходный процесс (динамические характеристики): y — область допустимых отклонений от заданного значения в установившемся режиме; t п — время переходного процесса Следовательно: Для характеристики систем автоматического управления очень важно знать не только связь между выходными и входными сигналами в установившемся режиме, но и их зависимость в неустановившемся режиме, называемом динамическим. Такой режим описывается дифференциальными, интегральными или интегрально-дифференциальными уравнениями. Основными задачами исследования систем в динамике являются: постановка задачи управления, т. е. формулирование цели управления и критериев качества управления; математическое описание процессов, протекающих в объектах управления, т. е. определение операторов связи между входной и выходной координатами; синтез структуры устройства управления с определением параметров на основе заданных показателей качества управления; анализ и оценка функционирования системы при за- данных условиях. Для описания динамических процессов в теории автоматического управления используют один из двух путей: 1. Получение системы дифференциальных уравнений на основе аналитического анализа процессов (физических, механических и др.) или экспериментальным путем. 2. Получение косвенных оценок динамических процессов, к которым относятся передаточные функции, временные характеристики, частотные характеристики. 2.2 Описание процессов с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются основным математическим аппаратом линейных детерминированных систем. Совокупность дифференциальных уравнений полностью описывают поведение системы в динамическом режиме. Дифференциальные уравнения – это уравнения динамики. Математическое описание динамики САУ обычно производится путем составления системы дифференциальных (иногда интегро-дифференциальных) уравнений. Строго говоря, любая реальная динамическая система является нелинейной. Однако большинство непрерывных систем управления могут быть линеаризованы, т. е. заменены приближенно эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Такие системы управления принято называть линейными. Линеаризация исходных систем основывается на методе малых отклонений. Сущность этого метода заключается в том, что динамические свойства системы управления исследуются не во всем возможном диапазоне изменения переменных систем, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы (например, установившимся режимам). Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Имеется емкость (рис. 2.3), в которую непрерывно поступает и вытекает жидкость. При равенстве поступления и истечения жидкости в единицу времени ее уровень h в емкости будет постоянным. В случае изменения величины поступления жидкости уровень ее в емкости также изменится, что повлечет за собой изменение расхода жидкости. С течением времени равенство между объемами поступления и истечения жидкости снова установится. Но этому новому установившемуся состоянию будет соответствовать другое постоянное значение уровня жидкости в емкости. Вышесказанное выразим в математической форме. Предположим, что в момент времени t существовало равенство 1 1 И П Q Q , где Q П — количество поступаемой жидкости в единицу времени; Q И — расход жидкости в единицу времени. В качестве примера рассмотрим аналитическую процедуру получения передаточной функции бака с жидкостью (Рис. 2.3). Рис. 2.3 Объект управления - бак с жидкостью. В баке будет осуществляться стабилизация уровня жидкости на номинальном значении . Регулирование притока осуществляется через верхнюю трубу. Слив жидкости идет через нижнюю трубу через установленный на ней клапан Степень открытия клапана α может изменяться от 0 до 1, устанавливая тем самым нужную величину стока. Площадь сечения бака S. Очевидно, что в установившемся режиме работы приток равен стоку Таким образом, управляющей величиной является приток жидкости, управляемой - величина уровня, а главным возмущением - изменение величины степени открытия клапана Пусть приток жидкости в бак увеличился на . В это случае текущее значение притока будет равно . Тогда за время уровень возрастет на величину и составит . Очевидно, что количество жидкости накопленной во времени должно равняться количеству жидкости накопленной в объеме. Отсюда следует уравнение материального баланса Для анализа изменения уровня преобразуем это уравнение к виду (2.1) Из физики известно, что величина стока связана с уровнем соотношением (2.2) Эта зависимость носит нелинейный характер. Для получения линейного дифференциального уравнения объекта и его передаточной функции необходимо произвести линеаризацию нелинейности в окрестности рабочей точки регулирования. Такой подход справедлив, т.к. при использовании регулятора стабилизации, отклонения текущего значения уровня от заданного будут малыми. Для линеаризации необходимо разложить функцию (2.2) в ряд Тейлора и отбросить все нелинейные члены. Проделав это, получим С учетом этой зависимости уравнение (2.1) примет вид Беря предел, при , произведя замену переменных , и учитывая, что получим дифференциальное уравнение объекта (2.3) Известно, что инерционное звено первого порядка с коэффициентом усиления и постоянной времени описывается дифференциальным уравнением (2.4) Тогда, из сравнения формул (2.3) и (2.4) получим следующие выражения для постоянной времени и коэффициента усиления бака с жидкостью Систему автоматического управления можно представить в виде соединения звеньев. Для анализа работы САУ необходимо иметь зависимости, связывающие входные и выходные сигналы звеньев. Эти зависимости определяются с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение элемента регулирующей системы в общем случае имеет вид (рассмотрим простейший случай линейного звена непрерывного действия, у которого все процессы описываются с помощью линейных дифференциальных уравнений, связь между выходной ( y ) и входной ( x ) величинами линейного звена или линейной системы выражается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами) : x b dt dx b dt x d b dt x d b y a dt dy a dt y d a dt y d a m m m m m m n n n n n n 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 , (2.5) где y(t) – выходная величина элемента; x(t) – входная величина элемента; a n , a n-1 , …, a 1 , a 0 , b m , b m-1 , …, b 1 , b 0 – постоянные коэффициенты, определяемые особенностями и параметрами настройки элемента. Процессы в линейной системе описываются линейными дифференциальными уравнениями (2.5). Левая часть уравнения характеризует саму систему, так как в нее входит - регулируемая (управляемая) величина или отклонение регулируемой величины от заданного значения, а правая часть определяется возмущением Для описания свойств звеньев более удобно пользоваться не непосредственно дифференциальными уравнениями, а следующими коэффициентами или функциями, вытекающими из уравнения (2.1) и также полно определяющими связь между входной и выходной величинами звеньев: передаточной функцией; переходной характеристикой (функцией); комплексным коэффициентом передачи (ККП). 2.3 Передаточная функция Для определения передаточной и переходной функций звена наиболее целесообразно использовать преобразование Лапласа, которое основано на двух следующих формулах: - прямого преобразования Лапласа ( 2.6) - обратного преобразования Лапласа ( 2.7) Здесь - обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа. Преобразованная по Лапласу величина называется изображением и обозначается через соответственно для входной и выходной величин. Под " " подразумевается комплексная частота . Если , преобразование Лапласа превращается в его частный случай - преобразование Фурье. В справочниках по математике имеются таблицы преобразования Лапласа для различных функций, встречающихся в практических задачах. Основные формулы из этих таблиц приведены в прил. 1. Передаточной функцией линейного звена называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях, т.е. при отсутствии запаса энергии в звене : (2.8) Рассматривая линейное дифференциальное уравнение (2.1) и находя изображение для левой и правой частей уравнения, получаем (2.9) Отсюда (2.10) 2.4 Временные характеристики ( переходная характеристика (функция)) Переходная или временная характеристика (функция) звена представляет собой реакцию на выходе звена , вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия (2.11) Изображение этой функции (2.12) Поэтому в соответствии с (2.4) получаем (2.13) Переходя от изображения к оригиналу, определяем выражение для переходной характеристики (2.14) Это выражение подчеркивает наличие однозначной связи между переходной и передаточной функциями. Переход от передаточной функции к комплексному коэффициенту передачи (ККП) осуществляется заменой на в выражении передаточной функции. 2.5 Частотные характеристики (комплексным коэффициентом передачи (ККП)). Под ККП звена понимается отношение комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала: ( 2.15) где модуль ККП равен отношению амплитуд выходного и входного сигналов для данного значения частоты (амплитудно-частотная характеристика) ( 2.16) аргумент ККП равен разности фаз этих же сигналов (фазочастотная характеристика) ( 2.16) Комплексный коэффициент передачи может быть представлен в виде суммы действительной (Re) и мнимой (Jm) составляющих: ( 2.16) Имея ККП, можно построить амплитудно-фазовую характеристику звена. Для этого в выражениях (2.9) или (2.12) следует изменять частоту от нуля до бесконечности и построить на комплексной плоскости годограф вектора ККП (рис.2.4), называемый амплитудно-фазовой характеристикой Рисунок 2.4 – Амплитудно-фазовая характеристика звена Между , , и существует связь (рис.2.4): ; (2.17) ; (2.18) ; (2.19) (2.20) |