1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния
 Скачать 4.71 Mb.
|
|
4.1.5 Частотные критерии устойчивости Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, т. к., во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции разомкнутой системы W(p); во-вторых, анализ устойчивости можно выполнить и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в третьих, с помощью частотных характеристик можно судить о качестве переходных процессов в системах. 4.1.6 Критерий устойчивости Михайлова В 1938 г. советский ученый А. В. Михайлов предложил графический критерий устойчивости, суть которого заключается в следующем. Критерий позволяет судить об устойчивости системы регулирования по характеру поведения годографа ее характеристического уравнения. Если характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид 0 1 1 1 0 n n n n С p С p С p С (4.1.9) Из характеристического многочлена D(р), представляющего собой левую часть уравнения (4.1.9) , получим функцию мнимого аргумента. Для этого, представив левую часть этого уравнения в виде функции от р: n n n n С p С p С p С p D 1 1 1 0 ) ( (4.1.10) и заменив операторное число р на j , где 1 j – мнимая единица, получим уравнение комплексного вектора n n n n С j С j С j С j D ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 0 (4.1.11) В геометрической интерпретации ) ( j D представляет собой вектор в плоскости комплексного переменного. При изменении угловой частоты колебаний вектор ) ( j D поворачивается относительно начала координат, меняя при этом свою длину. Кривая, описываемая концом вектора на комплексной плоскости при изменении угловой частоты колебаний от нуля до бесконечности ) ( j D , называется годографом характеристического уравнения (эта кривая называется кривой Михайлова). Для построения кривой Михайлова необходимо выделить действительную и мнимую части ) ( j D : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j e A V j U j D , где вещественная частотная часть содержит четные степени ) ( 6 6 4 4 2 2 n n n n С С С С U , (4.1.12) а мнимая – нечетные ) ( 7 7 5 5 3 3 1 n n n n С С С С V (4.1.13) Далее, задаваясь разными значениями , , 3 2 1 по формулам (4.1.12) и (4.1.13) вычислим координаты точек годографа. При функция ) ( j D тоже неограниченно возрастает. Критерий Михайлова формируется следующим образом. Система n-го порядка будет устойчива, если годограф ) ( j D , начинаясь на действительной положительной оси, огибает, против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов. Для устойчивых САУ кривая Михайлова всегда имеет плавную спиралевидную форму, уходящую в бесконечность в квадранте комплексной плоскости, номер которого соответствует степени характеристического уравнения. Больше, чем n квадрантов, кривая Михайлова вообще не может пройти. Неустойчивость системы всегда связана с нарушением последовательного обхода квадрантов кривой Михайлова. Вывод. Система автоматического регулирования, имеющая характе- ристический многочлен D(р), будет устойчива, т. е. чтобы все корни характеристического уравнения C 0 p n + C 1 p n-1 + ... + C n-1 p + C n = 0: имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический многочлен D(p) полное приращение его фазы при изменении от 0 до составляло nπ/2, где: n – степень многочлена D(p). Если полное приращение ) ( меньше n, — система неустойчива. Это значит, что часть корней D(р) лежит справа от мнимой оси. В этом случае полное приращение фазы ) ( 2 ) 2 ( 2 2 ) ( ) ( k n k k n , где k — количество корней, лежащих справа от мнимой оси. Свойства годографа Михайлова Годограф всегда спиралевиден. При =0, будетV=0, следовательно годограф начинается с точки на оси "+1". Поскольку при W(jω)→0 (нет безинерционных систем), годограф уходит в бесконечность. При четном n, годограф стремится к параллельно оси "+1"; при нечетном n, годограф стремится к параллельно оси "+j". Определение типа границы устойчивости по виду годографа Михайлова Условием нахождения САУ на границе устойчивости является прохождение кривой Михайлова через начало координат (рис. 4.1.4). Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, т.е. свободный член этого уравнения C n =0, то начало кривой Михайлова будет в начале координат. В случае получения в решении уравнения чисто мнимых корней кривая Михайлова будет соответствовать кривой 3 (рис. 4.1.4). Последнее обозначает наличие в САУ незатухающих колебаний с частотой ω 0 , т.е. нахождение этой системы на границе устойчивости. Незначительные изменения параметров системы могут сделать ее либо устойчивой, либо неустойчивой. Рисунок 4.1.4 – Определение типа границы устойчивости по виду годографа Михайлова: 1. Астатизм первого порядка – "апериодическая" граница устойчивости. 2. Астатизм второго порядка – "апериодическая" граница устойчивости. 3. "Колебательная" граница устойчивости. 4. Граница устойчивости типа "бесконечный корень". 4.1.7 Критерий устойчивости Найквиста. В отличие от рассмотренных выше критериев, в которых в качестве исходных данных использовалось характеристическое уравнение замкнутой системы, критерии Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно- фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии. Критерий Найквиста вытекает из формулы связи передаточных функций замкнутой и разомкнутой систем и критерия А. В. Михайлова. Пусть передаточная функция разомкнутой системы W(p), тогда передаточную функцию замкнутой системы запишем Для исследования замкнутой системы на устойчивость при применении критерия Найквиста эту систему разрывают в какой-либо точке соединения направленных звеньев. При этом замкнутая система превращается в разомкнутую. Рисунок 4.1.5 – Годограф разомкнутой системы Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: если в системе, устойчивой в разомкнутом состоянии, годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывает точку с координатами (-1,j0), то эта система будет устойчива и в замкнутом состоянии (кривая 1 на рис. 4.4.5); если же годограф охватывает эту точку, то в замкнутом состоянии система будет неустойчивой (кривая 2 на рис. 4.4.5). Для построения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы необходимо иметь выражение ее комплексного коэффициента передачи. Если разомкнутая система не устойчива, то замкнутая система может быть устойчивой, при анализе на устойчивость следует применить полную формулировку критерия Найквиста: Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от - до + годограф разомкнутой системы W(jω) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jω) (характеристическое уравнение разомкнутой системы). Примечания: 1. Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(jω) не должен охватить точку (-1, j0). 2. Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот. 3. Годограф W(jω) всегда начинается на оси "+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(jω) к (при ω→0), видимая часть годографа появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке. Свойства годографа Найквиста 1. Годограф Найквиста спиралевиден. 2. При годограф W(jω)→0, т.к. нет безинерционных систем. 3. Годограф статических САР начинается из точки на вещественной оси. 4. Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально симметричны относительно оси "+1". 5. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению годографа в и приращению его фазы на -180°. Рисунок 4.1.6 – Примеры годографов Найквиста статических САР: 1. САР на колебательной границе устойчивости. 2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K). 3. Неустойчивая САР. 4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне). Рисунок 4.1.7 – Примеры годографов Найквиста астатических САР и САР с чисто мнимыми корнями: 1. Устойчивая САР с астатизмом первого порядка. 2. Устойчивая САР с астатизмом второго порядка. 3. Устойчивая САР с астатизмом третьего порядка. 4. Неустойчивая САР с консервативным звеном. 5. Устойчивая САР с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном). 4.1.8 Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам В инженерной практике широкое применение получил способ устойчивости САУ по логарифмическим частотным характеристикам (ЛЧХ). В основу этого способа положен критерий Найквиста, но строится при этом не амплитудно-фазовая характеристика (рис. 4.1.5), а логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). Критерий устойчивости основанный на рассмотрении ЛАЧХ, формулируется следующим образом. Если разомкнутая САУ устойчива, то для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы во всех областях положительных ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики ) ( через линию -180 градусов равнялась нулю. Рассмотрим примеры логарифмических характеристик устойчивой и неустойчивой систем. Система будет абсолютно устойчива, если точка а пересечения ЛАЧХ с осью частот лежит левее точки b в которой фазовый сдвиг достигает значения -180° (рис. 4.1.8) На рисунке 4.1.8 изображен случай неустойчивой системы (точка а лежит правее точки b). Если же ЛАЧХ и ЛФЧХ пересекаются в одной точке а, то система находится на границе устойчивости (рис. 4.1.8). Значение фазы имеющее место при пересечении амплитудной характеристики ) ( L оси частот (точка а на рис. 4.1.8), определяет запас устойчивости по фазе Значение амплитуды, имеющее место при пересечении фазовой характеристики ) ( линии -180° (точка b на рис. 4.1.8), определяет запас устойчивости по амплитуде В большинстве случаев для нормальной работы САУ запас устойчивости по фазе составляет от 30° до 60° , а запас по амплитуде от 6 до 20 дБ. При оценке устойчивости может считаться достаточным если отрезок характеристики, пересекающий ось частот с наклоном 20 дБ на декаду охватывает область не менее 0,75 декады. Рисунок 4.1.8 – Л огарифмические частотные характеристики 5.1 Статические и динамические характеристики объектов управления. Математические модели динамических объектов управления. Общие свойства объектов регулирования. Основные типы объектов автоматического регулирования. 5.1.1. Классификация промышленных объектов управления 5.1.2. Методы получения математического описания 5.1.3. Методы экспериментального определения динамических характеристик объектов управления 5.1.1. Классификация промышленных объектов управления По характеру протекания технологических процессов объекты управления делятся на циклические, непрерывно-циклические и непрерывные. Локальные системы управле- ния наиболее широко применяются для управления объектами второго и третьего типов. По характеру установившегося значения выходной величины объекта при действии на его вход ступенчатого сигнала выделяют объекты с самовыравниванием и без самовы- равнивания. По количеству входных и выходных величин и их взаимосвязи объекты делятся не одномерные (один вход и один выход) и многомерные. Последние могут быть многосвяз- ными - когда наблюдается взаимное влияние каналов регулирования друг на друга, либо несвязные - взаимосвязь между каналами которых мала. Статические характеристики объекта управления устанавливают связь между уста- новившимися значениями входа и выхода объекта. По виду статических характеристик объекты делятся на линейные и нелинейные. В последних статическая характеристика мо- жет быть гладкой, линеаризуемой в окрестности заданной точки, либо носить существен- но нелинейный характер. При наличии в объекте нескольких нелинейностей, графическим методом определяется его суммарная нелинейная характеристика. Большинство систем регулирования относиться к классу систем автоматической стабилизации режима работы объекта относительно его рабочей точки (относительно номинального режима работы). В этом случае в процессе работы отклонения переменных, относительно рабочей точки бу- дут малы, что позволяет использовать линейные модели объекта управления. Однако, при смене рабочей точки происходит изменение коэффициента усиления объекта, что будет негативно влиять на динамику замкнутой системы. Для системы автоматической стабилизации не обязательно определение полной статической характеристики объекта. Достаточно знать лишь динамический коэффициент усиления в окрестности рабочей точки. В тоже время на некоторых объектах управления необходимо знание всей статической характеристики процесса. Если она носит нелиней- ный характер, то с целью стабилизации общего коэффициента усиления системы, в замк- нутый контур включают дополнительную нелинейность, обратную статической характе- ристике объекта. На практике такой подход реализуется путем использования регули- рующих клапанов с различными видами расходной характеристики. Реальные объекты занимают в пространстве какой-либо объем, поэтому регули- руемая величина зависит не только от времени, но и от текущих координат точки измере- ния. Поэтому полное описание объекта управления будет состоять из системы дифферен- циальных уравнений с частными производными. При использовании точечного метода измерения одним датчиком, система дифференциальных уравнений с частными производ- ными переходит в систему уравнений с обычными производными. Это существенно уп- рощает построение математической модели объекта, позволяя определить его передаточ- ную функцию. Однако при наличии множества датчиков, распределенных например по длине объекта, может возникнуть необходимость использования множества управляющих сигналов (распределенное управление). Объекты могут быть как стационарные и так и нестационарные. В нестационарных объектах параметры изменяются с течением времени (дрейфуют). Примерами таких объ- ектов могут быть химический реактор с катализатором, активность которого падает с те- чением времени, или аэрокосмический аппарат, масса которого по мере выгорания топли- ва уменьшается. Такие явления должны учитываться при проектирование соответствую- щих систем управления. В зависимости от интенсивности случайных возмущений действующих на объект, они делятся на стохастические и детерминированные. В реальных условиях часто точно неизвестны ни точка приложения возмущения F, ни его характер (Рис. 5.1.1). Рис. 5.1.1. Внешние возмущения в объектах управления. Известно, что лишь при наличии достаточно точной математической модели объ- екта можно спроектировать высококачественную систему управления этим объектом. Причем, согласно принципу Эшби, сложность управляющего устройства должна быть не ниже сложности объекта управления. Поэтому основной целью построения математической модели объекта управления является определение структуры объекта, его статических и динамических характеристик. Особенно важно определение структуры для многомерных и многосвязных объектов управления. В тоже время для локальных объектов управления определение структуры может быть сведено к определению порядка дифференциального уравнения описывающе- го объект. Кроме того, оцениваются входные сигналы и возмущения действующие на объ- ект (их статистические характеристики, точки приложения, максимальные амплитуды). Значение этих характеристик позволяет выбрать структуру регулятора и рассчитать пара- метры его настройки, ориентируясь также на критерий качества работы этой системы. Наряду с динамической частью W(p) в структуре объекта могут содержаться раз- личные запаздывания в сигналах управления, измерения и состояния (рецикла) (Рис. 5.1.2). Рис. 5.1.2. Объект управления с запаздыванием. В промышленных объектах под рециклом понимается возврат части продукта с вы- хода объекта на его вход с целью повторной переработки. Большинство промышленных объектов управления имеют запаздывания. Наличие запаздывания объясняется конечной скоростью распространения потоков информации в технологических объектах (транс- портное запаздывание). Наряду с этим при понижении порядка модели объекта вводят до- полнительное динамическое запаздывание. Для этого выделяют одну наибольшую посто- янную времени, а все остальные малые постоянные времени заменяют звеном динамиче- ского запаздывания. |