1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния

• Название: 1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 4.71 Mb.
• Имя файла: Metod_SUHTP_280302_2017.pdf
• Тип: Документы; #816961
• страница: 6 из 27

4.3.2 Чувствительность САУ
Чувствительность САУ характеризует влияние изменений параметров элементов на их свойства. Вариация элементов автоматической системы приводит к изменению передаточной функции замкнутой автоматической системы, а значит в итоге, и изменению величин, характеризующих ее состояние.
Для количественного учета всех этих изменений служат функции чувствительности
,
(4.3.11)
где
,
- передаточные функции замкнутой системы и варьируемого элемента (звена) соответственно.
Используют также логарифмическую функцию чувствительности или просто чувствительность передаточной функции замкнутой системы по передаточной функции варьируемого элемента
, определяемую так:
(4.3.12)

Чувствительность представляет собой отношение относительных изменений передаточной функции замкнутой системы и передаточной функции изменяемого элемента.
Чем меньше чувствительность или функция чувствительности
, тем меньше влияние передаточной функции рассматриваемого звена на свойства автоматической системы. Говоря об уменьшении или увеличении чувствительности, всегда подразумевают уменьшение или увеличение ее модуля.
Итак, чем меньше чувствительность САУ, тем система более высококачественна.

4. Анализ автоматической системы регулирования
4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ
4.1.1. Математический признак устойчивости
4.1.2. Критерии оценки устойчивости линейных САУ
4.1.3. Алгебраический критерий Гурвица.
4.1.4. Критерий Рауса.
4.1.5.Частотные критерии устойчивости
4.1.6. Критерий устойчивости Михайлова
4.1.7. Критерий устойчивости Найквиста.
4.1.8. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
4.1.1 Математический признак устойчивости
САУ, как любая динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении ее равновесия каким-либо воздействием (могут быть сигналы управления, настройки, помехи и т. д.).
Переходный процесс у(t) зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе всегда следует различать две составляющие:
у
C
(t)
—
свободные движения системы, определяемые начальными условиями и свойствами самой системы; у
В
(t) — вынужденные движения, определяемые возмущающим воздействием и свойствами системы,
т. е.
)
(
)
(
)
(
t
y
t
y
t
y
В
C


Чтобы САУ могла правильно реагировать на сигнал управления,
настройки или изменения нагрузки, в переходном процессе свободная
составляющая с. течением времени должна стремиться к нулю, т. е.
0
)
(
lim



t
y
C
t
, так как характер свободного движения системы определяет
ее устойчивость или неустойчивость.
Понятие
устойчивости
системы
регулирования
связано
с
ее
способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения
внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения
САР:

невозмущенное движение,

возмущенное движение.
Определение устойчивости по М. Я. Ляпунову
Невозмущенное движение (при
0



i
x
) называется устойчивым по отношению к переменным x
i
, если при всяком заданном положительном числе
A
2
, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число

2
(A
2
) так, что для всех возмущений
0
i
x

, удовлетворяющих условию:




n
i
i
i
x
0 2
2 0
2


,
возмущенное движение будет для времени
t
 T удовлетворять неравенству:




n
i
i
i
A
x
0 2
2 2

,
где:

i
- коэффициенты, уравновешивающие размерности величин
0
i
x

Если с течением времени lim
x
i
→0, то система ассимптотически устойчива.
Возможные виды кривых переходного процесса свободной соста- вляющей у
C
(t) приведены на рис. 4.1.1.
Рис. 4.1.1 – Виды кривых переходных процессов:
а — устойчивой САУ;
в —неустойчивой САУ
При аналитическом исследовании динамических свойств системы

автоматического регулирования необходимо найти ее дифференциальное уравнение и затем его проинтегрировать, т. е. найти закон изменения во времени интересующей величины у(t).
Понятие о характеристическом уравнении
Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой системы, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи)
заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать цепь преобразования энергии (систему) не учитывая источников. Поэтому в правой части динамических дифференциальных уравнениях
(ДУ)
описывающих систему всегда будут присутствовать источники движущих сил
(вспомните, как записываются уравнения по II закону Кирхгофа). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно этот переходной процесс определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил,
называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.
Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной системы автоматического регулирования.
x
b
dt
dx
b
dt
x
d
b
dt
x
d
b
y
a
dt
dy
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0 1
1 1
1 0
1 1
1 1















(4.1.1.)
В соответствии с определением устойчивости системы она характеризуется свободными движениями системы. Так как свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением, т. е. уравнением правая часть которого равна нулю, то,
следовательно, для определения устойчивости системы и надлежит исследовать такое однородное уравнение.

Уравнение свободного движения линейной
САУ, разрешенное относительно исследуемой величины (обычно относительно отклонения регулируемого параметра от заданного значения), можно записать так:
0 0
1 1
1 1








С
С
n
С
n
n
n
С
n
n
y
a
dt
dy
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
(4.1.2)
где
a
0
,
a
1
a
п
—
постоянные коэффициенты, определяемые параметрами САУ.
Устойчивость системы может быть определена в результате решения однородного дифференциального уравнения системы.
Применим преобразование Лапласа к ДУ и запишем характеристическое уравнение в алгебраическом виде
В операторной форме это уравнение имеет вид
0
)
(
)
(
0 1
1 1








p
Y
a
p
a
p
a
p
a
n
n
n
n
(4.1.3)
Отсюда характеристическое уравнение имеет вид
0 0
1 1
1







a
p
a
p
a
p
a
n
n
n
n
(4.1.4)
Общий вид решения однородного дифференциального уравнения:




n
i
t
p
i
С
i
e
A
t
y
1
)
(
(4.1.5)
где p
i
– корни характеристического уравнения (4.1.4);
A
i
–
постоянные интегрирования,
определяемые параметрами системы и начальными условиями.
Характеристическое уравнение n-го порядка имеет n корней. Эти корни могут быть действительными или комплексными попарно сопряженными. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную или равную нулю действительную часть, то система будет неустойчива, так как

в этом случае с ростом t выходная переменная y
C
(t) (5.4) не устремляется к нулю.
Следует отметить: так как передаточная функция системы
0 1
1 1
0 1
1 1
)
(
a
p
a
p
a
p
a
b
p
b
p
b
p
b
p
W
n
n
n
n
m
m
m
m













,
(4.1.6)
следовательно характеристическое уравнение можно получить, приравняв многочлен знаменателя дроби передаточной функции к нулю (N(p)=0).
Для оценки устойчивости надо определить
0
)
(
lim



t
y
C
t
.
Вид кривой уравнения у
C
(t) определяется видом корней характеристического уравнения, которые могут быть комплексно-сопряженные (


j
p
i



), чисто вещественные (



m
p
), чисто мнимые (

j
p
k


), нулевые (
0

l
p
), кратные, т. е. n
одинаковых корней


n
p
.
Комплексные корни характеристического уравнения всегда бывают попарно сопряженными:


j
p


1
и


j
p


2
. Тогда уравнение




n
i
t
p
i
С
i
e
A
t
y
1
)
(
в соответствии с формулой Эйлера е
+j

= cos
 ± jsin может быть представлено в следующем виде:
)
sin(
)
(
2
)
(
1












t
e
A
e
A
e
A
t
i
t
j
t
j
,
где А
i
— начальная амплитуда;
 — начальная фаза.
Проанализируем кривую у
C
(t) при возможных видах корней характеристического уравнения. Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:
Возможны случаи:
1) если все
0

i

, тo
0
)
(
lim



t
y
C
t
и, следовательно, система асимптотически устойчивая; 2) если все
0

i

, но среди корней имеются нулевые или чисто мнимые корни,
то
)
(
lim
t
y
C
t


стремится к некоторому установившемуся процессу, определяемому нулевыми или мнимыми корнями (консервативная система); 3) если хотя бы одно значение
0

i

, то
)
(
lim
t
y
C
t


стремится к бесконечности, т. е. система неустойчивая.

Замечание: особые трудности в обеспечении устойчивости возникают в системах с кратными корнями. Если кратный корень нулевой или чисто мнимый, система оказывается неустойчивой.
Рисунок 4.1.2
Варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения (здесь S
i
– корни характеристического уравнения)
Рисунок 4.1.3. Кривые, характеризующие переходные процессы для различных пар корней:
а — корни вещественные; б — корни комплексно-сопряженные с отрицательной

вещественной частью; в — корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью; г — корни мнимые; д — расположение корней характеристического уравнения; / —
устойчивая САУ; // — консервативная САУ; /// — неустойчивая САУ
Вывод. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем: среди корней характеристического уравнения отсутствуют нулевые и чисто мнимые корни;
вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательные.
Таким образом, для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, т. е. лежали слева от мнимой оси плоскости корней.
Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

нулевого корня,

пары чисто мнимых корней,

бесконечного корня.
4.1.2 Критерии оценки устойчивости линейных САУ
Прямой метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней (вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени).
Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически мало пригодны. Что же касается уравнений более высоких степеней, то для них вообще невозможно написать общие выражения для корней через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому весьма важное значение в инженерной практике приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С
помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система,
но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.
Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Гурвица и Рауса),
основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные
(Михайлова, Найквиста), основанные на анализе частотных характеристик.
Замечание:
частотные критерии позволяют оценивать устойчивость системы, даже если имеются в наличии экспериментальные частотные характеристики, а, точнее,
уравнение динамики неизвестно.
4.1.3 Алгебраический критерий Гурвица.

Этот критерий позволяет, не решая уравнения, сказать, где на комплексной плоскости расположены его корни.
Традиционно коэффициенты характеристического уравнения переобозначают с возрастающим номером:
0 1
1 1
0







n
n
n
n
С
p
С
p
С
p
С
(4.1.7)
Из коэффициентов характеристического уравнения n-го порядка строится сначала главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от С
1
до С
п
в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз — коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n (где п — порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули:
Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица низшего порядка
Номер определителя Гурвица зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.
Определение: чтобы САУ была устойчива; необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента С
0
характеристического уравнения, т. е. были положительными, так как всегда С
0
можно выбрать положительным.
Таким образом, при C
0
> 0 для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Условие нахождения системы на границе устойчивости –

n
= 0. Но

n
= C
n

(n-1)
= 0,
следовательно, если C
n
= 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень – астатическая система), а если

(n-1)
= 0, то – колебательная граница устойчивости
(комплексные корни).
4.1.4 Критерий Рауса.
Как и критерий Гурвица, этот критерий представляет собой систему неравенств,
составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замк- нутой системы. Он представляет собой некоторое правило (алгоритм). Мнемоническое правило связанно с составлением таблицы Рауса.
Составляем таблицу Рауса.
Коэффициен т
k

Номер строки
Номер столбца
1 2
3 4
5 1
С
0
С
2
С
4
С
6
…
2
С
1
С
3
С
5
…
1 0
2
,
1 1
,
1 3
C
C
C
C



3
С
1,3
С
2,3
С
3,3
…
3
,
1 1
3
,
1 2
,
1 4
C
C
C
C



4
С
1,4
С
2,4
С
3,4
…
4
,
1 3
,
1 5
C
C


5
С
1,5
С
2,5
С
3,5
…
…
6
С
1,6
…
…
В первой строке таблицы записывают коэффициенты С
i
харак- теристического уравнения, имеющие четный индекс (С
0
, C
2
, С
4
, ...), а во второй строке
—
коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами (C
1
, С
3
, С
5
, ...). В последующие строки вписывают элементы определенные по формуле
1
,
1 2
,
1
,







i
k
i
i
k
i
k
C
C
С

,
(4.1.8)

где коэффициент
1
,
1 2
,
1



i
i
i
C
C

;
i
k
C
,
– элемент таблицы; i – индекс, означающий номер строки таблицы; k – индекс, обозначающий номер столбца таблицы.
Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического уравнения +1,
т. е. (
1

n
). После заполнения таблицы по ней можно судить об устойчивости системы.
Сформулируем критерий
Рауса:
для того, чтобы система автоматического управления или регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы элементы первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е.
были положительными, так как всегда можно сделать С
0
>0:
С
0
>0, С
1
>0, С
1,3
>0, …, С
1,n+1
>0.
Так как форма алгоритма, с помощью которого составляют таблицу
Рауса, очень удобна для программирования на ЭВМ, то критерий Рауса широко применяют при исследовании с помощью ЭВМ влияния на устойчивость либо коэффициентов характеристического уравнения, либо отдельных параметров системы.