1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния
 Скачать 4.71 Mb.
|
|
3. Структурные схемы САУ. 3.1 Основные характеристики звеньев САУ 3.2 Типовые звенья САУ 3.3 Структурные схемы систем автоматического управления 3.4 Преобразование структурных схем 3.5 Передаточная функция замкнутой системы Типовые динамические звенья систем управления. Передаточные функции типовых звеньев и формирование из них структур САУ. Типовые соединения последовательное, параллельное, встречно-параллельное. Обратные связи. Преобразование структурных схем. Уравнение в переменных вход–выход; вычисление передаточных функций одномерных и многомерных систем. Применение графов для отображения системы САУ. 3.1. Основные характеристики звеньев САУ Информация всегда связана с материальным носителем какой-либо физической величины. В технических системах материальные носители информации называют носителями сигналов (например, электрическое напряжение и ток, давление, механи- ческое перемещение и др.), которые можно изменять в соответствии с передаваемой информацией. Конструктивные элементы системы должны преобразовывать одни физические величины (и соответствующие им сигналы) в другие. Этот процесс отражается в кибернетическом понятии звена системы. Звено — элемент, входящий в САУ, в котором определенным образом преобразуется входной параметр в выходной. Схематическое изображение звена (рис. 1.4) в виде блока не отражает особенностей его конструкции. Интерес представляет только связь между воздействием на вход звена и его реакцией на выходе. Такой подход позволяет создавать модели элементов самых различных природных систем, техники и имитировать их поведение, что значительно облегчает поиск эффективных методов управления. В энергетическом отношении каждое звено является преобразователем энергии. Общим свойством всех звеньев САУ является однонаправленность их действия, т. е. сигнал в любом звене проходит только от входа к выходу и, следовательно, сигнал на выходе звена не оказывает никакого воздействия на сигнал на входе. Структура САУ — совокупность звеньев и связей между ними. 3.2. Типовые звенья САУ Используя приведенные выше характеристики, можно на основании идентичности передаточных функций или ККП реальных звеньев все их многообразие свести к ограниченному числу звеньев, которые назовем типовыми. В качестве типовых звеньев САУ выбраны наиболее простые звенья, в которых процессы описываются дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка. При этом замену реального звена типовым осуществляют так: если передаточные функции реального и типового звеньев совпадают, то они являются взаимозаменяемыми; более сложные реальные звенья заменяются, если возможно, последовательным или параллельным соединением типовых звеньев. Рассмотрим типовые звенья, которые описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка (3.1) и соответствующей передаточной функцией (3.2) Для различных типовых звеньев коэффициенты передаточной функции принимают различные, в том числе и нулевые значения. Различают следующие 4 типовых звена: безынерционное (усилительное) ; инерционное (апериодическое) ; интегрирующее ; дифференцирующее ; Из числа более сложных звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями 2-го порядка, в качестве типового берется только одно, отвечающее случаю . В соответствии с этим из передаточной функции (3.3) получаем (3.4) Такое звено называется колебательным. Для анализа системы используют ее передаточную функцию, полученную по передаточным функциям звеньев. Отдельные звенья САУ должны обладать свойством направленности, т.е. каждое последующее звено не должно влиять на выходную величину предыдущего звена. 3.3 Структурные схемы систем автоматического управления Структурные схемы систем автоматического управления в наглядной форме отражают состав систем и связи между их элементами. С помощью структурных схем удается уточнить внутреннее строение системы и найти место включения дополни- тельных связей улучшающих качество динамических процессов, происходящих в системе. На структурной схеме каждое типовое динамическое звено показывается прямоугольником, в котором записывается передаточная функция звена. Связи между звеньями изображаются стрелками, над которыми надписываются символы, обозначающие операторные изображения сигнала. Направление стрелки соответствует направлению прохождения сигнала. Элементы сравнения на структурной схеме обоз- начаются тем же условным значком, что и на функциональной. Наряду со структурной схемой САУ используют граф системы управления. Ветви графа соответствуют передаточным функциям элементов, а узлы графа - соединениям (связям элементов) (рис.3.1). Рисунок 3.1 – Граф системы управления 3.4 Преобразование структурных схем Для упрощения структурных схем, получения передаточных функций всей разомкнутой системы, передаточных функций замкнутой системы по ошибке и выходному сигналу применяются структурные преобразования. При исследовании и расчете системы автоматического управления (регулирования) возникает необходимость получения ее общей передаточной функции по передаточным функциям отдельных типовых динамических звеньев, включенных в схему. Эта задача легко решается на основе известных способов получения передаточных функций трех характерных вариантов соединений динамических звеньев: последовательное, парал- лельное и обратной связью. Эти три варианта соединений позволяют получить все многообразие структурных схем. Рассмотрим основные правила, позволяющие определять передаточные функции системы в целом по передаточным функциям отдельных элементов. Эти правила составляют алгебру передаточных функций. Приведем графы, соответствующие различным соединениям элементов (звеньев) САУ. Последовательное соединение передаточных функций (рис. 3.2). Последовательным соединением звеньев называется такое соединение, при котором выходной сигнал предыдущего звена является входным последующего ) ( ) ( 2 1 p X p Y ; ) ( ) ( 3 2 p X p Y ; ……. ) ( ) ( 1 p X p Y n n (3.5) Рисунок 3.2 Преобразование структурной схемы: а) исходная структурная схема; б) преобразованная структурная схема; в) последовательное соединение звеньев; г) общая передаточная функция. Исходя из определения передаточной функции, запишем для каждого звена соответствующее уравнение: ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( 3 3 3 2 2 2 1 1 1 p W p X p Y p W p X p Y p W p X p Y (3.6) Перемножив правые и левые части выражения (4.2) получим ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 p W p W p W p W p X p Y общ (3.7) Таким образом, общая передаточная функция при последовательном соединении звеньев равна их произведению. Т. е. передаточная функция последовательного соединения звеньев (рис.3.2) равна произведению передаточных функций отдельных звеньев: m i i общ p W p W 1 ) ( ) ( (3.8) Преобразованная структурная схема (рис. 3.2б), получена путем перестановки передаточных функций. Справедливость перестановки передаточных функций следует из формулы ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 p W p W p W p W p X p Y (3.9) X(p) а) X 1 (p) X(p)=X 1 (p) Y(p) W 2 (p) Y 1 (p)= X 2 (p) Y(p) Y(p) Y 3 (p)=Y(p) Y 2 (p)= X 3 (p) W 1 (p) W 1 (p) W общ (p) W 2 (p) W 1 (p) W 2 (p) W 3 (p) б) в) г) X(p) Y 1 (p)= X 2 (p) Y 2 (p)= X 1 (p) Параллельное соединение передаточных функций (рис. 3.3). Параллельным соединением звеньев называется соединение, при котором входной сигнал для всех звеньев один и тот же, а их выходные сигналы суммируются (рис. 3.3 ) При параллельном соединении звеньев (рис.3.3) на все входы поступает один и тот же входной сигнал ) ( p X , а выходные сигналы всех звеньев алгебраически суммируются: m i i p Y p Y 1 ) ( ) ( (3.10) Из структурной схемы (рис. 3.3) следует: ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 p X p X p X p X и ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 p Y p Y p Y p Y (3.11) Подставим в уравнение (3.11) выражения, следующие из определения передаточной функции ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( 3 3 3 2 2 2 1 1 1 p X p W p Y p X p W p Y p X p W p Y , (3.12) Получим ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 p X p W p W p W p Y , ) ( ) ( ) ( p X p W p Y общ , ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 p W p W p W p W общ (3.13) Общая передаточная функция равна сумме. Следовательно, передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев Встречно-параллельное соединение звеньев. Рисунок 3.4 – Встречно-параллельное соединение звеньев. Существует также обратное соединение звеньев (рис.3.4). В этом случае имеем m i i p W p W 1 ) ( ) ( (3.14) Знак "минус" в (3.17) соответствует отрицательной обратной связи, а знак "плюс" - положительной обратной связи. Подставляя в (3.16) выражение (3.15) для , получаем Заменяя в (3.17) его значением из (3.18), получаем Подставляя это значение в (3.15), находим Отсюда При преобразовании сложных графов к простейшему виду во многих случаях приходится производить перенос точки съема. Рисунок 3.5 –Перенос точки съема. (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) Если точка съема переносится против направления прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включить элементы с передаточными функциями всех элементов, встречающихся на пути между прежней и новой точками съема (рис.3.5). Рисунок 3.6 – Перенос точки съема. Если точка съема переносится по направлению прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включить элементы с обратными передаточными функциями всех элементов, встречающихся на пути между новой и прежней точками съема (рис.3.6). Также приходится переносить точку суммирования. Если точка суммирования переносится по направлению прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включить элементы с передаточными функциями всех элементов, встречающихся на пути между прежней и новой точками суммирования (рис.3.7). Рисунок 3.7 – Перенос точки суммирования 3.5 Передаточная функция замкнутой системы Передаточную функцию замкнутой системы можно найти по передаточной функции разомкнутой системы. Так, если в замкнутой цепи обратной связи включено звено с передаточной функцией , то на входе системы происходит суммирование входного сигнала с сигналом обратной связи (рис.3.8а). a) б) Рисунок 3.8 – Замкнутая система Связь между изображением входной и выходной величины цепей прямой и обратной связи при отрицательной обратной связи, характеризуется следующими уравнениями: для прямой связи где W(p) – передаточная функция прямой цепи; для обратной связи где - передаточная функция цепи обратной связи. Если в уравнение (3.22) подставить значение из (3.23), то получим или откуда можно получить выражение для передаточной функции замкнутой системы (3.22) (3.23) (3.24) Частным случаем является замкнутая система (рис.3.8), не содержащая звеньев в цепи обратной связи. В этом случае цепь обратной связи имеет передаточную функцию, равную единице, и тогда, используя уравнение (3.24), находим Определив передаточную функцию замкнутой системы, этим самым найдем в операторной форме ее дифференциальное уравнение Представляет интерес уравнение замыкания, связывающее величину отклонения (ошибки) замкнутой системы со значением входной величины (рис.38б): Переходя к изображениям и вводя передаточную функцию замкнутой системы, получаем После подстановки в (3.28) значения передаточной функции замкнутой системы Последнее выражение может быть использовано для определения ошибок в САУ при заданных внешних воздействиях. (3.25) (3.26) (3.27 (3.28 (3.29) 4.2 Качество процесса автоматического управления (регулирования) 4.2.1. Качество процесса автоматического управления (регулирования) 4.2.2. Методы анализа качества переходного процесса 4.2.3. Основные показатели качества регулировани 4.2.4. Корневые методы оценки качества 4.2.5. Типовые процессы регулирования 4.2.1 Качество процесса автоматического управления (регулирования) Устойчивость является необходимым, но недостаточным требованием, опреде- ляющим возможность использования системы. Помимо устойчивости к переходному процессу предъявляют требования, обу- словливающие его так называемые качественные показатели. Показателями качества функционирования САУ называют количественные величины, характеризующие поведение системы в переходном процессе при поступлении на ее вход единичного ступенчатого воздействия. Для оценки пригодности системы в каждом конкретном случае применения ис- пользуются следующие показатели качества САУ: - точность системы, характеризующуюся величиной ошибки в установившемся режиме; - характер переходного процесса. В общем случае, внешние воздействия (возмущения) могут быть детерминиро- ванными и случайными функциями времени. Для оценки качества системы при возмуще- ниях, представляющих случайные функции времени, используется показатель качества – вероятность ошибки. Оценка качества регулирования Качество любой системы регулирования определяется величиной ошибки: ε(t) = g(t) - y(t) = F x (p) g(t) Но функцию ошибки ε(t) для любого момента времени трудно определить, по- скольку она описывается с помощью ДУ системы - F x (p) - высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САР по некото- рым ее свойствам, определяют которые с помощью критериев качества. Критериев качества регулирования много. Их разделяют на 4 группы: 1. Критерии точности - используют величину ошибки в различных типовых режимах. 2. Критерии величины запаса устойчивости - оценивают удаленность САР от границы устойчивости. 3. Критерии быстродействия - оценивают быстроту реагирования САР на появление задающего и возмущающего воздействий. 4. Интегральные критерии - оценивают обобщенные свойства САР: точность, запас устойчивости, быстродействие. 4.2.2 Методы анализа качества переходного процесса Все методы анализа качества переходного процесса делят на прямые и косвенные. Прямые показатели качества— показатели, которые определяют непосредственно по пе- реходной характеристике. Чаще этот метод реализуется путем непосредственного реше- ния (интегрирования) дифференциального уравнения системы и выполнения согласно этому решению графического построения переходного процесса (прямой метод анализа). Косвенные методы анализа (нахождение распределения корней характеристического уравнения системы, интегральный метод, частотный метод и др.) позволяют изба- виться от громоздких вычислительных операций. Точность управления Для оценки точности используется величина ошибки в различных типовых режи- мах. Типовые режимы движения состоят в подаче на вход сигналов с нормированными метрологическими характеристиками. Различают типовые режимы: 1. Ненулевое, неподвижное состояние. 2. Движение с постоянной скоростью. 3. Движение с постоянным ускорением. 4. Движение по гармоническому закону. Рисунок 4.2.1 – Сигналы с нормированными метрологическими характеристика- ми На рис.4.2.1. показаны режимы: ненулевого, неподвижного положения координа- ты; движение с постоянной скоростью; движение с постоянным ускорением. Легко по- нять, что перемещение координаты с постоянной скоростью легко получить интегрирова- нием постоянного сигнала, а для получения координаты движущейся с постоянным уско- рением необходимо интегрировать координату перемещающуюся с постоянной скоро- стью Чтобы создать единообразие в оценке, принято рассматривать переходный про- цесс как реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие. Такое скачкообразное изменение внешнего возмущения создает наиболее тяжелые условия для работы системы. Пусть задачей САУ является обеспечение равенства управляемой величины у(t) заданной величине y уст при действии возмущения z(t). Любая материальная система по крайней мере в переходном режиме будет решать указанную задачу с ошибкой ) ( ) ( t y y t уст Ошибка САУ в установившемся режиме определяется по окончании переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием. Величина ошибки может быть найдена при решении дифференциального уравнения системы. При этом полное ре- шение дифференциального уравнения системы может рассматриваться в виде суммы об- щего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неодно- родного дифференциального уравнения: ПЕР УСТ t ) ( (4.2.1) Для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения стремится к нулю: (4.2.2) Следовательно, ошибка в установившемся режиме будет определяться частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Системы автоматического управления (регулирования) делятся на статические и астатические. Такое деление производится по признаку характера установившейся ошиб- ки в САУ при ступенчатом (скачкообразном) воздействии. Установившаяся ошибка САУ при скачкообразном изменении входной величины называется статической ошибкой ) ( lim 0 t t УСТ Системы автоматического управления, статическая ошибка которых не равна ну- лю, называются статическими системами. Соответственно, системы автоматического управления, установившаяся ошибка которых равна нулю, называются астатическими системами. Чтобы определить, к статической или астатической системе относится САУ, не обязательно решать дифференциальное уравнение замкнутой системы при скачкообраз- ном воздействии. Для ответа на этот вопрос достаточно иметь выражение передаточной функции разомкнутого контура управления исследуемой замкнутой САУ. Признаком астатической САУ является наличие в разомкнутом контуре управ- ления интегрирующего (астатического) звена, то есть звена с передаточной функцией: p p W 1 ) ( . Если в разомкнутом контуре САУ отсутствует интегрирующее звено, то САУ относится к статическим системам. В этом можно убедиться, если найти ) (t при скачкообразном (ступенчатом) воздействии. Количество интегрирующих звеньев в систе- ме определяет порядок астатизма системы. Имеется также понятие – порядок воздейст- вия, под которым надо понимать порядок фиксированной производной воздействия. Введение в систему определенного количества интегрирующих звеньев позволя- ет ограничить или совсем ликвидировать установившуюся ошибку УСТ при наличии воздействия, непрерывно изменяющегося с постоянной производной. Вторым показателем качества САУ является характер переходного процесса. |