Тех карта урока математики. 1. Понятие множества и элемента множества Множество

• Название: 1. Понятие множества и элемента множества Множество
• Анкор: Тех карта урока математики
• Дата: 04.05.2022
• Размер: 1.94 Mb.
• Имя файла: matematika_ekzamen.doc
• Тип: Документы; #511493
• страница: 1 из 6

1.Понятие множества и элемента множества

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; представляющее собой набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества

Элементы множества- это объекты, составляющие данное множество.
2.Способы задания множеств. Отношения между множествами

Множество может быть задано следующим образом:

• перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

Множество можно задать перечислением всех его элементов в любом порядке. Если множество A, например, состоит из первых четырех букв русского алфавита, то записывают

A = { а, б, в, г}.

• заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данного множества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачьих и т.д.);

Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Если множество A задано с помощью характеристического свойства P, то записывают A = {x|p(x)}

Например, запись A = {x|x    R,—7 < x < з} означает, что множество A состоит из всех действительных чисел, больших или равных -7 и меньших 3.

• формальным законом построения элементов множества (например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

Отношения между множествами

Множества могут находиться в одном из следующих отношений: пересечения, включения, равенства.

Определение. Множества А и В находятся в отношении пересечения, если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В. РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ

Определение. Множества А и В находятся в отношении включения (A⊂B), если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. В данном случае говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Определение. Множества А и В находятся в отношении равенства (A=B), если каждый элемент множества А является элементом множества В и одновременно каждый элемент множества В является элементом множества А.
3.Пересечение, объединение, вычитание множеств. Дополнение множеств

A. Пересечением двух множеств A и B называется множество М = A ∩ B, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам: и множеству A, и множеству B.
В этом случае множество точек прямой есть подмножество множества точек плоскости.

B. Объединением двух множеств A и B называется множество М = A È B, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B (или обоим). При этом каждый элемент входит в объединение один раз.

C. Разностью М = A \ B двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов A, не принадлежащих B. Иначе говоря, чтобы получить разность, нужно из множества A удалить его общие элементы с множеством B .

Дополнением   множества A называется множество, состоящее из всех элементов множества U, не принадлежащих A.

4.Декартово произведение множеств

Декартово (прямое) произведение множеств Х и  – это множество, обозначаемое   , элементами которого являются упорядоченные пары   , первая компонента которых принадлежит множеству Х, а вторая множеству  .

Задается в виде

   .

Согласно определению элементами прямого произведения множеств являются упорядоченные пары, составленные из элементов исходных множеств. В этих парах первый элемент (компонента) всегда принадлежит первому множеству, а второй элемент (компонента) второму. Порядок множеств определяется исходной записью и, если   , то   , так как в упорядоченной паре   компонента   имеет номер 1, а компонента   – номер 2, но в упорядоченной паре   :   – номер 1, а   – номер 2. Множество   содержит mn элементов, где m и n – количество элементов Хи  соответственно.

5.Круги Эйлера для решения множеств

Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

6.Структура текстовой задачи. Методы и способы задания текстовых задач.

Структура текстовой задачи. Методы и способы решения текстовых задач

Опр.1. Текстовая задача – есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Структура текстовой задачи состоит из утверждения и требования. Утверждения задачи называют условиями (или условием). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть как в вопросительной, так и утвердительной форме.

Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Пример. Рассмотрим задачу: «Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420м. Когда они встретились, первая пробежала на 60м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30с?»

Условия задачи: 1) Две девочки бегут навстречу друг другу. 2) Движение они начали одновременно. 3) Расстояние, которое они пробежали – 420м.4) Одна девочка пробежала на 60м больше, чем другая. 5) Девочки встретились через 30с. 6) Скорость движения одной девочки больше скорости другой.

Требования задачи: 1) С какой скоростью бежала первая девочка. 2) С какой скоростью бежала вторая девочка.

По отношению между условиями и требованиями различают следующие виды задач.

• Определенные задачи – в них условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнений требований (В букете 5 красных роз, а белых на 3 розы меньше. Сколько всего роз в букете?).

• Недоопределенные задачи – в них условий недостаточно для получения ответа (Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?).

• Переопределенные задачи – в них имеются лишние условия (Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?).

Уточним смысл термина «решения задачи». Так сложилось, что этим термином обозначает разные понятия:

• результат, т.е. ответ на требование задачи;

• процесс нахождения этого результата: а) как метод нахождения результата; б) как последовательность тех действий, который выполняет решающий.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими методами.

Пример. Решим различными арифметическими способами задачу: «Из ткани сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4м ткани. Сколько кофт можно сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2м?»

1 способ

• 43=12 (м) – столько было ткани

• 122=6 (к) – сшили из 12м ткани

2 способ

• 42=2 (раза) – больше ткани идет на платье, чем на кофту

• 32=6 (к) – можно сшить из этой ткани

Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

Пример. Решим различными алгебраическими способами задачу: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200г шерсти. На шарф потребовалось на 100г шерсти больше, чем шапку, и на 400г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

1 способ

Обозначим через х(г) массу шерсти, израсходованную на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х+100)г, а на свитер ((х+100)+400)г. Так как на все три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х+100)+((х+100)+400)=1200. Решив данное уравнение, получим х=200, т.е. если на шапку ушло 200г шерсти, то на шарф – 200+100=300(г), а на свитер (200+100)+400=700(г).

2 способ

Обозначим через х(г) массу шерсти, израсходованную на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х-100)г, а на свитер (х+400)г. Так как на все три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х-100)+(х+400)=1200. Решив данное уравнение, получим х=300, т.е. если на шарф ушло 300г шерсти, то на шапку – 300-100=200(г), а на свитер 300+400=700(г).

3 способ

Обозначим через х(г) массу шерсти, израсходованную на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х-400)г, а на шапку ((х-400)-100)г. Так как на три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х-400)+((х-400)-100)=1200. Решив данное уравнение, получим х=700(г), т.е. если на свитер ушло 700г шерсти, то на шарф – (700-400=300)г, а на шапку ((700-400)-100=200)г.

7.Этапы решения задач и приёмы их выполнения

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы: анализ задачи; поиск и составление плана решения задачи; осуществление плана решения задачи; проверка решения задачи.

Название этапа	Цель этапа	Приемы выполнения этапа
Анализ задачи	Понять в целом ситуацию, описанную в задаче; Выделить условия и требования; Назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними	• Задать специальные вопросы и ответить на них • Перефразировка текста задачи • Построение вспомогательной модели задачи
Поиск и составление плана решения задачи	Установить связь между данными и искомыми объектами, наметить последовательность действий	• Разбор задачи по тексту (от условия к требованию; от требования к условию) • Разбор по вспомогательной модели
Осуществление плана решения задачи	Найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом	• Запись решения по действиям (с пояснением; без пояснения; с вопросами) • Запись решения в виде выражения
Проверка решения задачи	Установить правильность или ошибочность выполненного решения	• Установление соответствия между результатом и условиями задачи • Решение задачи другим способом

8.Задачи на «части» и на движение двух тел

Решение задач «на части»

Рассматриваемые в таких задачах величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других эти части надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определить, из каких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

При решении таких задач арифметическим методом чаще всего используют вспомогательные модели, выполненные с помощью отрезков или прямоугольников.

Пример. Решим задачу: «Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10кг ягод?»

Решение: В задаче речь идет о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10кг и что на две части ягод надо три части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенье из 10кг ягод.

Вспомогательная модель будет иметь вид:

В-10кг

С-?кг

По условию задачи 10кг ягод составляют 2 части, следовательно, на 1 часть приходится 102=5(кг). Сахара надо взять три таких части, получаем, что 53=15(кг).

В рассмотренной выше задаче части представлены явно. Рассмотрим пример задачи, в которой части нужно суметь выделить.

Пример. Решим задачу: «В двух кусках ткани одинаковое количество материи. После того, как от одного куска отрезали 18м, а от другого 25м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально?»

Решение: В задаче речь идет о двух кусках ткани одинаковой длины. От первого отрезали 18м, от второго 25м. После этого в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Требуется найти первоначальную длину кусков ткани.

Вспомогательная модель будет иметь вид:

18м

25м

Если количество ткани, которое осталось во втором куске – это 1 часть, то количество оставшейся ткани в первом куске – это 2 таких части. По чертежу видно, что на 1 часть приходится количество ткани, которое легко найти – 25-18=7(м). Тогда в каждом куске было 25+7=32(м).

 

• Решение задач на движение

Задачи на движение решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

Итак, движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характеризуют три величины: пройденный путь (расстояние) (s), скорость (v), время (t). Основное отношение (зависимость) между ними выражается формулой: s=vt.

9.О приближённых вычислениях. Правила округления

Вычисления с приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами, можно так же получить приближённые числа.
При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном числе.

При умножении и делении приближённых чисел нужно в результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом данном с наименьшим числом значащих цифр.

Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
10.Погрешности приближенных вычитаний

Обозначим через x и x_o точное и приближенное значение числа. Точность приближения характеризуется абсолютной погрешностью   =   приближенного числа x, равной абсолютной величине разности между точным и приближенным значениями числа. Абсолютная величина имеет лишь теоретическое значение, так как практически ее невозможно вычислить. Обычно абсолютную величину можно оценить сверху. Например, ошибка измерения не превосходит половины деления шкалы измерительного прибора. В связи с этим вводится понятие предельной абсолютной погрешности.

Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа называют любое число, не меньшее абсолютной погрешности данного числа, то есть любое число   , для которого

   (2)

Теоретически предельную погрешность следовало бы определить как наименьшее из таких чисел, которое можно получить при данном способе измерения (вычисления), но практическое определение такой величины невозможно. При определении предельной погрешности необходимо получить, возможно, меньшее ее значение. Например, если π = 3,14 (π = 3,14159.....), то неравенству удовлетворяет любое из чисел 1; 0.1; 0.01; 0.002. Естественно, что полагают   =0,002

Абсолютная погрешность недостаточно полно характеризует точность приближения. Например, если расстояние между двумя городами будет измерено с абсолютной погрешностью в 10 м, то это будет очень хорошим результатом. Если с такой же абсолютной погрешностью измерена ширина улицы, то результат необходимо признать неприемлемым.

Абсолютную погрешность соотносят с измеряемой величиной.

Относительной погрешностью   приближенного числа x_o, x_o≠0, называется отношение абсолютной погрешности этого числа к его абсолютной величине, т.е.

 = 

Предельной относительной погрешностью называется отношение предельной абсолютной погрешности приближенного числа x_o, x_o≠0, к его абсолютной величине

 (3)

Часто относительную погрешность выражают в процентах

 100%

В нашем примере   или   %

Далее рассмотрим только предельные погрешности, поэтому для краткости будет употреблять термин абсолютная (относительная) вместо терминов предельная абсолютная (относительная).

Рассмотрим некоторые особенности записи приближенных чисел. Если приближенное число x_o имеет абсолютную погрешность   , то это значит, что точное значение x лежит в интервале [x_o –∆x_o, x_o+∆x_o]или записывается в виде   .

Например, π=3.14±0.002. Это значит, что 3.138≤ π ≤ 3.142.

Для записи больших массивов данных (например, в таблицах) прибегают к использованию верных цифр в записи числа: цифра в десятичной записи числа называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит 5-ти единиц следующего (вправо) за ней разряда иначе цифра называется сомнительной.

11.Из истории возникновения понятий натурального числа и нуля

С появлением землевладения и торговли у человека

появилась необходимость в счёте, вначале считали на пальцах

рук и ног, затем появлялись первые цифры, постепенно

перерастающие во множество натуральных чисел.

Первыми придумали запись цифр древние шумеры -

народ, населявший территорию долины рек Тигра и Евфрата на

юге современного государства Ирак. В то время шумеры

пользовались лишь двумя цифрами. Вертикальная черточка

обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек –

десять.

Древний народ майя вместо самих цифр рисовал

страшные головы, и отличить одну голову – цифру от другой

было очень сложно.

Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали

узелки на шнурках разной длины и цвета. Древние индийцы

впервые в 5 веке изобрели для каждой цифры свой знак. Они

также открыли понятие «нуля» (шунья). Именно от них пошла

десятичная система исчисления, которой мы пользуемся.

Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у

индийцев, и привез их в Европу в 10 веке. Ноль называли

«сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Арабские числа

в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того

наши предки использовали славянскую нумерацию. Над

буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали

числа. Считается, что термин «натуральное число» впервые

применил римский государственный деятель, философ, автор

трудов по математике Боэций (480 – 524 гг.). Но еще в 1

половине 2 века греческий математик Никомах говорил о

натуральном, то есть природном ряде чисел. О числах первый

начал рассуждать Пифагор. Пифагор и его ученики сократили

все числа до цифр от 1 до 9, так как считали их исходными, из

которых могут быть получены все другие числа. В 3 веке до н.э.

Архимед научился называть громадные числа, но обозначить он

их не сумел: не хватало только знака нуля.

Долгое время натуральный ряд считался конечным. В

Древней Руси, например, число 10000, названное «тьма»,

считалось самым большим, завершающим ряд натуральных

чисел. Архимед в III в. до н.э в своей книге «Исчисление

песчинок» опроверг ложное мнение людей о том, будто бы

число песчинок на земле столь велико, что его нельзя выразить,

а числа большие этого и вообще якобы не существуют. А также

доказал, что ряд натуральных чисел бесконечен.

На первых ступенях развития, понятие числа

определялось потребностями счета и измерения, возникавшими

в непосредственной практической деятельности человека. Затем

число становится основным понятием математики, и дальнейшее

развитие понятия числа определяется потребностями этой науки.

Мир полон тайн и загадок. Современная наука встречается с

величинами такой сложной природы, что для их изучения

приходится изобретать все новые виды чисел.

12.Об аксиоматическом способе построения теории
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

- некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

- каждому понятию теории, которое не содержится в списке основ­ных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью ос­новных и предшествующих данному понятий;

- формулируются аксиомы- предложения, которые в данной тео­рии принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке ак­сиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремамии доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рас­сматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим мето­дом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория по­строена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверж¬дения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она долж¬на быть непротиворечивой и независимой.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.
Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других акси¬ом этой системы.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равно¬сильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор акси¬ом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира
13.Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1.В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

Аксиома 2.Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3.Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4.Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за»и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N.Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1- 4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ...

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1- 4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:

I,II,III,IIII,...

, , , , ...

один, два, три, четыре,...

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1- 4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует»,которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение. Если натуральное числоbнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числуb.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 - 4.

Теорема 1.Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2.Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее числоb, такое, чтоb' = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а' также есть в М, поскольку предшествующим для а' является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а' принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

14.Множество целых неотрицательных чисел

Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначается Zо. Таким образом, Zо = N È {0}.

Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого нату­рального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяются равенствами:

(" а ÎN) а + 0 = 0 + а = a; (" а ÎN) а - 0 = а;

(" а ÎN) а - 0 = 0 - а = 0; (" а ÎN) 0 : а = 0 .

Кроме того, будем считать, что:

0 + 0 = 0, 0- 0 = 0, 0 – 0 = 0, а – а = 0.

Теорема 28. Деление на нуль невозможно.

Доказательство. Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а ¹ 0, Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, найдется такое целое неотрицательное число c, что а – с = 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а ¹ 0 и b = 0 не су­ществует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное а = 0 и b = 0 существуют, и тогда найдется такое целое неотрицательное число с, что выполняется равенство 0 = с × 0, истинное при любых значениях с.

Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

Рассматривая деление на множестве целых неотрицательных чисел, мы имеем в виду деление нацело, т.е. такое, при котором частное является также целым неотрицательным числом. Но такое частное существуетне всегда. Например, нельзя разделить на 9 число 31. Но существуют числа 3 и 4 такие, что 31 =9×3+4. Говорят, что мы разделили число 31 на 9 с остатком 4, а число 3 называют неполным частным. В общем случае деление с остатком определяют так.

Определение. Пусть а - целое неотрицательное число, а b - число натуральное. Разделить а на b с остатком - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = b q + r , причем 0 < r г < b.

Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 5 на 9 получаем, что неполное частное равно 0, а остаток 5: 5=0×9 + 5. Вообще если а < b то при делении а на b с остатком получаем q = 0 и r = а.

Если при делении а на b с остатком оказывается, что r = 0. то говорят, что имеем деление нацело. Вообще r = 0 тогда и только тогда, когда а делится на b.

В связи с этим новым действием возникают вопросы: если заданы числа а и b, всегда ли можно найти такие q и r, что будет выполняться равенство а = b q + r , причем 0 < r г < b. Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема 29. Для любого целено неотрицательного числа а и натурального b > существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = b q + r, причем 0 < r < b. И эта пара чисел q и r г единственная для: заданных а и b .

Доказательство существования. Обозначим через М множество целых неотрицательных чисел, кратных b и не превосходящих а:

М = {х\х = bу, х £ а}

Так как для всех чисел из этого множества выполняется неравенство х £ а + 1, то в множестве М есть наибольшее число, которое обозначим через х₀.

Это число= имеет вид х₀ = bq, причем число b(q + 1) уже не при­надлежит множеству М и поэтому b(q + 1) > а. Итак, найдено число q, такое, что bq <а< b(q + 1) . Из этих неравенств следует, что 0 < а - bq < b Если обозначить а – bq через r. то имеем: а - bq = r, т.е. а = b q + r и 0 £ r < b. Это означает, что q - неполное частное, а rг - остаток при делении а на b.

Доказательство единственности. Предположим, что b q + r, где 0 £ r < b и а = b q₁ + r₁, где 0 £ r₁ < b, причем, например, r > r₁,. Тогда имеем: b q + r = b q₁ + r₁, и поэтому r - r₁ = b q₁ - b q= b( q₁ - q). Поскольку 0 £ r₁ < r < b, то r - r₁ < b. С другой стороны, r - r₁ = b( q₁ - q) и потому делится на b.

Пришли к противоречию, так как натураль­ное число, меньшее, чем b, не может делиться на b . Это противоре­чие и доказывает, что другой пары чисел с требуемыми свойствами не существует, следовательно, деление с остатком однозначно опре­делено.

В любом начальном курсе математики изучается деление с остатком, так как оно лежит в основе алгоритма деления многозначного числа на многозначное. При этом часто используется запись: 9:2 = 4 (ост. 1). Учащиеся запоминают, что если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя.

15.Количественные натуральные числа. Счёт

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие. Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. NИспользуя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что а } а£ и х NÎ х|х {= Например,отрезок N7- это множество натуральных чисел, не пре­восходящих числа 7, т. е. N7= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда. 1) Любой отрезок Nа содержит единицуN. Это свойство вытекает из определения отрезка а. 2) Если число х содержится в отрезке Nа и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в Nа. NÎДействительно, если х а а, то х¹и х < Nа. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а=х+с. Если с=1, то а=х+1, а значит, х+1 содержится в а. Если же с > 1, то с - 1 - натуральное число и, следовательно, а=х+с=(х+1)+(с-1). Но тогда х+1
Теория чисел – основа вычислительных действий. Понятия о системе счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называют счислением .Подсистемой счисления понимают изображение чисел в определенных символах, положение символов в числах и правила выполнения арифметических действий над этими числа­ми. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с помощью определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционными системами счисления являются такие сис­темы счисления, в которых каждый символ (цифра, буква, знак и т.д.) сохраняет свое значение независимо от места положения его в числе. Значение каждой цифры (символа) постоянно. Характер­ным представителем непозиционных систем является римская си­стема счисления со сложными способом записи чисел и громозд­кими правилами выполнения арифметических операций. Напри­мер, запись MCMXCVIII означает, что записано число 1998 (М – тысяча, С – сто, Х – десять, V – пять и т.д.) Позиционные системы счисления обладают большими пре­имуществами в наглядности представления чисел и в простоте арифметических операций. В позиционной системе счисления зна­чение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа, например числа 1998 и 9819. Позиционной является, например, десятичная система счисле­ния, используемая в повседневной жизни. Количество цифр и символов, которые используют для записи числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления (р). Например, в десятичной системе счисле­ния 10 цифр : (0,1,2,3, 4,5,6, 7,8,9); р = 10.

16.Понятия положительной скалярной величины и её измерения

Величины представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и
явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем
каждая величина связана с определенным способом сравнения.
Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются
величинами одного рода или однородными величинами.
Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами
разного рода, или разнородными величинами.
Некоторые свойства однородных величин:
1. Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых
В.В, А=В, Авеличин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А
С.С, то АВ и В2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А
3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же
рода. Т.е. для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С = А + В, которую
называют суммой величин А и В.
Сложение величин коммутативно и ассоциативно: А + В = В + А; (А + В) + С = А + (В + С).
4. Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода.
Определяют вычитание через сложение. Разностью величин А и В называется такая величина С = А – В,
В.что А = В + С. Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А
5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают
величину того же рода. Или, для любой величины А и любого положительного действительного числа x
А, которую называют произведением величины А на числосуществует единственная величина В = x
х.
6. Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через
умножение величины на число. Частным величин А и В называется такое положительное
В.действительное число х = А : В, что А = х
Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить
Е.величину А – это значит найти такое положительное действительное число х, что А=х
Число х называется численным значением величины А при единице величины Е. Оно
показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е, принятой за
единицу измерения. Число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут
х = тЕ(А).
Величина, которая определяется одним численным значением, называется
скалярной величиной.
Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только
положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной
величиной. Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем,
масса, время, стоимость и количество товара и др

17.Чтение и запись чисел в десятичной системе счисления

Система счисления – язык для наименования записи чисел и выполнения действий над ними.

Способы «записи» чисел:

- пальцы рук и ног

- зарубки, шнуры, узлы

Трудности при записи больших чисел, сравнений, действий над ними = > счет стали вести группами по 10, 5, 12, 20 и т.д. элементов. Древневавилонская система (по 60) используется до сих пор.

Десятичная система счисления возникла в Индии в VI веке. Первыми заимствовали эту систему арабы и способствовали ее распространению в Европе. Распространению в России способствовала книга педагога-математика Л.Ф.Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная».

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Позиционные – один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Непозиционные – каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим числом в записи числа.

L=50; C=100; D=100; M=1000

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х=a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 + … + a₁*10 + a₀, где коэффициенты a_n, a_n-1, … a₁, a₀ принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а_n ≠ 0.

Чтобы прочитать многозначное число:

1)разбивают число на классы, отсчитывая справа по три цифры

2)читают, сколько в числе единиц каждого класса, начиная с высшего (названия класса единиц не произносятся)

Многозначные числа записывают по классам, начиная с высшего. Чтобы записать цифрами число:

1)записывают, сколько всего единиц высшего класса в числе

2)записывают, сколько всего единиц следующего класса и т.д.

Для удобства чтения записанного числа часто отделяют один класс от другого небольшим промежутком.

Чтобы сравнить числа, можно рассуждать так:

1)из двух чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое называют позже

2)сравниваем числа поразрядно, начиная с высших разрядов

Сложение

Теоретическая основа:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммуникативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1.Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

2.Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше 10, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду;

3.Если сумма больше или равна 10, то представляют ее в виде a₀ + b₀ = 1*10 + c₀; где с₀ – однозначное число; записывают с₀ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к следующему разряду;

4.Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д.. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна 10, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1

Вычитание

Теоретическая основа:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблица сложения однозначных чисел.

Алгоритм вычитания:

1.Записывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

2.Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду;

3.Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b₀>a₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду;

4.Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀ из 10 + а₀, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду;

5.В следующем разряде повторяем описанный процесс;

6.Вычитание заканчивается, когда произведется вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

18.Сравнение чисел по их записи

Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.