Тех карта урока математики. 1. Понятие множества и элемента множества Множество
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
Свойства: У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d1*d2/4a. Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Свойства: В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции. Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника). Свойства: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. Сумма углов треугольника равна 180°: Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b| Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой и высотой. Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2=a2+b2 (Теорема Пифагора).В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая. 43.Геометрия Н.И Лобачевского Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются[1]. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще. 44.Шар, цилинд, конус и их изображение. Шар - одна из простейших фигур, обладающая разнообразными свойствами. Некоторые из них были известны еще древнегреческим математикам. Поверхность шара называется сферой. Определяются сфера и шар аналогично тому, как определяются окружность и круг на плоскости. Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - ее радиусом. Шаром называется множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка - это центр шара, а данное расстояние - радиус шара. Заметим, что радиусом шара и сферы называют не только расстояние, но также любой отрезок, соединяющий их центр с точкой на сфере. Диаметр шара и сферы - это любой отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, а также длина этого отрезка. Если шар пересечь плоскостью, проходящей через его центр, то пересечением будет круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Этот круг называют большим кругом, а его окружность - большой окружностью или экватором. При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 170). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикулярен плоскости экватора. Для этого через точку O проводим прямую, перпендикулярную АВ, и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касательную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полюсы N и S.  круговой цилиндр - геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований (рис.).  Радиусом цилиндра называется радиус окружности его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Его осью называется прямая, проходящая через центры окружностей оснований. Конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - его вершину - с точками некоторого круга -основания конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются его образующими. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром окружности основания, перпендикулярна основанию. Высотой конуса называется расстояние от его вершины до основания. Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эллипс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает высоту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SВ этих прямых от точки S до точек касания С и Д. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса (рис.).  Основные выводы Изучив материал данного параграфа, мы вспомнили определения таких геометрических фигур, как: - многогранник (выпуклый многогранник); - призма (прямая призма, правильная призма); - параллелепипед (прямоугольный параллелепипед); - куб; - шар; - сфера; - прямой круговой цилиндр; - прямой круговой конус. Выяснили, что при изображении их на плоскости используются свойства параллельного проектирования и сформулировали эти свойства. Узнали, что Л.Эйлером установлена зависимость между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, которая выражается формулой В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер, Г - число граней. 45.Развитие математической статистики. Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы. В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров. В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа. Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований: разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов; развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике; развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели; широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.Вероятностно-статистические методы и оптимизация. Идея оптимизации пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приемочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и др. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений, например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики. В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации – при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и т.д. Решение задач оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, использует все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. 46.Статистические исследования. Этапы. Статистическое исследование — это научно организованный по единой программе сбор, сводка и анализ данных (фактов) о социально-экономических, демографических и других явлениях и процессах общественной жизни в государстве с регистрацией их наиболее существенных признаков в учетной документации. Отличительными чертами (спецификой) статистического исследования являются: целенаправленность, организованность, массовость, системность (комплексность), сопоставимость, документированность, контролируемость, практичность. Статистическое исследование состоит из трёх основных стадий: 1) сбор первичной статистической информации (статистическое наблюдение) – наблюдение, сбор данных о значениях изучаемого признака единиц стат-ой сов-ти, кт является фундаментом будущего стат-го анализа. Если при сборе первичных стат данных допущена ошибка или материал оказался недоброкачественным, это повлияет на правильность и достоверность как теоретических, так и практических выводов. 2) статистическая сводка и обработка первичной информации – данные подвергаются систематизации и группировке. Результаты стат группировки и сводки излагаются в виде стат-х таблиц является наиболее рациональной, систематизированной, компактной и наглядной формой представления массовых данных. 3) обобщение и интерпретация статистической информации - проводится анализ статистической информации.. Все эти этапы связаны между собой, отсутствие одного из них ведёт к разрыву целостности статистического исследования. Этапы стат. исследования 1.Постановка цели 2.Определение объекта наблюдения 3.Определение единиц наблюдения 4. Составление программы исследования 5.Составление инструкции для заполнении бланка 6. Сводка и группировка данных (кратк анализ) Основные понятия и категории статистической науки. 1. Статистическая совокупность – это множество явлений, имеющих один или несколько общих признаков и отличающихся между собой по значениям других признаков. Таковы, например, совокупность домохозяйств, совокупность семей, совокупность предприятий, фирм, объединений и т.п. 2. Признак – это свойство, характерная черта явления, подлежащая статистическому изучению 3. Статистический показатель – это обобщающая количественная характеристика соц-эконм явлений и процессов в их качественной определенности в условиях конкретного места и времени. Статистические показатели можно подразделить на два основных вида: учетно-оценочные показатели (размеры, объемы, уровни изучаемого явления) и аналитические показатели (относительные и средние величины, показатели вариации и т.д.). 4. Единица сов-ти– это каждое отдельное, подлежащее стат-му изучению. 5. Вариация – это изменяемость величины признака у отдельных единиц сов-ти явлений. 6. Закономерностью – называют повторяемость и порядок изменения в явлениях. Основные этапы статистического наблюдения. Ст-кое наблюдение – это научно обоснованный сбор данных о соц-эконом явлении общественной жизни. 47.Изображение пространственных фигур в пространстве. Пространственные фигуры - виды, изображения, свойства с примерами решения Пространственные фигуры: Геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные в зависимости от того, все или не все точки фигуры принадлежат одной плоскости. Пространственные фигуры Некоторые пространственные фигуры — призма (рис. 1), пирамида (рис. 2), цилиндр (рис. 3), конус (рис. 4), шар (рис. 5). Раздел геометрии, в котором изучаются плоские фигуры, называется планиметрией, а раздел, в котором изучаются пространственные фигуры, — стереометрией.  Ту или иную пространственную фигуру приходится изображать на плоскости листа в тетради или на плоскости доски. Соответствующий рисунок выполняют таким образом, чтобы он создавал то же впечатление, что и сама изображаемая фигура. При этом невидимые линии делают штриховыми.  На рисунке 6 изображены параллелограмм  и треугольник  которые пересекаются по отрезку  Часть  треугольника  находится на параллелограммом  часть  — под ним. При этом часть  четырёхугольника  видна, а часть — не видна. Обращаем внимание на то, что точки  и  треугольника  не принадлежат параллелограмму  а значит, и его стороне   На рисунке 7 изображена треугольная пирамида  которую пересекает плоскость по четырёхугольнику  При этом у пирамиды невидимым является ребро  а у сечения  — его стороны  и  Представление пространственной фигуры на рисунке называют изображением фигуры. Важным классом пространственных фигур являются многогранники, под которыми понимают тела, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их вершины — вершинами многогранника, а стороны — рёбрами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника (рис. 8).  Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке 9 изображён невыпуклый многогранник.  |