Тех карта урока математики. 1. Понятие множества и элемента множества Множество

• Название: 1. Понятие множества и элемента множества Множество
• Анкор: Тех карта урока математики
• Дата: 04.05.2022
• Размер: 1.94 Mb.
• Имя файла: matematika_ekzamen.doc
• Тип: Документы; #511493
• страница: 3 из 6

Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.

Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.

Пример. Известно, что  4 < 7,  а  7 < 16.  Эти два неравенства удобнее представить в виде двойного неравенства:

4 < 7 < 16.

Двойные неравенства принято читать с середины. Например, неравенство  2 < 4 < 5  читается так: четыре больше двух, но меньше пяти.

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.

Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа  11,  34  и  8.  Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства  11 < 34,  8 < 11  и  34 > 8,  которые можно записать как двойное неравенство:

8 < 11 < 34.

Аналогичным образом строятся тройные, четверные и т. д. неравенства.

Пример. Известно, что  12 < 15,  47 > 15,  47 < 112,  тогда можно записать

12 < 15 < 47 < 112.

20.Позиционные и не позиционные системы счисления

Позиционными называются системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Непозиционными называются системы счисления, в которых значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Позиционной является привычная для нас в повседневной жизни десятичная система счисления, в которой значение (вес) цифры зависит от ее позиции в записи числа. В числе 1111 одна и та же цифра 1 означает последовательно единицу, десяток, сотню, тысячу.
Все системы счисления, используемые в информатике (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.), являются позиционными. Это важно, т. к. правила образования чисел, перевода из одной системы в другую, выполнения арифметических операций во всех позиционных системах аналогичны.
Непозиционной системой счисления является, например, римская. Правила выполнения арифметических операций в непозиционных системах счисления совсем иные.
В 2-ной системе основание равно 2, т.е. используется всего 2 цифры - 0 и 1. В 8-ной основание равно 8, используются цифры от 0 до 7. В 16-ной системе основание равно 16, используются цифры от 0 до 15. Использование цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15 в записи чисел неудобно, т. к. трудно отличить, например, цифру 12 от двух цифр – 1 и 2. Поэтому условились цифры от 10 до 15 обозначать латинскими буквами в порядке алфавита A, B, C, D, E, F

21 Действия над в различных позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно преобразовать их в одну систему счисления и учесть то, что перенос в следующий разряд при операции сложения и заем из старшего разряда при операции вычитания определяется величиной основания системы счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой.

22 Углы. Параллельные и перпендикулярные прямые.

Определение 1. Параллельными называются прямые, которые не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.
На рисунке a и b.



Определение 2. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом.
На рисунке c и d.
П ри пересечении пары прямых (параллельных в данном случае) некой прямой (такая прямая называется секущей прямой) образуются (акромя пройденных нами в теме углы смежных и вертикальных) следующие углы:
Внутренние накрестлежащие углы - 2 и 8; 3 и 5
Внешние накрестлежащие углы - 1 и 7; 4 и 6
Внутренние односторонние углы - 2 и 5; 3 и 8
Внешние односторонние углы - 1 и 6; 4 и 7
Соответственные углы - 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8
Между этими углами можно вывести закономерности. Свойства параллельных прямых

23. Треугольники. Четырехугольники и многоугольники

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Четырёхугольник – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

найдено на resh.edu.ru

Многоугольник– фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки– сторонами.

24 Окружность и круг


25 свойства параллельного проектирования

Свойство 1

Если прямая параллельна или совпадает с прямой l , то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l , то ее проекцией является прямая.

Свойство 2

Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Свойство 3

Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекциями в направлении l являются две параллельны е прямы е или одна прямая

26. многогранник и их изображение
Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его многоугольников. Многоугольник на поверхности многогранника называется его гранью. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней - вершинами многогранника.

Простейшие многогранники - это призма и пирамида. Призмой называется многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник.

Призма, у которой основание - параллелограмм, называется параллелепипедом.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани -прямоугольники.

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого - квадраты.

27. Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики

Объектом изучения статистики является общество во всем многообразии ее форм и проявлений.
Предметом статистики выступают размеры и количественные соотношения качественно определенных социально-экономических явлений, закономерности их связи и развития в конкретных условиях места и времени.
Свой предмет статистика изучает методом обобщающих показателей.
В определении предмета статистики подчеркиваются несколько характерных особенностей статистки как науки. Статистика изучает:
1. Массовые общественные явления при помощи статистических показателей (численность населения, количество произведенной в стране конкретной промышленной, сельскохозяйственной, строительной и другой продукции за определенный период времени) и их динамику (изменения уровня жизни населения);
2. Количественную сторону массовых общественных явлений и дает количественное, цифровое освещение общественных явлений;
3. Количественную сторону общественных явлений в неразрывной связи с их качественным содержанием; наблюдает в обществе процесс перехода количественных изменений в качественные (так, количественные изменения структуры экспорта и импорта товаров свидетельствуют о качественных изменениях в экономике страны);

4. Количественную сторону общественных явлений в конкретных условиях места и времени (динамику численности населения, занятости его по секторам экономики, объема производства, распределения доходов, потребления и т.д.); характеризует явления общественной жизни в конкретных пространственных и временных границах;

5. Количественные связи между общественными явлениями, с помощью специальной методологии; использует математические методы при исчислении ряда статистических показателей (ошибок выборки, тесноты связи и т.д.), в свою очередь гуманитарные и естественные науки широко используют в своих исследованиях статистические методы сбора, обработки и анализа данных.

Методы статистики.

Для изучения предмета статистики разработаны и применяются специфические приемы, совокупность которых образует методологию статистики (методы массовых наблюдений, группировок, обобщающих показателей, динамических рядов, индексный метод и т.д.). Применение в статистике конкретных методов предопределяется поставленными задачами и зависит от характера исходной информации.

Общей основой разработки и применения статистической методологии является диалектический метод познания, согласно которому общественные явления и процессы рассматриваются в развитии, взаимной связи и причинной обусловленности. Знание законов общественного развития создает фундамент, с помощью которого можно понять и правильно истолковать явления, подлежащие статистическому исследованию, выбрать надлежащую методику его изучения и анализа.

При этом статистика опирается на такие диалектические категории, как количество и качество, необходимость и случайность, причинность и закономерность, единичное и массовое, индивидуальное и общее.

Статистические методы используются комплексно (системно). Это обусловлено сложностью процесса экономико-статистического исследования, состоящего из трех основных стадий:

Первая – сбор первичной статистической информации;

Вторая – статистическая сводка и обработка первичной информации;

Третья – обобщение и интерпретация статистической информации;

На первой стадии статистического исследования, в связи с необходимостью учета всего многообразия фактов и форм осуществления социально-экономических процессов и в соответствии с их массовым характером, применяется метод массового статистического наблюдения, обеспечивающий всеобщность, полноту и представительность (репрезентативность) полученной первичной информации.

На второй стадии – собранная в ходе массового наблюдения информация подвергается обработке методом статистических группировок, позволяющим выделить в изучаемой совокупности социально-экономические типы; совершается переход от характеристики единичных фактов к характеристике данных, объединенных в группы величин. Методы группировки различаются в зависимости от задач исследования и качественного состояния первичного материала.

На третьей стадии проводится анализ статистической информации на основе применения обобщающих статистических показателей: абсолютных, относительных и средних величин, вариации, тесноты связи и скорости изменения социально-экономических явлений во времени, индексов и др. Проведение анализа позволяет проверить причинно-следственные связи изучаемых явлений и процессов, определить влияние и взаимодействия различных факторов, оценить эффективность принимаемых управленческих решений, возможные экономические и социальные последствия складывающихся ситуаций.

При изучении статистической информации широкое применение имеют табличный и графический методы.

28. Статистическая информация и способы ее представления: простой статистический ряд (выборка), таблицы частот, таблицы относительных частот, столбчатые диаграммы, полигоны частот, круговые диаграммы, гистограммы.

Виды выборок
Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.
Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.
Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N, выборочной – n.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.



Таблица частот-это расположение значений, которые одна или несколько переменных принимают в выборке. Каждая запись в таблице содержит частоту или количество вхождений значений в пределах определенной группы или интервала, и таким образом, таблица суммирует распределение значений в выборке.

Столбчатая диаграмма - Диаграмма, представленная прямоугольными зонами, высоты или длины которых пропорциональны величинам, которые они отображают. Прямоугольные зоны могут быть расположены вертикально или горизонтально. Столбчатая диаграмма отображает сравнение нескольких дискретных категорий.

Полиго́н часто́т (в математической статистике) — один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины. Представляет собой ломаную, соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов.


Круговая диаграмма представляет собой круговую статистическую диаграмму, которая разделена на срезы для иллюстрации числовой пропорции. В круговой диаграмме длина дуги каждого среза (и, следовательно, его центральный угол и площадь) пропорциональна количеству, которое он представляет.

Гистограмма - Способ представления табличных данных в графическом виде - в виде столбчатой диаграммы. Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны.




29 Средняя арифметическая и его свойства
Средняя арифметическая (при степени k = 1) применяется в тех случаях, когда объем изучаемого признака образуется как сумма значений отдельных единиц анализируемой совокупности. Если средней арифметической величиной заменить каждый вариант усредняемого признака, итоговый показатель не изменяется.

Например, если заменить заработную плату отдельных работников предприятия средней заработной платой по данному предприятию за этот же период, то объем фонда заработной платы не будет изменяться

Средняя арифметическая величина может быть простой и взвешенной.

Простая средняя арифметическая величина (X) рассчитывается с использованием следующей формулы:

где п — объем статистической совокупности (число единиц в статистической совокупности).

Применяют простую среднюю арифметическую величину, как правило, при определении среднего уровня абсолютных величин с тем условием, что используемые при расчете данные (абсолютные величины) не сгруппированы.



30. Выборочная дисперсия и ее свойства.

Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое значений вариантов части отобранных объектов генеральной совокупности (выборки).



31. Опрос общественного мнения как пример сбора, обработки, представления, интерпритации данных. ( Лекция в тетради)

32. Статистические характеристики:

Пусть Х1, Х2 ... Xn - выборка независимых случайных величин.

Упорядочим эти величины по возрастанию, иными словами, построим вариационный ряд:
Х(1) < Х(2) < ... < X (n) , (*)
где Х(1) = min ( Х1, Х2 ... Xn),
Х(n) = max ( Х1, Х2 ... Xn).
Элементы вариационного ряда (*) называются порядковыми статистиками.

Величины d(i) = X(i+1) - X(i) называются спейсингами или расстояниями между порядковыми статистиками.

Размахом выборки называется величина
R = X(n) - X(1)
Иными словами, размах это расстояние между максимальным и минимальным членом вариационного ряда.
Выборочное среднее равно: = (Х1 + Х2 + ... + Xn) / n
Среднее арифметическое

Вероятно, большинство из вас использовало такую важную описательную статистику, как среднее.

Среднее - очень информативная мера "центрального положения" наблюдаемой переменной, особенно если сообщается ее доверительный интервал. Исследователю нужны такие статистики, которые позволяют сделать вывод относительно популяции в целом. Одной из таких статистик является среднее.

Доверительный интервал для среднего представляет интервал значений вокруг оценки, где с данным уровнем доверия, находится "истинное" (неизвестное) среднее популяции.

Например, если среднее выборки равно 23, а нижняя и верхняя границы доверительного интервала с уровнем p=.95 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с вероятностью 95% интервал с границами 19 и 27 накрывает среднее популяции.

Если вы установите больший уровень доверия, то интервал станет шире, поэтому возрастает вероятность, с которой он "накрывает" неизвестное среднее популяции, и наоборот.

Хорошо известно, например, что чем "неопределенней" прогноз погоды (т.е. шире доверительный интервал), тем вероятнее он будет верным. Заметим, что ширина доверительного интервала зависит от объема или размера выборки, а также от разброса (изменчивости) данных. Увеличение размера выборки делает оценку среднего более надежной. Увеличение разброса наблюдаемых значений уменьшает надежность оценки.

Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться плохой, особенно для малых выборок.

При увеличении объема выборки, скажем, до 100 или более, качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

Довольно трудно «ощутить» числовые измерения, пока данные не будут содержательно обобщены. Диаграмма часто полезна в качестве отправной точки. Мы можем также сжать информацию, используя важные характеристики данных. В частности, если бы мы знали, из чего состоит представленная величина, или если бы мы знали, насколько широко рассеяны наблюдения, то мы бы смогли сформировать образ этих данных.

Среднее арифметическое, которое очень часто называют просто «среднее», получают путем сложения всех значений и деления этой суммы на число значений в наборе.

Это можно показать с помощью алгебраической формулы. Набор n наблюдений переменной X можно изобразить как X1, X2, X3, ..., Xn. Например, за X можно обозначить рост индивидуума (см), X1 обозначит рост 1-го индивидуума, а Xi — рост i-го индивидуума. Формула для определения среднего арифметического наблюдений (произносится «икс с чертой»):
= (Х1 + Х2 + ... + Xn) / n
Можно сократить это выражение:

где (греческая буква «сигма») означает «суммирование», а индексы внизу и вверху этой буквы означают, что суммирование производится от i = 1 до i = n. Это выражение часто сокращают еще больше:

или
Медиана

Если упорядочить данные по величине, начиная с самой маленькой величины и заканчивая самой большой, то медиана также будет характеристикой усреднения в упорядоченном наборе данных.

Медиана делит ряд упорядоченных значений пополам с равным числом этих значений как выше, так и ниже ее (левее и правее медианы на числовой оси).
Вычислить медиану легко, если число наблюдений n нечетное. Это будет наблюдение номер (n + 1)/2 в нашем упорядоченном наборе данных.

Например, если n = 11, то медиана — это (11 + 1)/2, т. е. 6-е наблюдение в упорядоченном наборе данных.

Если n четное, то, строго говоря, медианы нет. Однако обычно мы вычисляем ее как среднее арифметическое двух соседних средних наблюдений в упорядоченном наборе данных (т. е. наблюдений номер (n/2) и (n/2 + 1)).

Так, например, если n = 20, то медиана — это среднее арифметическое наблюдений номер 20/2 = 10 и (20/2 + 1) = 11 в упорядоченном наборе данных.
Мода

Мода — это значение, которое встречается наиболее часто в наборе данных; если данные непрерывные, то мы обычно группируем их и вычисляем модальную группу.

Некоторые наборы данных не имеют моды, потому что каждое значение встречается только 1 раз. Иногда бывает более одной моды; это происходит тогда, когда 2 значения или больше встречаются одинаковое число раз и встречаемость каждого из этих значений больше, чем любого другого значения.

Как обобщающую характеристику моду используют редко.
Среднее геометрическое

При несимметричном распределении данных среднее арифметическое не будет обобщающим показателем распределения.

Если данные скошены вправо, то можно создать более симметричное распределение, если взять логарифм (по основанию 10 или по основанию е) каждого значения переменной в наборе данных. Среднее арифметическое значений этих логарифмов — характеристика распределения для преобразованных данных.

Чтобы получить меру с теми же единицами измерения, что и первоначальные наблюдения, нужно осуществить обратное преобразование — потенцирование (т. е. взять антилогарифм) средней логарифмированных данных; мы называем такую величину среднее геометрическое.

Если распределение данных логарифма приблизительно симметричное, то среднее геометрическое подобно медиане и меньше, чем среднее необработанных данных.
Взвешенное среднее

Взвешенное среднее используют тогда, когда некоторые значения интересующей нас переменной x более важны, чем другие. Мы присоединяем вес wi к каждому из значений xi в нашей выборке для того, чтобы учесть эту важность.

Если значения x1, x2 ... xn имеют соответствующий вес w1, w2 ... wn, то взвешенное арифметическое среднее выглядит следующим образом:
Например, предположим, что мы заинтересованы в определении средней продолжительности госпитализации в каком-либо районе и знаем средний реабилитационный период больных в каждой больнице. Учитываем количество информации, в первом приближении принимая за вес каждого наблюдения число больных в больнице.

Взвешенное среднее и среднее арифметическое идентичны, если каждый вес равен единице.
Размах (интервал изменения)

Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями переменной в наборе данных; этими двумя величинами обозначают их разность. Обратите внимание, что размах вводит в заблуждение, если одно из значений есть выброс (см. раздел 3).
Размах, полученный из процентилей

Что такое процентили

Предположим, что мы расположим наши данные упорядоченно от самой маленькой величины переменной X и до самой большой величины. Величина X, до которой расположен 1% наблюдений (и выше которой расположены 99% наблюдений), называется первым процентилем.

Величина X, до которой находится 2% наблюдений, называется 2-м процентилем, и т. д.

Величины X, которые делят упорядоченный набор значений на 10 равных групп, т. е. 10-й, 20-й, 30-й,..., 90 и процентили, называются децилями. Величины X, которые делят упорядоченный набор значений на 4 равные группы, т.е. 25-й, 50-й и 75-й процентили, называются квартилями. 50-й процентиль — это медиана.
Применение процентилей

Мы можем добиться такой формы описания рассеяния, на которую не повлияет выброс (аномальное значение), исключая экстремальные величины и определяя размах остающихся наблюдений.

Межквартильный размах — это разница между 1-м и 3-м квартилями, т.е. между 25-м и 75-м процентилями. В него входят центральные 50% наблюдений в упорядоченном наборе, где 25% наблюдений находятся ниже центральной точки и 25% — выше.

Интердецильный размах содержит в себе центральные 80% наблюдений, т. е. те наблюдения, которые располагаются между 10-м и 90-м процентилями.

Мы часто используем размах, который содержит 95% наблюдений, т.е. он исключает 2,5% наблюдений снизу и 2,5% сверху. Указание такого интервала актуально, например, для осуществления диагностики болезни. Такой интервал называется референтный интервал, референтный размах или нормальный размах.
Дисперсия

Один из способов измерения рассеяния данных заключается в том, чтобы определить степень отклонения каждого наблюдения от средней арифметической. Очевидно, что чем больше отклонение, тем больше изменчивость, вариабельность наблюдений.

Однако мы не можем использовать среднее этих отклонений как меру рассеяния, потому что положительные отклонения компенсируют отрицательные отклонения (их сумма равна нулю). Чтобы решить эту проблему, мы возводим в квадрат каждое отклонение и находим среднее возведенных в квадрат отклонений; эта величина называется вариацией, или дисперсией.

Возьмем n наблюдений x1, x2, х3, ..., xn, среднее которых равняется .

Вычисляем дисперсию:

дисперсия
В случае, если мы имеем дело не с генеральной совокупностью, а с выборкой, то вычисляется выборочная дисперсия:

выборочное стандартное отклонение
Теоретически можно показать, что получится более точная дисперсия по выборке, если разделить не на n, а на (n-1).

Единицы измерения (размерность) вариации — это квадрат единиц измерения первоначальных наблюдений.

Например, если измерения производятся в килограммах, то единица измерения вариации будет килограмм в квадрате.
Среднеквадратическое отклонение, стандартное отклонение выборки

Среднеквадратическое отклонение — это положительный квадратный корень из дисперсии.

Стандартное отклонение выборки - корень из выборочной дисперсии:
Мы можем представить себе стандартное отклонение как своего рода среднее отклонение наблюдений от среднего. Оно вычисляется в тех же единицах (размерностях), что и исходные данные.

Если разделить стандартное отклонение на среднее арифметическое и выразить результат в процентах, получится коэффициент вариации.

Он является мерой рассеяния, не зависит от единиц измерения (безразмерный), но имеет некоторые теоретические неудобства и поэтому не очень одобряется статистиками.
Вариация в пределах субъектов и между субъектами

Если провести повторные измерения непрерывной переменной у исследуемого объекта, то можно увидеть ее изменения (внутрисубъектные изменения). Это можно объяснить тем, что объект не всегда может дать точные и те же самые ответы, и/или ошибкой, погрешностью измерения. Однако при измерениях у одного объекта вариация обычно меньше, чем вариация единичного измерения в группе (межсубъектные изменения).

Например, вместимость легкого 17-летнего мальчика составляет от 3,60 до 3,87 л, когда измерения повторяются не менее 10 раз; если провести однократное измерение у 10 мальчиков того же возраста, то объем будет между 2,98 и 4,33 л. Эти концепции важны в плане исследования.
33. понятие фукциональной, стохастической и корреляционной зависимости. Функция регрессии. (лекция)

Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, быть независимыми, либо статистически зависимыми.

Если значению одной величины соответствует строго определенное значение другой величины, то зависимость между ними называется функциональной. Функционально связанные случайные величины х и у могут принимать различные значения, но если х приняла определенное значение, то у соответствует ему однозначно.

Статистической зависимостью величины у от величины х называется зависимость при которой каждому значению величины х из множества её возможных значений соответствует некоторое множество возможных значений величины у, характеризуемое определенным законом распределения.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная (или стохастическая). Понятие корреляции соответствует русскому термину «соотношение».

Основные регулирующие системы организма непрерывно осуществляют стабилизацию всех параметров. При возникновении патологии (или при изменении внешних воздействий) изменение значения одного параметра влечет за собой изменения в различной степени значений других параметров. В силу наличия обратных связей и множественности путей саморегуляции организма связь между его параметрами является случайной и может быть описана не функциональной зависимостью, а корреляционной связью. Выявление связей (корреляций) между различными случайными параметрами и случайными процессами широко используется в медицинской диагностике.

Благодаря различным формам корреляции (физико-химическим, нервным, морфофизиологическим, эволюционным и т.д.) организм проявляется как единая сложная целостная система.
Корреляция обозначает главным образом степень выраженности связи между вариационными рядами. Например, между массой тела человека и объемом циркулирующей крови, между основным обменом веществ и амплитудной артериального давления. Уже в 1637 г. Галилей обсуждал связь между размерами скелета и массой организма.

Наглядно корреляционная зависимость может быть выражена графически. На осях абцисс и ординат откладываются значения вариационных рядов. Для каждого отдельного наблюдения получают значения в каждом из вариационных рядов. Эти значения (при данном наблюдении) соответствуют друг другу и их совокупность обозначается точкой на плоскости. Число таких точек оказывается равным числу наблюдений. Совокупность точек на плоскости называется корреляционным полем,оно создаёт общую картину корреляции и обычно позволяет построить усреднённую кривую – линию регрессии – взаимосвязи параметров, составляющих два вариационных ряда.

Если между величинами существует связь, то корреляционное поле имеет вид элипса со сгущениям точек вокруг главной оси и их малым числом на периферии


34 Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

35. составление задачи решения задачи арифметическим способом.


36. Теоретико-множественный смысл натурального числа.

Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.
37. Действия над целыми неотрицательными числами.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., появившиелся в результате счета, называются натуральными. Так говорится в справочние по математике. К математике это определение натуральных чисел никакого отношения не имеет. Это уровень шаманов с бубнами. Математическое определение натуральных чисел должно звучат так: единица и все числа, полученные в результате сложения единиц, называются натуральными числами. Это определение я опубликовал на сайте "Математика для блондинок" 1 февраля 2010 года. Пользуйтесь на здоровье.

Для натуральных чисел определены следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Никто из математиков вам не объяснит, чем арифметическое сложение отличается от алгебраического сложения. Те же пляски шаманов с бубнами. Евангелие от Арифметики начинается с арифметического сложения, Евангелие от Алгебры начинается с алгебраического сложения. Это уровень современной математической "науки".

Сложение.

Числа, которые складываются, называются слагаемые. Результат сложения называется сумма. Слагаемые различают по порядку их записи в математическом выражении: первое слагаемое, второе слагаемое и так далее. Никто из математиков не говорит о том, что складывать можно только числа с одинаковыми единицами измерения. До уровня единиц измерения наши математики ещё не доросли. Их уровень - это детишки, которые в песочнице своих определений играются числами и не понимают, что и как они делают.

Вычитание.

Вычитанием математики называют действие, обратное сложению. Число, из которого вычитают, назывется уменьшамое. Число, которое вычитают, назывется вычитаемое. Результат вычитания называется разность. Лично я не выделял бы вичитание в отдельное математическое действие, а рассматривал его как элемент сложения. Сложение - это изменение количества рассматриваемой единицы измерения. Математике безразлично, увеличивается это количество или уменьшается. Важен только факт изменения.

Умножение.

Числа, которые умножаются, называются сомножители. Результат умножения называется частное. Сомножители, как и слагаемые, различают по порядку записи в математическом выражении: первый сомножитель, второй сомножитель и так далее. Чем отличается умножение от сложения? При умножении изменяются единицы измерения, при сложении - нет. Выдавать умножение за многократное сложение - это обычное мошенничество. Сколько бы отрезков вы не складывали, вам никогда не получить площадь. Сколько бы раз вы не произносили слово "халва", во рту сладко не станет. Математика без единиц измерения - это как человек без головы. Если вы будете изучать поведение человека, предварительно отрывая людям головы, вы неизбежно придете к выводу, что одежда совершает все действия и руководит безжизненными телами. К таким же результатам приводит изучение чисел без единиц измерения. Что же касается подмены умножения сложением, то выглядит это так:

Деление.

Делениеем называется действие, обратное умножению. Число, которое делится, называется делимое. Число, на которое делят, называется делитель. Результат деления называется частное. В математике принято считать, что деление на ноль невозможно. Деление не является математическим действием. Это решение типовой математической задачи. Деления дробей не существует, его математики подменяют умножением (опять мошенничество). В области чисел деление на ноль дейчтвительно нет, но оно есть в области единиц измерения, которые современная математика тупо игнорует.

Возведение в степень.

Умножение одинаковых сомножителей математики называют возведением в степень. Число, которое повторяется при умножении, называется основание степени. Число сомножителей называется показатель степени. Результат называется степень. Возведение в степень - это очередная типовая задача, возведенная в ранг математических действий. Сами же математики говорят, что это умножение.

Извлечение корня.

Действие, обратное возведению в степень, называется извлечение корня. Результат возведе

ния в степень называется подкоренное число. Показатель степени называется показатель корня. Основание степени называется корень. Еще одна типовая задача, названная математическим действием.

Примечания к математическим действиям.

Действия сложения и умножения обладают свойствами переместительности, сочетательности и распределительности. Следует заметить, что вычитание, деление, возведение в степень и извлечение корня подобными свойствами не обладают именно потому, что они не являются математическими действиями. Математические свойства сложения и умножения должны выполняться всегда и везде, не зависимо от разделов математики.

Выражения, по определению не имеющие смысла: а/0, где а≠0 полагают не имеющим смысла, так как результат деления не существует; 0/0; 0° считают не имеющими смысла, поскольку результат соответствующих действий не может быть определен. Так гласит математический справочник. Вот здесь нужно разобрать ситуацию более подробно.

Математики относятся к своим определениям так же, как религиозные верующие относятся к своим Священным Писаниям - ни при каких обстоятельствах Священные Писания нельзя переписывать. Подобный подход превращает математику из науки в религию, а самих математиков - в банальных религиозных проповедников. Единственное отличие проповедников математики от проповедников религии - они сами пишут свои Священные Писания, в которые потом заставляют верить всех остальных. Какие правки нужно внести в математику, чтобы избежать "выражений, не имеющих смысла" и бесконечного повторения "не равен нулю"? Вот мои предложения.

38. Смысл арифметических действий над числами
Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число. Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий. Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.
39.Натуральное число как мера величины.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Определение. Величины, которые определяются только числовым значением, называются скалярными величинами (примеры скалярных величин: длина, объем, тeмпература).

Некоторые скалярные величины допускают неограниченное дробление предмета, явления на части, каждая из которых сохраняет те же свойства, что и целое (но в меньшей мере, в меньшем количестве). Такие скалярные величины принято называть аддитивно-скалярными величинами (это – длина, площадь, масса и т. д.). Величина «плотность тела» не будет аддитивно-скалярной, так как любая часть данного тела (например, часть куска железа) будет иметь такую же плотность, как и все тело.
Дадим аксиоматическое определение аддитивно-скалярной величине.

Пусть M – множество предметов (явлений), обладающих некоторым свойством P (например, иметь длину или площадь), и во множестве M определено отношение эквивалентности относительно свойства P. Пусть также во множестве M выбран некоторый элемент e в качестве единицы (эталона), при этом для произвольных элементов a, bÎM имеет место операция сложения a + b = c, cÎM.

Определение (аксиоматическое определение величины). Свойство P называется аддитивно-скалярнай величиной, если существует отображение f множества M на множество положительных действительных чисел R+ , удовлетворяющее следующим условиям:
j cуществует элемент еÎM, которому соответствует единица: f(e) = 1;

e называется эталоном или единицей измерения;
k если элементы aÎM и bÎM эквивалентны относительно свойства P, то f(a) = f(b);
l если на множестве M элемент c состоит из элементов a и b, то f(c) = f(a) + f(b);
m если на множестве M определены два отображения f1 и f2, удовлетворяющие условиям j–l, то существует такое положительное число k, что для любого элемента xÎM справедливо равенство f2(x) = kf1(x).
Отображение f в данном случае называется измерением величины Р, а положительные действительные числа f(a), f(b), f(c) – мерой величины (или ее значением).
Кроме скалярных величин в математике, физике и других науках встречаются величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными величинами (или векторами), например: скорость, ускорение, сила.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2, ... , хп, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х1, х2, ... , хn и пишут х = х1 Å х2 Å…Å хn. (знак Å обозначает операцию сложения величин, а не чисел; смысл операции сложения величин для величин определенного рода устанавливается свой)

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.
Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.
Пишут: Х = а × Е или а = тЕ (Х).
Описание: https://studfile.net/html/2706/1205/html_HNsUPuqDqT.tRzv/img-_kafIM.png
Например, отрезок х (см. рисунок) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.
Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е,
а длину отрезка х – буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = mЕ (Х).
Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е, то мера длины отрезка будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3×Е1 или mЕ1 (Х) = 3.

Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у – из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.
40.Возникновение геометрии.

Геометрия с практической точки зрения - это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.
Около 2900 лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется 2000

годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.
Именно греки 600 – 400 лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
41.Аксидоматика Евклидовой геометрии.

Здесь мы рассмотрим различные аксиоматики евклидовой геометрии, используемые в той или иной степени в школьных учебниках по геометрии.

В Энциклопедии элементарной математики [1] евклидово пространство определяется как совокупность объектов трех видов, называемых точками, прямыми и плоскостями,и преобразованиями, переводящими совокупность всех точек в себя, называемые движениями. Между этими объектами определены отношения: точка принадлежит прямой (прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками.

Указанные объекты и отношения удовлетворяют следующим аксиомам.

1. Аксиомы принадлежности.

1.1. Через две различные точки проходит единственная прямая.

1.2. На каждой прямой имеются, по крайней мере, две точки, ей принадлежащие.

1.3. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

1.4. Через каждые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

1.5. На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка, ей принадлежащая.

1.6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.

1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку.

1.8. Существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

2. Аксиомы порядка.

2.1. Из любых трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Для любых двух точек прямой существует такая третья точка на этой прямой, что вторая лежит между первой и третьей.

2.3. Если прямая лежит на плоскости, определяемой тремя точками A, B, C, не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB, то она пересекает отрезок AC или отрезок BC.

3. Аксиомы движения.

3.1. Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя.

3.2. Если точки A, B и C лежат на одной прямой, причем C лежит между Aи B, то всякое движение f переводит их в точки f(A), f(B), f(C), принадлежащие одной прямой, причем f(C) лежит между f(A) и f(B).

3.3. Композиция двух движений является движением.

3.4. Для всяких двух реперов, взятых в определенном порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй ( Репером называется произвольная тройка (A, a, a), где A – точка, a - луч с вершиной в этой точке, a – одна из двух полуплоскостей, определяемых лучом a).

4. Аксиомы непрерывности.

4.1 (Аксиома Архимеда). Пусть A0, A1, B – три точки, принадлежащие одной прямой, причем точка A1 лежит между A0 и B. Пусть, далее, f – движение, переводящее точку A0 в точку A1 и луч A0B в луч A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3,… . Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.

4.2 (Аксиома Кантора). Пусть A1, A2, … и B1, B2, … такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой, что для любого n точки An и Bn различны между собой и находятся на отрезке An-1Bn-1. Тогда на этой прямой существует такая точка C, которая принадлежит всем отрезкам AnBn .

5. Аксиома параллельности.

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

А.Д.Александров в книге [2] к основным объектам планиметрии относит точки и отрезки, а к основным отношениям: точка является концом отрезка, точка лежит на отрезке, равенство отрезков.

Аксиомы подразделяются на линейные и плоскостные.

Линейные аксиомы.

1. Аксиомы связи.

1.1 (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок. У каждого отрезка есть два и только два конца. Кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.

1.2 (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.

1.3 (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т.е. если точка C лежит на отрезке AB, то она делит его на два отрезка AC и BC, которые не имеют общих внутренних точек.

1.4 (аксиома соединения отрезков). Если точка C лежит на отрезке AB, а B на CD, то отрезки AB и CD образуют отрезок AD.

2. Аксиомы равенства.

2.1 (аксиома откладывания отрезка). Для любых двух отрезков AB и MN существует и притом единственный отрезок AC, равный MN и налегающий на AB.

2.2 (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.

2.3 (аксиома сложения). Если точка C принадлежит отрезку AB, точка C1 принадлежит отрезку A1B1 и AC=A1C1, BC=B1C1, то AB = A1B1.

2.4 (аксиома Архимеда) Для любых данных отрезков a, b=AB существует содержащий AB отрезок AAn, на котором есть такие точки A1, A2,…,An, что отрезки AA1, A1A2,…, An-1An равны a.

3. Аксиома непрерывности.

3.1. Для любой последовательности вложенных отрезков A1B1A2B2…существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

4. Плоскостные аксиомы.

4.1 (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку a все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем a, делятся на два класса: в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от a, в другой – точки, лежащие с другой стороны от a, причем в каждом классе есть точки.

4.2 (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному углу. (Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины). При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.

4.3 (аксиома параллельных отрезков). Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка AB под прямым углом, то CD=AB.

5. Пространственные аксиомы.

5.1 (аксиома плоскости). В пространстве существуют плоскости (фигуры, на которых выполняется планиметрия). Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

5.2 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

5.3 (аксиома принадлежности прямой плоскости). Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

5.4 (аксиома разбиения пространства плоскостью). Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

5.5. (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.

В книге А.В.Погорелова [3] геометрия основана на следующих аксиомах.

1. Аксиомы принадлежности.

1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы порядка.

2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

3. Аксиомы меры для отрезков и углов.

3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 1800 . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

3.3. Каково бы ни было вещественное число d > 0, существует отрезок длины d.

4. Аксиома существования треугольника, равного данному.

4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

5. Аксиома параллельных

5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

6. Аксиомы стереометрии

6.1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

6.2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

6.3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
В курсе элементарной геометрии Д.И.Перепелкина [4] рассматриваются следующие аксиомы геометрии.

1. Аксиомы соединения.

1.1. Через любые две данные точки проходит одна и только одна прямая.

1.2. На каждой прямой имеется бесчисленное множество точек.

1.3. Существуют точки, не лежащие на одной прямой.

1.4. Через любые три данные точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

1.5. На каждой плоскости имеется бесчисленное множество точек.

1.6. Если две точки данной прямой лежат на некоторой плоскости, то и все точки этой прямой лежат на той же плоскости.

1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и вторую общую точку.

1.8. Существуют точки, не лежащие на одной плоскости.

2. Аксиомы порядка.

2.1. Из трех точек одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Если A и B – две данные точки, то на прямой AB существует как бесчисленное множество точек, лежащих между A и B, так и бесчисленное множество точек, для которых точка B лежит между точкой A и каждой из этих точек.

2.3. Всякая точка O, лежащая на прямой, разделяет остальные точки этой прямой на два класса так, что точка O лежит между любыми двумя точками различных классов, но не лежит между двумя точками одного класса.

2.4. Всякая прямая, лежащая в некоторой плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области.

3. Аксиомы конгруэнтности.

3.1. Равенство отрезков и углов обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

3.2. Пусть точка C лежит на прямой AB между точками A и B, а точка C’ на прямой A’B’ между точками A’ и B’. Если при этом AC=A’C’, BC=B’C’, то AB=A’B’. Если при этом же условии AB=A’B’, AC=A’C’, то BC=B’C’.

3.3. Пусть луч l лежит между сторонами h, k угла hk, а луч l’ – между сторонами h’, k’ угла h’k’. Если при этом hl = h’l’ и lk = l’k’, то и hk = h’k’. Если при этом же условии hk = h’k’ и hl = h’l’, то и kl = k’l’.

3.4. Пусть AB – некоторый отрезок и h’ – луч, выходящий из точки A’; на луче h’ существует одна и только одна такая точка B’, что отрезок AB конгруэнтен отрезку A’B’.

3.5. Пусть hk – некоторый угол, h’ – луч, выходящий из точки O’ и a – полуплоскость, выходящая из луча h’; в полуплоскости a существует один и только один такой луч k’, выходящий из точки O’, что hk = h’k’.

3.6. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и углы обоих треугольников, заключенные между этими сторонами, равны, то и остальные углы этих треугольников равны.

4. Аксиомы окружности.

4.1. Если один конец отрезка лежит внутри окружности, а другой – вне окружности, то отрезок имеет с окружностью общую точку.

4.2. Если один конец некоторой дуги окружности лежит внутри другой окружности, а другой конец – вне окружности, то дуга окружности и вторая окружность имеют общую точку.

5. Аксиома параллельности.

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

6. Аксиома Архимеда.

6.1. Каковы бы ни были два данных отрезка, всегда найдется такое кратное меньшего отрезка, которое превосходит больший.

7. Аксиома Кантора.

7.1. Если дана безгранично убывающая последовательность вложенных отрезков, то существует такая точка, которая будет внутренней или конечной точкой каждого из этих отрезков.
В школьном учебнике геометрии Л.С.Атанасяна и др. используется следующая система аксиом геометрии.

1. Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

1.1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

1.2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

1.3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

1.4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

1.5. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.

1.6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

1.7. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

1.8. Каждая точка прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от данной точки, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от данной точки.

1.9. Каждая прямая, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от данной прямой.

1.10. Каждая плоскость разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от данной плоскости, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от данной плоскости.

2. Аксиомы наложения и равенства.

Наложением называется отображение пространства на себя. Две фигуры называются равными если одна из них переходит в другую с помощью некоторого наложения.

2.1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

2.2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

2.3. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

2.4. Два равных угла hk и h1k1, лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P1 можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P1, причем это можно сделать двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k – с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k – с лучом h1.

2.5. Любая фигура равна самой себе.

2.6. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.

2.7. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.

3. Аксиомы измерения отрезков.

3.1. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

3.2. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

4. Аксиома параллельных.

4.1. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.
В школьном учебнике геометрии И.М.Смирновой, В.А.Смирнова [6] основными геометрическими фигурами считаются точки, прямыеи плоскости. Первые аксиомы относятся к понятию принадлежности.

1. Через любые две точки проходит единственная прямая.

2. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, ей не принадлежащие.

Одним из основных отношений взаимного расположения точек на прямой является отношение лежать между. Точки на прямой могут лежать между двумя данными точками на этой прямой или не лежать между ними. Если точка О лежит между точками А и В, то в этом случае говорят также, что точки А и В лежат на прямой по разные стороны от точки О. В противном случае говорят, что точки А и В лежат на прямой по одну сторону от точки О.

В качестве аксиом взаимного расположения точек на прямой принимаются следующие свойства.

3. Из трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими.

4. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.

Часть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком. При этом сами данные точки называются концами отрезка.

Часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону, называется полупрямой или лучом. При этом сама данная точка называется началом или вершинойлуча.

Одной из основных операций, которую можно производить с отрезками, является операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку. Равенство отрезков АВ и А1В1 записывается в виде АВ=А1В1. Оно означает, что если один из этих отрезков, например АВ, отложить на луче А1В1от точки А1, то отрезок АВ при этом совместится с отрезком А1В1.

Если при откладывании отрезка АВ на луче А1В1 от точки А1 точка В переходит в точку, лежащую между точками А1, В1, то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А1В1 и обозначают АВ < А1В1. Говорят также, что отрезок А1В1 больше отрезка АВ и обозначают А1В1>AB

Если на отрезке АВ между точками А и В взять какую-либо точку С, то образуется два новых отрезка АС и СВ. Отрезок АВ называется суммой отрезков АС и СВ и обозначается
АВ = АС + СВ.

Каждый из отрезков АС и СВ называется разностью отрезка АВ и другого отрезка, обозначается

АС = АВ - СВ, СВ = АВ - АС.

Чтобы сложить два произвольных отрезка АВ и CD, продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ, равный CD. Отрезок АЕ даст сумму отрезков АВ и CD,

АЕ = АВ + CD.

Аналогичным образом поступают для вычитания из большего отрезка меньшего.

Следующие свойства, относящиеся к понятию равенства отрезков, принимаются за аксиомы.

5. Каждый отрезок равен самому себе.

6. Если два отрезка равны третьему, то они равны между собой.

7. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.

8. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков, равны.

Используя операцию сложения отрезка с самим собой можно определить операцию умножения отрезка на натуральное число. А именно, положим для отрезка АВ

2АВ = АВ + АВ,3АВ = 2АВ + АВ, ..., nАВ = (n-1)АВ + АВ, ... .

Определим также операцию деления отрезка на натуральное число, или, что то же самое, операцию деления отрезка на n равных частей, считая AB:n отрезком, при умножении которого на n получается исходный отрезок АВ, т.е. n(AB:n) = AB.

В качестве аксиомы принимается следующее свойство.

9. Любой отрезок можно разделить на n равных частей, n = 2,3, ... .

Следующее свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек на плоскости относительно данной прямой.

10. Каждая прямая на плоскостиразбивает эту плоскость на две части, для точек которых говорят, что они лежат по разные стороны от данной прямой. При этом, если две точки, принадлежат разным частям плоскости относительно данной прямой, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.

Часть плоскости, состоящую из точек данной прямой и точек, лежащих по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью.

Два луча с общей вершиной так же разбивают плоскость на две части. Если лучи не лежат на одной прямой, то меньшая из этих частей является общей частью двух полуплоскостей, определяемых данными лучами.

Фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами, называется углом. Общая вершина называется вершиной угла, а сами лучи - сторонами угла. Точки угла, не лежащие на его сторонах, называются внутренними. Лучи, исходящие из вешины данного угла и проходящие через внутренние точки угла, называются внутренними.

Одной из основных операций, которую можно производить с углами, является операция откладывания данного угла в ту или другую сторону от данного луча. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу. Равенство углов АОВ и А1О1В1 записывается в виде АОВ = А1О1В1. Оно означает, что если один из этих углов, например АОВ, отложить от луча О1А1 в сторону, определяемую лучом О1В1, то угол АОВ при этом совместится с углом А1О1В1.

Если при откладывании угла АОВ на луче А1О1В1 от луча О1А1 луч ОВ переходит в луч, лежащий внутри угла А1О1В1, то говорят, что угол АОВ меньше угла А1О1В1 и обозначают АOВ < А1O1В1. Говорят также, что угол А1О1В1 больше угла АОВ и обозначают А1O1В1 >AOB.

Если внутри угла АОВ провести луч ОС, то образуется два новых угла АОС и СОВ. Угол АОВ называется суммой углов АОС и СОВ и обозначается

АОВ = АOС + СOВ.

Каждый из углов АОС и СОВ называется разностью угла АОВ и другого угла, обозначается

АOС = АOВ - СOВ,СOВ = АOВ - АOС.

Чтобы сложить два угла, например АОВ и CО1D, отложим угол CO1D от луча ОВ так, чтобы точки В и D находились по разные стороны от прямой ОВ. Обозначим ОЕ луч, в который перейдет луч О1D. Тогда угол АОЕ даст сумму углов АОВ и CО1D,

АOЕ = АOВ + CO1D.

Аналогичным образом поступают для вычитания из большего угла меньшего.

Аксиомами, относящимися к понятию равенства углов являются следующие:

11. Каждый угол равен самому себе.

12. Если два угла равны третьему, то они равны между собой.

13. От любого луча на плоскостив заданную сторону можно отложить только один угол равный данному.

14. Углы, полученные сложением или вычитанием соответственно равных углов, равны.

15. Все развернутые углы равны.

Используя операцию сложения угла с самим собой можно определить операцию умножения угла на натуральное число и деления угла на n равных частей. Для угла АОВ углом АОВ:n считается такой угол, при при умножении которого на n получается исходный угол АОВ, т.е.

n(AОB:n) = AОB.

В качестве аксиомы принимается следующее свойство.

16. Любой угол можно разделить на n равных частей, n = 2,3, ...

Два треугольника назовем равными, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключенные между соответственно равными сторонами, равны.

В качестве аксиомы принимается следующее свойство.

17. Каковы бы ни были треугольник и луч на плоскости, существует треугольник, равный данному, у которого первая вершина совпадает с вершиной луча, вторая – лежит на луче, а третья расположена в заданной полуплоскости относительно луча.

Аксиома параллельных формулируется в виде:

18. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Завершает аксиомы планиметрии один из вариантов аксиомы непрерывности.

19. Соответствие, при котором точкам координатной прямой сопоставляются их координаты, является взаимно однозначным соответствием между точками координатной прямой и действительными числами.

Отметим, что приведенная система аксиом является избыточной в том смысле, что некоторые последующие аксиомы перекрывают предыдущие. Например, из аксиомы об откладывании треугольника равного данному и признаков равенства треугольников следует, что все развернутые углы равны. Тем не менее авторы предпочли сформулировать аксиому о равенстве развернутых углов отдельно, поскольку она используется в самой первой теореме о равенстве вертикальных углов. Кроме этого, на ее основе строится процесс измерения величин углов.

То, что отрезок можно разделить на n равных частей является следствием аксиомы непрерывности или аксиомы параллельности. Авторы предпочли принять это свойство в качестве самостоятельной аксиомы, поскольку оно существенным образом используется при измерении длин отрезков, различных доказательствах и построениях.
42.Свойства геометрических фигур на плоскости.

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.
Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.
Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.
Основные свойства:

1.Сумма углов четырёхугольника равна 360°

2.Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

3.Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.

4.Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.
Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Свойства:

1.Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;

2.Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;

3.У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;

4.Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.
Свойства:

1.Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.

2.Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.