контра. 1. Выбор задач и варианта Студент должен выбрать для своей контрольной работы задачу С1 и по одной (любой) задаче из разделов Кинематика

• Название: 1. Выбор задач и варианта Студент должен выбрать для своей контрольной работы задачу С1 и по одной (любой) задаче из разделов Кинематика
• Анкор: контра
• Дата: 09.11.2020
• Размер: 1.01 Mb.
• Имя файла: Kontr_rabota.doc
• Тип: Контрольная работа; #149209
• страница: 2 из 8

Образец выполнения

Условия задачи. Даны уравнения движения точки:

x =  2 cos(t ⁄4) + 3, y = 2 sin(t ⁄8) 1 ( х , y – в cм , t – в с ). (1)

Определить уравнение траектории точки; а также скорость, полное, касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны ее траектории для момента времени t₁ = 1 c.

Решение. Для получения уравнения траектории точки исключим из уравнений движения (1) время t . Сначала преобразуем уравнения (1) к виду , .

Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций причем один аргумент вдвое больше другого, то, воспользовавшись формулой , получим : .

Откуда после несложных преобразований находим уравнение траектории в виде

(2)

Очевидно, что это уравнение параболы с вершиной В(1, –1). Как следует из уравнений движения (1) точки, ее координаты изменяются в пределах: ; . Поэтому траекторией является лишь участок АВС параболы (рис. 4).

Найдем положение точки в момент времени с . Для этого вычисляем значения координат:

1,59 см ,

– 0,24 см

На рис.4 этому положению соответствует точка М .

Находим выражения для проекций вектора v скорости точки на координатные оси, используя известные формулы кинематики [1, c.102]:

,



(здесь и далее точки над переменными означают дифференцирование по времени) .

Находим модуль вектора скорости: .

Вычисляем значения при с :

1,11 см/c ,

0,73 см/c ,

1,33 см/с .

Аналогично находим проекции вектора а ускорения точки на координатные оси и модуль ускорения [1 c.103]:

,

,

.

Значения, соответствующие с будут:

0,87 см/c² ,

– 0,12 см/c² ,

0,88 см/c² .

Величину касательного ускорения точки найдем как проекцию вектора ее ускорения на направление вектора ее скорости v , т.к. известно, что вектор v направлен по касательной к траектории :



Здесь - скалярное произведение векторов а и v .

Для момента времени с, используя ранее найденные значения, получим :

см/c² .

Поскольку векторы касательного a_ и нормального a_n ускорений взаимно перпендикулярны а их сумма равна полному ускорению точки , то можно найти величину нормального ускорения, используя теорему Пифагора (см. рис.7): .

Для момента времени получим значение:

см/c² .

Радиус кривизны траектории определяем, используя известную формулу [1, c.109] для нормального ускорения (  - радиус кривизны траектории точки).

Отсюда получаем и вычисляем значение радиуса кривизны в том месте траектории, где находится точка в момент времени с : см .



Ответ: -уравнение траектории; М(1,59; -0,24) - положение точки; v(1,11; 0,73), v = 1,33 см/с - скорость; a(0,87; -0,12), a = 0,88 см/с² - ускорение;  = 3,85 см – радиус кривизны.