Вопросы к экзамену Полесский. 29. Тесты гетероскедастичнсоти. 46
 Скачать 5.25 Mb.
|
Модель множественной регрессии с автокоррелированными ошибками.Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Автокоррелированные ошибки Пусть мы имеем дело с моделью  в которой  где , а случайные величины  являются гауссовскими инновациями, так что они взаимно независимы и имеют одинаковое распределение  и, кроме того,  не зависит от значений  . Общий для всех субъектов коэффициент  можно оценить различными способами. При этом в большинстве случаев сначала переходят к модели, скорректированной на групповые средние: т.е.  а затем поступают по-разному. Можно, например, оценить (методом наименьших квадратов) последнюю модель без учета автокоррелированности ошибок, получить последовательность остатков  вычислить значение статистики Дарбина—Уотсона и, используя приближенное соотношение  ‚ получить оценку  . После получения оценки для производится преобразование переменных, призванное получить модель с независимыми ошибками. Наконец, в рамках преобразованной модели производится обычный анализ на фиксированные или случайные эффекты.Обобщенная линейная модель множественной регрессии (ОЛММР) 5.1 Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными остатками При построении регрессионных моделей достаточно часто возникает ситуация, связанная с неоднородностью выборочных совокупностей значений статистических признаков (значения объясняющих признаков характеризуют объекты разных масштабов). Действительно, исследуются экономические объекты (потребители, домохозяйства, предприятия, отрасли, регионы, страны и т.д.), различающие по доходам, прибыли, размерам, потребностям и т.д. Значения переменных, входящих в уравнение регрессии, часто значительно различаются в разных наблюдениях и экономические переменные меняют свой масштаб не одновременно. В этом случае вариации значений невключенных в уравнение переменных и ошибки измерения, определяющие совместно значение остатков ε, не всегда сравнительно малы при малых Yи X в (5.1) и сравнительно велики – при больших Yи X:  Рассматривая метод наименьших квадратов, мы обратили внимание на случаи, когда применение МНК ведет к различным негативным последствиям при невыполнении условий его применения, одним из которых является независимость остатков и постоянство их дисперсии. В рамках классической линейной модели множественной регрессии (КЛММР) предполагается выполнение всех условий теоремы ГауссаМаркова (см. п. 4.4). Предположим, нарушено условие о независимости остатков и постоянстве их дисперсии:  Если остатки имеют постоянную дисперсию, они называются гомоскедастичными, но если они непостоянны, то гетероскедастичными (или имеет место гетероскедастичность). Гетероскедастичность приводит к тому, что оценки параметров по методу наименьших квадратов будут несмещенными, состоятельными, но неэффективными и формулу для стандартной ошибки оценки адекватно применять нельзя (стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессий смещены). Таким образом, выводы, получаемые на основе t−статистик и F−критерия, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а, следовательно, t−статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющимися. Для КЛММР дисперсия случайной ошибки определялась на основе условия гомоскедастичности, т.е. ковариационная матрица регрессионных остатков может быть представлена в виде:  где  =const – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ;  – единичная матрица размерности nxn . Обобщённой линейной моделью множественной регрессии (ОЛММР) называется модель, для которой нарушаются условия о гомоскедастичности и некоррелированности случайных ошибок. Отличие между КЛММР и ОЛММР заключается в матрице ковариаций случайных ошибок модели. Ковариационная матрица регрессионных остатков ОЛММР является симметричной положительно определенной матрицей с неравными элементами на главной диагонали: Актуальными являются задачи, связанные с выявлением гетероскедастичности, тестирования гипотез о ее наличии, способами устранения и, следовательно, повышения точности оценок результата. Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладывается объясняющая переменная Х, либо линейная комбинация объясняющих переменных: Y = a0 + a1*X1+a2*X2+a3*X3 +…+amXm + Ɛ По оси ординат – либо остатки, либо их квадраты. Примеры таких графиков приведены на рис. 5.1. На рисунке 5.1(а) все отклонения находятся внутри полосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это говорит о независимости дисперсий от значений переменной Х и их постоянстве (гомоскедастичности остатков). На рисунке 5.1(б−г) наблюдаются систематические изменения в соотношениях между значениями переменной Х и квадратами остатков. На рисунке 5.1(в) отражена – линейная; (г) – квадратичная; (д) – гиперболическая зависимости между квадратами остатков и значениями объясняющей переменной Х. Ситуации, представленные на рисунке (б−г) отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.  изуальный анализ остатков регрессии можно выполнить в ППП Microsoft Excel с помощью Данные Анализ данных Регрессия, при этом необходимо поставить флажки Остатки, График остатков. При этом если ярко выражена непостоянная степень разброса остатков: можно выделить области с большими по модулю остатками (высокая дисперсия) и области с небольшими по модулю остатками (невысокая дисперсия), то можно предположить о нарушении предпосылки МНК о гомоскедастичности остатков. Графический анализ остатков является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии. При множественной регрессии графический анализ возможен для каждой из объясняющих переменных Хj , j = 1, 2, …, m отдельно. Вместо объясняющих переменных Хj по оси абсцисс часто откладывают значения yj, получаемые из уравнения регрессии (5.5). Для проверки наличия гетероскедастичности используются различные методы, в зависимости от природы исходных данных: критерий μ, параметрический тест Гольдфельда-Квандта, тест ранговой корреляции Спирмэна, тест Глейсера и др. В каждом из них формулируется нулевая и конкурирующая гипотезы. |