А(w) – амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы W(jw).
φ(w) – аргумент W(jw), φ(w)=argW(jw), фазовая частотная функция. (18) (11) (19) (12) (20) (13)
Найдём ЛАЧХ разомкнутой системы. Для этого проанализируем разомкнутую систему (3):
Звенья - инерционные, каждое из этих звеньев даёт наклон -20 Дб/дек;
Звено - усилительное. Оно даёт нам сдвиг по оси L(w) на число 20Log K.
Звено - интегрирующее. Оно даёт нам наклон -20 Дб/дек.
Исходя из свойства L(w) можем записать:
(21)
Найдём сопрягающие частоты по формуле (22)
Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.
Значения углов вычисляются в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180º).
По свойствам звеньев определим ЛФЧХ для каждого звена по отдельности: - для усилительного звена ;
- для инерционного звена
-для интегрирующего . Запишем ЛФЧХ для каждого звена в отдельности
;
;
Значения результирующей ЛФЧХ найдем как
(23) Таблица 2 – Значения ЛФЧХ
Частота
| Звено 1 усилительное
| Звено 2 инерционное
| Звено 3 инерционное
| Звено 4 инерционное
| Звено 5 интегратор
| Результирующая ЛФЧХ
|
| w*T2
|
| w*T3
|
|
w*T4
| φ4(ω)
| φ5(ω)
|
| 0,1
| 0
| 0,006
| -0,344
| 0,043
| -2,462
| 0,007
| -0,372
| -90,000
| -93,179
| 0,3
| 0
| 0,018
| -1,031
| 0,129
| -7,351
| 0,020
| -1,117
| -90,000
| -99,500
| 0,5
| 0
| 0,030
| -1,718
| 0,215
| -12,135
| 0,033
| -1,862
| -90,000
| -105,715
| 0,7
| 0
| 0,042
| -2,405
| 0,301
| -16,753
| 0,046
| -2,605
| -90,000
| -111,764
| 0,9
| 0
| 0,054
| -3,091
| 0,387
| -21,158
| 0,059
| -3,348
| -90,000
| -117,597
| 1
| 0
| 0,060
| -3,434
| 0,430
| -23,269
| 0,065
| -3,719
| -90,000
| -120,423
| 2
| 0
| 0,120
| -6,843
| 0,860
| -40,699
| 0,130
| -7,407
| -90,000
| -144,949
| 3
| 0
| 0,180
| -10,205
| 1,290
| -52,221
| 0,195
| -11,035
| -90,000
| -163,461
| 4
| 0
| 0,240
| -13,497
| 1,720
| -59,831
| 0,260
| -14,575
| -90,000
| -177,903
| 5
| 0
| 0,300
| -16,700
| 2,150
| -65,061
| 0,325
| -18,005
| -90,000
| -189,767
| 6
| 0
| 0,360
| -19,800
| 2,580
| -68,819
| 0,390
| -21,307
| -90,000
| -199,927
| 7
| 0
| 0,420
| -22,784
| 3,010
| -71,627
| 0,455
| -24,467
| -90,000
| -208,879
| 8
| 0
| 0,480
| -25,643
| 3,440
| -73,796
| 0,520
| -27,476
| -90,000
| -216,916
| 9
| 0
| 0,540
| -28,371
| 3,870
| -75,517
| 0,585
| -30,330
| -90,000
| -224,218
| 10
| 0
| 0,600
| -30,966
| 4,300
| -76,914
| 0,650
| -33,026
| -90,000
| -230,906
| 14
| 0
| 0,840
| -40,033
| 6,020
| -80,574
| 0,910
| -42,305
| -90,000
| -252,913
| 15
| 0
| 0,900
| -41,990
| 6,450
| -81,193
| 0,975
| -44,278
| -90,000
| -257,461
| 16
| 0
| 0,960
| -43,834
| 6,880
| -81,736
| 1,040
| -46,127
| -90,000
| -261,697
| 20
| 0
| 1,200
| -50,198
| 8,600
| -83,374
| 1,300
| -52,435
| -90,000
| -276,007
| 30
| 0
| 1,800
| -60,950
| 12,900
| -85,574
| 1,950
| -62,855
| -90,000
| -299,378
| 40
| 0
| 2,400
| -67,385
| 17,200
| -86,679
| 2,600
| -68,968
| -90,000
| -313,032
| 50
| 0
| 3,000
| -71,570
| 21,500
| -87,343
| 3,250
| -72,903
| -90,000
| -321,816
| 60
| 0
| 3,600
| -74,481
| 25,800
| -87,787
| 3,900
| -75,624
| -90,000
| -327,892
| 70
| 0
| 4,200
| -76,613
| 30,100
| -88,104
| 4,550
| -77,610
| -90,000
| -332,327
| 80
| 0
| 4,800
| -78,237
| 34,400
| -88,341
| 5,200
| -79,120
| -90,000
| -335,699
| 90
| 0
| 5,400
| -79,514
| 38,700
| -88,526
| 5,850
| -80,306
| -90,000
| -338,346
| 100
| 0
| 6,000
| -80,544
| 43,000
| -88,674
| 6,500
| -81,260
| -90,000
| -340,478
| 200
| 0
| 12,000
| -85,243
| 86,000
| -89,340
| 13,000
| -85,608
| -90,000
| -350,191
|
Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы:
Рисунок 5 – ЛАЧХ разомкнутой системы
Рисунок 6 – ЛФЧХ разомкнутой системы Если разомкнутая система устойчива, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).
В данном случае ЛФЧХ не совершает отрицательных переходов при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система будет устойчивой.
Из графиков находим, что L(2.436)=0 дБ, отсюда .
Из графиков находим, что , отсюда L(4.17)=-8.07 дБ. Следовательно, запас по модулю составляет 8,07 дБ, а запас по фазе равен 26,35°.
|