Лабунец Л.В.Цифровое моделирование оптических отражательных хара. Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей
 Скачать 6.97 Mb.
|
|
Рис. 3.20. Сходимость EM-алгоритма на основе правдоподобия: 1 — правдоподобие; 2 — расстояние Рис. 3.21. Сходимость EM-алгоритма на основе расстояния: 1 — правдоподобие; 2 — расстояние 139 В соответствии с результатами работы [53] реконструированная «разрывная» компонента переходной характеристики 3D-объекта имеет вид , disk 0 1 ( | , ) ( , ) ( , ) ( , ) , N n n n h t A W u t T (3.20) где u(t) — функция включения Хевисайда; N( , ) — число обла- стей интенсивного отражения на поверхности цели, наблюдаемой под ракурсом ( , ); A 0 ( , ); W n ( , ) и cT n ( , ) 2 — ЭПР и уда- ление от локатора n-й «блестящей» области. 3.4. АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕЛИ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ Представленная в работах [1, 3] методика цифрового моделиро- вания ПХ построена по принципу цифровой имитации физических процессов отражения оптического излучения объектом локации. Ма- тематическое описание сложной пространственной конфигурации цели и фотометрических характеристик отражения зондирующего излучения ее покрытием воспроизводит в вычислительном экспери- менте условия натурных измерений. В этом смысле данная цифровая модель является эталонной, т. е. не является, по определению, моде- лью реального времени, так как предполагает значительные вычис- лительные затраты. Вместе с тем возможность получения на ее осно- ве оценок статистических характеристик ПХ позволяет решить такие важные в практических приложениях задачи, как сжатие данных и моделирование в режиме реального времени временного профиля отраженных импульсов, а также построение информативного при- знакового пространства малой размерности для классификации це- лей. Широко распространенный подход к решению сформулирован- ных задач связан с применением метода главных компонент (дис- кретного преобразования Карунена — Лоева). 140 3.4.1. Статистики непрерывной составляющей переходной характеристики Обычно ориентация цели относительно направления ее облуче- ния является случайной. Поскольку непрерывная составляющая нормированной ПХ h cont ( | , ) [1] зависит от случайных углов и , определяющих ракурс объекта, она также будет случайной функ- цией времени. Аналогично непрерывные составляющие отража- тельных характеристик в виде ЭПР A cont ( , ) и размера T cont ( , ) цели будут являться СВ. Статистические свойства перечисленных характеристик важны при решении широкого круга задач модели- рования, заметности и классификации целей. Их исследование удобно проводить методами теории функций случайных аргумен- тов. С учетом правила статистического усреднения функции h cont ( | , ) непрерывная составляющая нормированной ПХ, усред- ненная по всем ракурсам объекта, и ее автокорреляционная функ- ция определяются соотношениями 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 0 2 ( ) | , ( , ) ; ( ) ( | , ) ( | , ) ( , ) , h h W d d R h h W d d (3.21) где W 2 ( , ) — совместная ПВ СВ и . Статистическое усредне- ние функций A cont ( , ) и T cont ( , ) по ракурсам объекта дает начальные моменты распределений непрерывных составляющих отражательных характеристик в виде ЭПР и размера цели соответ- ственно: 2 2 , ,cont 2 0 2 2 2 , ,cont 2 0 2 ( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) A K K T K K m A W d d m T W d d 141 На практике довольно сложно определить закон распределения углов и для конкретных типов объектов. Поэтому, как правило, полагают, что все направления облучения цели равновероятны. В этом случае совместная ПВ СВ и будет равна W 2 ( , ) = = sin( + /2) (4 ). Наибольший практический интерес представ- ляют первые четыре момента распределения, по которым рассчиты- вают МО m A , СКО A , коэффициенты асимметрии A, 3 и эксцесса A, 4 [20]. Аналогичные оценки нетрудно получить для статистиче- ских моментов пространственной диаграммы размера объекта T cont ( , ). Для расчета статистических свойств ПХ численным интегриро- ванием соответствующего выражения удобно использовать адап- тивный кубатурный алгоритм, принципы организации которого бы- ли описаны в работе [3]. Поскольку h cont ( | , ) вычисляется путем двукратного интегрирования по координатам (y, z) картинной плос- кости, статистические оценки фактически рассчитываются четы- рехкратным интегрированием в гиперкубе по координатам (y, z, , ). Эффективными методами вычисления многократных ин- тегралов являются оценки статистических испытаний. Однако для их применения требуется расчет параметров геометрической моде- ли в каждой точке гиперкуба (y, z, , ). Это приводит к потере эф- фективности, тогда как при последовательном применении куба- турных формул параметры геометрической модели необходимо пе- ресчитывать только при интегрировании по углам , . Кроме того, последовательное применение кубатурных формул позволяет полу- чить фиксированные сечения пространственных диаграмм ЭПР и размеров объекта одновременно с вычислением их статистических характеристик. Поэтому расчет начальных моментов ЭПР и разме- ров объекта рационально выполнять с помощью последовательного применения двух адаптивных кубатурных подпрограмм. При интегрировании по углам ракурса , сетку целесообразно формировать для подынтегральной функции, соответствующей чет- вертой степени ЭПР, как наиболее подробную (т. е. мелкую) по от- ношению к остальным начальным моментам. 142 Важное преимущество предложенного подхода к оценке стати- стических характеристик ЭПР и размеров объекта состоит также в следующем. Последовательное применение кубатурных формул позволяет получить состоятельные выборки значений простран- ственных диаграмм A cont ( , ) и T cont ( , ), по которым, в свою оче- редь, можно оценить гистограммы соответствующих СВ. Разбивая диапазон значений ЭПР на интервалы, можно приближенно рассчи- тать значения плотности вероятности ЭПР в каждом интервале как отношение i i P a A a a a , где — размер разрядного интервала гистограммной оценки ПВ. Вероятность попадания зна- чений ЭПР в i-й сферический слой ее диаграммы определяется ин- тегралом 2 ( ) ( , ) i i i i D P a A a a P W d d (3.22) по множеству D i направлений ( , ) на источник, для которых ЭПР удовлетворяет условию i i a A a a . Чем меньше размер ин- тервала , тем точнее оцениваются значения ПВ ЭПР и тем более подробную сетку необходимо формировать при интегрировании в выражении (3.22) по многосвязной области D i Расчет значений A cont ( , ) требует значительных вычислитель- ных затрат. Поэтому оценку ПВ ЭПР по формуле (3.22) целесооб- разно формировать по ее значениям A cont ( , ), полученным при вы- числении начальных моментов m A, K . При этом определение обла- стей D i и интегрирование по ним рационально выполнять с мелким шагом вычислений функции 2 2 cont 00 10 01 20 11 02 2 2 2 2 21 12 22 ( , ) A g g g g g g g g g Эта функция представляет собой результат интерполяции зна- чений ЭПР в узлах адаптивной сетки, сформированной ранее куба- турным алгоритмом. Коэффициенты интерполяционного прибли- 143 жения рассчитывают с помощью кубатурной формулы Симпсона (3.2) на текущей элементарной ячейке интегрирования размером : (1,0) ( 1,0) (0,1) (0, 1) (0,0) 00 10 01 ; ; ; A A A A g A g g ( 1,0) (1,0) (0,0) 20 2 2 2 ; A A A g ( 1, 1) ( 1,1) (1, 1) (1,1) 11 ; A A A A g (0, 1) (0,1) (0,0) 02 2 2 2 ; A A A g ( 1,1) (0, 1) (0,1) (1, 1) ( 1, 1) (1,1) 21 2 2 2 2 ; A A A A A A g ( 1, 1) ( 1,0) ( 1,1) (1, 1) (1,0) (1,1) 12 2 2 2 2 ; A A A A A A g 1 1 ( , ) 1 1 22 2 2 1 2 1 4 ; 2 4 2 . 1 2 1 j k jk j k jk c A g c Здесь A ( j, k) — значение пространственной диаграммы ЭПР A cont ( , ) в узле сетки с угловыми координатами (2 ) (0) 2 j j и (2 ) (0) 2 k k относительно централь- ной точки (0) (0) ( , ) текущей элементарной ячейки интегрирования (см. рис. 3.1). 144 3.4.2. Метод главных компонент Пусть ( , ) H — N-мерный вектор-столбец отсчетов непре- рывной части нормированной ПХ объекта локации, отражающего сигнал с фиксированного ракурса ( , ): т 1 cont ( , ) ( , , ) ; ( | , ) ( 1, , ). N n H h h h h n n N Ее усреднение по ракурсам в соответствии с (3.21) дает автокорре- ляционную матрицу , ( , ) ( , 1, , ) ij ij R r r R i j i j N размером N × N, где — шаг дискретизации по времени. Наилуч- шая аппроксимация нормированной ПХ в смысле критерия мини- мума СКО представляет собой разложение в ряд по собственным векторам автокорреляционной матрицы [33]: 1 т 1 ( , ) ( , ); ( , , ); ( , ) ( , ), , ( , ) . M M H X X x x (3.23) Здесь — ортонормированная матрица размером N × M, состав- ленная из первых M собственных векторов-столбцов j ( j = 1, …, M) автокорреляционной матрицы R, а M — ранг ее эф- фективной аппроксимации [24] вида т 1 2 1 ; 0, M j j j M j R соответствующей первым M значимым собственным значениям j матрицы R; ( , ) X — подлежащий определению M-мерный век- тор-столбец пространственных гармоник объекта. Известно [33], 145 что выбор пространственных гармоник вида т opt ( , ) ( , ) X H обеспечивает минимальное значение СКО аппроксимации 2 2 2 2 min 2 1 0 2 т 2 opt opt ( ) ( | , ) ( , ) ; ( | , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . M N M e M W d d e M H X H X Как правило, вариационный ряд собственных значений авто- корреляционной матрицы 1 2 N убывает весьма быстро, так, что относительная погрешность ( M + 1 +…+ N ) ( 1 +…+ N ) становится приемлемо малой, начиная с небольших значений M. Другими словами, небольшое число пространственных гармоник x 1 ( , ), …, x M ( , ) объекта обеспечивает, как правило, приемле- мую для практики точность аппроксимации ансамбля непрерывной части нормированной ПХ, рассчитанных для различных ракурсов с помощью методики, представленной в разд. 3.2. Указанное обстоя- тельство является основой для решения задач сжатия данных и со- здания модели реального времени. Важно отметить, что дискретное разложение Карунена — Ло- ева хорошо согласуется с физическим смыслом решаемой задачи. В выражении (3.23) собственные векторы — это результат дискре- тизации по времени собственных функций цели т 1 ( , , ) , ( ) ( 1, , ) ( 1, , ), j j Nj nj j n n N j M инвариантных к ее ракурсу. Таким образом, — это ортонорми- рованный базис признакового подпространства, характеризующий форму гладкой части объекта локации. Пространственные диаграм- мы гармоник x 1 ( , ), …, x M ( , ) представляют собой проекцию непрерывной части нормированной ПХ с фиксированного ракурса на инвариантные к ракурсу признаки формы гладкой части цели. Классический метод главных компонент не учитывает ряда ограничений, присущих нормированной ПХ. Именно аппроксима- 146 ция (3.23) должна давать неубывающую функцию времени в интер- вале ее изменения [0, 1]. Поэтому задачу квадратичной оптими- зации 2 opt opt ( , ) Arg min ( , ) ( , ) X H X с дополнительными ограничениями 1 0 1 N h h рационально сформулировать в терминах релаксационных методов решения си- стем линейных неравенств [57]. Применительно к данному случаю система линейных неравенств состоит из трех блоков: 1) непрерывная часть нормированной ПХ — неубывающая функция времени 1 1 ( ) ( , ) 0 1, ..., 1 ; M nj j n j j x n N 2) ограничение снизу на аппроксимацию непрерывной части нормированной ПХ: 1 1 ( , ) 0 M j j j x — левая граница области изменения; 1 2 1 ( , ) ( , ) ( ) 0 ( , , , ); M kj j k K j x h M k n n n 1 ( , ) 0, 95 0 M N j j j x — правая граница области изменения ; 3) ограничение сверху на аппроксимацию непрерывной части нормированной ПХ: 1 1 ( , ) 0, 05 0 M j j j x — левая граница области изменения; 1 2 1 ( , ) ( , ) ( ) 0 ( , , , ); M kj j k K j x h M k n n n 1 ( , ) 1 0 M N j j j x — правая граница области изменения. 147 Здесь 1 ( ) K M — число ограничений снизу или сверху на ап- проксимацию непрерывной части нормированной ПХ внутри ин- тервала (0, 1); (M) — заданная абсолютная погрешность аппрокси- мации. Квадратные скобки в последнем равенстве означают целую часть числа. Векторная нотация системы линейных неравенств имеет вид ( , ) ( , ) ( , ) 0, X (3.24) где A( , ) — матрица коэффициентов размером L × M, L = N + + 3 + 2K; ( , ) — L-мерный вектор-столбец ограничений систе- мы линейных неравенств для фиксированного ракурса цели ( , ). |