МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
Y Ξ Рис. 3. Структурное представление математической модели которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его элемен- там, и т.д. Математическая модель (или её фрагменты) исследуется теоретиче- скими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте. Второй этап связан с разработкой метода расчёта сформулированной математической задачи, или, как говорят, вычислительного или модели- рующего алгоритма. Фактически он представляет собой совокупность алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность примене- ния этих формул. Вычислительные алгоритмы должны не искажать ос- новные свойства модели и, следовательно, исходного технологического объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям ре- шаемых задач, программного обеспечения и используемых компьютеров. Как правило, для одной и той же математической задачи можно предложить множество вычислительных алгоритмов. Однако требуется построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной точностью за мини- мальное количество действий (арифметических, логических), т.е. с мини- мальными затратами машинного времени. Эти вопросы весьма сущест- венны и составляют предмет теории численных методов. Решение любой прикладной задачи зависит от многочисленных входных переменных и параметров. Для расчёта технологической уста- новки имеется множество различных режимных переменных и конструк- 10 тивных параметров, среди которых нужно определить их оптимальный набор, обеспечивающий эффективное функционирование этой установки. Третий этап – создание программы для реализации разработанного моделирующего алгоритма на ЭВМ (создание компьютерной модели) с использованием одного из языков программирования, например Matlab. Создав триаду«модель – алгоритм – программа», исследователь по- лучает в руки универсальный, гибкий и сравнительно недорогой инстру- мент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычисли- тельных экспериментах. После того как адекватность триады исходному технологическому объекту удостоверена, с моделью можно проводить разнообразные «опыты», дающие все требуемые качественные и количе- ственные свойства и характеристики объекта. Определение. Модель называется адекватной в том случае, если она описывает поведение объекта с удовлетворительной точностью: ( ) погр зад 2 1 э р э р ε > ε < ε = − = − ∑ = n i i i i i y y y y , где ε не меньше погрешности экспериментальных измерений. Адекват- ность модели определяется сравнением экспериментальных данных, по- лученных на реальном объекте, и данных, полученных при с использова- нием ММ при одинаковых значениях входных переменных, внутренних и возмущающих параметров. Процесс компьютерного моделирования сопровождается улучшени- ем и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады. Обратимся теперь к блоку 7. Вычислительный эксперимент – это собственно проведение расчётов на ЭВМ и получение информации, пред- ставляющей интерес для исследователя. Конечно, точность этой информа- ции определяется достоверностью прежде всего модели, моделирующего алгоритма и программы ЭВМ. Именно по этой причине в серьёзных при- кладных исследованиях полномасштабные расчёты по только что написан- ной программе не проводят. Им всегда предшествует период тестовых рас- чётов. Они необходимы не только для того, чтобы «отладить» программу, т.е. отыскать и исправить все ошибки и опечатки, допущенные как при создании алгоритма, так и при его программной реализации. В этих пред- варительных расчётах тестируется также сама математическая модель, выясняется её адекватность исследуемому объекту. Для этого проводится расчёт некоторых контрольных экспериментов, по которым имеются дос- таточно надёжные измерения. При оптимизации или проектировании технологического объекта из- за сложности и высокой размерности математической модели проведение расчётов по описанной выше схеме может стоить дорого. Поэтому идут на упрощение модели, на построение своего рода инженерных методик (формул), дающих возможность получить необходимую информацию 11 значительно более дешёвым способом. При этом проводится работа по анализу и трансформации сложных моделей, квинтэссенцией которой и являются простые формулы. При массовом использовании методов компьютерного моделирова- ния в технических проектах следует добиваться резкого сокращения сро- ков разработки моделей, обеспечивающих различные этапы проектирова- ния. Решение этой задачи возможно при соответствующем уровне разви- тия технологии компьютерного моделирования. Технология компьютерного моделирования является основой целе- направленной деятельности, смысл которой состоит в обеспечении воз- можности фактического эффективного выполнения на ЭВМ исследований функционирования сложных систем. С ее помощью организуются дейст- вия исследователя на всех этапах его работы с моделями, начиная от изу- чения предметной области и выделения моделируемой проблемной си- туации и заканчивая построением и реализацией компьютерных экспери- ментов для анализа поведения системы. При построении экономичных моделей важную роль играет понима- ние полноты ММ, которое можно проиллюстрировать схемой, изобра- жённой на рис. 4. Причинно-следственную связь между нашими параметрами будем задавать с помощью множества функциональных связей { } Ф = f , которое определено над множествами { } { } { } Ξ = ξ = = , , A a X x . Элементами мно- жеств Y A X , , могут быть числа или функции, а элементами Ф – соот- ветственно функции или операторы. Все множества конечны, однако чис- ло элементов в них достаточно велико. Рис. 4. Иллюстрация понятия полноты математической модели 1 X 1 Y ) , , ( Ф Ξ A X Технологический объект ) , , ( Ф 1 1 1 1 Ξ A X 1 A A X 1 Ξ Ξ Y 12 Множество Ф , отображающее зависимости вектора выходных пере- менных Y технологического объекта от его входных переменных X , внутренних параметров A и возмущающих воздействий Ξ , будем назы- вать математической моделью. Отсутствие однозначного правила формирования множеств Ξ , , A X (так как для каждой конкретной задачи мы должны принять свой уровень детализации описываемого явления, исходя из целей конкретной задачи) приводит к тому, что можно определить множество моделей, отражающих те или иные свойства объекта. Практические цели заставляют исследова- теля выделить в модели существенные связи, т.е. определить подмноже- ство Ф Ф 1 ⊂ . Модель, определяемая оператором Ф, более полна, чем модель, определяемая 1 Ф Полнота модели определяется допущениями, которые мы приняли при составлении системы уравнений математической модели. Определение. Допущения – перечень явлений, влияние которых на поведение рассматриваемого объекта мы не учитываем при построении ММ. 3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ В общем случае модель является представлением объекта, системы или понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального суще- ствования. Модель какого-либо объекта может быть или точной копией этого объекта, или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме. Модель служит обычно средством, помогающим нам в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Можно ука- зать по крайней мере пять узаконенных и ставших привычными случаев применения моделей в качестве: 1) средства осмысления действительности; 2) средства общения; 3) средства обучения и тренинга; 4) инструмента прогнозирования; 5) средства постановки экспериментов. Иными словами, модель применяется для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта; либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение. Модель предписывающего типа обычно является и описательной, но не наоборот. Прежде чем начать разработку модели, необходимо понять, что собой представляют структурные элементы, из которых она строится. В самом об- щем виде структуру модели математически можно представить в виде ) , , , ( Ф ξ = a x y E , 13 где E – результат действия системы; − = ) ..., , , ( 2 1 m x x x x вектор входных переменных, которыми мы можем управлять; − = ) ..., , , ( 2 1 n y y y y вектор выходных переменных; − = ) ..., , , ( 2 1 l a a a a вектор внутренних парамет- ров объекта (системы); − ξ ξ ξ = ξ ) ..., , , ( 2 1 k вектор неопределённых пара- метров (часть входных переменных и внутренних параметров системы, значения которых мы не знаем точно) и возмущающих воздействий. Компонентами векторов x и y являются расходы и составы потоков веществ, концентрации веществ, температура, давление в потоках и т.п., компонентами вектора a – коэффициенты и параметры, характеризую- щие свойства перерабатываемых веществ, физико-химические процессы в системе (константы скоростей химических реакций, коэффициенты тепло- и массообмена, диффузии и т.п.), геометрические размеры и конструктив- ные особенности технологического оборудования. В зависимости от масштаба технологической системы и наших пред- положениях о его свойствах математические модели принимают конкрет- ный вид. Можно говорить о ММ технологической машины или аппарата, технологического процесса, производства, предприятия и даже целой от- расли. Эти ММ отличаются одна от другой полнотой учёта и глубиной описания различных процессов в системе, а также размерностями векто- ров y , x , a , ξ и вектор-функций Ф их связи ) , , , ( Ф ξ = a x y E . Если, на- пример, ММ аппарата содержит чаще всего не более 10 – 15 уравнений, то в модель производства, предприятия и тем более отрасли может входить несколько десятков или сотен уравнений. Функциональные зависимости Ф описывают поведение переменных и внутренних параметров в пределах компонента системы или выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения, или опе- рационные характеристики, по своей природе являются либо детермини- рованными, либо стохастическими. Детерминированные соотношения – это тождества или определения, которые устанавливают зависимость ме- жду определёнными переменными или параметрами системы в тех случа- ях, когда процесс на выходе системы однозначно определяется заданной информацией на входе. В отличие от этого стохастические соотношения представляют собой такие зависимости, которые при заданной входной информации дают на выходе системы неопределённый результат. Оба типа соотношений обычно выражаются математическими уравнениями, которые устанавливают зависимость между переменными состояния (вы- ходными) системы у, её входными переменными х, внутренними парамет- рами системы а и возмущающими воздействиями (неопределёнными па- раметрами) ξ . Обычно эти соотношения строятся на основе гипотез или выводятся с помощью статистического или математического анализа. При построении моделей технологических объектов обычно вводят ограничения , представляющие собой устанавливаемые пределы изменения 14 значений переменных или ограничивающие условия распределения и рас- ходования тех или иных ресурсов (энергии, материалов, запасов сырья, времени и т.п.). Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой вследствие присущих ей свойств (ес- тественные ограничения). Целевая функция или критерий Е – это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Можно указать два типа целей: сохранение и приобретение. Цели сохранения связаны с сохранением или поддержанием каких- либо ресурсов (временных, энергетических, творческих и т.д.) или со- стояний (безопасности, комфорта, качественных показателей выпускае- мой продукции и т.д.). Цели приобретения связаны с приобретением новых ресурсов (при- были, более высокого качества, заказчиков и т.п.) или достижением оп- ределённых состояний, к которым стремится предприятие или руково- дитель (завоевание части рынка, повышение уровня занятости, экологи- ческой безопасности и т.п.). Целевая функция (критерий) обычно явля- ется органической составной частью модели, и весь процесс манипули- рования с моделью направлен на удовлетворение или улучшение задан- ного критерия. Модели можно классифицировать различными способами, хотя ни один из них не является полностью удовлетворительным. Укажем некото- рые типовые группы моделей: 1) натурные, аналоговые, символические; 2) экспериментальные (регрессионные) и аналитические; 3) статические и динамические; 4) детерминированные и стохастические; 5) дискретные и непрерывные; 6) стационарные, нестационарные, квазистационарные; 7) линейные и нелинейные. Различие ММ обусловливается их назначением: исследование эф- фективности режимов функционирования технологических объектов; оп- тимизация установившихся (статических) и переходных (динамических) режимов их работы; оптимальное проектирование технологических объ- ектов и управление ими. Структура и вид уравнений ММ зависят от свойств объекта. Поведение технологического объекта с сосредоточенными координа- тами x y, (т.е. когда характеристики объекта не меняются в зависимо- сти от координат ) в статике и неизменными во времени t свойствами (стационарный объект) описывается уравнениями ММ вида [ ] 0 , , , = ξ a x y F или ). , , ( ξ = a x f y 15 ММ статики нестационарного объекта с сосредоточенными координа- тами (квазистатическая модель) представляет собой систему уравнений вида: [ ] ). , , ( , 0 ), ( , , 1 ξ = ≈ ξ a y f dt da t a x y F Поведение технологического объекта с сосредоточенными координа- тами x y , в динамике и неизменными во времени t свойствами описы- вается уравнениями ММ вида 0 , ), ( ), ( , = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ξ a t x t y dt dy F или ( ) , ), ( ), ( ξ = a t x t y f dt dy ММ динамики нестационарного объекта с сосредоточенными коор- динатами представляет собой систему уравнений вида ( ) , ), ( , 0 ), ( ), ( , 1 ξ = ≈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ξ a t y f dt da t a t x dt dy F Если координаты объекта y x, распределены по пространственной переменной l (длина, радиус, высота) и его свойства неизменны во вре- мени t , то мы имеем дело со стационарными ММ статики или динамики технологического объекта с распределёнными координатами, которые имеют вид, соответственно: 0 ), ( ), ( ), , ( , , , 0 ), ( ), ( ), ( , = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ξ l a l x l t y l y t y F l a l x l y dl dy F По структуре F ММ технологических объектов разделяются на ли- нейные и нелинейные. Решение ) , ( a x y системы уравнений ММ, линейной по y , удовлетворяет следующим условиям (принципу суперпозиции): 1) аддитивности ); , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 a x y a x y a x x y + = + 2) однородности ) , ( ) , ( a x y c a x c y × = × ; где 1 x и 2 x – произвольные функции l t, или некоторые числа; c – лю- бое вещественное число. Решение ) , ( a x y называется линейным по a , если ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 1 2 1 a x y a x y a a x y + = + и ), , ( ) , ( a x y c a c x y × = × где 2 1 , a a – произвольные параметры ММ. Если для некоторой ММ не выполняется хотя бы одно из условий принципа суперпозиции, то она относится к классу нелинейных. Технологические объекты химической, пищевой и биотехнологиче- ской промышленности практически всегда описываются нелинейными математическими моделями. |