|
|
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
37
Если считать, что уравнение регрессии найдено с достаточной точно- стью, то остаточная дисперсия обусловлена только наличием дисперсии воспроизводимости, т.е.
2
вос
2
ост
S
S
≈
. Чем меньше доля
2
вос
2
ост
S
S
≈
в общей дисперсии
2
y
S
, тем сильнее связь между
y
и
x , так как меньше доля слу- чайности в этой связи. Силу связи между
y
и
x можно охарактеризовать величиной:
;
1
)
(
;
)
1
(
)]
1
(
[
1 1
2 2
2 2
ост
n
y
y
n
y
y
S
S
n
S
k
n
n
j
j
n
j
j
y
y
∑
∑
=
=
=
−
−
=
−
⋅
+
−
=
ξ
Связь тем сильнее, чем меньше
ξ
Величина
Θ
=
ξ
−
1
называется корреляционным отношением. Чем больше
Θ
, тем сильнее связь,
1 0
≤
Θ
≤
Если
Θ
=
1, то существует функциональная зависимость между па- раметрами. Однако при
Θ
= 0величины
y
и x нельзя считать независи- мыми, так как связь между ними, не сказываясь на дисперсиях, может проявить себя в моментах более высокого порядка. Только при нормаль- ном распределении равенство нулю корреляционного отношения одно- значно свидетельствует об отсутствии связи между случайными величи- нами. Корреляционное отношение, как и коэффициент корреляции в ли- нейной регрессии, характеризует тесноту связи между случайными вели- чинами. Анализ силы связи по
Θ
называют корреляционным анализом.
Множественная регрессия.
Множественная регрессия применяется для описания взаимной связи входных величин
m
x
x
x
...,
,
,
2 1
и выходной величины
y
. Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:
,
ˆ
1 0
∑
=
+
=
m
i
i
i
x
b
b
y
где
m
b
b
b
...,
,
,
1 0
находятся методом наименьших квадратов:
;
1
)
(
;
1
)
(
;
;
,
1
,
1 2
1 2
1 0
−
−
=
−
−
=
−
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
y
y
S
n
x
x
S
x
b
y
b
m
i
S
S
r
b
n
j
j
y
n
j
i
ij
x
m
i
i
i
x
y
y
x
i
i
i
i
38 , ) /( ) )( ( 1 1 1 ∑ = − − − = njyxjijyxSSyyxxnriiгде yxir – коэффициент корреляции, оценивающий тесноту линейной свя- зи случайных величин xiи y. О степени силы связи mxxx..., , , 2 1 и y можно судить по величине коэффициента множественной линейной корреляции yxxxmR..., , , 2 1 , всегда большей нуля и меньше единицы. Использование этой величины связано, однако, с опасностью получения неверных выводов – при увеличении и неизменном числе опытных данных значение 1 → R, хотя теснота линей- ной зависимости может оставаться неизменной. Уравнение множественной нелинейной регрессии объекта ZmO зада- ётся обычно полиномом: ˆ 3 1 3 2 12 3 1 11 2 2 4 2 24 3 2 24 3 2 23 1 1 3 1 13 2 1 12 2 2 2 2 22 2 1 21 1 2 12 1 11 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = mmmmmmmmmmxdxdxdxxcxxcxxcxxcxxcxxcxxcxbxbxbxbxbxbbyКоэффициенты уравнения определяются методом наименьших квад- ратов и не имеют статистической трактовки. Наибольшие трудности вы- зывает выбор порядков полинома по каждой из переменных, а также вы- числение определителя плохо обусловленной матрицы, часто встречаю- щееся при нахождении коэффициентов уравнения. Поэтому целесообраз- но при построении модели нелинейной множественной регрессии приме- нять нейронные сети. 8. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ Когда нет возможности определить значения тех или иных парамет- ров экспериментально или выбрать из ранее зарегистрированных данных, приходится полагаться на субъективные оценки. В подобных случаях ча- ще всего желательно воспользоваться мнением коллектива экспертов, а не отдельного лица. Такой коллектив должен состоять из специалистов, об- ладающих глубокими знаниями моделируемого процесса и по возможно- сти облечённых правом принимать ответственные решения. Выявление индивидуальных точек зрения и формирование на их основе единого мне- ния коллектива экспертов можно осуществлять несколькими методами, но, пожалуй, самым полезным из них является метод Дельфы [7]. Это итерационная процедура, которая позволяет подвергать мнение каждого 39 эксперта критике со стороны всех остальных, не заставляя их фактически сталкиваться лицом к лицу. Идея метода заключается в том, чтобы соз- дать механизм, обеспечивающий сохранение анонимности точек зрения отдельных лиц и тем самым свести к минимуму влияние красноречивых и обладающих даром убеждать личностей на поведение группы в целом. Все взаимодействия между членами группы находятся под контролем со стороны координатора или руководящего звена, направляющего всю дея- тельность группы. Групповая оценка вычисляется им путём некоторого усреднения (обычно посредством нахождения среднего значения или ме- дианы) и доводится до сведения всех членов группы. Рассмотрим в качестве примера задачу определения значения неко- торого числа N. Пусть в группе экспертов будет 12 членов. Метод Дельфы предполагает следующий способ действий. 1. Опросить каждого члена группы по отдельности, какова его оценка числа N. 2. Разложить ответы на общей шкале в порядке возрастания значе- ний и определить квартили Q1 , M, Q3 таким образом, чтобы в каждом из четырёх отрезков шкалы содержалась четвёртая часть всех оценок. 3. Сообщить каждому из членов группы значения Q1 , M и Q3 и по- просить его пересмотреть свою оценку, а если его новая оценка ниже Q1 или выше Q3 , попросить его кратко обосновать своё мнение. 4. Подсчитать результаты второго тура и сообщить членам группы новые значения Q1 , M и Q3 (обычно эти значения будут иметь меньшую дисперсию, чем после первого тура) вместе с письменными обоснования- ми предельных значений (сохраняя при этом анонимность мнений). По- просить каждого из представивших письменные ответы учесть новые данные и аргументацию и при желании пересмотреть свою предыдущую оценку. Если в этом третьем туре пересмотренная оценка у данного члена группы будет ниже Q1 или выше Q3 , попросить его кратко обосновать, почему он счёл не заслуживающими внимания аргументы, которые могли бы его заставить сместить свою оценку ближе к средней. 5. Повторять эту процедуру столько раз, сколько представляется желательным координатору, или пока промежуток между Q1 и Q3 сузится до некоторой заранее установленной величины. Для этого обычно требу- ется всего три или четыре тура, поскольку аргументы скоро начинают повторяться. Далее берётся медиана как представляющая групповое мне- ние относительно того, каким должно быть значение N. Возможны и другие варианты метода Дельфы. Этот метод, предпола- гающий анонимность мнений, итеративную процедуру обработки резуль- татов, управляемую обратную связь, числовые оценки и статистическое определение групповой оценки, может стать ценным инструментом ис- следования для разработчиков имитационных моделей. 40 9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Аналитическая модель технологического объекта обычно состоит из четырёх групп уравнений: 1) материального и теплового баланса; 2) гидро- динамики потоков; 3) термодинамического равновесия (для отсчёта дви- жущей силы процесса); 4) скоростей протекающих процессов (химических реакций, тепло- и массопередачи и др.). Уравнения второй и, особенно часто, третьей группы могут входить в математическую модель неявно. Методика построения аналитического описания статики и динамики технологических объектов включает следующие этапы [3]: 1. Изучение объекта. На данном этапе производится ознакомление с конструкцией технологического объекта и изучение протекающих в нём физико-хмических процессов (химического превращения, диффузии, теп- лопередачи и др.). 2. Составление структурной схемы объекта. Исследуемый объект условно разделяется на ряд подсистем. В качестве подсистем в техноло- гических объектах обычно выделяют звенья, которые или являются по- вторяющимися элементами конструкции аппарата (например, царга ко- лонного аппарата, тарелка в ректификационной колонне, реактор- мешалка в каскаде реакторов и т.п.), или отличаются от других звеньев типом лимитирующего процесса, или конструктивно представляют само- стоятельную часть установки. Следует понимать, что «глубина» декомпо- зиции объекта на звенья зависит от уровня наших знаний о процессах, реальной возможности определения неизвестных параметров, возможно- сти решения полученных систем уравнений, целевого назначения матема- тических моделей статики и динамики. С проблемой рациональной декомпозиции технологического объекта на звенья тесно связана задача принятия системы допущений. В общем случае обсуждаются и затем принимаются или отвергаются следующие важнейшие допущения: о стационарности процессов в звене; о сосредото- ченности или распределённости параметров; об (не)учёте тех или иных физико-химических явлений, имеющих место в данном звене. В целом вся система допущений направлена, как правило, на упро- щение и обоснование принятой структурной схемы исследуемого объекта. Допущения представляют компромисс между требуемой и желаемой точ- ностью описания статических и динамических свойств объекта и возмож- ностью как количественной оценки физико-химических явлений, так и решения получающихся уравнений математического описания. 3. Составление математического описания отдельных звеньев. Для бесконечно малых объёма звена и промежутка времени записываются уравнения теплового и материального баланса в интегральной форме. За- тем с помощью теорем «о среднем» и «конечных приращений» осуществ- ляется переход к дифференциальной форме [8]. В математическое описа-
41
ние звена входят граничные условия для дифференциальных уравнений и связи с другими, соседними, звеньями – для конечных уравнений.
4. Определение параметров модели звена. Для нахождения коэффи- циентов и других параметров уравнений необходимо знать физико- химические свойства перерабатываемых веществ, константы скоростей химических реакций, коэффициенты диффузии, теплопередачи и т.д. Ра- зумеется, необходимо знать все определяющие геометрические размеры звеньев.
Часть интересующей нас информации можно найти в соответствую- щей технической и научной литературе, для определения же некоторых коэффициентов и констант требуется постановка специальных лаборатор- ных исследований.
5.
Составление и анализ уравнений модели всего технологического
объекта.
В математическое описание всего объекта входят уравнения отдель- ных звеньев и связей между ними, граничные и начальные условия, а также ограничения на диапазоны изменения входных и выходных переменных.
6. Выбор методов и разработка вычислительных алгоритмов ре-
шения уравнений математической модели.
7. Оценка точности математического описания объекта. Точ- ность описания статических и динамических свойств объекта аналитиче- ски составленными уравнениями может оцениваться величиной одного из приведённых ниже показателей:
∑∑
=
=
β
β
β
β
ω
⋅
−
=
n
i
d
i
i
i
y
y
nd
1 1
2
э
)
(
1
Ф
;
∫∑∑
=
=
β
β
β
β
ω
⋅
−
=
1 0
1 1
2
э
)
(
)
(
Ф
t
n
i
d
i
i
i
dt
t
y
t
y
, где
β
ω
i
– весовые множители
Для вычисления
2 1
Ф
,
Ф
на объекте проводится активный или пас- сивный эксперимент, заключающийся в регистрации d различных значе- ний входных и соответствующих им установившихся значений (статика) или переходных процессов (динамика) выходных э
β
i
y
переменных. Жела- тельно, чтобы независимые переменные варьировались во всем диапазо- не, допустимом технологическим регламентом. Весовые множители
β
ω
i
вводятся в функцию невязки для создания возможности сравнения разно- родных переменных при неравноточных их измерениях. Чем больше по- грешность измерения э
β
i
y
, тем меньше выбирается множитель
β
ω
i
В практических задачах далеко не всегда известны ошибки измерения э
β
i
y
, что делает невозможным объективный выбор весовых множителей.
При достаточно больших значениях
2 1
Ф
,
Ф
математическое описа- ние считается не адекватным объекту. В этом случае требуется изменение
42 структурной схемы объекта, т.е. включение в рассмотрение новых звень- ев, либо уточнение отдельных «сомнительных» параметров уравнений. Эта операция может осуществляться постановкой дополнительных лабо- раторных опытов. Вопрос о том, при каком «критическом» значении 2 1 Ф , Ф считать математическое описание адекватным объекту, а при каком требовать уточнения уравнений, является исключительно сложным и, вероятно, не имеет однозначного ответа. Выбор такого «критического» значения функций невязок 2 1 Ф , Ф тесно связан с целевым назначением математи- ческого описания, а также с представительностью выборки э β iy. В частном случае, когда э β iy – независимые случайные величины (процессы), для оценки случайного (неслучайного) характера расхождений между реше- ниями уравнений модели и опытными данными могут быть использованы статистические критерии значимости и согласия [4]. 10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ АППАРАТЕ Математические модели структуры потоков в технологическом ап- парате являются основой, на которой строится математическое описание любого технологического процесса [10]. Однако точное описание реаль- ных потоков (например, с помощью уравнения Навье–Стокса) приводит к чрезвычайно трудным для постановки и решения задачам. Поэтому разра- ботанные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах носят полуэмпирический характер. Тем не менее, они позволяют получить модели, с достаточной для практики точностью отражающие физические процессы. При осуществлении технологических процессов необходимо знать степень полноты их завершения, которая зависит от времени пребывания частиц (элементов, долей) потока в аппарате, которое, разумеется, нерав- номерно и имеет стохастическую природу. Наиболее существенными ис- точниками неравномерности распределения частиц потока по их времени пребывания в промышленных аппаратах являются: 1) неравномерность профиля скоростей потока; 2) турбулизация потоков; 3) наличие застойных областей в аппарате; 4) каналообразование, байпасные и перекрестные токи в аппарате; 5) температурные градиенты движущихся сред (потоков); 6) тепло- и массообмен между фазами и т.п. Для процессов массопередачи описание структуры потоков в аппара- тах важно ещё и потому, что позволяет установить перемещение и рас- пределение веществ, находящихся в этих потоках. Поэтому все уравнения гидродинамических моделей потоков составляются преимущественно относительно изменения концентрации вещества в потоке.
43
Экспериментальный (импульсный) метод исследования струк-
туры потоков в аппарате.
Сущность экспериментального метода иссле- дования структуры потоков в реальном аппарате заключается в том, что в поток на входе его в аппарат каким-либо способом вводят индикатор, а на выходе потока из аппарата регистрируют изменение концентрации инди- катора в зависимости от времени. Полученную таким образом функцию отклика аппарата на ввод индикатора (типовое возмущение по составу потока) обрабатывают по специальной методике и получают нормирован- ную функцию распределения частиц (элементов, долей) потока по их времени пребывания в технологическом аппарате, которую в дальнейшем используют в расчётах технологических процессов и аппаратов или для построения близкой к реальной гидродинамической модели, составленной из комбинации типовых моделей гидродинамики (идеального смешения и вытеснения, диффузионной модели, ячеечной модели и т.п.).
Если принятая модель соответствует реальной структуре потоков, то экспериментальная функция отклика может рассматриваться как график решения уравнений модели при соответствующих начальных и граничных условиях. Сравнивая решение уравнений модели с экспериментальной функцией отклика на типовые (например, импульсные) возмущения, можно определить неизвестные параметры модели.
В качестве индикаторов используют растворы солей и кислот, изото- пы, реже красители и другие вещества, которые не вступают во взаимо- действие с веществами основного потока и могут быть измерены с помо- щью приборов. Ввод индикаторов осуществляют в виде стандартных сиг- налов: импульсного, ступенчатого, циклического и т.п.
Рассмотрим импульсный метод исследования структуры потока в аппарате, в соответствии с которым определённое количество индикатора на входе в аппарат вводят в виде дельта-функции.
Определение. Импульсной
δ-функцией называется функция, рав- ная нулю всюду, кроме начала координат, принимающая бесконечное значение в начале координат, и при этом интеграл от неё равен единице:
⎩
⎨
⎧
∞
=
δ
0
)
(t
при t
≠ 0;
∫
ε
ε
−
=
δ
1
)
( dt
t
при любом
ε > 0. при t = 0;
Предположим, что с помощью специального устройства в поток на входе в аппарат практически мгновенно ввели определённое количество q индикатора и определили (с помощью регистрирующего прибора) функ- цию отклика на это импульсное возмущение, изображённую на рис. 13.
Построим экспериментальную кривую C
э
(t) в координатах C(
θ) – θ, где
t
t
=
θ
– безразмерное время; t – среднее время пребывания элементов потока в аппарате. Для этого необходимо вначале определить нормиро-
|
|
|
Скачать 0.96 Mb.