МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
44 ванную С-кривую по формуле ∫ ∞ = 0 э э ) ( ) ( ) ( dt t C t C t C и затем вычислить t t C C ⋅ = θ ) ( ) ( Среднее время пребывания элементов потока в аппарате пред- ставляет собой случайную величину и по определению его можно вычис- лить следующим образом: ∫ ∞ = 0 ) ( dt t tC t Получив таким образом нормированную С-кривую (ПРВП элементов потока), мы теперь фактически можем распределить всю совокупность элементов (долей) потока по их времени пребывания в аппарате. В самом деле, доля потока, время пребывания которой в аппарате изменяется от θдо θ + Δθ, равна величине ∫ θ Δ + θ θ θ θ d C ) ( . Естественно, что 1 ) ( 0 = θ θ ∫ ∞ d C Всё многообразие структур потоков в аппарате можно формализо- вать с помощью тех или иных комбинаций типовых математических мо- делей: идеального смешения, идеального вытеснения, диффузионной, яче- ечной, комбинированной и т.п. Рассмотрим эти модели более подробно. Модель идеального смешения. Модель идеального смешения соот- ветствует гидродинамике аппарата, в котором поступающий в него инди- катор мгновенно распределяется по всему его объёму, т.е. в каждой точке аппарата и на выходе из него концентрации индикатора будут равны. Уравнение модели идеального смешения представляет собой диффе- ренциальное уравнение первого порядка ) ( вх с c G dt dc V − = (10.1) с начальным условием V q с с = = н ) 0 ( , (10.2) 7 14 21 28 35 42 49 t, мин c, г/л 8 6 4 2 0 Рис. 13. Типичная функция отклика аппарата на импульсное возмущение 45 где V – объём аппарата; с вх – кон- центрация индикатора в потоке на входе в аппарат; G – объёмная ско- рость (расход) потока, поступаю- щего и выходящего из аппарата идеального перемешивания; q – количество мгновенно введённого индикатора в поток на входе в ап- парат; с – концентрация индикатора в аппарате (зона идеального пере- мешивания) и на выходе из него. При импульсном вводе инди- катора он мгновенно распределя- ется по всему объёму аппарата и начинается его «вымывание», при этом начальная концентрация индикатора в аппарате равна V q c / н = . Отклик модели идеального смешения на импульсное возмущение (решение дифференциального уравнения (10.1) с начальным условием (10.2)) со- ответствует убывающей экспоненциальной зависимости (см. рис. 14) и имеет вид: t t e c t c / н ) ( − = Модель идеального вытеснения. В основе модели идеального вы- теснения лежит допущение о поршневом течении потока без перемеши- вания в продольном направлении при равномерном распределении ин- дикатора в направлении, перпендикулярном движению. Время пребыва- ния всех элементов потока в таком (например, трубчатом) аппарате оди- наково. Уравнение модели идеального вытеснения записывается в виде диф- ференциального уравнения с частными производными 0 = ∂ ∂ ϑ + ∂ ∂ l c t c , (10.3) решение которого должно удовлетворять начальному условию ) ( ) , 0 ( н l l c c = при L t ≤ ≤ = l 0 , 0 (10.4) и граничному условию ) ( ) ( ) 0 , ( вх t V q t c t c δ ⋅ = = при 0 , 0 > = t x . (10.5) Отклик модели идеального вытеснения на импульсное возмущение (решение дифференциального уравнения (10.3) с условиями (10.4), (10.5)) приведён на рис. 15 и имеет вид: С(t) t с н Рис. 14. Функция отклика аппарата при идеальном перемешивании входящего в него потока 46 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ϑ ≥ ϑ − ϑ < ϑ − = = ), ( ; ), ( ) , ( ) ( вх н вых L t L t с L t t L c L t c t c Из решения следует, что любое изменение концентрации индикатора на входе в аппарат идеального вытеснения появляется на его выходе через время, равное среднему времени пребывания ϑ = L t , где L – длина аппара- та; ϑ – скорость потока. Диффузионная модель. В основе диффузионной модели лежит до- пущение о том, что структура потоков в аппарате описывается уравнени- ем, аналогичным уравнению молекулярной диффузии. Основой данной модели служит модель идеального вытеснения, осложнённая обратным перемешиванием, описываемым формальным законом диффузии. При составлении однопараметрической диффузионной модели при- нимаются следующие допущения: изменение концентрации субстанции является непрерывной функцией координаты (расстояния); концентрация субстанции в данном сечении постоянна; объёмная скорость потока и ко- эффициент продольного перемешивания не изменяются по длине и сече- нию потока. При таких допущениях уравнение диффузионной модели представляет дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа 2 2 t c D c t c ∂ ∂ + ∂ ∂ ϑ − = ∂ ∂ l l . (10.6) с(t) t с н ) ( ) ( t V q t c вх δ ⋅ = ) ( t c вых ϑ = L t Рис. 15. Отклик модели идеального вытеснения на импульсное возмущение 47 Уравнение (10.6) отличается от уравнения (10.3) введением дополни- тельного члена 2 2 l l ∂ ∂ c D , учитывающего турбулентную диффузию или пе- ремешивание. Вывод уравнения (10.6).Согласно закону Нернста масса вещества dq, протекающего через сечение l за промежуток времени (t, t + Δt), равна , ) , ( Sdt t x c D dq l l ∂ ∂ − = где S – площадь поперечного сечения аппарата. По определению концен- трации, количество вещества q с концентрацией c в объёме V равно cV q = , отсюда получаем, что изменение массы вещества на участке аппарата ) , ( 2 1 l l при изменении концентрации на c Δ равно ∫ Δ = Δ 2 1 l l cSd q l Составим уравнение баланса массы вещества на участке ) , ( 2 1 l l за промежуток времени ) , ( 2 1 t t : [ ] [ ] , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 l l l l l l l l l l l l d t c t c S dt t c t c S dt t c l D t c D S t t t t l l ∫ ∫ ∫ − ⋅ = − ϑ − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ − ∂ ∂ ⋅ ⋅ (10.7) которое представляет собой уравнение диффузии в интегральной форме. Чтобы получить уравнение диффузии в дифференциальной форме, предположим, что функция ) , ( t c l имеет непрерывные производные t c c , ll . Требуя дифференцируемости функции ) , ( t c l , мы можем поте- рять ряд возможных решений, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Однако в случае уравнений диффузии и теплопроводности мы фактически не теряем возможных решений, так как можно доказать, что если функция удовлетворяет уравнению (10.7), то она обязательно должна быть дифференцируема. Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство 48 ( ) [ ] [ ] , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 ) , ( ) , ( 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l Δ ⋅ − = Δ ⋅ − ⋅ ϑ − − Δ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ − ∂ ∂ ⋅ ∈ = ∈ = = = ∈ = = = t c t c t t c t c t l t c D l t c D t t t t t t t t t t которое с помощью теоремы о конечных приращениях можно преобразо- вать к виду , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 3 1 3 2 1 3 3 2 2 1 2 2 1 l l l l l l l l l l l l l l l l l l Δ ⋅ Δ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = Δ ⋅ Δ × × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ϑ − Δ ⋅ Δ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∈ = = ∈ = = ∈ = = t t c t t c t l t c D t t t l l t t t t t t где 3 2 1 3 2 1 , , , , , l l l t t t – промежуточные точки интервалов ) , ( 2 1 t t и ) , ( 2 1 l l Отсюда после сокращения на произведение l Δ ⋅ Δt находим: ) , ( ) , ( 1 3 3 2 2 1 l l l l l l l l l l l l = = = = = = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ϑ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ t t t t t t t c t c t c D Все наши рассуждения относились к произвольным интервалам ) , ( 2 1 t t и ) , ( 2 1 l l . Переходя к пределу при l l l → 2 1 , и t t t → 2 1 , , полу- чим дифференциальное уравнение диффузии: 2 2 l l l ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ ϑ − = ∂ ∂ c D c t c (10.8) Далее остановимся на начальных и граничных условиях. В качестве начального условия обычно задаётся профиль концентрации индикатора по длине аппарата в начальный момент времени: ) ( ) , 0 ( н l l c c = при 0 = t . (10.9) Граничные условия обычно задают из условия выполнения матери- альных балансов на концах аппарата (условия по Данквертсу). Рассмот- рим левый конец трубчатого аппарата, в который поступает поток с неко- торой средней скоростью ϑ (рис. 16). Сумма потоков веществ, подходя- 49 щих к границе 0 = l , должна быть равна потоку вещества, отходящего от границы, т.е. , вх c d dc D c ϑ = + ϑ l l или 0 ) ( вх = + − ϑ l l d dc D c c (10.10) Аналогично для правого конца аппарата имеем: , ) ( вых l l d dc D c c = − ϑ (10.11) На практике часто принимают вых с с ≈ . С учётом этого граничное условие (10.11) примет вид: 0 = l d dc (10.12) Условия (10.10) – (10.12) называются граничными условиями по Данквертсу. Наряду с рассмотренной выше однопараметрической диффузионной моделью используется двухпараметрическая диффузионная модель. От- личие её состоит в том, что перемешивание потока учитывается как в продольном, так и в радиальном направлениях. Параметрами модели яв- ляются коэффициенты продольного l D и радиального r D перемешива- ния. Будем считать, что коэффициенты l D и r D не изменяются по длине и сечению аппарата, а скорость потока постоянна. В этом случае уравне- ние двухпараметрической диффузионной модели при движении потока в аппарате цилиндрической формы имеет вид: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ ϑ − = ∂ ∂ r c r r r D c D c t c r 2 2 l l l (10.13) с начальным и граничным условиями, например: 0 ) , , 0 ( = r c l при 0 = t , (10.14) ) 0 ( ) 0 , 0 , ( 0 δ = c t c при 0 , 0 = = r l , (10.15) 0 ) , , ( = ∂ ∂ r R t c l при R r = , (10.16) 0 ) , 0 , ( ) , 0 , ( = ∂ ∂ − ⋅ ϑ x r t c D r t c l при 0 = l , (10.17) S c ⋅ ϑ ⋅ вх r l Рис. 16. Схема потоков у левого конца аппарата S d dc D ⋅ ⋅ l l S c ⋅ ϑ ⋅ вх 50 0 ) , , ( = ∂ ∂ l r L t c при L = l . (10.18) Ячеечная модель впервые предложена для описания гидродинамики каскада реакторов с мешалками. При её построении поток условно разби- вают на ряд последовательно соединённых между собой зон (ячеек) (рис. 17). Сделаем следующие допущения: 1) в каждой ячейке осуществляется идеальное перемешивание; 2) между ячейками отсутствует обратное пе- ремешивание. В этом случае параметром ячеечной модели служит число ячеек N идеального перемешивания: с увеличением N структура потока в аппара- те приближается к гидродинамической модели идеального вытеснения, а с уменьшением N – к модели идеального смешения. Запишем уравнения материального баланса для каждой из ячеек: , 3 , 2 , 1 ), ( 1 = − = − i c c G dt dc V i i i i , вх 0 c c = . (10.19) Соответствующие начальные условия для системы уравнений (10.19) имеют вид: н н 2 2 н 1 1 , , ; N N c c c c c c = = = при 0 = t . (10.20) Рассмотрим отклики ячеечной модели гидродинамики аппарата на импульсное возмущение. Первая ячейка. Концентрация индикатора вх c на входе в аппарат при импульсном возмущении равна нулю. В этом случае уравнение моде- ли примет вид 1 1 Gc dt dc V i − = или , 1 1 1 c dt dc t − = где н 1 1 1 1 ) 0 ( , c c G V t = = Его решение можно записать в виде 1 н 1 1 t t e с с − = G c ⋅ вх 1 2 3 N – 1 N G c ⋅ Рис. 17. Схема ячеечной модели гидродинамики аппарата: с вх , с – концентрации на входе и выходе из аппарата; G – объёмный расход вещества через аппарат 51 Вторая ячейка. Входом во вторую ячейку является выход из первой ячейки, т.е. 2 н 1 вх 2 1 c e с с t t − = − . Тогда для второй ячейки модель гидроди- намики записывается в виде 0 ) 0 ( ; 2 2 н 1 2 2 1 = − = − c c e с dt dс t t t Получим решение этого дифференциального уравнения. Вначале решаем соответствующее однородное уравнение , 2 2 2 c dt dс t − = которое после разделения переменных примет вид 2 ) ( ) ( 2 t t e t A t c − = Для нахождения неизвестного множителя ) (t A подставим получен- ное решение однородного уравнения в исходное уравнение модели. 2 1 2 2 ) ( ) ( ) ( 1 2 t t t t t t t t e t A e c e t t A e t A t н − − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − После приведения подобных членов приходим к дифференциально- му уравнению относительно ) (t A : ) ( н 1 2 c dt t dA t = Его решение можно записать в виде ) ( 2 н 1 k t t c t A + = Учитывая начальное условие: 0 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 2 н 1 2 2 0 = + ⋅ = = ⋅ = − k t c A e A c t Получаем , 0 = k и решение исходной задачи примет вид ) ( 2 2 н 1 2 t t e t t c t c − = Аналогичные решения можно получить для третьей, четвёртой, … , N-й ячейки. Функция отклика N-й ячейки, представляющая общую функ- цию отклика ячеечной модели, описывается выражением вида: |