МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
61 Пример 2.Определить среднее время пребывания реагентов в про- точном реакторе идеального вытеснения для условий примера 1 (реакция второго порядка 2А → R + S, кинетическое уравнение w rA = 2,5 c A 2 , с А,0 = 4 кмоль/м 3 , х А,f = 0,8). Режим работы реактора стационарный, пло- щадь поперечного сечения канала реактора постоянна. Решение . Из уравнения материального баланса для стационарного режима работы реактора идеального вытеснения 0 = − − rA A z w dz dc u . (11.4) Запишем уравнение (11.4), выразив dz dc u A z через среднее время пре- бывания τ . В реакторе с постоянной площадью поперечного сечения ка- нала линейная скорость потока u z будет величиной постоянной, равной отношению объёмного расхода v к площади сечения F (u z = v /F). Тогда, с учётом того, что Fz/v = V/v = τ , уравнение (11.4) можно записать в таком виде: 0 = − τ − rA A w d dc . (11.5) Получим выражение для скорости реакции: τ = − d dc c A A 2 5 , 2 . (11.6) Следует отметить, что уравнение (11.6) отличается от уравнения (11.2) лишь тем, что вместо τ в правой части уравнения (11.2) стоит τ Величина τ (среднее время пребывания реагентов в проточном реакторе, характеризующее для реактора вытеснения продолжительность прохож- дения потоком расстояния от входа в реактор до некоторой точки z на оси реактора) по физическому смыслу отличается от величины τ в правой час- ти уравнения (11.2) – времени, в течение которого в некоторой фиксиро- ванной точке внутри реактора происходит изменение параметров процес- са. Условно можно рассматривать τ как некоторую «внутреннюю» ха- рактеристику реактора, непосредственно связанную с его размерами, а τ – как «внешнюю» характеристику, никак не зависящую от конструктивных особенностей реактора. Таким образом, аналитическое решение уравнения (11.6): 25 , 0 5 , 2 1 + τ = A c . (11.7) Среднее время пребывания реагентов в реакторе вытеснения τ = 0,4 с (см. пример 1). 62 11.2. Модели массообменных процессов Математическое описание процесса ректификации построено с учё- том следующих допущений: 1) давление на контактном устройстве (тарелке) постоянно; 2) жидкость находится при температуре кипения, а пар – при темпе- ратуре точки росы; 3) разделяемые смеси близки к идеальным; 4) физико-химические свойства компонентов постоянны на данном контактном устройстве и усреднены в возможном диапазоне изменения концентраций; 5) потоки жидкости и пара постоянны; 6) жидкая фаза идеально перемешана; 7) паровая фаза идеально перемешана; 8) режим работы контактного устройства – адиабатический; 9) унос жидкости постоянен. Математическое описание ректификационной колонны включает следующие уравнения: 1) общий материальный баланс на тарелках колонны ⎩ ⎨ ⎧ > − + < + + = ≠ = = + − − − ; , ; , ; , ..., , 2 , 1 , 1 1 1 1 f i F U V f i W U V L f i n i V V n i i i i i 2) покомпонентный материальный баланс ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − + − + < + + + + = + + − − − + − − − − − ; , 1 ; , 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 f i x F Ux y V F U V f i Wx Ux y V W U V x n n i i i n i i i i i i 3) тепловой баланс ( ) ( ) ( ) ( ) пот 0 1 Q Q x Wh x h F Q y h V x h L k D n w F F F F + + + = + + + ; 4) уравнение фазового равновесия ( ) P x y y i i , * * = ; 5) уравнение расчёта состава пара, покидающего тарелку: ( ) f i y y y y i i i i i ≠ η − + = − − , 1 * 1 , где V – расход пара; L – расход жидкости; U – унос жидкости; W – расход кубовой жидкости; F – расход флегмы; x – концентрация легколетучего компонента в жидкости; y – концентрация легколетучего компонента в паре; P – давление; η – эффективность контактного устройства; h – эн- тальпия; Q – расход тепла; i – номер тарелки; f – номер тарелки питания. 63 Для построения математической модели дефлегматора колонны примем допущение, что дефлегматор является полным конденсатором (эффективность равна нулю), тогда n D y x = Для построения математической модели кипятильника колонны примем допущение, что кипятильник представляет собой полный испари- тель (эффективность равна нулю), тогда 0 0 x y = Для построения математической модели всей установки необходимо описание отдельных частей установки дополнить уравнениями связи. В качестве таких уравнений обычно используют общие уравнения мате- риального и теплового баланса для всей установки: ; ; ; 1 1 1 1 0 1 + + + + + − = = + = + = n n n n D D n p p n p F V L x x x F Wx x F F W F Для принятого математического описания процесс моделирования заключается в решении системы уравнений при заданной совокупности начальных условий. При моделировании режимов работы ректификационной колонны для разделения бинарной смеси метиловый спирт–вода использовали сле- дующие начальные условия: число тарелок колонны N – 7; номер тарелки питания NF – 4; флегмовое число R = 0,35; количество питания F = 0,89; состав исходной смеси XF: метиловый спирт : вода = 0,4 : 0,6; ректифика- ция проводится при атмосферном давлении (P = 100 000 Па); температуры кипения чистых жидкостей: TKIP МС = 64,5 °С, TKIP В = 100 °С. Для решения построенной математической модели будем использо- вать метод расчёта «от тарелки к тарелке». Здесь в качестве независимых переменных выбирают составы продуктов разделения. Входными переменными модели являются: x 1,2 – состав питания (жидкой фазы); d – диаметр колонны; n – число ступеней колонны; F – расход питания; D – количество дистиллята; R – флегмовое число; x, y(t) – равновесная зависимость между паром и жидкостью при постоянном давлении. Выходными переменными модели являются: x D , y D – состав дистиллята; x W , y W – состав куба; 64 W – расход куба; Q – тепловая нагрузка. Суть данного метода заключается в следующем: 1. Задают состав куба x i1 . Из системы уравнений материального ба- ланса и равновесия на первой ступени определяют x i2 , затем x i3 и т.д. 2. Рассчитывают x in и y in 3. По уравнениям покомпонентного баланса для всей колонны рас- считывают потоки жидкости L и пара V. 4. Корректируют заданные составы продуктов. Если расхождение не превышает заданного – расчёт окончен. С использованием приведённого алгоритма составим программу и проведём проверочный расчёт колонны. function [] = colona %математическая модель процесса ректификации смеси метиловый спирт – вода %в тарельчатой колонне %Допущения: % 1) идеальные пар и жидкость; % 2) паровая фаза подчиняется законам идеальных систем; % 3) предполагается постоянная эффективность тарелок; % 4) постоянство потоков пара и жидкости по колонне. % Обозначения: % N – число тарелок % K – число компонентов (бинарная смесь) % NF – номер тарелки питания % F – количество питания % DIST – количество дистиллята % LO – орошение % EPS – точность вычисления суммы концентраций на каждой тарелке % W – количество кубового продукта % V – нагрузка по пару % X – распределение концентраций по тарелкам % EM – средняя эффективность тарелки по Мерфи % P – давление (атм) % T – температура ( °С) % Xj – состав жикой фазы % Y – состав паровой фазы % TKIP – температуры кипения компонентов % R – флегмовое число Решение систем уравнений, а также расчёт парожидкостного равновесия % производится встроенными методами % Ввод количества тарелок, количества компонентов и номера тарелки питания 65 N = 7; K = 2; NF = 4; NF = NF+1; %Учёт куба как теоретической тарелки % Ввод количества питания, дистиллята, орошения и точности вычисле- ния концентраций R = 0.35;F = 0.89;DIST = 0.13;LO = R*DIST;EPS = 0.01;EM = 0.49; % Ввод состава питания XF = [0.4, 0.6]; P = 100000; %Па TKIP = [64.5 100];% град.Цельс. % Вычисление количества кубового продукта и нагрузки по пару W = F-DIST; V = LO+DIST; N2 = N+2; % Задание начального приближения for i = 1:N2 for j = 1:K X(i, :) = XF; end end iter = 0; Z = 100; % Начало итерационного цикла while (Z>0) iter = iter+1; for j = 1:K for i = 1:N2 SUM = 0; for z = 1:K XJ(z) = X(i,z); end for z = 1:K if (z==1) [YJ(z), T] = equi(XJ(z)); %вычисление парожидкостного рав- новесия else YJ(z) = 100-YJ(1); end end YJ = YJ/100; for z = 1:K if (i == 1) Y(i, z) = YJ(z); else Y(i, z) = Y(i-1, z)+EM*(YJ(z)-Y(i-1, z)); 66 end KR(i, z) = Y(i,z)/X(i, z); end TR(i) = T; A(i) = V*KR(i, j); B(i) = -KR(i, j)*V-LO; if (i<=NF) B(i) = B(i)-F; end if (i == 1) B(i) = -KR(i, j)*V-W; end if (i == N2) B(i) = -V; end C(i) = LO; if (i %Решение системы уравнений X1(:, j) = cody(N2, A, B, C, D); end Z = 0; for i = 1:N2 SUM = -1; %проверка на сходимость for j = 1:K SUM = SUM+X1(i, j); end Z = Z+1; if (abs(SUM) SUM = SUM+X1(i, j); end % Нормировка концентраций по тарелкам for j = 1:K X(i, j) = X1(i, j)/SUM; end end end xD = X(length(X), 1); xF = XF(1); xW = X(1, 1); [YJ, TD] = equi(xD); 67 [YJ, TF] = equi(xF); [YJ, TW] = equi(xW); clc disp (' Материальный баланс колонны ') disp('Количество питания, кг/с') F disp ('Количество дистиллята, кг/с') DIST disp ('Количество кубового остатка, кг/с') W disp('Состав жидкой фазы по тарелкам:') disp(' № тар. Температура Мет.спирт Вода ') for i = 1:N2 ITOG(i,:) = [(i-1), TR(i), X(i, :)]; end disp(ITOG) % Тепловой баланс колонны Mv = 18; Mn = 32; rn = 1110e3; rv = 2300e3; cn = 0.65*4190; cv = 4190; rD = xD*rn*Mn+(1-xD)*rv*Mv;%удельная теплота конденсации паров в дефлегматоре, Дж/кг cD = xD*cn*Mn+(1-xD)*cv*Mv;%удельная теплоёмкость дистиллята, Дж/(кг*К) cF = xF*cn*Mn+(1-xF)*cv*Mv;%удельная теплоёмкость исходной смеси, Дж/(кг*К) cW = xW*cn*Mn+(1-xW)*cv*Mv;%удельная теплоёмкость кубового ос- татка, Дж/(кг*К) QK = DIST*(1+R)*rD+DIST*cD*TD+W*cW*TW- F*cF*TF+0.05*DIST*(1+R)*rD; disp ('Расход теплоты в кубе ректификационной колонны:') QK ∗ ∗ ∗ function [YJ, T] = equi(XJ) %Вычисление парожидкостного равновесия смеси метиловый спирт – вода % Экспериментальные данные кривой равновесия: x = [0 2 4 6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100];% жидкость y = [0 13.4 23.0 30.4 41.8 57.9 66.5 72.9 77.9 82.5 87.0 91.5 95.8 100];% пар t = [100.0 96.4 93.5 91.2 87.7 81.7 78.0 75.3 73.1 71.2 69.3 67.5 66.0 64.5];% температура 68 %Вычисление коэффициентов полиномов приближающих функцию conts = polyfit(x, y, 7);% концентрации temp = polyfit(x, t, 7);% температуры %Определение соответствующих концентраций и температур YJ = polyval(conts, XJ); T = polyval(temp, XJ); ∗ ∗ ∗ function D = cody(N2, A, B, C, D) % подпрограмма расчёта системы уравнений P = B(1); D(1) = D(1)/P; for i = 2:N2 B(i-1) = C(i-1)/P; P = B(i)-A(i-1)*B(i-1); D(i) = (D(i)-A(i-1)*D(i-1))/P; end j = N2; for i = 1:(N2-1) j = j-1; D(j) = D(j)-B(j)*D(j+1); end В результате расчёта, проведённого с помощью построенной матема- тической модели, получены следующие результаты. Материальный баланс колонны Количество питания, кг/с F = 0,89. Количество дистиллята, кг/с DIST = 0,13. Количество кубового остатка, кг/с W = 0,76. Состав жидкой фазы по тарелкам № тар. Температура Мет. спирт Вода 0 77,184 0,32838 0,67162 1 75,373 0,39525 0,60475 2 75,275 0,39924 0,60076 3 75,221 0,40147 0,59853 4 75,189 0,4027 0,5973 5 73,875 0,46994 0,53006 6 72,085 0,56353 0,43647 7 69,722 0,6798 0,3202 8 67,139 0,817 0,183 69 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 60 65 70 75 80 85 90 95 100 x, y t, C LP VP Рис. 22. Диаграмма равновесия между паром и жидкостью в координатах температура – состав пара (VP) и жидкости (LP) Расход теплоты в кубе ректификационной колонны: QK = 6.7702e+006. Диаграмма равновесия между паром и жидкостью для смеси метило- вый спирт – вода приведена на рис. 22 (реализация функции equi). Изменение состава жидкой фазы по высоте колонны приведено на рис. 23, а. Тарелка с номером 1 соответствует дефлегматору, тарелка с номером 9 соответствует кубу. С использованием созданной модели ректификационной колонны были проведены следующие исследования: 1. Влияние числа теоретических тарелок на состав кубовой жидко- сти и дистиллята. 2. Влияние входной концентрации исходной смеси на состав кубо- вой жидкости и дистиллята. 3. Влияние флегмового числа на состав кубовой жидкости и дистиллята. Результаты проведённых исследований представлены на рис. 23. На рис. 23, б пунктиром показан состав жидкости в кубе, тяжёлый компонент – линией с кружочком. Из графика видно, что при увеличении высоты колонны увеличивается концентрация лёгкого компонента в дис- тилляте и уменьшается его концентрация в кубовой жидкости. На рис. 23, в приведены графики изменения состава дистиллята и ку- бовой жидкости в зависимости от содержания легколетучего компонента x f1 в питании колонны. Из графиков видно, что при малой концентрации легколетучего компонента в данной колонне происходит унос всей жид- кости в дистиллят, при высокой концентрации разделение происходит лучше по составу фаз. 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 N tarelky So sta vy L P CH3OH H2O 5 6 7 8 9 10 11 12 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 N x1 , x2 а ) б ) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xf1 x1 , x2 xd1 xw1 xd2 xw2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 R x1 , x2 xd1 xw1 xd2 xw2 в ) г ) Рис. 23. Результаты вычислительных экспериментов с использованием модели ректификационной колонны: а – изменение состава жидкой фазы по высоте колонны; б – зависимость состава жидкой фазы от числа тарелок; в – изменение состава дистиллята и кубовой жидкости в зависимости от состава питания (содержания легколетучего компонента x f1 ); г – изменение состава дистиллята и кубовой жидкости в зависимости от значения флегмового числа На рис. 23, г приведены графики изменения состава дистиллята и ку- бовой жидкости в зависимости от значения флегмового числа R. 11.3. Модели биотехнологических процессов При разработке математической модели кинетики роста биомассы микроводоросли хлорелла были приняты следующие допущения: 1. Процесс осуществляется периодическим способом, при интенсив- ной аэрации газовоздушной смесью. Подвод пузырьков газовоздушной смеси к клетке не затруднён. Sostavy LP 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N tarelka 5 6 7 8 9 10 11 12 N X1, X2 X1, X2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 X1, X2 N 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 xf1 71 2. Концентрация кислорода достаточна для осуществления клетками энергетического обмена. 3. Основными лимитирующими субстратами являются: концентра- ция углекислого газа в питательной среде, концентрация соединений азо- та, доступных для ассимиляции клетками, в питательной среде. 4. Процесс не зависит от температуры (осуществляется в интервале температур, оптимальных для накопления биомассы, тепло, выделяемое в процессе биосинтеза, отводится с отработанной газовоздушной смесью). 5. Процесс культивирования осуществляется в интервале значений pH, оптимальных для накопления биомассы. 6. Процесс фотосинтеза идёт с максимальной для данных концен- траций CO 2 скоростью, поскольку инсоляция (длина волны, глубина про- никновения света, оптические свойства среды и т.п.) производится в оп- тимальном режиме. 7. Процессы питания, фотосинтеза, размножения и др. идут одно- временно. С учётом принятых допущений, в период накопительного культиви- рования биомассы хлореллы происходит увеличение концентрации био- массы клеток, а также утилизация субстратов. Кинетика роста биомассы клеток хлореллы описывается моделью: X dt dX μ = , где X – концентрация биомассы клеток, г/л; t – время, ч; μ – удельная скорость роста, ч –1 Для вычисления удельной скорости роста в многофакторном процес- се целесообразно использовать универсальную мультипликативную зави- симость [13], в которой каждый фактор автономен. ( ) ( ) 2 1 S S μ μ = μ где S – концентрация субстратных компонентов в биореакторе, г/л; индек- сы 1 – источники азотного питания; 2 – источники углеродного питания. Зависимость по источнику азота описывается уравнением Моно: 1 1 max 1 1 S K S sx + μ = μ , где max μ – максимальная удельная скорость роста, ч –1 ; s K – субстратная константа насыщения, г/л. Зависимость по источнику углерода описывается уравнением Андрю- са, поскольку по углекислому газу наблюдается субстратное ингибирова- ние, т.е. замедление скорости роста при концентрации субстрата выше 2 г/л. 2 2 2 2 2 max 2 2 ix sx K S S K S + + μ = μ , где i K – константа ингибирования продуктом, г/л. |