МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
52 )! 1 ( 1 ) ( 1 н 1 t t e N t t c t c N N N − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Вводя безразмерные концентрацию N N c c c 1 = и время t t = τ , функцию отклика можно представить в безразмерном виде: )! 1 ( ) ( 1 τ − − − τ = N N N e N N t c Ячеечная модель с обратными потоками (рециркуляционная мо- дель). Более адекватное воспроизведение структуры потоков в реальном аппарате обеспечивает рециркуляционная модель. Физическая сущность понятия рециркуляционной модели заключается в том, что поток разбива- ется на ряд последовательно соединённых ячеек идеального перемешива- ния с обратными потоками (рис. 18). Величина g/G называется долей обратного потока и обозначается через f. С учётом введённых обозначений система дифференциальных урав- нений рециркуляционной модели можно записать в следующем виде: ; ) 1 ( ) 1 ( ; ) 2 1 ( ) 1 ( ; ) 1 ( 1 1 1 1 2 вх 1 1 N N N N i i i i i c f c f dt dc t c f fc c f dt dc t c f fc c dt dc t + + + = − − + + = + − + = − + − K (10.21) н н 1н 1 , , , , N N j j c c c c c c = = = при 0 = t . (10.22) Система дифференциальных уравнений (10.21), (10.22) при 0 → f переходит в ячеечную модель, а при ∞ → N f , – в диффузионную модель. G c вх 1 2 N g c 1 G+g g c 2 G+g g G+g G c вых =с N Рис. 18. Схема потоков в соответствии с рециркуляционной моделью: G – объёмный расход вещества через аппарат; g – обратный поток индикатора в аппарате 53 Комбинированные модели. При описании движения потоков в про- мышленных технологических аппаратах может случиться, что ни одна из вышеперечисленных гидродинамических моделей не позволит адекватно воспроизвести свойства потока. В таких случаях используются сложные гидродинамические комбинированные модели. В основу комбинированных моделей положены идеальные модели с добавлением застойных зон, байпа- сирования и рециркуляции отдельных частей потоков. Естественно, что математическое описание процесса существенно усложняется, однако за счёт этого удаётся получить необходимую точность воспроизведения свойств объекта моделирования. Выражение «застойная зона» – условное понятие. Обычно к этим зо- нам относятся объёмы аппарата, в которых среднее время пребывания индикатора в 3 – 10 и более раз превышает среднее время пребывания элементов основного потока. Например, в насадочных массообменных аппаратах такие области представляют собой мёртвые зоны, т.е. практи- чески нерабочие объёмы аппарата. С другой стороны, если среднее время пребывания некоторой части элементов потока составляет 0,1 – 0,3 от времени пребывания основного потока, то считается, что в аппарате имеется байпасный поток. В основе обоих типов неравномерности (неоднородности) времени пребывания элементов потока лежит, по существу, одно и то же физическое явление – движение отдельных частей потока, обособленных друг от друга различ- ными объёмными скоростями. Рассмотрим явление рециркуляции потока с выхода на вход аппарата (рис. 19). Составим уравнение материального баланса для узла S: ) ( вх r r G G c cG G c + ′ = + Применим к последнему уравнению преобразование Лапласа: ) }( { } { r r G G c L G c L G + ′ = + Обозначим отношение расхода рециркуляционного потока r G к основному G через R . Тогда разделив последнее уравнение на G c L } { , получим } { } { ) 1 ( } { 1 c L c L R R c L ′ + = + (10.23) G c вх V S G c ′ G r Рис. 19. Структура потока в аппаратуре с рециркуляцией 54 Отношение } { } { c L c L ′ при нулевых начальных условиях представляет собой передаточную функцию ) ( p W аппарата без учёта рецикла. Пред- положим, что эта передаточная функция соответствует модели идеального смешения. , 1 1 ) ( p t p W + = где t – среднее время пребывания элементов потока без учёта рециклов. Тогда уравнение (10.23) перепишется в виде ), 1 )( 1 ( } { 1 p t R R c L + + = + откуда ) 1 ( 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 } { p t R R p t R c L + + = − + + = Для импульсного возмущения на входе передаточная функция аппа- рата с рециклом ) ( p W r равна } {c L , следовательно: ) 1 ( 1 1 ) ( p t R p W r + + = Определим среднее время пребывания r t и дисперсию 2 σ функции отклика аппарата с рециклом, используя передаточную функцию ) ( p W r Запишем выражение для первого начального момента нормированной С-кривой: ) 1 ( ) 0 ( ' 1 t R p W t M r r t + = = − = = Таким образом, среднее время пребывания в аппарате с рециклом в (1 + R) раз больше среднего времени пребывания при отсутствии рецикла. Комбинированные модели, составленные из последовательно со- единённых моделей идеального смешения и идеального вытеснения. В такой комбинированной системе можно выделить два варианта соеди- нения моделей (рис. 20) Оценим, как влияет порядок соединения моделей на отклик системы на ступенчатое возмущение? Рассмотрим следующий пример. Пусть в аппарате протекает химическая реакция B A k ⎯→ ⎯ первого порядка со скоростью: , kc dt dc − = где с – концентрация вещества А. 55 G c вх Модель идеального смешения G с Модель идеального вытеснения а) б) G c вх Модель идеального вытеснения G с Модель идеального смешения с ′ с ′ Рис. 20. Комбинированные модели Сравним концентрации вещества А на выходе аппарата, модель гид- родинамики которого представлена на рис. 20 а, б. Рассмотрим комбинированную систему на рис. 20, а. Для зоны иде- ального смешения имеем ), ( вх см c c G dt c d V − ′ = ′ где V см – объём зоны идеального смешения, и ). ( вх см c c G c k V − ′ = ′ − Следовательно, концентрация вещества А на выходе из зоны идеаль- ного смешения составит 1 1 см вх см вх t k c G kV c c + = + = ′ В зоне идеального вытеснения изменение концентрации описывается уравнением вида , kc dl dc − = ϑ где ϑ – линейная скорость движения потока в аппарате. Интегрируя левую часть уравнения в пределах от ' c до c по концен- трации и от 0 до L по координате l (L – длина зоны вытеснения), получим , выт t k e c c − ′ = где ϑ = L t выт Таким образом, концентрация c на выходе комбинированной систе- мы «идеальное смешение – идеальное вытеснение» выражается формулой: 1 см вх выт t k e c c t k + = − Рассмотрим теперь комбинированную систему на рис. 20, б. Здесь концентрация c′ в зоне идеального вытеснения определяется уравнением 56 , c k dl c d ′ − = ′ ϑ решение которого имеет вид выт вх t k e c c − = ′ В зоне идеального смешения изменение концентрации составляет ), ( см c c G kc V − ′ = откуда следует 1 см вх выт t k e c c t k + = − Таким образом, для химических реакций первого порядка (с линей- ной кинетикой) концентрация веществ на выходе комбинированных сис- тем (рис. 20, а, б) одна и та же и, следовательно, порядок следования мо- делей (зон идеального смешения и вытеснения) не оказывает влияния на протекание процесса. Рассмотрим осуществление химической реакции с нелинейной кинетикой: B A A k ⎯→ ⎯ + Скорость протекания химической реакции определяется выражением 2 kc dt dc − = В этом случая для зоны идеального смешения имеем ), ( ) ( вх 2 см c c G c k V ′ − = ′ откуда k t kc t c см вх см 2 1 4 1 − + = ′ Изменение концентрации в зоне идеального вытеснения определяет- ся уравнением , 2 kc dl dc − = ϑ интегрирование которого даёт 1 1 выт t k c c + ′ = Таким образом, концентрация вещества А на выходе комбинирован- ной системы (рис. 20, а) составит: 1 2 4 1 2 выт см 2 вх см см − + + = t t k kc t k t c . (10.24) 57 Для системы, изображённой на рис. 20, б, концентрация вещества на выходе из зоны идеального вытеснения определяется уравнением , 2 kc dl dc − = ϑ или после интегрирования 1 вх выт вх c t k c c + = ′ В зоне идеального смешения изменение концентрации определяется следующим уравнением ), ( 2 см c c G kc V − ′ = откуда получаем вх см вх выт вх см 2 1 ) 1 ( 4 1 c t k c t k kc t c − + + = . (10.25) Нетрудно убедиться, что выражения (10.24), (10.25) для выходных концентраций комбинированных систем (рис. 20, а, б) дают различные зна- чения. Следовательно, для осуществления химических реакций с нелиней- ной кинетикой порядок комбинирования моделей идеального смешения и вытеснения оказывает влияние на протекание процесса взаимодействия. 11. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В MATLAB 11.1. Модели идеального смешения и идеального вытеснения Модель идеального смешения соответствует гидродинамике аппара- та, в котором поступающий в него индикатор мгновенно распределяется по всему его объёму, т.е. в каждой точке аппарата и на выходе из него концентрации индикатора будут равны. Пример 1.Рассчитать время реакционного цикла, необходимое для достижения степени превращения исходного реагента х А,f = 0,8, в перио- дическом реакторе идеального смешения. В реакторе протекает реакция второго порядка 2А → R + S, скорость w rA [кмоль/(м 3 ·с)] которой описывается кинетическим уравнени- ем w rA = 2,5 c A 2 при постоянной температуре. Начальная концентрация реагента А на входе в реактор с А,0 = 4 кмоль/м 3 Решение. Степень превращения вещества А (исходный реагент) мож- но выразить через его концентрацию: 58 0 , , 0 , , A f A A f A c c c x − = , откуда конечная концентрация c A,f = с А,0 (1 – х А,f ). (11.1) Из уравнения материального баланса для периодического реактора идеального смешения τ = − d dc w A rA получим выражение для скорости реакции: τ = − d dc c A A 2 5 , 2 . (11.2) Тогда время реакционного цикла, необходимое для достижения за- данной конечной концентрации с A,f , можно получить решением диффе- ренциального уравнения (11.2): τ = ⋅ − d c dc A A 2 5 , 2 1 , ∫ ∫ τ = − − d dc c A A 2 5 , 2 1 , τ = + − − ) сonst 1 ( 5 , 2 1 A c , τ = − 5 , 2 сonst 1 A c , сonst 5 , 2 1 + τ = A c Значение постоянной интегрирования определим, решая задачу Коши: с А ( τ 0 = 0) = с А,0 = 4, тогда сonst 0 5 , 2 1 4 + ⋅ = , откуда 25 , 0 сonst = Получим аналитическое решение уравнения (11.2): 59 25 , 0 5 , 2 1 + τ = A c . (11.3) Подставляя выражение для конечной концентрации (11.1) в выражение (11.3), получим формулу для определения времени реакционного цикла: 25 , 0 5 , 2 1 ) 1 ( , 0 , + τ = − f A A x c , 4 , 0 25 , 0 )) 8 , 0 1 ( 4 ( 1 5 , 2 1 25 , 0 )) 1 ( ( 1 5 , 2 1 , 0 , = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ = τ f A A x c Листинг программы, реализованной в Matlab: Файл react_mixp_fun.m function f = react_mixp_fun(tau,c_A) % функция расчёта левой части уравнения (11.2) f = -2.5*c_A^2; Файл react_mixp.m % файл-программа расчёта % периодического реактора идеального смешения % задание НУ (концентрация реагента на входе в реактор) c_A0 = 4; % решение ДУ на отрезке tau = 0…1 секунд % с использованием солвера ode23 [tau,c_A] = ode23('react_mixp_fun',[0 1], c_A0); % вычисление ст. превр-я на отрезке tau = 0…1 секунд x_A = (c_A0-c_A)/c_A0; % Оформление графиков: % 1) изменение концентрации исх. реагента во времени figure(1) hold on grid on plot(tau,c_A) xlabel('Time, s') ylabel('Concentration A, kmol/m3') % 2) изменение ст. превр-я исх. реагента во времени figure(2) hold on grid on plot(tau,x_A) xlabel('Time, s') ylabel('Conversion A') Результаты выполнения программы (значения переменных tau, c_A) и график функции c A ( τ) приведены в табл. 1 и на рис. 21. 60 1. Изменение концентрации и степени превращения исходного реагента А во времени Наименование переменной Время τ, с Концентрация c A ( τ), кмоль/м 3 Степень превращения x A ( τ) Обозначение в программе tau c_A Значение 0 4 0 0,2 1,333 0,667 0,4 0,800 0,800 0,6 0,571 0,857 0,8 0,444 0,889 1 0,363 0,909 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Time, s C onc en tr at ion A , k m ol /m 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Time, s C onv ers ion A Рис. 21. Графики изменения: а – концентрации исходного реагента А; б – степени превращения исходного реагента А а ) б ) Time, s Time, s Concent rat ion A, km ol/ m 3 Conversion A 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 |