МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
16 4. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В процессе преобразования наших знаний о технологической систе- ме в её математическую модель мы должны определить: назначение мо- дели; какие компоненты системы должны быть включены в состав моде- ли; переменные и параметры, относящиеся к этим компонентам; функ- циональные соотношения F , f между компонентами, параметрами и переменными. Побочным результатом этой фазы общей ориентировки явится опре- деление точной цели или назначения данной программы компьютерного моделирования. Вычислительные эксперименты проводятся с весьма раз- нообразными целями, в числе которых могут быть: оценка – определение, насколько хорошо технологическая система предлагаемой структуры будет соответствовать некоторым критериям; сравнение – сопоставление конкурирующих технологических систем; прогноз – оценка поведения системы при некотором предполагаемом сочетании рабочих условий; анализ чувствительности – выявление из большого числа дейст- вующих факторов тех, которые в наибольшей степени оказывают влияние на функционирование технологической системы; оптимизация – определение условий осуществления (режимов функ- ционирования) технологических процессов в объекте или конструктивных параметров технологического объекта, при которых заданный критерий достигает экстремального значения. Этот список никак нельзя считать исчерпывающим: в нём просто пе- речислены некоторые наиболее распространённые цели компьютерного моделирования. Чёткое определение назначения модели оказывает суще- ственное влияние на весь процесс её конструирования и эксперименталь- ной проверки. После того как мы определили (по меньшей мере качественно) кон- кретную цель, для которой понадобилось создание модели, наступает этап определения необходимого состава компонентов модели. После составле- ния полного списка компонентов для каждого из них решается вопрос, следует ли включить его в состав модели. Но сделать это трудно, по- скольку на данном этапе разработки модели не всегда ясно, насколько важен тот или иной компонент для достижения общей цели моделирова- ния. При этом необходимо уточнить: следует ли включить данный компо- нент в состав модели или же в состав окружающей среды? Назначение компонентов системы состоит в том, чтобы преобразо- вать входные сигналы в выходные. Имеются три разных вида компонен- тов, составляющих основные функциональные блоки сложных систем: 1) элементы преобразования, в которых один или несколько входных сиг- 17 налов, будучи обработанными некоторым наперед заданным образом, преобразуются в один или несколько выходных сигналов; 2) элементы сортировки, в которых один или несколько входных сигналов распреде- ляются (сортируются) по двум или нескольким разным выходам; 3) элементы обратной связи, в которых входной сигнал некоторым обра- зом меняется в зависимости от выходного сигнала. При решении вопроса о том, какие компоненты надо включить, а ка- кие исключить, важным соображением является число переменных, кото- рые необходимо включить в модель. Определить число выходных пере- менных, как правило, не трудно, если хорошо проработан вопрос о целях и назначении исследования. Трудности возникают при определении, ка- кие входные переменные и переменные состояния вызывают наблюдае- мые эффекты и какими из этих переменных необходимо манипулировать, чтобы получить желаемые эффекты. К тому же здесь мы сталкиваемся с противоречием: с одной стороны, мы стремимся сделать модель как мож- но проще, чтобы облегчить её понимание, упростить задачу её конструи- рования и повысить эффективность компьютерного моделирования; с другой стороны, мы хотим получить как можно более точную модель. Следовательно, реальную технологическую систему необходимо упро- щать до тех пор, пока это не приводит к существенной потере точности. Если решено, какие компоненты и переменные мы включаем в нашу модель, необходимо далее определить функциональные связи между ни- ми, а также значения используемых параметров. При этом перед нами снова встают труднопреодолимые проблемы. Во-первых, может быть трудно (а то и просто невозможно) количественно определить или изме- рить некоторые переменные, важные для поведения технологической сис- темы. Во-вторых, соотношения между компонентами и переменными мо- гут быть неопределёнными. В-третьих, необходимая нам информация и числовые данные могут либо отсутствовать, либо быть в непригодном для использования виде. Все эти обстоятельства более подробно мы рассмот- рим в следующих разделах пособия. По методу составления уравнений (функциональных зависимостей F, f ) ММ можно подразделить на формальные (эмпирические, регрессион- ные) и неформальные (аналитические). При построении эмпирических (регрессионных) ММ структура функциональных зависимостей , F f зада- ётся на основе некоторых формальных соображений, не имеющих связи с типом технологического объекта, его конструктивными особенностями, механизмами протекающих процессов. Задание , F f в формальных ММ производится с учётом удобства последующего использования уравнений или простоты определения вектора a по экспериментальным данным. Под удобством использования ММ понимается возможность получения аналитического решения ) , ( a x y или экономичного нахождения прибли- жённого решение на ЭВМ. 18 Следует отметить, что формальные ММ применяют для описания стационарных и нестационарных объектов только с сосредоточенными координатами. При этом модели динамики, как правило, выбираются ли- нейными, а уравнения статики задаются в таком виде, чтобы решение y(x, a) было линейным по a. При построении неформальных (аналитических) ММ функции F, f выводят на основе теоретического анализа физико-химических процессов, происходящих в технологическом объекте. При выводе уравнений ММ технологических объектов учитывают: − гидродинамические режимы перемещения веществ; − скорости химических превращений, диффузии, передачи тепла, хемосорбции и т.д.; − уравнения материального и энергетического (теплового) баланса; − уравнения фазовых превращений и др. В функции F, f входят (в явной или косвенной форме) основные кон- структивные размеры аппарата (поверхность теплообмена, диаметры и длины труб реакторов, объёмы и число реакторов смешения и т.п.). Чем детальнее и полнее неформальная ММ, тем сложнее структуры F, f и вы- ше размерность вектора a, компонентами которого являются параметры уравнений кинетики (константы скоростей, энергии активации, коэффи- циенты тепло- и массоотдачи, диффузии и т.п.) и характеристики веществ (теплоёмкости, плотности и т.д.). В процессе вывода уравнений ММ приходится применять ряд допу- щений, например, об (не)учёте некоторых физико-химических процессов, протекающих в технологическом объекте. Вследствие этого составлению ММ предшествует трудоёмкий этап экспериментального исследования этих процессов на лабораторных установках с целью определения уравне- ний кинетики и оценки значимости скоростей этих процессов. В зависи- мости от принимаемых допущений ММ одного и того же технологического объекта могут иметь существенно различный вид. Тем более могут разли- чаться структуры функций F, f неформальных ММ объектов разного типа. Неформальные ММ технологических объектов, как правило, нели- нейны, нахождение их приближённых решений y(x, a, ξ) обычно осущест- вляется численными методами на ЭВМ. Решения y(x, a, ξ) чаще всего не- линейны по a, что значительно затрудняет определение параметра по экс- периментальным данным. Неформальные ММ технологических объектов содержат разнообраз- ную и обширную информацию о конструкциях объектов, механизмах и скоростях протекающих в них физико-химических процессов. Это позво- ляет использовать неформальные ММ для исследования на ЭВМ техноло- гических объектов, оптимизации режимов их работы, оптимального про- ектирования объектов, оптимального управления ими. 19 Методы построения ММ технологических объектов Экспериментальный Комбинированный Аналитический Вектор параметров a определён по y э , х э , полученным на специальных лабораторных установках Вектор параметров a определён по y э , х э , полученным на технологическом объекте Неформальные модели F, f Формальные модели F, f Рис. 5. Схема классификации методов построения ММ В зависимости от способа построения F, f и определения вектора па- раметров a можно указать три метода построения ММ технологических объектов (рис. 5): экспериментальный, аналитический и комбинирован- ный [3]. При экспериментальном методе построения формальных ММ пара- метры a определяются по опытным данным у э , х э , полученным на дейст- вующем объекте. Построенные экспериментальным методом ММ не нуждаются в про- верке на адекватность, но они справедливы только для того объекта, на котором проводились опыты. Аналитический метод построения ММ заключается в теоретическом расчёте или определении параметра a неформальных уравнений статики и динамики по опытным данным у э , х э , которые получены при исследовании отдельных физико-химических процессов, происходящих в объекте, на лабораторных установках. В ММ, построенных аналитическим методом, параметр a имеет отчётливую физическую трактовку и представляет со- бой самостоятельную ценность, так как может быть использован в других задачах. Поэтому к задаче определения вектора параметра a предъявляют следующие требования: единственности a, устойчивости a к ошибкам измерения у э и расчёта; адекватности ММ объекту. Комбинированный (экспериментально-аналитический) метод по- строения ММ заключается в нахождении параметра a неформальных 20 уравнений статики и динамики по сигналам у э , х э , полученным на дейст- вующем объекте. Параметр а в таких ММ имеет физическую трактовку, поэтому к задаче определения вектора a предъявляют те же требования, что и при аналитическом методе. Математические модели, построенные экспериментальным и комби- нированным методами, используются для оптимизации статических ре- жимов действующего объекта, оптимального проектирования технологиче- ских объектов и конструирования систем автоматического управления ими. 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Основным принципом моделирования технологических систем, со- держащих стохастические или вероятностные элементы, является разыг- рывание выборок по методу Монте-Карло. В этом методе данные предше- ствующего опыта вырабатываются искусственно путём использования не- которого генератора случайных чисел в сочетании с интегральной функци- ей распределения вероятностей для исследуемого процесса. Таким генера- тором может быть подпрограмма ЭВМ или какой-либо другой источник равномерно распределённых случайных чисел. Подлежащее разыгрыванию распределение вероятностей может быть основано на эмпирических данных или представлять собой известное теоретическое распределение. Случай- ные числа используются для получения дискретного ряда случайных пере- менных, имитирующего результаты, которые можно было бы ожидать в соответствии с разыгрываемым вероятностным распределением. Способ применения метода Монте-Карло довольно прост. Чтобы по- лучить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемую некоторой функцией распределения вероятностей, следует обеспечить возможность получения равномерно распределённых случай- ных чисел и далее использовать эти числа для генерации случайных вели- чин с требуемыми характеристиками. Библиотеки программ большинства ЭВМ включают с этой целью специальные стандартные программы для наиболее распространённых законов распределения. При разработке ими- тационной модели, содержащей стохастические или вероятностные эле- менты, всегда возникает вопрос, следует ли при методе Монте-Карло применять непосредственно эмпирические данные или же нужно восполь- зоваться одним из теоретических распределений. Этот вопрос очень ва- жен и фундаментален по трём причинам. Во-первых, при использовании «сырых» эмпирических данных подразумевается, что моделируется толь- ко прошлое. Данные, полученные вчера, строго говоря, отображают лишь вчерашнее поведение системы; возможными событиями оказываются только те, что уже произошли. Следовательно, необходимо предполо- жить, что основная форма распределения вероятностей останется неиз- 21 менной во времени и что его особенности, относящиеся к определённому периоду времени, будут повторяться. Во-вторых, использование теорети- ческого распределения в большинстве случаев даёт лучшие результаты с точки зрения затрат машинного времени и требуемого объёма памяти ЭВМ. В-третьих, при использовании теоретического распределения го- раздо легче изменять параметры генератора случайных чисел, когда требу- ется проверить чувствительность модели или «проиграть» на ней различ- ные возможные ситуации. Поэтому целесообразно сразу же проверить, не согласуются ли имеющиеся эмпирические данные с известным теоретиче- ским распределением (на статистически приемлемом доверительном уров- не). Если да, то следует воспользоваться теоретическим распределением. Для проверки совместимости экспериментальных данных (гисто- грамм) с некоторым теоретическим распределением исследователь под- бирает одно или несколько теоретических распределений (например, нор- мальное, Пуассона, биномиальное, экспоненциальное, гамма-распределе- ние и т.д.). После этого ему следует определить параметры распределения с тем, чтобы подвергнуть их проверке по статистическим критериям. Для статистической оценки гипотезы о том, что совокупность эмпи- рических или выборочных данных незначительно отличается от той, ко- торую можно ожидать при некотором теоретическом законе распределе- ния, применяется критерий «хи-квадрат», предложенный Пирсоном. В этом случае статистика 2 χ определяется выражением , / ) ( 2 0 2 l l f f f − = χ ∑ где − 0 f наблюдаемая частота для каждой группы или интервала; − l f ожидаемая частота для каждой группы или интервала; ∑ − сумма, предсказанная теоретическим распределением, по всем группам или ин- тервалам. Если 0 2 = χ , то наблюдаемые и теоретически предсказанные значения частот точно совпадают; если 0 2 > χ , то полного совпадения нет. В последнем случае мы должны сравнивать наши расчётные значения с табличными (критическими) значениями 2 χ , полученными Фишером для различных чисел степеней свободы и уровней доверительной вероятности α − 1 . При практическом использовании этой статистики высказывается так называемая нулевая гипотеза 0 H о том, что между наблюдаемым и ожи- даемым теоретическим распределением с теми же параметрами нет значи- тельных расхождений. Если расчётная величина 2 χ оказывается больше критического табличного значения, то можно заключить, что при данном 22 уровне доверительной вероятности наблюдаемые частоты значительно от- личаются от ожидаемых, и тогда следовало бы отвергнуть гипотезу 0 H Ещё один широко используемый критерий для статистической про- верки гипотез был предложен Смирновым и Колмогоровым. Он приме- няется в тех случаях, когда применяемое распределение непрерывно. Проверка осуществляется путём задания интегральной функции, сле- дующей из теоретического распределения, и её сравнения с интеграль- ной функцией распределения эмпирических данных. Сравнение основы- вается на выборочной группе, в которой экспериментальное распреде- ление имеет наибольшее абсолютное отклонение от теоретического. Да- лее эта абсолютная разность сопоставляется с критическими значениями с целью определения, может ли такое отклонение быть случайным при данном законе распределения. Естественно возникает вопрос, когда следует пользоваться критери- ем 2 χ , а когда критерием Смирнова–Колмогорова? При относительно малых объёмах выборок критерий 2 χ вообще неприменим и следует пользоваться критерием Смирнова–Колмогорова. Однако, если объём выборки велик, предпочтителен, по всей вероятности, критерий 2 χ Во многих подсистемах технологического объекта имеет место функциональная связь между двумя или более переменными, и желатель- но эту связь выявить. Чаще всего эта связь чрезвычайно сложна или со- вершенно не известна. В таких случаях мы можем столкнуться с необхо- димостью ввести некоторую гипотезу о характере функциональной зави- симости, т.е. аппроксимировать её некоторым относительно простым ма- тематическим выражением, например, многочленом. Для поиска таких функциональных или структурных зависимостей между двумя или более переменными по накопленным экспериментальным данным весьма по- лезны методы регрессионного и корреляционного анализа [4]. Регресси- онный анализ даёт возможность построить, исходя из имеющейся совокуп- ности экспериментальных данных, уравнение, вид которого задаёт исследо- ватель, а корреляционный анализ позволяет судить о том, насколько хоро- шо экспериментальные данные согласуются с выбранным уравнением («ложатся» на соответствующую кривую). Экспериментальный метод заключается в проведении на действую- щем объекте эксперимента (подаче экспериментального сигнала х э и запи- си реакции на него выходных координат у э ) и аппроксимации опытных данных х э , у э некоторой формальной математической зависимостью F. Структура F не зависит явно от свойств перерабатываемых в объекте ве- ществ и характеристик физико-химических процессов. В зависимости от способа задания х э различают активные и пассив- ные экспериментальные методы. В активных методах экспериментатор |