МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ. Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
72 Удельная скорость роста биомассы микроводоросли: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + μ = μ 2 2 2 2 2 1 1 max 2 1 ix sx sx x K S S K S S K S Уравнение, характеризующее удельную скорость потребления азот- содержащего субстрата, выглядит так: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = μ 1 1 max 1 S K S q ss s s , где max s q – максимальная удельная скорость потребления субстрата, г/(г ⋅ч). Поскольку углекислый газ как источник углерода подаётся непре- рывно в реакционное пространство, то скорость притока равна скорости его расходования на рост микроорганизмов. Математическая модель кинетики процесса накопительного культи- вирования биомассы микроводоросли хлорелла выглядит так: X K S S K S S K S dt dX ix sx sx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + μ = 2 2 2 2 2 2 1 1 max 1 ; ( ) ( ) ; 1 1 N max N 1 X S K S q dt dS ss s ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ( ) ( ) S S D dt dS − = 0 СО 2 , где V F D = – скорость разбавления, ч –1 ; F – объёмный расход потока газа, м 3 /ч; V – объём реакционного пространства, м 3 Для принятого математического описания процесс моделирования заключается в решении системы уравнений при заданной совокупности начальных условий. Для решения построенной математической модели будем использо- вать метод Рунге–Кутта 4 – 5 порядка. Здесь в качестве независимых пе- ременных выбирают концентрацию клеток хлореллы, концентрацию азот- содержащих соединений и концентрацию углекислого газа. Начальные условия: начальная концентрация биомассы клеток X 0 = 1 ⋅ 10 6 кл./мл; входная концентрация азота в питательной среде [C N ] = 200 мг/л; концентрация углекислого газа в питательной среде [ ] 2 CO С = 2 мг/л. Переменными модели являются: X – концентрация биомассы клеток, г/л; t – время, ч; μ – удельная скорость роста, ч –1 ; 73 max μ – максимальная удельная скорость роста, ч –1 ; S – концентрация субстратных компонентов в биореакторе, г/л; s K – субстратная константа насыщения, г/л; i K – константа ингибирования продуктом, г/л; D – скорость разбавления, ч –1 ; Индексы: 1 – источники азотного питания; 2 – источники углеродного питания; s – субстрат; x – биомасса; i – ингибирующий компонент; * – критический уровень субстрата. Листинг программы в файлах Matlab, реализующий данную модель, приведён ниже. % файл-программа решения системы дифференциальных уравнений, описывающих периодический процесс накопления биомассы хлореллы % при наличии в питании азотсодержащих соединений и углекисло- го газа как источника углерода. % переменные: % T – время процесса, ч % X1 – изменение концентрации клеток биомассы хлореллы, кл./мл % X2 – изменение концентрации азотсодержащих соединений, кл./мл % X3 – изменение концентрации углекислого газа, кл./мл % D – скорость разбавления, характеризующая расход углекислого газа, ч-1, % формирование вектора начальных условий X0 = [1.0e6 200 2.0]; D = 0.25; % Вызов программы-солвера для решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-5 порядка [T, X] = ode45('BioMass', [0 400], X0, [], X0(3), D); % вывод графиков решения исходных дифференциальных уравнений figure(1) plot (T, X(:, 1), 'k'); xlabel ('\itt,c') ylabel ('\itBiomass,cell/ml') grid on figure(2) plot (T, X(:, 2), 'k-o'); xlabel ('\itt,c') ylabel ('\itNH4,g/l') grid on figure(3) plot (T, X(:, 3), 'k-x'); xlabel ('\itt') ylabel ('\itCO2,g/l') grid on 74 % график изменения удельной скорости роста биомассы хлореллы при изменении концентрации субстрата figure(4) [X, Y] = meshgrid (0.1:10:200, 0.1:0.1:2); Z = mu(X, Y); surf(X, Y, Z) xlabel ('\itNH4,g/l') ylabel ('\itCO2,g/l') zlabel ('\itmu,h^-1') ∗ ∗ ∗ function F = BioMass(t, x, flag, S0, D) F = [mu(x(2), x(3))*x(1); quN(x(2))*x(1); D*(S0-x(3))]; ∗ ∗ ∗ function F = mu(S1, S2) % константы mumax = 2.9; Ks1 = 48; Ks2 = 0.05; Ki2 = 0.01; F = mumax*(S1./(Ks1+S1)).*(S2./(Ks2+S2+S2.^2./Ki2)); ∗ ∗ ∗ function F = quN(x) % константы qumax = 0.001; Ks1 = 1000000; F = -qumax*(x/(Ks1+x)); Результаты реализации приведённой модели представлены на рис. 24. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 7 t,c B io m ass,ce ll/ m l 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t,c NH 4, g/ l а ) б ) Рис. 24. Результаты расчёта модели биореактора накопления биомассы хлореллы: а – накопление биомассы клеток микроводоросли хлорелла; б – изменение концентрации азотсодержащих веществ в питательной среде при культивировании хлореллы; в – содержание углекислого газа в реакторе накопления биомассы хлореллы; г – изменение удельной скорости роста биомассы хлореллы при изменении концентрации субстратов 0 50 100 150 200 250 300 350 400 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 t, c t, c 2,5 2 1,5 1 0,5 0 × 10 7 Biomass, cell/ml NH4, q/ l 75 0 50 100 150 200 250 300 350 400 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 t CO 2, g/ l 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 NH4,g/l CO2,g/l mu ,h - 1 в ) г ) Рис. 24. Продолжение 11.4. Проектирование рецептуры многокомпонентных пищевых продуктов При разработке рецептур новых продуктов одним из подходов является формализованный поиск соотношения рецептурных компонентов, обеспечи- вающего минимум себестоимости готового продукта при определённых тре- бованиях к физико-химическим свойствам, показателям безопасности и/или пищевой, физиологической, энергетической, биологической ценности. При проектировании рецептуры ржано-пшеничного хлеба повышен- ной биологической ценности решалась следующая задача. Найти такое соотношение рецептурных компонентов, при котором себестоимость готового продукта примет минимальное значение: C min C * x = , где x 1...n – массовая доля рецептурных компонентов; C – себестоимость готового продукта, при ограничениях: критерий аминокислотного состава белка 51 , 0 б ≥ I , где ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < ≤ − − = = ∑ ∑ = = , 1 , 1 0 , 8 1 1 , 1 , 8 min min 8 1 min min 8 1 б АK АK АK АK АK АK АK I i i i i i влажность теста %; 47 т = W доля рецептурных компонентов – ∑ i i x = = 100, %. СО 2, q/ l 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 t mu , h 1 СО2, q/l NH4, q/l 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 2 0 1,5 1 0,5 0 0 50 100 150 200 76 Исходные данные и результаты решения поставленной задачи при- ведены в таблице: Рецептурные компоненты Влаж- ность, % Стоимость, р./100 кг lb, % ub, % x*, кг Мука пшеничная, x1 14 20 18 25 18 Мука ржаная, x2 14 22 24 45 35,7 Мука гороховая, x3 14 40 0,5 13 4,1 Сыворотка молочная сухая, x3 3,5 50 1,0 2,0 2 Дрожжи прессован- ные, x4 75 3,7 1,9 1,9 0,9 Соль, x5 0,2 4 0,9 0,9 1,9 Вода, x6 100 0,5 10 54 37,4 Себестоимость С, р./кг 14,38 Листинг программы в файлах Matlab для решения поставленной за- дачи, приведён ниже. lb = [18 24 0.5 1.0 1.9 0.9 10]; % нижний уровень ограничений по компо- нентам LB ub = [25 45 13 2.0 1.9 0.9 54]; % верхний уровень ограничений по компо- нентам – UB x0 = [22 35 7 1.5 1.9 0.9 10]; % начальное приближение options = optimset('LargeScale', 'off'); [x, fun] = fmincon('bread1', x0, [], [], [], [], lb, ub, 'breadcon', options) ∗ ∗ ∗ function f = bread1 (x) %расчёт целевой функции – себестоимости хлеба f1 = [20 22 40 50 3.7 4 0.5];%стоимость компонентов хлеба, руб f = sum(f1.*x); ∗ ∗ ∗ function [c, ceq] = breadcon (x) % задание ограничений c(1) = 0.51-IB(x); W = [14 14 14 3.5 75 0.2 100];%влажность компонентов, % ceq (1)=(sum(W.*x)/100)-47; ceq (2) = sum(x)-100; ∗ ∗ ∗ function f = IB(x) % расчёт критерия аминокислотного состава белка % состав незаменимых аминокислот отдельных компонентов A = [150.35 49.2 139.45 200 111.11 161.73 150.94 176.64 77 179.07 66.09 118.49 170.79 108.2 176.57 121.35 181.69 153.96 148.25 146.34 212.68 151.76 181.18 88.78 176.44 154.25 168.5 172.98 198.12 186.29 293.51 147.31 124.43]; A = A./100; [M, N] = size(A); for j = 1:N for i=1:M I(i) = 1-(1-min(A(i, :)))*8*min(A(i, :))/sum(A(i, :)); end end I = [I 0 0 0]; x1 = x./100; f = sum(I.*x1); ЗАКЛЮЧЕНИЕ В учебном пособии представлены современные подходы к математи- ческому моделированию технологических процессов и оборудования в био-, химической и пищевой технологиях. Рассмотрена методология ком- пьютерного моделирования, основанная на работе с триадой "модель – алгоритм – программа". Продемонстрирована целесообразность исполь- зования компьютерных моделей для исследования, оптимизации и проек- тирования технологических объектов. Приведены сведения о методах построения математических моделей. Рассмотрены экспериментальные методы построения математических моделей, включающие в себя методику планирования эксперимента, ме- тоды математической обработки экспериментальных данных, такие как регрессионный анализ, нейронные сети, а также подходы к определению отдельных параметров моделей с помощью метода экспертных оценок. Проанализированы методика и примеры построения аналитического опи- сания статики технологических объектов. Представлены практические примеры реализации математических моделей гидродинамических, массообменных и биотехнологических про- цессов и аппаратов, включающие в себя постановку задачи моделирова- ния, уравнения модели, допущения, принятые при построении модели, листинг программы компьютерной реализации модели в среде MatLab, а также результаты исследований, проведённых с помощью представлен- ных компьютерных моделей. Учебное пособие предназначено для студентов очного и заочного от- делений и магистрантов направлений: 240700 – Биотехнология, 260100 – Продукты питания из растительного сырья. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства обра- зования и науки РФ в базовой части задания. 78 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Моисеев, Н. Н. Математика ставит эксперимент / Н. Н. Моисеев. – Москва : Наука, 1979. – 224 с. 2. Кафаров, В. В. Системный анализ процессов химической техно- логии / В. В. Кафаров, И. Н. Дорохов. – Москва : Наука, 1976. – 500 с. 3. Дудников, Е. Г. Построение математических моделей химико- технологических объектов / Е. Г.Дудников, В. С. Балакирев и др. – Москва : Химия, 1970. – 312 с. 4. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ /Н. Дрейпер, Г. Смит ; пер. с англ. – Москва : Финансы и статистика, 1986. – 366 с. 5. Самарский, А. А. Численные методы : учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – Москва : Наука, 1989. – 432 с. 6. Бахвалов, Н. С. Численные методы : учеб. пособие для вузов / Н. С. Бахвалов. – Москва : Наука, 1975. – 632 с. 7. Джонс, Дж. К. Методы проектирования / Дж. К. Джонс ; пер. с англ. – Москва : Мир, 1986. – 326 с. 8. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихо- нов, А. А. Самарский. – Москва : Наука, 1972. – 736 с. 9. Ахназарова, С.Л. Оптимизация эксперимента в химии и химиче- ской технологии : учеб. пособие для вузов / С. Л. Ахназарова, В. В. Кафа- ров. – Москва : Высш. шк., 1978. – 319 с. 10. Кафаров, В. В. Математическое моделирование основных про- цессов химических производств : учеб. пособие для вузов / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. – Москва : Высш. шк., 1991. – 400 с. 11. Джонс, Дж. К. Методы проектирования / Дж. К. Джонс ; пер. с англ. – Москва : Мир, 1986. – 326 с. 12. C.L. Dym. Principles of Mathematical Modeling // Elsevier. – 2004. – 303 c. 13. Бирюков, В. В. Основы промышленной биотехнологии / В. В. Би- рюков. – Москва : КолосС, 2004. – 296 с. 79 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 3 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛЯХ И КОМПЬЮТЕРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ...................................................................................... 3 2. МЕТОДОЛОГИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ .............. 7 3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ............................................................ 12 4. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИ- ЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ....................... 16 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ .......................................................... 20 6. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТАТИКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ .......................................................... 23 7. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТАТИКИ ОБЪЕКТОВ О Z .............................................................................................. 28 8. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ ......................................................................... 38 9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ .......................................................... 40 10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ......................................................... 42 11. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В MATLAB ........................................................................................................ 57 11.1. Модели идеального смешения и идеального вытеснения ............ 57 11.2. Модели массообменных процессов ................................................ 62 11.3. Модели биотехнологичесских процессов ...................................... 70 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .............................................................................................. 77 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................. 78 80 Учебное издание ДВОРЕЦКИЙ Дмитрий Станиславович, ДВОРЕЦКИЙ Станислав Иванович, ПЕШКОВА Евгения Владимировна, ТЕМНОВ Михаил Сергеевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКИХ, ПИЩЕВЫХ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ Учебное пособие Редактор Т. М. Глинкина Инженер по компьютерному макетированию И. В. Евсеева ISBN 978-5-8265-1283-8 Подписано в печать 20.06.2014 Формат 60 × 84 / 16. 4,65 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 311 Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14 Тел. 8(4752) 63-81-08 E-mail: izdatelstvo@admin.tstu.ru |