Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
§ . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Начнём с нескольких общих замечаний и названий, которые относятся к более общим дифференциальным уравнениям, нежели те, которыми мы намерены заниматься, но которые нисколько не упростились бы, если бы мы делали эти замечания применительно к нашим уравнениям. В теории дифференциальных уравнений основную роль играют системы дифференциальных уравнений следующего вида, x 1 , x 2 , …, x n ), ˙ x 2 = f 2 ( t, x 1 , x 2 , …, x n ), ˙ x n = f n ( t, x 1 , x 2 , …, x n ); () сокращённо ˙ x = f (t, x). О такой системе говорят, что она имеет нормальную форму или является системой в нормальной форме. Как видно, в ней имеется n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n , и система указывает явные выражения для первых производных этих неизвестных через независимую переменную t и сами x i . Число n в () — это и число неизвестных, и число уравнений. Его называют порядком системы. (В § мы ввели термин порядок для другого объекта — для одного уравнения.) Мы обозначили независимую переменную в () через t и будем называть её временем. В двух примерах из § — () и () — независимая переменная обозначалась также и действительно имела физический смысл времени. Для системы () можно наглядно представлять себе t как время, зависящие от t величины x i ( t) — как переменные величины, изменяющиеся со временем, а их производные ˙ x i ( t) как скорости изменения этих величин. Опыт показывает, что такое наглядное представление обычно подталкивает наше воображение в правильном направлении, помогая освоиться со свойствами (ив этом смысле можно сказать, что оно полезно и удобно. Однако надо оговориться, что даже в задачах физического происхождения Предупреждение: словосочетание нормальная форма употребляется по самым различным поводам, в том числе ив теории дифференциальных уравнений (что порой приводит к нелепым недоразумениям. Номы с этим не встретимся § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений независимая переменная иногда не имеет физического смысла вре- мени. Большинство практически встречающихся дифференциальных уравнений и систем таковых либо имеют нормальную форму, либо эквивалентны некоторым системам в нормальной форме, причём эту эквивалентность установить легко. Встретившиеся нам раньше дифференциальные уравнения второго порядка () и () не являются системами в нормальной форме, как и более общее уравнение ¨ x = f (t, x, Но если принять ˙ x за новую неизвестную y и написать, что указывают определение y и наше уравнение насчёт производной каждой из неизвестных, то получится система = y, ˙ y = f (t, x, которая имеет нормальную форму ив тоже время эквивалентна уравнению. Как видно, от уравнения второго порядка мы перешли к системе второго же порядка. Вообще, уравнение го порядка x ( n) = f (t, x, ˙ x, …, x ( n−1) ) перефра- зируется как система в нормальной форме, если ввести неизвестные x 1 = x, x 2 = ˙ x, …, x n = x ( n−1) Последнее уравнение этой системы имеет вида предыдущие — вид ˙ x i = x i+1 . Заметим, что от уравнения го порядка мы перешли к системе тоже го же порядка — своего рода согласованность терминологии. В школе встречаются системы линейных алгебраических уравнений, например + y = 3, 2 x + y = Решение данной системы таково x = 1, y = 2 (проверьте. Значит, решение не одно число, а пара чисел одно число — это x, а другое это Точно также решение системы дифференциальных уравнений) — это не одна функция, а набор n функций (x 1 ( t), …, Например, возьмём систему = y, ˙ y = которая эквивалентна уравнению свободного падения (). Как видно, мы добавили к неизвестной x новую неизвестную y, которая равна ˙ x, § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений т. е. скорости падения. Ранее скорость обозначалась через v, как это принято в физике, но теперь мы переключаемся на чистую математику, в которой традиционным партнёром» буквы x является Любое решение системы () имеет вид) = x 0 + y 0 t − gt 2 2 , y(t) = y 0 − где x 0 = x(0), y 0 = y(0). (В сущности, мы это уже обсуждали. Раз = −g, то выражение для y очевидно. Для x мы попросту повторили формулу (), заменив в ней, как только что было сказано, букву на y.) Иными словами, решение системы () — это набор двух функций от t: ( x(t), y(t)) = x 0 + y 0 t − gt 2 2 , y 0 − gt Отметим ещё разно не на прежнем языке, когда говорилось о функциях, являющихся решениями (), а на языке, связанном с системами в нормальной форме и с несколькими неизвестными, что (имеет бесконечное семейство решений, зависящее от двух парамет- ров. Аналогично уравнение гармонического осциллятора () эквивалентно системе = y, ˙ y = Зная, что решения () имеют вид (), можно заключить, что решения) суть пары функций, y(t)) = (A cos(ωt + α), −Aω sin(ωt + Решения снова образуют бесконечное семейство, зависящее от двух параметров. Пока ничего не было сказано о функциях f i — правых частях системы. В данной книжке нет необходимости то и дело отвлекать внимание читателя, педантично уточняя различные детали (включая обсуждение, где задана функция f ). Ноне надои делать вид, будто такие уточнения вообще ненужны. При случае я буду их делать, часто вынося их в подстрочные примечания. Для перехода к () надо уметь дифференцировать косинус. Ниже в этом параграфе его производная фактически находится заново (в качестве упражнения читателю предоставляется убедиться в этом самому § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Сейчас нам разумно исходить из того, что f задана на некоторой области пространства переменных (t, x 1 , …, x n ). Читатель может представлять себе G как область на плоскости, ограниченную некоторой кривой (это относится к случаю n = 1) или как область в пространстве, ограниченную некоторой поверхностью (это относится к случаю n = 2). Забегая вперёд, отмечу, что далее основным для нас будет тот случай, когда не зависят от t, а зависят только от, …, x n ). В этом случае при = 2 правые части и определены в какой-то области на плоскости переменных (x 1 , x 2 ), которую при желании можно снова представлять себе как область на плоскости, ограниченную некоторой кривой Γ. В этом случае прежняя G является областью в пространстве переменных (t, x 1 , x 2 ), ограниченной цилиндрической поверхностью, образованной проходящими через прямыми, параллельными оси t. Читатель может даже игнорировать, как будто f задана на всей плоскости (подчас это и впрямь так). При обсуждении вопросов общего характера употребляют сокра- щённую запись, уже использованную в (): x = (x 1 , …, x n ), ˙ x = ( ˙ x 1 , …, ˙ x n ), f = ( f 1 , …, f n ) = f (t, В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если правые части f i ( t, x 1 , …, x n ) системы () являются «мало-мальски хорошими — скажем, гладкими, — то для любых начальных данных, лежащих в области, существует Вообще под областью понимают открытое связное множество. Открытым называется множество, содержащее вместе с каждой своей точкой все достаточно близкие к ней точки, те. если какая-то точка принадлежит G, то имеется такое ǫ > 0, что весь кружок (в случае плоскости) или шар (в случае пространства) радиуса с центром в этой точке содержится в G. Связность же множества G наглядно означает, что G не распадается на несколько отдельных кусков, никак не соединяющихся друг с другом (в противном случае получилось бы, что система () — это как бы отдельные системы, заданные в этих кусках. Формальное определение связности открытого множества таково оно связно, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком содержащейся в Гладкость функции f означает, что во всех точках области G существуют первые производные этой функции f ∂t , ∂ и эти производные непрерывны по совокупности своих аргументов (что, кстати, гарантирует непрерывность и самой f ). Подробнее в подобных случаях говорят о гладкости класса или о гладкости. Если помимо первых производных существуют ещё и вторые производные (те. производные первых производных, которые тоже непрерывны всюду в G, то говорят о гладкости класса и т. д. Во избежание путаницы стоит особо отметить, что раньше означало е число, входящее в набор чисел (x 1 , …, x n ), но x 0 само является некоторым набором чисел набором (x 10 , …, x n0 ). § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений ровно одно решение x(t) = (x 1 ( t), …, x n ( t)) системы (), принимающее при t = начальное значение x 0 = ( x 10 , …, x n0 ), те. для этого решения x(0) = иными словами, все x i ( t 0 ) = x i0 ). О последнем равенстве (в сокращённой или подробной записи) говорят также как о начальном условии для данного решения) Заметим кстати, что когда описанным выше способом переходят от уравнения (t, x, ˙ x, …, x ( n−1) ) к системе в нормальной форме, то начальные данные для решения x(t) этого уравнения очевидным образом перефразируются как начальные данные для соответствующего решения) этой системы. Строго говоря, если имеется решение x(t) с начальным значением x(t 0 ) = = x 0 , определённое на некотором интервале времени, то ведь можно туже самую функцию от t рассматривать на любом меньшем интервале времени, и если этот меньший интервал содержит t 0 , то функция x(t), рассматриваемая на этом уменьшенном интервале, конечно, снова будет решением (стем же начальным значением какая же тут единственность Формально ведь это будет другое решение. Формально правильно, а по существу безобразие, как было сказано по совсем другому поводу. В теории дифференциальных уравнений безобразие устраняется путём обсуждения вопроса о возможности продолжения решения, заданного на некотором интервале времени, наб ольшие интервалы. Оказывается, формально различные решения с одними тем же начальным значением всегда получаются так, как только что было сказано (уменьшением интервалов, где они определены) из некоего решения, опреде- лённого на самом большом интервале. (Самом большом по сравнению со всеми остальными решениями сданным начальным значением. Этот самый большой интервал может быть и конечными бесконечным в одну или обе стороны) Последнее решение называют максимальным или непро- должаемым. Именно он м я и говорю как о решении. Согласно теореме о продолжении решения до границы области (название неточное, хотя и отражающее суть дела) если интервал, где определено (непродолжаемое далее) решение x(t), ограничен (слева или справа, то при приближении к этому концу или решение принимает значения, сколь угодно большие по абсолютной величине, или соответствующая интегральная кривая подходит сколь угодно близко к границе области G где определено наше уравне- ние) Для дифференциальных уравнений (), (), () нетрудно найти решения в явном виде. Опираясь на § , мы остановимся в § на интегрировании этих и родственных дифференциальных уравнений. Для достаточно подготовленных студентов, по-моему, более удобна следующая формулировка если K — любое компактное подмножество G, то при всех t, достаточно близких к рассматриваемой конечной границе, точка (t, x(t)) оказывается вне K. § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Но даже для немногим более сложных уравнений это, вообще говоря, невозможно. В подобных случаях дело не в том, что нам до сих пор не удалось найти формулу для решения, а в том, что таких формул вообще не может быть — решение не может быть выражено никакой комбинацией известных читателю (так называемых элементарных) функций (степенных, показательных, логарифмов и тригонометрических функций, причём даже в сочетании с операцией интегрирования из интегрального исчисления. Атак как запросы и самой математики, и её приложений приводят к тому, что всё-таки приходится иметь дело с многочисленными дифференциальными уравнениями, которые невозможно проинтегрировать в явном виде, и невзирая на эту неинтегрируемость надо всё-таки быть в состоянии сказать нечто об их решениях, тов ответ на эти запросы развились три направления. В дополнение к известным нам элементарным функциям был введён ряд других функций, известных под общим названием специальные функции. Наиболее употребительные из них изучены столь же подробно, как и привычные элементарные функции. Имеются относящиеся к этим спецфункциям теоремы, формулы, таблицы, им посвящены специальные книги. Используя специальные функции, можно явно выразить решения многих дифференциальных уравнений, для которых с помощью прежних средств это было невозможно. Однако всё равно остаются многочисленные уравнения (в том числе встречающиеся в приложениях, решения которых невозможно выразить в виде явных формул даже с привлечением спецфункций. . Были разработаны различные и разнообразные по своему характеру методы приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы бывают двух типов. В некоторых из них строятся приближённые формулы, выражающие решение с некоторой допустимой погрешностью в виде комбинации хорошо известных элементарных функций. Например, если в формуле () мы приближённо заменим cos( ωt + α) на некоторый многочлен отв фактически получено приближённое выражение 1 − 1 2 ϕ 2 + 1 для cos ϕ при малых ϕ, которым можно воспользоваться, то получим приближённую формулу для решения. В данном случае польза от этого сомнительна. Во-первых, наша приближённая формула годится только при небольших, потому что приближённое равенство cos ϕ ≈1− 1 2 ϕ 2 + 1 А также и алгебраических функций, ноя не уверен, что читатель сними настолько знаком, чтобы это замечание сказало ему достаточно много § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений пригодно только при небольших в связи с этим стоит ещё отметить что приближённая формула не передаёт важнейшего свойства решения его периодичности повремени (оно не меняется, когда t увеличивается на 2 π/ω), которое в свою очередь отражает колебательный характер соответствующего физического процесса. Во-вторых, мы же имеем точную формулу для решения, иона очень проста, свойства фигурирующего в ней косинуса хорошо известны, а для его вычисления имеются таблицы и программы. (На самом деле cos и sin тоже включаются в джентльменский набор элементарных функций, через которые стараются приближённо выразить решения) Но как бы тони было, это всё-таки пример приближённой формулы для решения, которая худо ли, хорошо ли, но всё же годится в каком-то интервале изменения В узком смысле под приближёнными методами понимают именно методы, приводящие к приближённым формулам для решений может быть, не для всех решений, а для тех, которые почему-либо представляют особый интерес зато обычно речь идёт о формулах, дающих хорошее приближение к истинному решению при всех t или по крайней мере довольно долготе. в довольно большом интервале изменения Другие методы имеют численный характер (их таки называют численными. Они позволяют составить таблицу, довольно точно указывающую, чему равно решение x(t) в моменты времени t 1 < t 2 < обычно t i = t 0 + ih с некоторым небольшим шагом, но впрочем шаг может быть и переменным, так что, скажем, ас. Если достаточно близки друг к другу, то знание значений x(t i ) даёт хорошее представление о решении. При этих методах x(t i ) вычисляются последовательно, шаг за шагом. Сперва, отправляясь от заданного x(t 0 ) и зная функцию (x, t), вычисляют по определённому рецепту приближённое значение. Далее повторяют этот процесс и, зная, вычисляют, и т. д. В идеале значения) должны вычисляться с назначенной заранее точностью. Практически бывает сразу гарантирована требуемая малость погрешности в несколько первых моментов, …, но при большом числе шагов ошибка может накапливаться. С накоплением ошибок можно бороться, но это отдельная и непростая тема. Стандартные пакеты компьютерных программ типа Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad включают методы численного интегрирования. Однако в сложных задачах приходится составлять специальные программы с учётом специфики решаемой задачи § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений. Возникла так называемая качественная теория дифференциальных уравнений, цель которой состоит в том, чтобы, не решая ни точно, ни приближённо дифференциального уравнения и по возможности вообще избегая вычислений, определить ряд качественных свойств решений, причём часто именно эти свойства как рази представляют особый интерес для самой математики и её приложений. Этому направлению преимущественно посвящена настоящая книжка. Оно весьма геометрично, что нашло отражение в заглавии. В качественной теории (по крайней мере, в основной её части) рассматриваются системы в нормальной форме, правые части которых не зависят от t я уже упомянул мельком, что именно с такими системами мы будем иметь дело исключением будет часть § , вообще отличающегося по своему характеру от остальных параграфов, …, x n ), ˙ x 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , …, x n ), ˙ x n = f n ( x 1 , x 2 , …, x n ); () сокращённо ˙ x = f Такие системы называют автономными. Они дают математическое описание физических (в широком смысле) систем, которые или являются изолированными, или находятся под воздействием каких-то внешних факторов, но действие этих факторов зависит только от состояния нашей системы. Второй случай имеет место для физических (уж´ е в узком смысле слова — изучаемых в физике) систем, находящихся под воздействием постоянных во времени силовых полей примером может служить свободное падение или качание маятника и то, и другое происходит в поле земного тяготения, так что падающее тело или маятник отнюдь не изолированы, однако ускорение ¨ x, создаваемое полем земного тяготения, в первом случае вообще постоянно, а во втором непостоянно, но зависит только от x. (А вот если бы действующие на систему силы зависели, скажем, от положения каких- Системы же вида (), правые части которых явным образом зависят от t, называют неавтономными. Аналогичную терминологию применяют и для дифференциальных уравнений го порядка уравнение x ( n) = f (x, ˙ x, …, x ( n−1) ) — автономное, а x ( n) = f (t, x, ˙ x, …, x ( n−1) ) — неавтономное. Не только чисто физических, но и химических, биологических, экологических, экономических... Ради точности надо добавить, что мы говорим о системах, состояние которых характеризуется конечным числом величин (в механике это системы с конечным числом степеней свободы. Иначе понадобились бы уравнения с частными производными, а то и что-нибудь посложнее § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений то внешних тел, которые как-то движутся, тов один момент времени положение внешних тел было бы одним, а в другой — другими их воздействие на нашу систему при одном и том же её состоянии, вообще говоря, оказывалось бы различным) Понятно, что с этим связано и прилагательное автономная в названии системы (Переменные (x 1 , …, x n ) характеризуют состояние рассматриваемой физической системы, так что введённое выше сокращённое обозначение x для набора чисел (x 1 , …, x n ) можно понимать и как обозначение для состояния — физически это более содержательно, чем просто обозначение n чисел одной буквой. Тогда ˙ x обозначает скорость изменения состояния, а сокращённая запись системы (прямо утверждает (не ссылаясь на переменные x i ), что скорость изменения состояния зависит только от него и что эта зависимость даётся функцией f (x). (Функция этане скалярная, а векторная.) Под влиянием этих (квази)физических соображений при чисто математических рассмотрениях автономной системы () об x = (x 1 , … …, x n ) тоже часто говорят как о состоянии. Теперь я буду считать, что порядок автономной системы () n = В этом случае состояния математически представляются точками x = = ( x 1 , x 2 ) области на плоскости двух переменных. Эту плоскость называют фазовой плоскостью рассматриваемой физической системы или математической системы ()), а её точки, особенно лежащие в той области G, где определены правые части нашей системы дифференциальных уравнений, — фазовыми точками. (Прилагательное фазовая связано стем, что некогда состояния системы назывались её фазами; ср. с фазами Луны). Вектор f (x), имеющий координаты ( f 1 ( x 1 , x 2 ), f 2 ( x 1 , x 2 )), уместно представлять себе начинающимся в точке x, так что в области G из каждой её точки торчит вектор f (x). Наглядное (нов тоже время совершенно точное) представление об изменении со временем состояния нашей системы таково состояние описывается движущейся фазовой точкой x(t); движение происходит по правилу когда x(t) попадает в точку x области G, её мгновенная скорость равна «торчащему» из этой точки вектору f (x). Вектор f (x) называют вектором фазовой скорости и говорят, что в G задано векторное поле фазовой скорости (рис. Слово скаляр — синоним числа, различие только в контексте, в котором эти слова употребляются. Скаляры как бы противопоставляются векторами оттого о скалярах говорят, когда «где-то рядом имеются векторы. В школе (более в физике, чем в математике) вектор — это направленный отрезок, он характеризуется своими координатами (их две на плоскости и три в обычном пространстве, где мы живём). § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений G Рис. . Векторное поле и траектории Здесь имеется некоторое терминологическое неудобство говоря о фазовой точке, мы можем иметь ввиду как движущуюся точку, изображающую решение x(t), те. меняющееся со временем состояние системы, таки стоящую на месте точку — пару постоянных чисел x = (x 1 , x 2 ). (Первая точка как бы движется в толпе вторых) Если есть возможность путаницы, надо говорить движущаяся фазовая точка (подразумевая, что она изображает x(t) или — при обычном (хотя и несколько условном) отождествлении точек плоскости с парами чисел — сама есть x(t)) или неподвижная фазовая точка». Движущаяся фазовая точка вычерчивает при движении некоторую кривую, которую называют фазовой траекторией. При обычных предположениях о функциях f i ( x 1 , …, x n ) через каждую неподвижную точку фазового пространства проходит фазовая траектория (как говорят, фазовая траектория этой точки) и фазовые траектории двух точек либо совпадают, либо не пересекаются (см. ниже. Впрочем, некоторые движущиеся точки (напоминаю — так мы назвали точки, изображающие решения x(t)) могут стоять на месте — соответствующие решения суть константы обычно это исключения, так называемые положения равновесия или неподвижные точки, но, как мы увидим, они играют важную роль. Такую точку a часто называют также особой точкой, имея ввиду не то, будто у правых частей Педантизма ради в связи с термином положение равновесия уместно сказать, что в механике слово положение часто имеет другой смысл — оно относится только к расположению частей физической системы, тогда как ее состояние характеризуется также и скоростями этих частей. Говоря о маятнике, мы мельком упомянули о положении равновесия — положении, при котором центр тяжести маятника находится на вертикали, проходящей через точку подвеса. О скорости при этом нет речи. Если она ненулевая, то маятник, конечно, только на момент попадает в положение равновесия и затем проходит дальше. Если же скорость равна нулю, то состояние маятника не меняется — соответствующая фазовая точка является положением равновесия в том смысле, как говорилось выше § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений системы () имеется в этой точке особенность в аналитическом смысле (те. особенность в том смысле, как это понимается для функций — скажем, будто там нарушается непрерывность или хотя бы дифференцируемость), а то, что в такой точке вектор f (a), будучи нулевым, не задаёт никакого направления. Пожалуй, ещё чаще точки a, где f (a) = 0, называют неособыми. Надо объяснить, почему фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают. Сперва отметим такое свойство решений автономной системы: если x(t) — решение, то x(t + c), где c — константа, — тоже решение. Обозначим. Надо доказать, что если x(t) удовлетворяет (), то и тоже. А это очевидно) = ˙ x(t + c) = f (x(t + c)) = f ( Здесь молчаливо подразумевается, что + c) dt = dx(t + c) d(t + это и позволяет приравнять данную производную f (x(t + c)). Почему () справедливо?). А теперь допустим, что траектории, зачерчиваемые решениями и y(t) системы (), пересекаются. Это значит, что в какие-то моменты времени и будет x(t 1 ) = y(t 2 ). Надо доказать, что тогда) и y(t) при изменении t пробегают одну и туже кривую. Рассмотрим решения u(t) = x(t + t 1 ), v(t) = y(t + t 2 ) системы (). При = 0 они принимают одни и те же начальные значения u(0) = x(t 1 ) = = y(t 2 ) = v(0). Ввиду единственности решения, удовлетворяющего данному начальному условию, всё время u(t) = v(t), те. Следовательно) и + t 2 ) при изменении пробегают одну и туже кривую. Но ведь x(t) пробегает туже кривую, что и x(t + t 1 ) (любое + есть некое новое t и любое t можно представить в виде t + с некоторым новым ату же, что и y(t + В связи с понятием фазовой траектории стоит заметить, что в основном нас будет интересовать поведение решений при t → ∞, поэтому на первый план нередко будут выступать не столько сами фазовые траектории — кривые {x(t); −∞ < t < ∞}, — сколько их положительные полутраектории — кривые {x(t); t 0 t < ∞}. Положительная по- лутраектория — это часть всей траектории, проходимая движущейся фазовой точкой x(t) после некоторого начального момента t 0 (выбор Данное рассуждение очень просто, но стоит проверить, что для неавтономной системы () оно не проходит. Для не) = ˙ x(t + c) = f (t + c, x(t + c)) = f (t + c, а чтобы y(t) было решением (), надо было бы получить в правой части f (t, y(t)). Но когда f действительно зависит от t, то, вообще говоря, f (t + c, y) = f (t, y). § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений P а) б) Рис. которого несуществен. Иными словами, положительная полутраек- тория состоит из точек, расположенных на траектории, после точки x(t 0 ). Естественно, предшествующая) часть { x(t); −∞ < той же траектории называется отрицательной полутраекторией. Если траектория является замкнутой кривой C тогда говорят о замкнутой траектории, то любая её отрицательная или положительная по- лутраектория — это всё та же кривая C. Если же траектория незамкнутая, то любая точка траектории разбивает последнюю на положительную и отрицательную полутраектории, общей для которых является эта точка — для отрицательной полутраектории это конец, а для положительной начало. Наглядное представление о движении фазовой точки в области на фазовой плоскости, изображающем изменение состояний физической системы и описываемом системой (), можно назвать кинематической интерпретацией этой системы. Кинематической, а не геометрической, по двум причинам. Во-первых, подразумевается, что фазовые точки движутся. Впрочем, мы можем нарисовать фазовые траектории, ноне можем нарисовать процесс движения по ним (можем только указать стрелками направление движения так что на рисунке получается всё-таки статичная картина. Стало быть, на рисунке у нас более геометрия, чем кинематика (а кинематику мы держим в уме»). Во-вторых (и это главное, под геометрической интерпретацией системы () (необязательно автономной) понимают нечто иное. (А именно, при геометрической интерпретации речь идёт о графиках На траектории ведь выделено определённое направление — направление движения) с возрастанием Стоит пояснить, что на риса изображена замкнутая траектория, а на рис. б нет траектория не содержит точки P, которая сама является другой траекторией (положением равновесия, и потому не является замкнутой кривой § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений решений x = x(t) в пространстве переменных (t, x); практически рисовать можно только при n = 1, что в общем-то малоинтересно, хотя и небесполезно в учебных целях в самом начале изучения теории дифференциальных уравнений.) В фазовой плоскости возникает своеобразная картина, которую А. А. Андронов образно назвал фазовым портретом. Это не термин, имеющий точное определение, а образное выражение. Имеется ввиду, что на фазовом портрете выделены траектории, играющие особо важную роль, ив дополнение к этим ярким солистам — ещё, возможно, несколько траекторий, дающих хорошее представление о поведении всего оставшегося молчаливого большинства». Перелистав эту книжку, читатель найдёт в ней несколько простейших фазовых портретов. Они нарисованы на основании теоретических соображений, но их рисуют, так сказать, и эмпирически. Взяв в области G несколько точек x ( i) , мы можем в каждой из них нарисовать (не мысленно, а карандашом на бумаге) исходящий из неё вектор фазовой скорости f (x ( i) ). Если точки x ( i) выбраны подходящим образом (о чём придётся подумать) или если просто повезёт, то полученная картина даст хорошее представление обо всём векторном поле фазовой скорости. Можно также попробовать нарисовать кривые, касающиеся этого векторного поля, те. фазовые траектории. Разработаны приёмы довольно точного осуществления такого графического построения, но обычно для начала рисуют просто по вдохновению (тем паче, что если это делает человек, уже накопивший какой-то опыт в таком деле, то ведь этот опытна основе которого сложилась некоторая интуиция, тоже чего-нибудь да стоит). А теперь для таких рисунков имеются компьютерные программы. Однако от человека и его интуиции всё же зависит многое — работа программы зависит отряда параметров, задаваемых человеком; кроме того, ввиду отсутствия у машины интуиции, программа с самого начала использует численное интегрирование дифференциального уравнения, к чему работающий без компьютера человек обратился бы позднее но раз уж компьютер будет использовать какой- то метод численного интегрирования и если можно выбирать между различными методами, каким из них пользоваться на данном эта- Физик по образованию, занимавшийся теорией колебаний, А. А. Андронов (— ) оказал значительное влияние на развитие теории дифференциальных уравнений не только (и даже, может быть, не столько) своими конкретными математическими результатами, но и благодаря стимулирующей роли предложенных им новых подходов и постановок задач § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений пе Слишком примитивный метод, работая быстро, почти столь же быстро и наделает ошибок со слишком точным методом неизвестно, когда закончишь — ведь на этом этапе просчитывается много решений Пожалуй, всё закончится, когда компьютер зависнет. Впрочем, насколько я понимаю, такая опасность невелика — стандартные программы графических построений не предусматривают обращения к очень уж точным методам численного интегрирования, а чтобы эти программы переписывали, встраивая в них обращение к подобным методам — такое в принципе возможно, но к этому прибегают редко, разве что в некоторых промышленных пакетах... Конечно, реально нарисовать можно только несколько конечных дуг нескольких фазовых траекторий, но, если повезёт, они могут создать представление о поведении всех траекторий. (А если не так повезёт, но и не то, чтобы совсем не повезёт — что-то начнёт вырисовываться, ноне очень уверенно, — придётся нарисовать ещё несколько дуг) А когда возникнет более или менее чёткое представление обо всём фазовом портрете, его можно начать проверять, обратив особое внимание на выделившихся солистов. Может быть, кое-что о них — особенно о положениях равновесия — удастся узнать с помощью разработанных в качественной теории дифференциальных уравнений приёмов локального исследования. Если нетто надо, по крайней мере, просчитать решения, близкие к заинтересовавшим нас «солистам», более точными численными методами, чтобы проверить, действительно ли солисты играют, как нам показалось, руководящую и направляющую роль. На протяжении XX века накопилось немало исследований такого характера о различных системах, возникающих из приложений. Физическое осуществление подобной конструкции при n > 3 невозможно понадобилось бы мерное пространство, которого, увы, в нашем распоряжении нет. Да и при n = 3 её практическая осуществимость сомнительна — как прикрепить стрелки, изображающие векторы фазовой скорости, к соответствующим точкам С помощью каких-то стерженьков-подставок или подвесив их на какие-то проволочки Можно ещё вообразить изготовление такого рода моделей С появлением компьютеров появились новые возможности. Я пока не слышал об их использовании для создания трёхмерных фазовых портретов (хотя стереоскопические изображения некоторых кривых в трёхмерном пространстве уже видел, но представляется вполне реальной перспектива как создания сих помощью плоских рисунков трёхмерной ситуации, таки стереоскопического воспроизведения таковой. Стереоскопический эффект возникал бы при рассматривании через специальные очки особого изображения на экране. Иллюзии трёхмерности какой-нибудь кривой или гео- § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений для учебных целей, но мне не случилось их видеть. А чтобы они изготовлялись входе исследовательской работы — это уж совсем нереально. Андронов и его сотрудники, как и другие исследователи, успешно изучили ряд систем с n 3, но пространственных моделей никто при этом не изготовлял. Остаётся, однако, возможность использования геометрического языка в формулировках и рассуждениях. В наши дни мало-мальски образованный человек не подумает о мистике, услышав о «точке n-мерного евклидова пространства. Такая точка — это вполне реальный объекта именно — набор n чисел (x 1 , мерное же пространство это совокупность всевозможных таких наборов. Единственный содержательный вопрос, который здесь может возникнуть, состоит в том, зачем нужна подобная игра слов Во-первых, она сразу приводит к заметному сокращению формулировок а во-вторых, со временем становится всё более существенным, что при этом в работу вовлекается наше геометрическое воображение. Оно, конечно, основано на опыте нашей жизни в физическом трёхмерном пространстве, но довольно многое из этого опыта имеет аналоги в свойствах арифметического мерного пространства, состоящего из наборов n чисел. Если читатель — студент, то он, несомненно, уже мог убедиться в полезности геометрической терминологии и соответствующих понятий в других разделах математики, с которыми он уже успел в какой-то степени познакомиться (в анализе и алгебре). В соответствии с этим мы говорим, что состояние физической системы, описываемой автономной системой (), изображается точкой, мерного пространства, что такая точка называется фазовой точкой, что всевозможные состояния физической системы соответствуют всевозможным точкам области где определены правые части ()) и что последнюю область поэтому называют фазовым пространством. В области G мы рассматриваем векторное метрического тела можно добиться также, обеспечив непрерывное вращение на экране изображения этой кривой или тела, ноя не уверен, что такой приём подойдёт для фазового портрета. Здесь уже проще прибегнуть к общему понятию области, как оно сформулировано водном из предыдущих подстрочных примечаний, а не говорить, что область чем-то ограничена — объяснять, чем она могла бы быть ограничена и что это значит, было бы сложнее. Под таковым может пониматься и всё мерное пространство переменных (x 1 , … …, x n ), как оно и было сказано о фазовой плоскости. Это не более чем терминологическая условность, но мне кажется, что при n = 2 под фазовой плоскостью чаще понимают всю плоскость переменных (x 1 , x 2 ), хотя бы область была только её частью, а при — область § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений поле фазовой скорости, сопоставляющее (в сокращённых обозначениях) точке x вектор f (x), ив понятном смысле говорим о его интегральных кривых и фазовых траекториях. Мы рассматриваем в фазовом пространстве движение, происходящее согласно уравнению (). Можно представить себе, что так движется не одна какая-то точка, но все точки фазового пространства. При этом вновь приходится посетовать на то, что в терминологии не отразилось различие между фазовыми точками, которые мы представляем себе стоящими на своих местах, и точками, движущимися по соответствующим траекториям согласно. Казалось бы, первые можно назвать неподвижными, однако обычно так называют те точки, где вектор фазовой скорости f (x) = 0. Так что неподвижные фазовые точки — это те движущиеся точки, которые неподвижны». Получилось как-то коряво... Как сказать коротко на наглядном языке движущихся точек, что рассматривается решение x(t), удовлетворяющее начальному условию x(0) = рассматривается движущаяся точка, которая в начальный момент времени совпадала сточкой Подразумевается, что движущаяся точка затем куда- то ушла (исключая тот случай, когда f (x 0 ) = 0), атаки осталась стоять, где была. А теперь представьте себе, что мы воображаем такое движение для всех фазовых точек одновременно. В литературе это поясняется с помощью наглядного образа — стационарного течения жидкости. Вообразим, что фазовое пространство заполнено жидкостью, причём частица жидкости, занимающая в данный момент положение x, имеет скорость (x), так что частица, занимавшая при t = 0 положение x 0 , перемещается за время t в положение x(t) (где по-прежнему x(t) — решение () с начальным значением. каким) Здесь найдены слова для моих движущихся фазовых точек и фазовых точек, остающихся на месте — частицы жидкости и положения в фазовом пространстве, ипритом речь идёт о движении, охватывающем всё фазовое пространство. Эта аналогия плоха тем, что у воображаемой фазовой жидкости нет никакого взаимодействия между соседними частицами, которое у настоящих жидкостей определяет все их свойства, включая и то, каким в томили ином случае окажется течение... До сих пор мы обычно говорили о решении x(t) системы (), имеющем начальное значение x(0) = x 0 . Но оно, конечно, зависит от поэтому можно подробнее писать x(t, Можно доказать, что областью определения x(t, x 0 ) является некоторое открытое подмножество U в (n + мерном пространстве переменных, а, x 0 ) является непрерывной функцией на принимающей значения в мерном пространстве). Всё течёт, как говорил ещё Гераклит. Возможно, впрочем, что он имел ввиду не течение воображаемой фазовой жидкости, а вполне реальное состояние сантехники § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений В частности, если решение x(t, x 0 ) определено при, то при достаточной близости к решение x(t, x ′ 0 ) тоже определено при тех же t и близко к x(t, x 0 ). (Степень близости зависит не только от близости к x 0 , но и от a и b, не говоря уже о том, что она зависит от f .) Всё это в равной степени справедливо и для неавтономной системы (И если раньше мы говорили о зависимости x(t, x 0 ) от при неизменном, то ведь можно встать и на другую точку зрения — обратить внимание на зависимость x(t, x 0 ) от x 0 при неизменном В терминах упоминавшейся гидродинамической аналогии — как за время t изменилось положение различных частиц фазовой жидкости) Возникает однопараметрическое семейство отображений S t (t — параметр семейства) области G в себя S t ( x 0 ) = x(t, x 0 ) (вроде бы ничего нового в S t ( x 0 ) по сравнению сне содержится, но несколько изменились акценты. Разумеется, это далеко непроизвольное семейство отображений. Оно обладает интересными свойствами, важнейшее из которых — свойство S t ( S s ( x)) = S t+s ( x). Оно связано с автономностью системы () и выражает уже отмечавшийся факт, что решения x(t) и y(t), удовлетворяющие начальным условиям) = y(0), отличаются только сдвигом повремени+ где это было сказано и почему отсюда следует написанное свойство отображений S t ?). Кроме того, S 0 ( x) = x почему. Наконец, говорится о свойствах непрерывности и дифференцируемости как функции от (t, x). Отображение можно назвать отображением сдвига повремени на t, а все семейство отображений {S t } (или, если угодно, отображение, зависящее от t) — оператором эволюции системы Вероятно, читателю термин отображение знаком, нона всякий случай сделаю несколько замечаний по его поводу, тем более что он используется также в § и , причём в последнем — довольно активно. Отображение f : A → B пишут также A f → B) множества A в множество или функция, определённая (заданная) на A и принимающая значения в B, это соответствие, при котором каждому элементу x множества A сопоставляется некоторый элемент f (x) из B. Последний элемент обозначают через f и называют образом элемента x при отображении f или значением функции на элементе x; говорят также, что отображение f переводит x в f и пишут x → f (x). Элементы области определения называют аргументами функции f . Называя f отображением, тоже (как и о функции) говорят, что оно определено или задано на A. Наряду с предлогом на употребляют «в»: функция задана в A и принимает значение f (x) в x. В данном случае никакой смысловой нагрузки замена одного предлога другим не несёт. А вот в выраже- § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений нии « f отображает A на B» предлог на указывает на то, что каждый элемент получается как образ какого-то x ∈ A; здесь на нельзя заменить предлогом «в». Отображения и функции — это, собственно, синонимы, но первый термин возник в геометрии, а второй — в математическом анализе. Это до некоторой степени отображается в употреблении данных терминов. Функции чаще всего принимают числовые значения или, во всяком случае, такие значения (скажем, векторные, над которыми можно производить какие-то алгебраические операции. Значения, принимаемые отображениями, чаще, чем значения функций, бывают элементами каких-то множеств, где ни о каких алгебраических операциях говорить не приходится. И ещё одно обстоятельство, скрытое за невинными словами говоря об отображении всей области G в G, я молчаливо подразумеваю, что при любом определено x(t, x 0 ). Вообще говоря, может случиться, что решения (все или некоторые) определены на ограниченных (стой или иной стороны, или с обеих сторон) интервалах времени и что конец такого интервала зависит от x 0 . Тогда, вообще говоря, приданном для одних решение x(t, существует, а для других — нет. Это не надуманная абстрактная возможность, а физическая реальность. Химическая реакция в пробирке может закончиться взрывом, после чего система, состоящая из смеси веществ в пробирке, перестанет существовать е содержимое разлетится по комнате и его дальнейшая судьба будет частью судьбы всего, что там находится (тогда как до взрыва можно было отдельно говорить об изменениях только того, что в пробирке. Подобные реакции описываются системами нескольких дифференциальных уравнений, содержащих члены второго порядка взрыва математически — уход части переменных в бесконечность) связан именно с такими членами. Что от них можно этого ожидать, видно на самом простом уравнении с квадратичным членом ˙ x = x 2 . Одно из его решений x(t) ≡ 0, а другие имеют вид) = 1 c − с различными константами c. (См. риса) Обратите внимание, что это рисунок в плоскости переменных (t, x), а не в фазовом пространстве, которое в данном случае сводится к прямой) Функция − определена при всех = c, но решение, по определению, должно быть дифференцируемой функцией, определённой всюду на соответствующем интервале, поэтому формула) = 1 c − t — это не одно решение, а два одно — это данная функция на интервале, другое — та же функция на (c, Кстати, как получены эти решения Идея такова если, то dx x 2 = dt, но dx x 2 = d − 1 x , а следовательно d − 1 x = dt; дальше, я надеюсь, ясно. Всё это совершенно строго, но. Всё это делается совершенно строгим при наличии надлежащих разъяснений, определений и соглашений. А как быть, если у читателя имеются какие-то сомнения (На начальном уровне они должны иметься Крупные учёные, читавшие курс обыкновенных дифференциальных уравнений на механико-математическом факультете МГУ, не будучи увере- § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений а) б) Рис. ны, что студенты автоматически всё поймут правильно и не желая тратить драгоценное время на соответствующие разъяснения, излагали это (вернее, имевшее аналогичный, но более общий характер) место иначе и, увы, более громоздко. Что и отражено в их учебниках. Пусть тот, кто сам без греха, кинет камень, а я не уверен, что если бы сам читал этот курс, тоне последовал бы их примеру) Предлагаю ему смотреть на сказанное как на наводящие соображения, получив же сих помощью предполагаемый ответ, его уже нетрудно проверить. В том же духе получается, что решения уравнения ˙ x = 1 + суть) = tg(t + c) со всевозможными константами c рис. б) и что все они определены на интервалах конечной длины (какой?). Такая особенность (решения определены не для всех t), конечно, является качественным свойством соответствующих уравнений, и качественная теория дифференциальных уравнений должна была бы ею заниматься. Ноне занимается. При случае, конечно, стараются выяснить, как на сей счёт обстоят дела стой или иной исследуемой системой, но это как-то не принято включать в качественную теорию. Что и отразилось в моих невинных словах, подразумевающих, будто всюду определено. Это не общий факта предположение, ограничение на рассматриваемые системы. (По большей части достаточно, чтобы решения были определены при всех t 0, но это уж слишком тонкая тонкость.) Надо сказать, что вопрос о том, определено ли решение на бесконечном интервале времени, становится очень важными может оказаться очень трудным, когда от обыкновенных дифференциальных уравнений переходят к уравнениям с частными производными. (Там становится важными замечание о t 0 — это уже не тонкость, а суть дела) Имеются статьи и книги на сей счёт. Когда решения определены на ограниченном интервале, говорят о взрыве (более мягкий вариант — раздувание (blow up)), коллапсе (этимологически это вроде бы противоположные вещи, режиме с обострениями (ле- § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений тальными?). Номы решили быть скромными (в смысле свердловской газеты) и говорить об этом не будем.) В некоторых разделах качественной теории отображения выступают на первый план, номы до этого не дойдём. Однако мы можем извлечь из них словесную пользу. Часто говорят, а нередко и пишут что-нибудь вроде точка x 0 = x(0) за время переходит вата за время в x 2 = x(t 1 + t 2 ))». Посмотрим на эту фразу непредубеждённым взглядом, забыв о том, что мы знаем, и попробуем понять её буквально. Раз обе точки x 1 , во что-то переходят, значит, это движущиеся точки Обе они являются решениями (А как решение может во что-то переходить Так что данную фразу надлежит понимать не буквально, а в некоем пиквикском смысле. Между тем небольшое её изменение, сводящееся к своевременному упоминанию об отображениях S t , приводит к корректной формулировке Под действием отображения точка x 0 = x(0) переходит вата под действием в С кинематической интерпретацией связан термин динамическая система. Название сначала относилось к механической системе, математическое описание изменения состояния которой со временем даётся системой вида (). Потом так стали говорить и о физических (в широком смысле слова) системах, описываемых аналогичными уравнениями, а затем и вообще о процессе движения в фазовом пространстве G теперь это стало просто условным названием, описываемом таким же уравнением (заданным в G), безотносительно к тому, связано ли это с какой-нибудь физической системой. Процесс движения — выражение описательного характера, взывающее к наглядности в точной формулировке (в достаточной для нас степени общности) говорится о семействе отображений с определёнными свойствами. Ещё одно название, происходящее от гидродинамической аналогии (это, по существу, всё, что от неё остаётся) — поток. В заключение остановимся на содержании дальнейших параграфов. В § приведены простые примеры геометрической трактовки дифференциальных уравнений. Он примыкает к § , иллюстрируя сказанное там о качественной теории. Ей посвящены более сложные , , , в последнем из которых на предельно упрощенном (до самой грани вульгаризации) примере разъясняется суть тех явлений в поведении динамических систем, по поводу которых говорят о хаосе. Как уже упоминалось, § , имеет иной характер — он посвящен интегрированию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь постоянно используется показательная функция причем не только для вещественных, но и для комплексных x. Чи- § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений татель вполне может быть знаком с ней для вещественных x, но мне казалось нелишним заново дать ее определение и установить основные свойства, приняв иную точку зрения Надо сказать, что показательная функция нужна не только для решения дифференциальных уравнений, но и вообще играет в математике столь же важную роль, что и многочлены (а о последних читателю, несомненно, известно из алгебры |