Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
e, касающийся окружности и направленный в стороны возрастания, можно сказать, что скорость равна ˙ ϕe. Для ускорения g мы сейчас получим выражение Если точка вертикальной плоскости качаний маятника имеет координаты, y), то будем характеризовать положение этой точки комплексным числом При изрядном педантизме можно спросить если существуют производные ˙ x, ˙ y и, ¨ y их существование подразумевается самими понятиями скорости и ускорения, фигурирующими в законах механики, то существуют ли производные ˙ ϕ и ¨ ϕ? Ответ — дано я не буду на этом останавливаться. Станем на наивную точку зрения, что у любой разумной величины, связанной сдвижением, существуют все нужные нам производные § . Примеры фазовых портретов = x + iy. Тогда положение точки P на окружности C характеризуется числом = le iϕ , её скорость — числом ˙ z = i ˙ ϕle iϕ = i ˙ ϕz, а ускорение — числом = il ¨ ϕe iϕ − l ˙ ϕ 2 e iϕ = i Это совпадает с указанной выше формулой для ускорение, поскольку введенной там вектор e представляется комплексным числом ie iϕ . Первое слагаемое в полученной формуле для ¨ z — это есть вектор длины l | ˙ ϕ | , направленный по касательной кв точке P в сторону увеличения или уменьшения ϕ в зависимости от знака ˙ ϕ. Чтобы выразить это совершенно чётко ив тоже время не слишком пространно, целесообразно использовать единичный вектор (вектор единичной длины) e, касающийся окружности и направленный в сторону возрастания. Тогда скорость равна ˙ ϕe. Первое слагаемое здесь — это компонента ускорения, направленная по касательной ка второе — компонента, направленная по OP. Вторая компонента нам не понадобится, но раз уж она получена, стоит заметить, что она представляет собой центростремительное ускорение. Знак минус показывает, что его направление противоположно направлению радиус-вектора OP, а l ˙ ϕ 2 — это известная из физики формула для величины центростремительного ускорения. (Почему-то более запоминается формула ml ˙ ϕ 2 = m(скорость) 2 l для величины центробежной силы, направленной противоположно этому ускорению. Последняя сила равна сумме той силы, с которой P действует на стержень, как бы стремясь растянуть его, и направленной по OP компоненты веса точки Стечением времени скорость изменяется и по величине, и по направлению первое связано с изменением ˙ ϕ, второе — с изменением. Соответственно, ускорение разлагается на две компоненты, направленные по касательной и по прямой рис. ). Нам нужна только первая компонента, ибо только она отвечает за изменение величины скорости l ˙ ϕ, те. равна (по величине) производной ˙ ϕ dt = l ¨ ϕ подробнее данная компонента есть l Второй закон Ньютона гласит, что · ускорение = сила. () Ускорение и сила суть векторы, так что () — векторное равенство. Спроектируем обе его части на касательную к C. О проекции ускорения на касательную уже говорилось — это l ¨ ϕe. Сила, действующая на материальную точку P, — это сумма веса P и реакции связи, те. той В комплексных терминах фигурирующий далее в основном тексте вектор e изображается числом В более общем случае, когда точка движется не по окружности, а по некоторой кривой, в связи с изменением величины и направления скорости надо было бы рассматривать компоненты ускорения, направленные по касательной и по нормали к кривой § . Примеры фазовых портретов sin Рис. . Силы в маятнике e e Рис. силы, с которой стержень действует на P. Последняя сила направлена пои оттого её проекция на касательную равна нулю. Вес же равен mg и направлен вертикально вниз. Его проекция на касательную равна по абсолютной величине |mg sin ϕ| (см. рис. ). А каково направление этой проекции? Вертикальный диаметр (ось x) делит окружность C на две полуокружности. На одной из них 0 ϕ π а если учитывать, что ϕ может принимать значения за пределами отрезка, π], то Значений на отрезке [−π, π] (собственно, даже на (−π, π]) достаточно для всех точек C. Но если допускать к рассмотрению только такие значения, то получится, что когда P проходит через верхнюю точку (−l, 0) окружности C, надо изменять ϕ скачком. Поэтому целесообразно допускать к рассмотрению и другие углы § . Примеры фазовых портретов + π, где n — целое) и sin ϕ 0. Когда находится на этой полуокружности, проекция веса на касательную направлена противоположно рис. ). На второй полуокружности −π ϕ 0 (а если допускать и другие значения, то 2πn − π ϕ 2πn, где n — целое) и sin ϕ 0. Когда находится на этой полуокружности, проекция веса на касательную направлена одинаково с e. Получается, что компонента веса в направлении касательной в обоих случаях равна sin ϕ. Итак, проектирование () на касательную приводит к равенству, что равносильно (В физике давно известно, что если в физической системе нет ни потерь энергии, ни её поступления извне, то энергия системы остаёт- ся неизменной. Это может показаться чем-то самоочевидным дотри- виальности: если что-то не убавляется и не прибавляется, то его оста- ётся столько же, сколько было. Но откуда можно заранее знать, что в физических системах имеется это «что-то», которое убавляется только тогда, когда оно как-то переходит в другие физические системы? И почему увеличение этого «чего-то» водной системе в точности равно его убыли в другой Как найти для него количественное выражение (без чего, кстати, нельзя было бы сравнивать его убыль водной системе и увеличение в другой системе)? Энергия может быть механической, электромагнитной, химической, тепловой. Причём одна из них может превращаться в другую. Поэтому о законе сохранения энергии не могло быть и речи, пока небыли изучены совершенно различные по своему характеру физические процессы, пока не обнаружилось, что для каждого из них имеется некая существенная характеристика — та величина, которую мы теперь называем энергией с добавлением соответствующего прилагательного. (Причём вначале эти различные виды энергии появились и измерялись независимо друг от друга) Пока не оказалось, что если измерять эти различные виды энергии некоторой общей мерой, то получается, что энергия сохраняется при превращениях различных видов энергии друг в друга. Не случайно закон сохранения энергии был открыт сравнительно поздно — в середине XIX века. До того они не мог быть сформулирована могли быть только натурфилософские высказывания качественного характера вроде известного высказывания МВ. Ломоносова (В техническом устройстве потери энергии могут быть связаны с самим его назначением, подразумевающим, что оно должно совершать некоторую работу. Другим источником потерь могут быть диссипативные процессы (в механике — сопротивление движению § . Примеры фазовых портретов из-за вязкости или трения, в электротехнике — омическое сопротивление прохождению электрического тока. Наш маятник никакой полезной работы не совершает и диссипативным процессам не подвержен. Это серьёзно упрощает дело. Для чисто механических систем такого типа (я не буду уточнять, какого именно) закон сохранения энергии был (под другим названием) установлен намного раньше, чем общий закон — в нетривиальном частном случае (движение планеты вокруг Солнца) это впервые сделал И. Ньютон (—) около г, в довольно общей ситуации — представители семейства Бернулли (Якоби Иоанн, —) вначале века и затем более отчётливо Л. Эйлер (—) в середине того же века Тогда это выглядело как некая математическая теорема. Действительно, пусть нам известно, как (какими величинами (x 1 , …, x n ) характеризуются состояния системы и как характеризуется изменение состояния со временем (что практически означает знание дифференциальных уравнений для (x 1 , …, x n )). Механическая энергия E зависит от состояния системы и ни отчего больше, те есть функция от x : E = E(x). Сохранение энергии означает, что если x = изменяется согласно соответствующей системе дифференциальных уравнений, то E(x(t)) остаётся постоянной. Ньютон установил данный факт для некоторой конкретной системы дифференциальных уравнений и конкретной функции E(x); последующие авторы распространили этот результат на более общую и менее конкретную ситуацию, установив его справедливость для определённого класса дифференциальных уравнений и определённым образом связанной с ним функции Обычно в механике энергия является суммой кинетической и потенциальной энергий. Материальная точка, имеющая массу m и движущаяся со скоростью v, имеет кинетическую энергию mv 2 /2. По- Вообще, диссипация энергии в физических системах — это переход части энергии упорядоченного процесса (например, механической или электрической энергии) в энергию неупорядоченного процесса — в конечном счёте в тепло. Примерно тогда же несколько намного более простых примеров рассмотрел Г. Лейбниц (—). Его заслугой можно считать и то, что он придал сохранению механической энергии большее значение, чем Ньютон, для которого это был просто математический результат, полученный в определённой задаче и позволяющий эту задачу решить. Ещё более общие результаты о сохранении механической энергии получили позднее Ж. Лагранж (—) и У. Гамильтон (—). Но уже после Бернулли и тем более Эйлера стало ясно, что сохранение энергии — это свойство весьма общих механических система не каких-то специальных примеров § . Примеры фазовых портретов тенциальная энергия в различных случаях различна. В механике она обычно зависит только от расположения частей механической системы, говоря математически — не от всех величин, характеризующих состояние системы, а только от той части их, которая характеризует положение, ноне скорость. При свободном падении она равна произведение веса тела mg на его высоту x). Впрочем, потенциальная энергия бывает определена с точностью до константы, однозначно же определена разность потенциальных энергий для двух состояний системы. Во многих случаях имеется более или менее общепринятое соглашение, что в таком-то положении потенциальная энергия считается нулевой например, часто принимают, что она нулевая на нулевой высоте. Выражение mgx для потенциальной энергии написано с учётом этого соглашения, тогда как ни от каких соглашений не зависит утверждение, что mgx — это разность между потенциальной энергией на высоте x и потенциальной энергией на высоте Когда тело спускается с высоты x на высоту 0, оно теряет потенциальную энергию и за счёт этого может произвести равную этой потере работу, а та равна произведению веса mg на высоту x.) Итак, закон сохранения энергии в данном случае утверждает, что сумма = m ˙ x 2 2 + mgx = my 2 2 + mgx сохраняет постоянное значение, когда = x(t) есть решение () или, что тоже самое, (x(t), y(t)) есть решение (). Проверим ˙ y + mg ˙ x = my(−g) + mgy = Перейдем к маятнику. Раз скорость v = |l ˙ ϕ|, то кинетическая энергия равна. Потенциальная энергия, если считать её равной нулю в наинизшей точке (l, 0) окружности C, в точке с координатами, y) равна mgl − mgx = mgl(1 − cos ϕ) (ведь разность высот точек, y) и (l, 0) есть l − x — надо иметь ввиду, что у нас вертикальной является ось x и что положительная полуось x направлена вниз, высота же — это настоящая высота, так что точка (x, y) находится выше, 0) на −x − (−l) = l − x). Полная энергия маятника = ml 2 ˙ ϕ 2 2 + mgl(1 − cos Проверим, что E действительно не меняется, когда ϕ изменяется согласно. Примеры фазовых портретов При малых мы вместо () использовали уравнение гармонического осциллятора (). Переход от первого ко второму был основан на том, что sin ϕ ≈ ϕ. Аналогичный переход можно провести ив выражении для E. Представим 1 − cos ϕ как 2 и заменим sin ϕ 2 на ϕ 2 Очевидное вычисление приводит к выводу, что = ml 2 ˙ ϕ 2 2 + mglϕ 2 2 = ml 2 2 ( Предоставляю читателю проверить, что когда изменяется согласно уравнению () (в котором, конечно, надо x заменить на ϕ), то E действительно не меняется. Фактически последнее нам известно. Мы знаем, что решения) = (x(t), y(t)) системы () движутся по эллипсам (), те. по эллипсам ˙ ϕ 2 + ω 2 ϕ 2 = const в терминах переменных ( ϕ, ˙ ϕ). Выражение для энергии отличается от сохраняющейся при движении левой части уравнения эллипса () только постоянным множителем 2 . Раньше такой множитель, конечно, не могу нас появиться ведь m вообще не фигурирует в уравнении (), l же входит туда не отдельно, а только в комбинации. При электрических колебаниях в электротехническом колебательном контуре тоже сохраняется величина неудивительно, что эта величина отличается от энергии колебаний E только постоянным множителем (а именно, как устанавливают в физике, E = L ˙ x 2 2 + x 2 2 C , что совпадает с В случае гармонического осциллятора мы смогли нарисовать фазовый портрет, не пользуясь сохранением механической энергии — всё итак было просто. Для маятника (), колебания которого не предполагаются малыми, мы нарисуем фазовый портрет, пользуясь сохранением механической энергии (). Скорость ˙ ϕ я буду теперь обозначать через y что уже принято в ()), но угол отклонения маятника от вертикали буду по-прежнему обозначать через, дабы обозначение напоминало нам об угловой природе этой перемен- ной. В основном, как мы увидим, всё сводится к тому, чтобы нарисовать линии уровня функции h(ϕ, y) = 1 2 y 2 + ω 2 (1 − cos ϕ) на плоскости переменных) (те линии, вдоль которых эта функция постоянна). Заметим, что h(ϕ, y) = 1 2 y 2 + u(ϕ), где u(ϕ) = ω 2 (1 − cos ϕ). С точностью до постоянного множителя u(ϕ) совпадает с потенциальной энергией маятника, ас точностью до того же множителя сего полной энергией (). Именно, потенциальная энергия равна § . Примеры фазовых портретов 2π 2ω 2 ϕ Y Рис. mgl(1 − cos ϕ) = ml 2 u(ϕ), а полная энергия E = ml 2 h(ϕ, ˙ ϕ) (проверь- те). На рис. изображен график функции u(ϕ). По горизонтальной осина рисунке отсчитывается величина, а величину, отсчитываемую по вертикальной оси, я обозначил через Y , чтобы не путать ее с решением y уравнения h(ϕ, y) = c. Зафиксируем на минуту c физически зададимся полной энергией E). Приданном уравнение, y) = c имеет решение y = y(ϕ), только если c u(ϕ), те. если прямая Y = c лежит выше точки (ϕ, u(ϕ)) графика Y = u(ϕ) функции) (при таких ϕ у маятника имеется состояние с полной энергией, те. такова его энергия при какой-то скорости y). Сразу видно, что надо различать три случая. Случай c < 0. В этом случае прямая Y = c всюду (при всех ϕ) лежит ниже графика функции u(ϕ), те. не существует такого ϕ, при котором данное уравнение имело бы решение y. Физически это означает, что ни при каком состоянии маятника его энергия не может быть отрицательной. Случай 0 < c < u(π) =2ω 2 . В этом случае прямая Y = c местами лежит выше графика функции u(ϕ), а местами — ниже. Значит, уравнение при одних ϕ разрешимо (при таких ϕ существует состояние маятника с полной энергией E = ml 2 c), а при других ϕ — нет. Случай c > 2ω 2 . В этом случае прямая Y = c всюду лежит выше графика функции u(ϕ). Уравнение h(ϕ, y) = c разрешимо при всех те. при любому маятника имеется состояние с полной энергией = Имеются также переходные случаи c = 0 и c = Остановимся подробнее на характере зависимости функций) = ± 2(c − u(ϕ)) = ± 2(c − ω 2 (1 − cos ϕ)) § . Примеры фазовых портретов 0 π 2π −π −2π Рис. . Фазовый портрет маятника на плоскости от при различных c, те. проследим, говоря более геометрически, за видом линий уровня, начав с больших по абсолютной величине отрицательных c и увеличивая c рис. При c < 0 они, как поручик Киже, вида не имеют, те. (как ион) не существуют — подкоренное выражение отрицательно (ибо вычитаемое 1 − cos ϕ 0). При c = 0 появляются первые игреки: когда − cos ϕ = 0, то подкоренное выражение равно 0 и y = 0. Это так при = 2πn (n — целые, а при остальных ϕ подкоренное выражение < и не существует игреков, удовлетворяющих уравнению h(ϕ, y) = Точки (2 πn, 0) являются положениями равновесия (неподвижными точками) — непосредственно видно, что в этих точках правые части системы () равны нулю. (Да и как такая точка могла бы сдвинуться с места, если при этом величина h(ϕ, y) должна остаться той же самой, что ив этой точке, те. нулём, а между тем рядом сточкой) нет других точек с h(ϕ, y) = При дальнейшем увеличении c множество тех ϕ, для которых подкоренное выражение неотрицательно, расширяется, но пока 0 < c < < 2ω 2 , оно ещё не содержит всех. А именно, подкоренное выражение неотрицательно тогда и только тогда, когда cos ϕ ω 2 − c ω 2 , что при наших c больше −1. Если ограничиться на один момент значениями из интервала (−π, π), то там последнему неравенству удовлетворяют те, для которых |ϕ| arccos ω 2 − c ω 2 . При таких определены (вещественные) функции = 2( c − ω 2 (1 − cos и = − 2(c − ω 2 (1 − cos ϕ)). § . Примеры фазовых портретов Эти функции обращаются в в концах отрезков, где эти функции определены, так что часть линии уровня h(ϕ, лежащая в полосе |ϕ| π, состоит из двух дуг, которые соединяют концы отрезка |ϕ| arccos ω 2 − c ω 2 , и одна из которых лежит в верхней полуплоскости, а другая лежит в нижней полуплоскости и симметрична первой относительно оси. Объединение этих дуг является замкнутой кривой Γ, окружающей начало координат O и целиком за- ключённой в вертикальной полосе |ϕ| arccos ω 2 − c ω 2 . На рис. кривая показана жирной линией. Кривая Γ является гладкой (даже аналитической, если читатель знаком с этим понятием. Вместо того чтобы рассматривать поведение составляющих её двух дуг возле их концов (только там вопрос о гладкости заранее неясен, проще сослаться на общий факт, известный из курса анализа и основанный на теореме о неявных функциях если h(x, y) — гладкая функция своих аргументов, h(x 0 , y 0 ) = c ив точке (x 0 , y 0 ) так называемый вектор градиента, то достаточно близкая к этой точке часть множества уровня h(x, y) = c является гладкой кривой. Более высокая гладкость h гарантирует и более высокую гладкость этой кривой. А если grad h(x, y) = 0 на всём этом множестве, то оно целиком является гладкой кривой (возможно, несвязной, те. состоящей из отдельных связных ветвей. В нашем случае роль (x, y) играют (ϕ, и grad h = (ω 2 sin ϕ, y). Градиент обращается в нуль только в тех точках, где sin ϕ = 0, те, и y = 0. Но тогда cos ϕ = − 1, а на Γ таких точек нет если h(ϕ, y) = c и y = 0, то cos ϕ = ω 2 − c ω 2 , что по модулю меньше 1, ибо сейчас c < Так как h(ϕ ± 2π, y) = h(ϕ, y), то при горизонтальных смещениях, кратных 2 π, часть Γ кривой h(ϕ, y) = c, лежащая в полосе переходит в часть той же кривой, лежащую в другой полосе, где − π ϕ 2 πn + π. Итак, линия уровня h(ϕ, y) = c распадается в бесконечное число замкнутых кривых, каждая из которых лежит в своей полосе 2 πn − π ϕ 2πn + π и окружает там точку (2πn, Замкнутые кривые с большими c содержат внутри себя кривые с меньшими. При увеличении c от 0 до эти кривые сплошь заполняют Напоминаю, что с помощью символа ∂ вместо d обозначаются частные производные. Примеры фазовых портретов в своих полосах области, ограниченные кривыми = ± 2ω 2 (1 + cos ϕ) = ± 4ω 2 cos 2 ϕ 2 = ±2ω последние две кривые, отвечающие знакам плюс и минус в (), образуют линию уровня h(ϕ, y) = Замкнутая кривая Γ (на этой кривой c < 2ω 2 ) и её горизонтальные сдвиги на 2 πn являются траекториями системы () — как говорят, замкнутыми или периодическими траекториями. (Почему замкнутыми, понятно, апериодическими их называют потому, что им соответствуют периодические решения ( ϕ(t), y(t)) системы (). Ведь если после одного обхода по замкнутой траектории точка ( ϕ(t), y(t)), выйдя при t = 0 из исходной точки (ϕ 0 , y 0 ), спустя некоторое время T вернётся в ( ϕ 0 , y 0 ), то после этого решение «пойдёт по своим следам», а говоря более формально, тогда при всех t будет (ϕ(t + T), y(t + T)) = = ( ϕ(t), y(t)) (почему) Движение по замкнутым фазовым траекториям системы () происходит почасовой стрелке — в верхней полуплоскости возрастает и точка движется направо, в нижней ϕ убывает и точка движется налево. При c = линия уровня h(ϕ, y) = c, как уже говорилось, состоит из двух кривых (). Эти кривые проходят через точки ( π + 2πn, являющиеся положениями равновесия (почему. Последние точки разбивают данную линию уровня на бесконечное число дуг. Одна из этих дуг — та часть графика функции y = 2ω cos ϕ 2 , где −π < ϕ < Эта дуга является траекторией, исходящей из положения равновесия, 0) и входящей в положение равновесия (π, Слова исходящая и входящая не следует понимать буквально ввиду единственности решения сданным начальным значением, если бы некоторое решение ( ϕ(t), y(t)) в некоторый момент времени t = τ действительно вошло бы в положение равновесия ( π, 0), те. если бы было (ϕ(τ), y(τ)) = (π, 0), то, поскольку у () имеется решение, тождественно (при всех t) равное (π, решение ( ϕ(t), y(t)) должно было бы совпадать с этим решением. Иными словами, единственное решение, которое в какой-то момент времени попадает в положение равновесия — это решение, которое постоянно там пребывает. Но решение вполне может стремиться к положению равновесия при тогда и говорят, что решение входит в это положение равновесия) или при тогда говорят, что решение оттуда «выходит»). Данное замечание совершенно аналогично тому, которое выше было сделано по поводу рис. При сдвигах данной траектории в горизонтальном направлении получаются траектории, соединяющие соответствующие положе § . Примеры фазовых портретов ния равновесия. При отражении этих траекторий в оси получаются снова траектории, которые соединяют те же положения равновесия, что и отражаемые дуги, нов обратном порядке (например, из нашей исходной траектории получается траектория, исходящая из ( π, и входящая в (−π, Наконец, когда c > 2ω 2 , линия уровня h(ϕ, y) = c распадается на две кривые y = ± 2(c − ω 2 (1 − cos ϕ)). Одна ихних расположена выше оси (причём строго выше — на оси у неё нет точек, другая ниже. Каждая из этих линий является траекторией. Направление движения в верхней полуплоскости направо, в нижней налево. Положения равновесия (2 πn, 0) и (2πn + π, 0) имеют качественные отличия друг от друга. Разумеется, сами они как отдельные точки ничем не различаются, а различным является поведение траекторий возле этих положений равновесия. Некоторая окрестность любого из положений равновесия (2 πn, 0) сплошь заполнена замкнутыми траекториями, окружающими это положение равновесия. Качественно картина похожа на фазовый портрет для гармонического осциллятора, только замкнутые траектории теперь не являются окружностями. Такое положение равновесия называется центром. В некоторой окрестности любого из положений равновесия + π, 0) траектории (точнее, попавшие в эту окрестность дуги траекторий) образуют семейство кривых, похожее на семейство гипербол xy = const. Такое положение равновесия называется сед- лом. Траектории, получающиеся при 0 < c < 2ω 2 , описывают колебательные движения маятника. При них угол) изменяется периодически, оставаясь заключённым в определённых пределах. (И, скажем, при этих движениях маятник никогда не становится вертикально вверх) Траектории, получающиеся при c > 2ω 2 , описывают вращательные движения маятника. При них угол) либо возрастает «от −∞ до ∞», либо убывает от ∞ до −∞». (В частности, при этих движениях маятник бесконечное число раз становится вертикально вверх) Области фазовой плоскости, соответствующие этим качественно различным типам движений, разделяются траекториями, лежащими на кривых (). Мы видели, что эти траектории (не считая сёдел) суть траектории, стремящиеся в ту или иную сторону повремени к сёдлам. В связи стем, что такие траектории делят фазовую плоскость на области с различным поведением траекторий, их называют сепаратрисами (ср. с английским словом to имеющим тоже латинское происхождение § . Примеры фазовых портретов На первый взгляд положения равновесия типа седла являются чем- то исключительным. Физически ясно, что в нашем случае сёдла описывают маятник, застывший в положении вертикально вверх. Хотя это и положение равновесия, оно неустойчиво — при малейшем сотрясении маятник начнёт падать. Математически неустойчивость седла проявляется в том, что подавляющее большинство решений, которые в начальный момент времени близки к седлу, со временем от него уходят (причём так происходит в обе стороны по времени). Но сёдла играют, так сказать, диспетчерскую роль — из них выходят и к ним стремятся сепаратрисы, которые, повторяю, делят фазовую плоскость на области с различным поведением траекторий. Уже говорилось, что малые колебания маятника напоминают колебания гармонического осциллятора (ибо sin ϕ ≈ ϕ). В частности, нетрудно доказать, что когда размах колебаний стремится к нулю, период T → 2 π ω . С другой стороны, когда c, возрастая, приближается к 2 ω 2 , соответствующая замкнутая траектории всё ближе подходит к седлу, а там скорость движения делается всё меньше и меньше (в самом седле она равна нулю. Отсюда легко вывести, что участок, близкий к седлу, будет проходиться всё медленнее и медленнее, из-за чего период T стремится к бесконечности. По той же причине при вращательном движении, отвечающем c > 2ω 2 , один оборот совершается очень медленно, когда c близко к 2ω 2 , тогда как понятно, что при большом c маятник вертится быстро. Возникает предположение, что когда c возрастает, оставаясь меньше 2ω 2 , период тоже возрастает, и что при всех c > время одного оборота, напротив, убывает с увеличением c. Это предположение справедливо, но доказательство не самоочевидно. Мы описали траектории — не только качественно описали, но и явно указали уравнения для этих кривых. Уравнения содержат только косинус и простейшие алгебраические действия. А как количественно описать процесс движения по этим траекториям Нельзя ли получить явную формулу для решений Оказывается, можно, но для этого нужны некоторые специальные функции, так что здесь мы переходим к тому направлению в теории дифференциальных уравнений, которое выше было названо направлением . Специальные функции, используемые в данной задаче — это так называемые эллиптические функции. Они принадлежат к числу наиболее изученных специальных функций. Сих помощью получаются столь же явные формулы Контрольный вопрос почему же у траекторий, близких к центру, где скорость движения тоже мала, период не стремится к ∞? § . Примеры фазовых портретов для решений, как формулы (),() для решений дифференциального уравнения () и системы (До сих пор мы считали, что переменная может быть любым вещественным числом. Но ведь её значениями соответствует одно и тоже положение маятника. Из-за этого в фазовой плоскости, y) у нас бесконечное число раз повторяется та картина, которая имеет место в полосе −π < ϕ π повторение происходит при изменении координаты на целочисленное кратное 2πn числа Чтобы избавиться от этого излишества, вырежем из плоскости вертикальную полосу, где −π ϕ π, и склеим елевый край, т. е. прямую ϕ = −π, с правым краем, тес прямой ϕ = π, соединяя каждую точку (−π, y) сточкой. Получится цилиндр, точки которого уже взаимно однозначно изображают состояния маятника скорость по-прежнему характеризуется вещественным числом, но положение маятника — точкой окружности, получающейся присоединении друг с другом концов отрезка [−π, π]. (Раньше говорилось, что если бы для характеризации положений маятника мы решили использовать только такие числа, которые взаимно однозначно соответствуют его положениям, — например, только числа из (−π, π], — то нажили бы себе неприятностей из-за того, что, как уже говорилось, функция, описывающая непрерывное вращение маятника вокруг O, была бы разрывной. Склеив друг с другом концы отрезка [−π, π], мы избавились от этих разрывов.) Таким образом, настоящее фазовое пространство маятника, точки которого изображают его состояния и каждое состояние изображается ровно одной точкой — не фазовая плоскость, а фазовый цилиндр. Конечно, точки окружности — не числа, обращаться сними несколько менее удобно. Но они не так уж далеки от чисел, если смотреть на эту окружность не как на обычную геометрическую окружность на плоскости, а как на так называемую факторгруппу /2π аддитивной группы вещественных чисел по подгруппе 2 π состоящей из умноженных на 2π целых чисел) Мы как бы отождествляем друг с другом любые два числа, отличающиеся на целое кратное числа 2 π; говоря более формально, в качестве элементов /2π мы берём классы чисел вида {x + 2πn; n— всевозможные целые это более или менее стандартные обозначения множеств всех вещественных и целых чисел соответственно, причём подразумевается, что эти множества наделены обычными алгебраическими операциями и понятиями больше, меньше (имеющаяся тем самым в «структура» достаточно богата, чтобы можно было говорить о непрерывности и пределах, а значит и вообще обо всём, что входит в обычный курс математического анализа). Тривиальное упражнение для читателя, содержащегося на теоретико-множествен- ной диете покажите, что отношение «x ∼ y тогда и только тогда, когда x − y — целое § . Примеры фазовых портретов Сокращённо такой класс обозначается через x + 2π . Я назвал множество факторгруппой; это значит, что для его элементов можно определить сложение, приняв, что суммой классов {x + 2π } и { y + 2π } является + y + 2π }, и что это сложение обладает определёнными свойствами, на которых нам незачем останавливаться. Упражнение: проверьте, что тот же результат получится, если все числа из первого класса сложить со всеми числами из второго класса. Отсюда, кстати, видно, что наше определение суммы корректно, те. не зависит от выбора представителей x и y складываемых классов — если мы те же складываемые классы запишем в виде {x ′ + 2 π } и { y ′ + 2 π } с какими-то другими и то наше правило предпишет считать суммой класса это тот же самый класс, что и {x + y + 2π }. Если же вы знакомы с понятием коммутативной группы, то, видимо, без всяких разъяснений понимаете, что по отношению к только что введённому сложению /2π как рази является таковой. А если без разъяснений не понимаете, то найдите их сами. В отличие отв у нас нет умножения (оно выводит за пределы 2π но сложение и вычитание есть. Читатель, имеющий самые первоначальные сведения о группах, сразу поймёт, что по отношению к сложению является группой, 2 π — её подгруппой, а окружность можно отождествить с фак- торгруппой /2π . Тот же, кто таких сведений не имеет, найдёт некоторые пояснения дальше. Если настаивать на такой алгебраической точке зрения, то надо было бы ещё обсудить, как перенести на понятия типа непрерывности, предела и т. п. Это можно сделать всё в тех же абстрактных терминах, но проще всё- таки не совсем забывать о геометрической окружности. На ней обо всём этом можно говорить без особых разъяснений, а между точками геометрической окружности C единичного радиуса с центром в O и элементами /2π имеется взаимно однозначное соответствие, которое позволяет всё, что относится к одному из этих объектов, сразу же относить ко второму. x Рис. Повторяю это соответствие состоит в том, что классу {x + 2πn} сопоставляется точка окружности, имеющая угловой координатой числа из этого класса. Кстати, § доставляет простую формулу для этого соответствия это просто отображение p : → C, переводящее число в точки C понимаются как комплексные числа. Данное отображение как рази переводит весь класс {x + 2πn} в одну и туже точку единичной окружности, а разные классы — в разные точки. Наглядно это выглядит так прямая «навивает- ся» на окружность C, как нитка на катушку, см. рис. число, умноженное на 2 π», является отношением эквивалентности, и что наши классы суть классы эквивалентности поэтому отношению § . Примеры фазовых портретов На рис. показано, как выглядит фазовый портрет маятника на фазовом цилиндре (который изображен слегка наклоненным к читателю. К сожалению, рисовать на цилиндре, даже когда мы имеем дело с настоящим цилиндром, склеенным из бумаги, не так удобно, как на плоскости. А когда мы пытаемся изобразить на плоскости, как выглядит нечто, нарисованное на цилиндре, то это ещё менее удобно. Поэтому в подобных случаях обычно рисунок делают на плоскости, но подразумевают, что имеется ввиду рисунок на цилиндре, который получается, если вырезать соответствующую полосу и отождествить друг с другом её концы, или который в понятном смысле накрывается рисунком на плоскости, когда эта плоскость понятным образом «наматывается» на цилиндр. Рис. . Фазовый портрет маятника на цилиндре Стоит отметить, что при переходе к фазовому цилиндру вращательные движения стали периодическими. Но эти периодические движения качественно отличны от тех, которые описывают колебания маятника. Замкнутая кривая, отвечающая вращательному движению, охватывает ось цилиндра и не может быть стянута в точку путём непрерывной деформации на самой поверхности цилиндра, тогда как замкнутую кривую, отвечающую колебательному движению, можно стянуть в точку. Так что сепаратрисы (теперь их стало всего две) по-прежнему отделяют друг от друга траектории с качественно различным поведением. Данный пример приведён с целью показать, что хотя мы и говорили о фазовом пространстве как об области в евклидовом пространстве, иногда нужно обращаться к другим геометрическим фигурам § . Примеры фазовых портретов например, к поверхностям. (Нужное здесь общее мерное понятие мерное гладкое многообразие) Но сделав это отступление с примером неевклидова фазового пространства, в § , § мы будем иметь дело только с привычной фазовой плоскостью. Далее мы обсудим два других усложнения дифференциального уравнения (). Силу, возвращающую систему из отклонённого положения, характеризуемого координатой x, будем считать пропорциональной, как и для гармонического осциллятора, но учтём сперва диссипацию (рассеяние) энергии, те. влияние сопротивления движению (вязкость воздуха, трение, омическое сопротивление, из- за которого другие виды энергии (механическая, электрическая...) превращаются в тепло, а затем в § добавим к этому ещё «подкачку» энергии в систему из какого-то внешнего источника (е сочетание с диссипативными процессами приводит к результатам, интересными полезным для техники, да, вероятно, и для жизни ). Простейший вид потерь энергии вязкое трение, пропорциональное скорости ˙ x, или омическое сопротивление, на котором происходит падение напряжения, пропорциональное силе тока Сила трения направлена противоположно скорости, а направление падения напряжения противоположно направлению тока, так что математическим выражением для силы трения или падения напряжения в обоих случаях служит −k 1 ˙ x с некоторым положительным коэффициентом k 1 . Это приводит к уравнению движения вида + k ˙ x + ω 2 x = с прежними некоторым положительным k. Как и раньше, с помощью подходящей замены времени обращаем в 1 (k при этом тоже изменится, номы будем по-прежнему писать k) ˙ x = y, ˙ y = −x − Вектор фазовой скорости системы () f (x, y) получается из вектора фазовой скорости гармонического осциллятора () g(x, y) Ван дер Поль, уравнением имени которого мы займёмся, предложил модель работы сердца, которая сложнее этого уравнения, нов которую в чисто математическом отношении, по существу, встроен тот же механизм. Под потерей энергии подразумевается, что полезная (для человека) энергия упорядоченного движения превращается в тепло — в энергию беспорядочного движения атомов и молекула также в тепловое излучение. За исключением нагревательных приборов, такое превращение противоречит интересам человека и оттого квалифицируется им как потеря энергии § . Примеры фазовых портретов x y Рис. = ( y, −x) добавлением вектора, −ky) (рис. ). Вектор g(x, как мы видели, направлен пока- сательной к окружности с центром в O, а добавка направлена вертикально, причём на верхней полуокружности она направлена вниз, а на нижней — вверх. И там, и тут получается, что всюду вне точек оси иксов направление вектора, y) изменилось таким образом, что новый вектор f (x, y) уже не перпендикулярен радиус-вектору ( x, y), а образует с ним тупой угол, так что f (x, y) направлен внутрь указанной окружности. (Вероятно, это станет яснее, если отметить, что вектор f (x, y) образует острый угол с вектором, направленным по радиусу из точки (x, y) в O.) Это значит, что траектория системы () всюду приближается к началу координат. Можно показать (мы пока этого делать не будем, нов это станет достаточно ясным, что при не слишком большом трении (при k < 2, а в терминах исходного уравнения () — при k < решения приближаются к O по спирали, делая бесконечное число оборотов вокруг O риса. Положение равновесия O называют в этом случае устойчивым фокусом. (Если бы при той же форме траекторий решения не стремились ка, наоборот, выходили из O», те. если бы они стремились к O при t → −∞, то O называлось бы неустойчивым фокусом.) Если же трение слишком велико, то сил на вращение вокруг уже не хватает и траектории расположены на кривых, проходящих через точку O и имеющих в ней касательные (рис. б, в. (Но, как уже говорилось по другому поводу, траектории не входят в O в буквальном смысле слова Каждая из кривых, изображённых на рис. б и в, состоит из двух траекторий, стремящихся к O, и ещё из третьей траектории — самой точки При k > 2 (а в терминах исходного уравнения () — при k > семейство траекторий напоминает семейство парабол v = с различными на плоскости с координатами (u, v), только вместо квадрата в уравнении, описывающем траектории, могут стоять другие степени (рис. в. (Яне буду уточнять, какое отношение эти u и v имеют к исходными. Примеры фазовых портретов а) б) в) г) д) е) Рис. . Фазовые портреты линейных система) фокус б) вырожденный узел в) узел; г) дикритический узел д) центре) седло § . Примеры фазовых портретов В исключительном случае, когда k = 2 (а в терминах исходного уравнения () — когда k =2ω), траектории выглядят несколько иначе они лежат на кривых семейства v = u ln |u| + cu, к которому надо добавить ещё ось u рис. б я опять не буду уточнять расположение осей u, v). Положение равновесия с таким расположением траекторий, как на рис. били в, называют узлом, причём имеется ещё третий тип узла (рис. г, когда траектории выглядят как семейство прямых v = cu плюс еще ось v. Такой узел — это совсем уж исключительный случай, для () он вообще не реализуется, а реализуется для системы = ax, ˙ y = ay ( a = Общим для всех типов узлов является то, что все траектории лежат на кривых, которые проходят через O и имеют в ней касательные. Если, как у нас, решения с ростом t стремятся кто узел называют устойчивым, а если они, наоборот, выходят из O не буду повторять, как сие надлежит понимать, то узел называют неустойчивым. На рис. фазовый портрет для математического маятника без трения) имеются положения равновесия двух типов — центры и седла. Среди положений равновесия линейной системы (), соответствующей линейному обыкновенному дифференциальному уравнению, седло не было упомянуто (тогда как центр возникает при = 0). Оказывается, оно встречается в системе, соответствующей линейному дифференциальному уравнению ¨ x + k ˙ x − lx = 0 при l > которое отличается от () знаком при x), причём независимо от знака k. Фазовый портрет седла для линейной системы представлен на рис. Мы познакомились с несколькими типами положений равновесия центром, фокусом, седлом и узлом. Оказывается, этим исчерпываются все возможности для изолированного положения равновесия) линейной системы второго порядка (буквально «линейность» означает, что вектор фазовой скорости f (x, y) линейно зависит от (x, y), нов данном случае обычно молчаливо подразумевается, что эта зависимость не только линейная, но и однородная, те иными словами, речь идёт о системе вида = ax + by, ˙ y = cx + Напомню, что при переходе от () к () мы избавились от ω 2 с помощью замены времени, так что () непосредственно соответствует уравнению ¨ x + k ˙ x + x = 0. § . Примеры фазовых портретов где a, b, c, d — постоянные коэффициенты. Выше сказано, что положение равновесия подразумевается изолированным. В общем (нелинейном) случае об изолированности говорят, когда в некотором круге с центром в O нет других положений равновесия, нов данном случае (для линейной системы) изолированность равносильна тому, что (x, y) = 0 те) только тогда, когда x = y = Впрочем, при желании нетрудно было бы ради полноты перебрать всевозможные типы фазового портрета также и для неизолиро- ванных положений равновесия линейных систем, нонам это не понадобится, равно как не понадобится и формулировка условия изолированности положения равновесия O в терминах коэффициентов, b, c, Имеется существенное различие между центром, с одной стороны, и тремя остальными типами изолированных положений равновесия системы () — с другой. Мы видели, что при добавлении в уравнение гармонического осциллятора () сколь угодно малого слагаемого k центр превращается в фокус. Аналогично можно показать, что если у системы () вначале координат находится центр, то при сколь угодно малом изменении коэффициентов a, b, c, d этой системы начало координат может стать фокусом (который может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости оттого, как именно изменились коэффициенты. Если же у этой системы вначале координат находится узел, фокус или седло, то при достаточно малом изменении коэффициентов характер положения равновесия не изменится, те. оно таки останется узлом (хотя один тип узла может перейти в другой, фокусом или седлом. Далее, нечто аналогичное наблюдается и тогда, когда мы пытаемся судить о поведении траекторий нелинейной системы ˙ x 1 = f 1 ( x 1 , x 2 ), ˙ x 2 = f 2 ( x 1 , x 2 ) (короче, ˙ z = f возле её положения равновесия x 1 = a 1 , x 2 = a 2 . Если положить x = = x 1 − a 1 , y = x 2 − a 2 , то для x, y получается система = f 1 ( a 1 + x, a 2 + y) = ax + by члены высших порядков малости , ˙ y = f 2 ( a 1 + x, a 2 + y) = cx + dy члены высших порядков малости () Студенту должно быть сразу ясно, что оно гласит ad − bc = 0. § . Примеры фазовых портретов (малость означает малость при малых x, y). Здесь = ∂ f 1 ( a 1 , a 2 ) ∂x 1 , b = ∂ f 1 ( a 1 , a 2 ) ∂x 2 , c = ∂ f 2 ( a 1 , a 2 ) ∂x 1 , d = ∂ В этой записи подразумевается, что частные производные вычисляются в точке (x 1 , x 2 ) = (Возникает желание сравнить поведение её траекторий возле положения равновесия (a 1 , a 2 ) с поведением траекторий системы () с указанными выше коэффициентами a, b, c, d говорят, что эта линейная система является линейным приближением к () возле (или что она получается при линеаризации системы () в точке как видно, при линеаризации мы попросту откидываем нелинейные члены высшего порядка в (Оказывается, если линеаризованная система () имеет узел, фокус или седло, то поведение траекторий нелинейной системы (с правой частью вида () возле положения равновесия (a 1 , a 2 ) аналогично поведению траекторий линеаризованной системы () возле начала координат. Так, в случае седла у () по-прежнему имеются две траектории, которые стремятся к положению равновесия притек нему стремятся решения с начальными значениями на этих траекториях) — о них несколько вольно говорят, что они выходят из этого положения равновесия. Возле (a 1 , a 2 ) эти траектории (те. некоторые их отрицательные полутраектории) вместе сточкой) образуют некоторую гладкую кривую. Далее, имеются две траектории, которые стремятся к (a 1 , a 2 ) при → что уточняется аналогичным образом. Между этими входящими в положение равновесия и выходящими из него траекториями возле (a 1 , a 2 ) находятся четыре сектора, заполненные траекториями (точнее, дугами таковых, которые ведут себя аналогично гиперболам решения (x 1 ( t), x 2 ( t)) сперва приближаются к положению равновесия, затем удаляются от него и со временем отходят настолько, что нелинейные члены в () уже не будут малыми для, x 2 = x 2 ( t). По сравнению с седлом для линейной системы) положение равновесия (a 1 , a 2 ) системы () (не само оно как точка, а кусочек фазового портрета возле него) может выглядеть как бы несколько помятым, нов качественном отношении это несущественно. Читатель сам без труда сообразит, какие особенности поведения траекторий я имею ввиду, говоря, что если начало координат — фо- § . Примеры фазовых портретов кус или узел для системы (), то при добавлении нелинейных членов эти особенности сохраняются. В этих случаях положение равновесия) системы () тоже называют седлом, фокусом или узлом. Если же положением равновесия для () является центр, то сходства между поведением траекторий исходной нелинейной системы) и линеаризованной системы () может и не быть. Мы говорили об изменении фазового портрета системы (), соответствующей гармоническому осциллятору (), при добавлении к вектору фазовой скорости вектора (0, −ky) (что соответствует добавлению слагаемого k ˙ x в левую часть (). Но ведь тоже самое произойдёт возле начала координат и при добавлении вектора (0, −ky 3 ), имеющего в точности тоже самое направление Вместо окружностей траекториями станут спирали, приближающиеся к началу координат при k > 0 и удаляющиеся от него прите. картина будет такой же, как для фокуса (в связи с чем в данном случае тоже говорят, что положение равновесия нелинейной системы является фокусом). Можно показать, что приближение решений к началу координат при t → ∞ или t → −∞ будет происходить медленнее, чем это происходит в случае фокуса для линейной системы, но нужно очень тщательно выполнить рисунок (и пристально его разглядывать, чтобы это различие стало заметным. Ввиду отмеченного различия между седлом, фокусом и узлом (когда они проявляются в линейном приближении, с одной стороны, и центром — с другой, первые три типа положений равновесия стоит объединить под каким-то общим названием. С х гг. установилось название гиперболическое положение равновесия, которое может удивить ясно, что седло уместно назвать гиперболическим, но что гиперболического в фокусе или узле Ровно столько же, сколько элементов в пустом множестве и зерновых культур в поле, будь тополе в алгебре или физике. В подобных случаях ничего иного не остаётся, как просто запомнить название, отрешившись от тех ассоциаций, которые раньше были с ним связаны. Но поскольку фокус и узел стали гиперболическими на моих глазах, то я знаю, как и почему это произошло (тогда как происхождение названий вроде полей, колец и групп мне неизвестно. Появились новые объекты — гиперболические множества (некоторое понятие о которых даётся в конце § ив, безусловно заслуживающие название гиперболических, и оказалось, что в ряде формулировок старые добрые положения равновесия типа узла и фокуса фигурируют наравне с этими новоявленными гиперболическими Соответствующее заклинание гласит для неё скорость приближения экспоненциальная, а в нашем случае — степенная § . Примеры фазовых портретов объектами и с привычными сёдлами. Вот и решили для сокращения формулировок считать узлы и фокусы тоже гиперболическими. Ещё раз их, как и сёдла, называют гиперболическими только тогда, когда их природа проявляется уже в линейном приближении, те. когда соответствующая линеаризованная система имеет узел, фокус или седло. Нелинейный фокус, который может существовать в системе () в том случае, когда у соответствующей системы линейного приближения () имеется центр, гиперболическим не называется. Замечание для студентов гиперболичны те положения равновесия, для которых собственные значения матрицы коэффициентов b c линеаризованной системы лежат вне мнимой оси. Качественное и количественное исследование поведения решений возле положений равновесия (необязательно гиперболических, прич м для систем как второго, таки большего порядка, а также исследование поведения решений возле замкнутых траекторий (нач м мы пока не останавливались и чего едва коснёмся в дальнейшем, составляет обширную и важную (как в теоретическом, таки в прикладном отношении) часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Эту часть называют локальной теорией. И не только обыкновенных на моих глазах возникло нечто аналогичное в теории уравнений с частными производными |