Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Упражнение. Вот простой пример сохранения одного из свойств f при малом возмущении, не требующий кодирования, а получающийся проще. Рассматривая график функции g 1 : → , накрывающей возмущенное отображение в том же смысле, в каком выше g(x) = 2x накрывает f , и его пересечения с графиками функций y = i + x, 0 i 2 k − 1, докажите, что g 1 имеет 2 k − 1 периодических точек периода и стало быть, бесконечное число периодических точек, имея ввиду таковые со всевозможными периодами). Прикладников, возможно, сказанное выше нив чём бы не убедило пример Бореля мог бы показаться чем-то далёким от реальных физических систем. На чистых же математиков осознание принципиальной возможности подобной ситуации должно было бы оказать существенное влияние. Но такое осознание произошло только в - е гг. и было связано с намного более трудными для исследования объектами. Впрочем, это не единственный пример упущенной возможности в истории науки Я уже упоминал (§ ), что путь, приведший нас к хаосу, начался с серии трудных работ Дж. Литтлвуда и М. Картрайт о неавтоном- ном уравнении ван дер Поля. Следующий шаг сделал Н. Левинсон (—), продемонстрировавший в г. аналогичные сложные явления на примере другого уравнения, оказавшегося более простым Вообще говоря, лебегова мера прообраза g −1 ( A) множества A отлична от меры. Правда, имеется некоторая абсолютно непрерывная мера, для которой меры множеств A и g −1 ( A) совпадают. Она отвечает некоторой мере в {0, 1} , но при нашем (слишком простом) способе кодирования последняя мера — уже не та мера, которая возникает в связи с бросаниями монеты (даже если монета неправильная и вероятности выпадания решки и орла различаются). Вероятно, самый яркий пример такого рода связан с открытием деления ядра урана. Его было бы легко обнаружить физическими методами. Но помешала деталь свинцовая пластинка была расположена неподходящим образом. И понадобились героические усилия радиохимиков. Когда же весть об открытии дошла до Колумбийского университета в США, физическими методами его проверили к концу того же дня § . Хаос для исследования и изложения соответствующего материала. Аза- вершение этого пути является заслугой С. Смейла. С. Смейл (р) — американский математик, лауреат Филдсовской премии, присуждаемой перед очередным Международным математическим конгрессом (в данном случае это был Московский конгресс г.). Первые работы Смейла относились к топологии, затем он переключился на динамические системы и, наконец, заинтересовался новым направлением, стоящим на грани математической логики — теорией сложности вычислений и доказательств. Не берусь судить о его вкладе в последнюю область, нов первых вклад был весьма значительным. Любопытно, что вначале Смейл наивно предполагал, будто фазовые портреты типичных динамических систем любого порядка похожи на фазовые портреты грубых систем Андронова—Понтрягина, в частности, будто у типичной системы все фазовые траектории стремятся к положениям равновесия и замкнутым траекториям, а число этих предельных траекторий конечно (и они гиперболичны). Но Левинсон сообщил Смей- лу о своей работе и о работах Картрайт—Литтлвуда, из которых видна ошибочность данного предположения. Другое возражение исходило от Р. Тома. Он указал такой диффеоморфизм замкнутой поверхности , что все близкие к нему диффеоморфизмы имеют бесконечное число периодических траекторий. (Одно из предыдущих упражнений, где говорится о возмущении растягивающего отображения окружности, напоминает замечание Тома в упрощенном до крайности, до карикатуры виде) Смейл непросто осознал свои ошибки, но, продумав движущие пружины» в примерах Левинсона и Тома, пошел намного дальше этих авторов. Данная история — яркий пример коллективного характера науки. Смейл нашел в г. сравнительно простую геометрическую конструкцию, демонстрирующую соответствующие явления ничуть не хуже и более удобным для восприятия образом, нежели дифференциальные уравнения у его предшественников. После этого и началась гиперболическая революция, в развитии которой Смейл сыграл ведущую роль. Довольно быстро вспомнились другие пути, Р. Том (—) — французский тополог, лауреат Филдсовской премии г. Пояснение для подготовленных читателей это был гиперболический автоморфизм двумерного тора. Моему соотечественнику будет небезынтересно узнать, что едва лине главные публичные выступления Смейла на эту тему состоялись в бывшем СССР. Первое сообщение о своей конструкции он сделал в г. на Международной конференции по нелинейным колебаниям в Киеве, а на Московском конгрессе гон говорил уже обо всей новой системе гиперболических взглядов — теперь это былине примеры, а систематическая теория. Кое-что из неон сообщил годом раньше на одной из конференций в Америке (там уже появилось общее понятие гиперболического множества), но в его московском докладе было сказано намного больше § . Хаос которые, как стало ясно, тоже велик хаосу. Почему-то при этом о растягивающем отображении окружности вспомнили в последнюю очередь. Если отсчитывать возраст хаотической динамики с г, то сейчас ей подлет. Для человека это зрелый возраст, нов науке такой возраст — это обычно ещё молодость, хотя и не первая. Хаотическая динамика переживает период свойственного молодости быстрого роста. Но и регулярная динамика в свои если считать от древних греков — система Птолемея!) или если считать от Ньютона) лет не теряет темпов. Всё-таки человеку почти всегда нужны регулярные движения, да ив природе царит не один только хаос Предметный указатель Автоколебания — хаотические Векторное поле Гармонический осциллятор гиперболическая замкнутая траектория гиперболическое множество положение равновесия Динамическая система дифференциальное уравнение, — — автономное — — линейное однородное — — — — с постоянными коэффициентами — —, порядок — —, сведение к системе Качественная теория дифференциальных уравнений квазимногочлен кодирование колебания вынужденные — свободные критерий Коши Линейный дифференциальный оператор Математический маятник мера Начальное значение — условие неоcoбая точка неподвижные точки Оcoбая точка оператор эволюции системы отображение сдвига — — повремени Полнота положение равновесия полутраектория отрицательная положительная последовательность Коши поток предельный цикл Разбегание траекторий (экспоненциальное) растягивающие отображение окружности резонанс Седло , сепаратриса сепаратрисный цикл система дифференциальных уравнений — — —, грубая структурная устойчивость Теория вероятностей — Пуанкаре—Бендиксона Предметный указатель типичность топологическая эквивалентность траектория гиперболическая замкнутая — периодическая — фазовая Узел — вырожденный — дикритический уравнение ван дер Поля — Рэлея Фазовая плоскость — скорость — точка фазовый портрет , фокус формула Эйлера фундаментальная последовательность Центр , Экспонента в комплексной области — по Эйлеру Дмитрий Викторович Аносов : , Подписано в печать .. г. Формат 70 × 100 / . Бумага офсетная № Печать офсетная. Печ. л. ,. Тираж экз. Заказ Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, д. . Тел. () Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП Типография Наука, Москва, Шубинский пер, Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга», Большой Власьевский пер, д. . Тел. () ––. E-mail: biblio@mccme.ru |