Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва

• Название: Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
• Дата: 20.12.2018
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: anosov.pdf
• Тип: Книга; #61083
• страница: 11 из 14

§ . Автоколебания
То, что при наличии трения колебания со временем затухают,
представляется физически очевидным. Можно представить себе обратный процесс — в систему всё время поступает дополнительная энергия (источник которой может быть встроен в саму систему,
а может и быть внешним. Если без такого поступления физическая система описывалась системой вида (), а поступление энергии связано (в механическом варианте) с действием силы, пропорциональной фазовым координатами, то математическое описание системы с подкачкой энергии по-прежнему даётся некоторой линейной системой вида (), только с изменёнными коэффициентами.
При достаточно большой подкачке энергии колебания в системе будут, наоборот, возрастать ив частности, положение равновесия станет неустойчивым. Но если физически вполне осмысленно говорить о неограниченном затухании колебаний в системе, то их неограниченное нарастание физически невозможно. В крайнем случае система сломается или сгорит, что, конечно, отнюдь не входит в расчёты создателей технических устройств. В более умеренном варианте происходит следующее при достаточном размахе колебаний диссипация энергии возрастает настолько, что она полностью компенсирует поступление энергии извне и нарастание колебаний пре- кращается.
Но это может произойти только в нелинейной системе. Если,
скажем, поступление энергии пропорционально x и y, а диссипация нелинейно зависит от x и y, то вполне может случиться, что при малых x, y перевешивает поступление энергии и колебания нарастают, а при больших x, y перевешивает диссипация и колебания затухают. Кажется правдоподобным, что тогда в системе со временем поступление энергии и её поглощение уравновешиваются,
и в системе устанавливается колебательный режим с колебаниями какой-то средней амплитуды. Никакие внешние факторы не предопределяют периодического внешнего воздействия на систему,
а между тем в системе устанавливается колебательный режим. Не было бы ничего особенного, если бы он установился под действием внешнего воздействия, периодически изменяющегося со временем
(это были бы знакомые нам вынужденные колебания, нов данном случае это не так колебательная система, так сказать, сама решает


§ . Автоколебания колебаться и сама себе устанавливает параметр колебаний (их размах и период)».
Андронов предложил для таких колебательных процессов название
автоколебания, которое стало общепринятым, поскольку оно указывает на важнейшую особенность — колебания возникают в самой системе, а не навязываются внешним воздействием. К этому надо ещё раз добавить, что автоколебания — это явление, которое принципиально нелинейно и принципиально неконсервативно (энергия при этом как бы протекает через систему, поступая из встроенного вне источника энергии или откуда-то извне и отчасти превращаясь в тепло вследствие диссипативных процессов, отчасти совершая некоторую полезную работу).
Мы на каждом шагу встречаемся с автоколебательными системами, начиная с нашего собственного сердца. Автоколебаниями являются звучание скрипки или менее музыкальный скрип двери, автоколебательными системами являются часы. Конечно, математическое описание всех этих систем довольно сложно. Мы рассмотрим только одно простейшее дифференциальное уравнение, описывающее автоколебания уравнение ван дер Поля + k(x
2
− 1)˙x + ω
2
x = Б. ван дер Поль (—) — голландский радиоинженер и прикладной математик. В ряде математических работ носящее его имя уравнение либо специально изучалось, либо фигурировало в качестве одного из главных примеров применения тех или иных результатов более или менее общего харак- тера.
Одну из последних услуг математике уравнение () оказало, когда в  г. исследовательское подразделение по радио английского департамента научных и технических исследований разослало английским учёным меморандум, где рекомендовало исследовать некоторые нелинейные дифференциальные уравнения, связанные с радиотехникой. В том числе было указано (не без подсказки со стороны ван дер Поля, что интерес представляет неавтономное уравнение + k(x
2
−
1) ˙
x + ω
2
x = bk cos отличающееся от () тем, что вместо нуля в правой части стоит выражение типа a cos νt. При последующем обмене мнениями ван дер Поль указал, что особый интерес представляет изучение этого уравнения в определённой области значений параметров k, ω, b, Ответом явилось обширное исследование, проведенное Дж. Литтлвудом
(—) и М. Картрайт (—) и опубликованное в нескольких статьях, начиная с г. Не знаю, принесло ли это пользу английской радиотехнике, но математике принесло — с исследования Литтлвуда и Картрайт

§ . Автоколебания

начался путь к хаосу (не в переносном, а в буквальном смысле — начался цикл работ, приведших к открытию и исследованию движений хаотического характера в динамических системах. Это не единственный путь, ведущий к хаосу. В §  я расскажу о другом, куда более лёгком путина который вполне можно было вступить вначале века, нона который тогда не обратили внимания. На трудном же путина который вступили Литтлвуд и Картрайт не без совета ван дер Поля, движение порой надолго приостанавливалось, но он мне забывали, и именно они привёл нас к хаосу.
Сам ван дер Поль предложил уравнение () для описания работы лампового генератора радиоколебаний, но оно вообще хорошо отражает особенности простейших случаев автоколебаний (в связи с чем оно бегло упоминалось и до ван дер Поля, см. ниже. Применительно к ламповому генератору нелинейность уравнения (вызвана несколько иной причиной, нежели в общих разговорах»
выше — она обусловлена нелинейной зависимостью тока, идущего через электронную лампу, от напряжения на её управляющей сетке.
Формально это относится к простейшей электронной лампе — триоду. Однако в классической Теории колебаний А. А. Андронова, А. А. Витта (—
) и С. Э. Хайкина (—) обсуждению математических свойств уравнения) посвящено меньше места (там, правда, отмечено только самое главное, чем обсуждению применимости этого уравнения для описания процесса генерации радиоколебаний. Оказывается, оно не очень-то применимо к генератору с триодом, потому что у триода имеются внутренние степени свободы и его работа отнюдь не сводится к тому, что при таком-то напряжении на сетке через него идёт такой-то ток. Впрочем, по той же самой причине генератор с триодом сочли неудовлетворительными он был заменён генератором с более сложно устроенной радиолампой — пентодом. Сложность пентода в основном направлена на то, чтобы подавить внутренние степени свободы лампы, поэтому, хотя это и может показаться парадоксальным, работа генератора с пентодом лучше описывается сравнительно простым уравнением, чем работа генератора с более простым триодом. Интересы математического описания в данном случае совпали с интересами техники пентод описывается проще, а работает лучше триода.
Физическое понимание автоколебаний (тогда ещё без этого названия) было отчётливо высказано во второй половине XIX века
Дж. У. Рэлеем (—) — английским физиком, с именем которого связано, в частности, формирование теории колебаний как самостоятельного научного направления. Первое издание его «Теории

Диапазон научных интересов Рэлея был весьма широк, причём он одинаково успешно проявил себя и как экспериментатор, и как теоретик. Широкой публике более всего известно открытие Рэлеем совместно с химиком У. Рамзаем (—) первого


§ . Автоколебания звука — фактически теории не только звука, но и вообще колебаний вышло в — гг. В § a Теории звука Рэлей, отметив, что колебания, описываемые уравнением ¨
x − k ˙x + ω
2
x = 0, при > 0 возрастают (имеет место не диссипация, а подкачка энергии в систему, продолжал Вскоре, конечно, достигается момент, за которым. уравнения перестают быть справедливыми. Мы можем составить себе представление о том, как будет обстоять дело в этом случае, если прибавим к уравнению. член, пропорциональный более высокой степени скорости, каковой член он взял кубическим.
Полученное уравнение − k ˙x + l ˙x
3
+
ω
2
x = теперь таки называют уравнением Рэлея. Здесь k и l положительны именно при таких знаках при малых ˙
x колебания возрастают,
а при больших убывают. Относительно () Рэлей ограничился тем,
что в предположении малости k и l указал приближённое выражение для периодического решения.
Как видно, если ван дер Поль предложил своё уравнение для математического описания работы реального устройства — радиоколеба- тельного контура с электронной радиолампой, — то Рэлей предложил своё уравнение, так сказать, умозрительно. Возможно, это было связано стем, что автоколебательные системы, которые его реально интересовали, описывались дифференциальными уравнениями третьего порядка (электрический звонок) или даже уравнениями с частными производными (струна, колебания которой возбуждаются смычком).
Правда, он упоминали об одной системе, где достаточно уравнения второго порядка (колебания маятника, качающегося на вращающемся валу, но упоминал вскользь, даже не выписывая дифференциальных уравнений (они в этом случае отличны от ()) и довольствуясь только указанием на принципиальную природу явления. Возможно,
такое его отношение к этой системе было опять-таки связано с тем,
что она не имела практического значения, будучи не более чем демонстрационным устройством, в отличие от электрического звонка или струны. Впоследствии, правда, оказалось, что аналогичная система описывает некоторые явления в электротехнике, но это было намного позднее.
В известной степени ван дер Полю и Андронову повезло, что такая популярная в их время автоколебательная система, как радиогенера- торс электронной лампой, хорошо описывается дифференциальным инертного газа, аргона. Инициатива исходила от Рэлея, а вот в открытии других инертных газов, из коих наиболее известен гелий, он уже не участвовал

§ . Автоколебания

уравнением второго порядка. Известны и другие автоколебательные системы, описываемые автономными системами () с n = 2, нора- диогенератор сыграл в своё время основную стимулирующую роль.
Подробное исследование систем второго порядка дало хорошую подготовку для подхода к системам с n > 2. Автоколебательных систем сне просто много, но, как мне кажется, системы, которые теперь вызывают наибольший интерес, как раз таковы.
Насколько я могу судить, для реалистического описания полупроводниковых колебательных систем нужна система дифференциальных уравнений по крайней мере третьего порядка. Тот же порядок требуется для описания работы электрического звонка (на него обратил внимание ещё Рэлей, а реалистическая математическая модель механических часов — это уже система четвёртого порядка. Струна,
колебания которой возбуждаются смычком — это одна из систем с распределёнными параметрами. Описание таких систем требует уравнений с частными производными

И какой сюрприз оказывается, умозрительное уравнение Рэлея) равносильно уравнению ван дер Поля (), имеющему вполне
«материальное» — радиотехническое — происхождение!
Я объясню, почему ив каком смысле эти два уравнения равносильны,
но сперва приведу их к более удобному виду. При этом временно примем обозначение u для неизвестной в уравнении ван дер Поля, чтобы не путать ее с неизвестной в уравнении Рэлея. В уравнении ван дер Поля мы избавимся от коэффициента
ω
2
аналогично тому, как это делалось с уравнением гармонического осциллятора. Как ив том случае, введем новую независимую переменную t
1
=
at, где a — константа, которую надо подобрать так, чтобы избавиться от. Разделив левую часть () (в которой мы теперь пишем вместо x) на a
2
, отчего она не перестанет быть равной нулю, получим = Приняв a = ω, мы добьемся того, чтобы при последнем слагаемом здесь не было множителя. Вместо константы k теперь в уравнении придется использовать новую константу k
1
=
k
a
. Наконец и. Обозначая отныне
«новое время прежней буквой t и соответственно обозначая дифференцирование поэтому времени точкой, а обозначая снова через k, приходим к уравнению + k(u
2
−
1)˙
u + u = Математическое исследование работы часов было подробно проведено в школе
Андронова, особенно Н. Н. Баутиным (Изучение автоколебаний систем с распределёнными параметрами тоже было начато в школе Андронова.


§ . Автоколебания
Что же до уравнения Рэлея, то его чаще записывают в виде + k
˙
x
3 3
−
˙
x + x = В () коэффициенты содержат всего одну константу k играющую роль физического параметра колебательной системы, а не три (k, l и ω), как в (Переход от () к () сводится к введению новых переменных t
1
=
at это новая независимая переменная, производную по которой мы будем временно обозначать штрихом, чтобы отличать ее от производной по прежней независимой переменной t) и x
1
=
bx; константы a и b будут специально подобраны.
Умножив левую часть () на b и разделив на a
2
, получим ¨
x
a
2
−
k
a
b ˙
x
a
+
l
b ˙
x
3
a
2
+
ω
2
a
2
bx = Первое, второе и четвертое слагаемые суть и. Чтобы последнее слагаемое сводилось к x
1
, надо взять a = ω. Во втором слагаемом
k
a
(т. е.
k
ω
)
надо принять за новую константу k
1
. Нам желательно, чтобы третье слагаемое приняло вид 3
˙
x
3 1
. Переписав его в виде ˙
x
a
3
, видим, что b надо взять таким, чтобы было где, как мы решили, a = ω), те При таких a ив терминах новых переменных получится уравнение (с новой константой вместо k). Далее мы обозначаем и снова через, x и k и, соответственно, дифференцирование по независимой переменной вновь обозначается точкой).
Переход от () к () до смешного прост надо только обозначить ˙
x через и посмотреть, какое получится уравнение для u. Продифференцируем уравнение Рэлея () (те. продифференцируем по t его левую часть и приравняем производную нулю. Коль скоро левая часть () тождественно по равна нулю, то и её производная тоже. Получится, что u удовлетворяет уравнению) (проверьте!).
В § , исследуя свойства решений уравнений второго порядка, мы переходили от них к системам двух уравнений, что позволяло привлекать геометрию и говорить о фазовом портрете. Также мы поступим и на сей раз. С уравнениями) и () связаны системы = y,
˙
y =
−
x + k y
−
y
3 и = v,
˙
v =
−
u + Рази) равносильны, то, конечно, системы () и () тоже должны быть равносильны. Но кажется несколько неожиданным, что переход от одной из этих систем к другой можно осуществить просто с помощью замены переменных, описываемой несложными алгебраическими формулами

§ . Автоколебания

а привлекать неалгебраическую операцию дифференцирования при этом не нужно.
Мы знаем, что если взять u(t) = ˙
x(t), где x(t) является решением (а значит и первой координатой решения z(t) = (x(t), y(t)) системы (), то будет удовлетворять уравнению (), а значит будет первой координатой решения) системы (). Из () ˙
x = y, так что u = y. А согласно, так что) = (u(t), v(t)) = ( ˙
x(t), ¨
x(t)) = ( y(t), Наконец, согласно второму из уравнений () ˙
y(t) выражается через и y(t) по формуле ˙
y =
−
x + k y
−
y
3 3
. Мы приходим к выводу, что при замене переменных = y,
v =
−
x + k y
−
y
3 из решения z(t) = (x(t), y(t)) системы () получается решение w(t) =
=
(
u(t), v(t)) системы (Упражнение. Покажите, что замена переменных () обратима, те. и y можно, в свою очередь, выразить через u и v с помощью алгебраических формул (столь же несложных. Проверьте, что при этом из решения) = (u(t), v(t)) системы () получается решение z(t) = (x(t), y(t)) системы (Упражнение. Нельзя ли аналогичным образом перейти от уравнения Рэлея к уравнению ван дер Поля, те. не существует ли такой замены переменной, что если x(t) — решение (), то u(x(t)) будет решением (Упражнение. При прежнем переходе от () к () остался открытым вопрос, всякое ли решение второго уравнения можно получить таким способом Используя переход от () к () и обратно с помощью замены переменных) и обратной к ней замены, покажите, что ответ на этот вопрос положительный.
Вообразим два экземпляра и плоскости, считая первый из них образованным всевозможными парами чисел (x, y), а второй — (u, Формулы () определяют взаимно однозначное соответствие между и причем из формул видно, что оба отображения : (x, y)
→
(
u, v) (определяемое формулами ()) и обратное к нему отображение : (u, v)
→
(
x, определяемое формулами, найти которые было предоставлено читателю)
являются гладкими. Это выражают словами отображения и ψ суть диф- феоморфизмы плоскостей 1
,
2 В будем рассматривать (нарисуем) поле фазовых скоростей, отвечающее уравнению Рэлея () длят. е. поле, в котором точке (x, y) сопоставлен вектора в 2
— поле фазовых скоростей,
отвечающее уравнению ван дер Поля (), те. поле g(u, v) = (v,
−
u + k(1
−
−
u
2
)
v). Мы видим, что если точка z = (x, y) в движется согласно системе дифференциальных уравнений ˙z = ( ˙
x, ˙
y) = f (x, y) (это система ()), то


§ . Автоколебания точка w = (u, v) = ϕ(x, y) движется согласно системе ˙
w = (˙
u, ˙
v) = g(u, v) (это система ()). Обратно, если (u, v) движется согласно второй системе, то, y) = ψ(u, v) движется согласно первой системе. В связи с этим говорят,
что диффеоморфизм
ϕ переводит векторы f (x, y) в векторы g(u, v) (где подразумевается, что (u, v) = ϕ(x, y)) и что в этом смысле он переводит векторное поле f в векторное поле g, а ψ, обратно, переводит векторное поле g в векторное поле f На сказанное можно посмотреть еще итак. Можно считать, что с помощью формулы (u, v) = ϕ(x, y) мы вводим новые координаты в плоскости 1
, в которой первоначально использовались координаты (x, y). (С равным правом можно сказать, что с помощью формулы (x, y) = ψ(u, v) мы вводим новые координаты в 2
.) Тогда получается, что системы ( ˙
x, ˙
y) = f (x, и (˙
u, ˙
v) = g(u, v), отвечающие, соответственно, уравнениям Рэлея иван дер
Поля, — это одна и та же система, записанная в различных координатах.
(Можно было бы сразу установить последнее, написав формулы, выражающие) и (u, v) друг через друга, и посмотрев, как связаны ( ˙
x, ˙
y) и (˙
u, Но эти формулы выглядели бы никак немотивированными, взятыми с потолка, а приведенные ранее рассуждения объясняют происхождение формул для и На риса очень схематично показано направление вектора фазовой скорости для системы () (связанной с уравнением Рэлея, а на рис.  б для системы () (связанной с уравнением ван дер Поля. На этих рисунках мы обращаем внимание только на то, направлен ли этот вектор вверх или вниз, направо или налево. Поэтому там изображена также кривая Γ, в точках которой он горизонтален. На риса имеет уравнение x = k y
−
y
3 3
, на рис.  б — уравнение v =
u
k(1 − u
2
)
. Вместе с осью x на верхнем рисунке и с осью u на нижнем — в точках этой оси вектор фазовой скорости вертикален кривая Γ делит фазовую плоскость на четыре области, различающиеся знаками скоростей изменения координат. Например, на верхнем рисунке в части верхней полуплоскости, расположенной справа от Γ, ˙
x = y > и ˙
y =
−
x + k y
−
y
3 3
< 0 (ведь если точка (x, y) расположена справа от тов этой точке координата x больше, чем в точке кривой Γ стем же На рис. столь же схематично изображены соответствующие фазовые портреты.
Для теоретического исследования качественного характера поведения траекторий (в основном для приводимого ниже доказательства существования замкнутой траектории и опущенного доказательства ее единственности)
той информации о движении фазовых точек, которая отражена на этих рисунках, вполне достаточно. Ноу читателя может (пожалуй, даже должно)
возникнуть желание посмотреть не на схематичные, а на более или менее точные изображения траекторий. На риса изображен фазовый портрет для системы () c k = 1, а на рис. б — фазовый портрет для системы ()

§ . Автоколебания

а)
б)
Рис. . Строение векторного поля для уравнений Рэлея (аи ван дер Поля (б)
а)
б)
Рис. . Эскизы фазовых портретов для уравнений Рэлея (аи ван дер Поля (б)
с k = 1. В обоих случаях траектории навиваются на некоторую замкнутую кривую, которая сама является траекторией и, как будет сказано ниже,
называется предельным циклом. Когда фазовая траектория, навивающаяся на предельный цикл, подходит к нему достаточно близко, на рисунке их изображения сливаются.
Мне кажется, что фазовые портреты для системы () выглядят чуть более причудливо, нежели для системы () — видимо, из-за изгибов траекторий.
Однако это не мешает диффеоморфизму
ϕ переводить фазовый портрет системы) в фазовый портрет системы () (те. траектории первой системы в траектории второй


§ . Автоколебания
а)
б)
Рис. . Точные фазовые портреты уравнений Рэлея (аи ван дер Поля (б)
У меня был выбор — писать ли о системе () или о (). После некоторых колебаний я остановился на последней. Должен отметить,
что часто предпочитают иметь дело с () (хотя имеются важные исследования, посвящённые непосредственно () и ()) и что при этом имеются более изящные обоснования приводимых ниже утверждений о свойствах этой системы (а тем самыми о свойствах (нежели приводимые мной для () (не говоря уже о том, что я кое-что оставлю без доказательства. Но хотя в литературе соответствующие рассуждения выглядят не длиннее, мне кажется, что в книжке такого характера, как эта, они потребовали бы дополнительных разъяснений и места.
Что же до приводимых ниже доказательств, то учащемуся может оказаться небесполезным посмотреть, как довольно-таки неопреде- лённые соображения обретают статут строгого рассуждения. Последнее слагается из нескольких шагов, одни из которых более или менее непосредственным образом оформляют те или иные из предыдущих высказываний, другие там не отражены, носами по себе представляются вполне естественными. В целом переход к строгому рассуждению обладает известной универсальностью — примерно также бывает нужно действовать ив других случаях. (Хотя, не спорю, это оформление можно вежливо квалифицировать как «прямолинейное»,
а менее вежливо — как «тупое».)
В конечном счете речь будет идти об общих свойствах фазового портрета, не меняющихся при переходе к другим переменным
(говоря точнее — к фазовому портрету той же системы на плоско

§ . Автоколебания

сти других переменных. Поэтому наши окончательные заключения будут справедливы и для системы (). (К несколько причудливым изгибам траекторий это не относится — они исчезают при переходе от () к ().) Однако непосредственно, как уже сказано, мы будем рассматривать только (Поскольку больше я не буду говорить о (), я заменю u ив (освободившимися буквами x итак что речь будет идти о системе = y,
˙
y = −x + k(1 − Когда мы рассматривали систему (), мы говорили, что вектор, −x) в точке (x, y) касается проходящей через неё окружности с центром в O, а из-за добавления к нему вектора (0, −ky) вектор фазовой скорости системы () во всех точках этой окружности
(кроме двух её точек, лежащих на оси абсцисс) направлен внутрь не. В правой же части () к вектору ( y, −x) добавляется вектор − x
2
)
y). Как ион имеет вертикальное направление,
но иногда оно совпадает с направлением вектора (0, y), а иногда противоположно ему. В тех точках z = (x, y), где |x| < 1, направление вектора (0, k(1 − x
2
)
y) совпадает с направлением вектора (0, так что при |x| < 1 в верхней полуплоскости вектор (0, k(1 − направлен вверх, а в нижней — вниз. В тех же точках z = (x, где |x| > 1, направление вектора (0, k(1 − x
2
)
y) противоположно направлению вектора (0, y). Значит, при |x| < 1 вектор фазовой скорости f (x, y) = ( y, −x + k(1 − x
2
)
y) системы () образует острый угол с радиус-вектором (x, y), те. направлен вовне проходящей через, y) окружности C с центром в O(0, 0), а при |x| > 1 вектор f (x, образует тупой угол с радиус-вектором, те. направлен внутрь В первом случаев точке z траектория выходит наружу из области,
ограниченной C, а во втором — входит внутрь этой области.
Начало координат O является положением равновесия (при x =
=
y = 0 правые части () обращаются в нуль, а других положений равновесия нет (проверьте. Как ведут себя траектории возле O? Когда положительное число r меньше 1, то во всех точках окружности радиуса r с центром в O траектории выходят наружу из круга, ограниченного. Мало сказать, что положение равновесия O — неустойчивое. Седло тоже неустойчиво, но возле седла большинство траекторий проходит мимо него — сперва приближаются, потом удаляются.
В нашем же случае некоторый круг с центром в O целиком заполнен траекториями, выходящими из O. (Формально мы, может быть, это


§ . Автоколебания гоне доказали до конца, но после сказанного это представляется достаточно ясным в наглядном отношении) В связи с этим говорят,
что O является источником. Спрашивается, куда идут точки как выходящие из O, таки иные, если они есть) при возрастании имеется ли в нашей системе стоки если да, то каков он?
Разобраться в этом было бы легче, если бы вместо () речь шла о похожей системе = y,
˙
y = −x + k(1 − x
2
− В этом случае при r < 1 вектор фазовой скорости f (x, y) направлен вовне окружности C
r
(по-прежнему образованной точками z с |z| = а при r > 1 — внутрь неё (почему. Исключение представляют точки r, 0), где f касается C
r
. Однако при r < 1 траектория, касающаяся
C
r
в такой точке, всё-таки подходит к изнутри и сразу же выходит вовне, а при r > 1 траектория, касающаяся окружности, всё-таки входит внутрь неё.
Окружность единичного радиуса сама является траекторией
(почему?), причём это замкнутая траектория. Траектории, выходящие из источника O где у системы (), как и у (), имеется положение равновесия, навиваются изнутри на окружность C
1
, а траектории, приходящие из бесконечности, навиваются на C
1
извне
(рис. ). В связи с этим говорят, что данная окружность является
стоком.
А. Пуанкаре

назвал замкнутую траекторию, на которую (хотя бы с одной стороны) навиваются другие траектории, предельным
циклом.
Почему предельным, не нуждается в пояснении. Что же касается слова цикл, то его первоначальный смысл — окружность. Поскольку замкнутые кривые — это как бы деформированные окружности, в математике их

Доказали или нет — это зависит оттого, сколь много мы согласны оставить между строк. В научных статьях между строк оставляют гораздо больше, вначале учебника для второго курса — пожалуй, чуть меньше.

Название, конечно, связано с гидродинамической аналогией из § Будучи крупнейшим математиком своего времени, Пуанкаре (—) явился основоположником нескольких новых научных направлений, включая качественную теорию дифференциальных уравнений. Её основы он заложил в четырёх мемуарах под общим названием О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями»,
опубликованных в — гг. Позднее он вернулся к качественной теории в связи с небесной механикой (наукой о движении небесных тел, как естественных, таки (теперь) искусственных).
Пуанкаре активно интересовался физикой и фактически был одним из создателей специальной теории относительности, по крайней мере её математического аппарата.
(Насколько полно он понимал её физическую сторону — в этом можно усомниться

§ . Автоколебания

Рис. тоже часто называют циклами. (Вне математики употребительны словосочетания вроде циклический процесс, который тоже подразумевает не наличие какой-то окружности в буквальном смысле слова, апериодическое повторение этого процесса, наподобие периодического повторения одних и тех же точек замкнутой кривой при движении по ней.)
Я должен предупредить студента-математика, что в литературе (по которой ему, может быть, придётся сдавать экзамен) под предельным циклом»
иногда понимают замкнутую траекторию, сколь угодно близко к которой проходят незамкнутые траектории. Если правые части рассматриваемой системы являются аналитическими функциями от (x, y), оба варианта понятия
«предельный цикл совпадают, но даже при бесконечно дифференцируемых правых частях второй вариант является более широким.
В теории Пуанкаре—Бендиксона (§ ) предельные циклы являются важными компонентами данного Пуанкаре (итак сказать, упорядоченного и разложенного по полочкам И. Бендиксоном (описания возможных типов поведения траекторий на фазовой плос- кости.
Вернёмся к физически более осмысленной системе () и посмотрим, что происходит на окружности большого радиуса R с центром в O. Часть попадает в вертикальную полосу −1
x
1; эта часть состоит из двух дуг в верхней полуплоскости ив нижней. На этих дугах вектор f направлен вовне C
R
, а на двух других дугах, где > 1, он направлен внутрь C
R
. Если бы дуг
δ
1
,
δ
2
не было, траектории входили бы в кольцеобразную область G, ограниченную снаружи


§ . Автоколебания окружностью C
R
, а изнутри окружностью C
r
, и вроде бы им там ничего не оставалось бы делать, как навиваться снаружи на некоторую замкнутую кривую и навиваться изнутри на некоторую замкнутую кривую ведь положений равновесия, к которым они тоже могли бы стремиться, в G нет. Эти L
1
, сами суть траектории (почему?).
Из одного того факта, что траектории входят вина что-то там навиваются, никак не следует, что L
1
=
L
2
, но при известном оптимизме можно надеяться, что в нашем случае это будет таки тогда намечается картина, аналогичная фазовому портрету системы (одни траектории выходят из O, другие приходят из бесконечности, и все они (кроме, конечно, положения равновесия O) навиваются на некоторый предельный цикл Это прекрасно соответствует общим представлениям об автоколебаниях при любом начальном значении z(0) = (0, 0) решение z(t) со временем становится неотличимым от периодического решения, отвечающего замкнутой траектории L; в системе устанавливаются периодические колебания, причём одни и те же при любом начальном состоянии системы. Таким образом, математическое описание автоколебаний доставляется предельными циклами.
Примерно тогда же, когда в физике Рэлей отметил принципиальные особенности тех колебательных процессов, которые мы теперь называем автоколебательными, в математике на предельные циклы обратил внимание А. Пуанкаре. Но только А. А. Андронов сопоставил в  г. автоколебания и предельные циклы. Теперь это воспринимается как прописная истина. Кажется, живи я тогда, я бы сразу до этого додумался. Но ведь предшественники Андронова — Рэлей, Пуанкаре иван дер Поль — были людьми неглупыми, образованными и не без способностей (дай бог каждому, а вот о прописной истине»
не знали.
Говоря, что автоколебания математически отображаются предельными циклами (а при n > 2 — замкнутыми траекториями L, притягивающими к себе другие решения, по крайней мере решения,
начальные значения которых находятся в некоторой области практически довольно большой области, содержащей, Андронов

Механические часы надо встряхнуть, чтобы они пошли. Значит, в соответствующем фазовом пространстве имеются траектории, которые не стремятся к замкнутой траектории L, соответствующей нормальному ходу часов. И это не только положение равновесия z
0
, соответствующее стоящим часам. Новое начальное значение, получающееся при встряхивании часовне так уж близко к z
0
. А решение со слишком близким к начальным значением стремится к z
0
— балансир или маятник чуть поколеблется,
часы могут несколько раз «тикнуть», а потом остановятся

§ . Автоколебания

имел ввиду известные в его время регулярные автоколебания. Надо сказать, что при n > 2 в системах, в которых диссипация энергии сочетается се постоянным притоком из какого-то источника, могут устанавливаться и режимы совсем иного типа — «стохастические»
или хаотические автоколебания. Крайне упрощённому примеру такого рода, который далёк от реальных физических систем, но демонстрирует математическую сторону дела (если не всю, то по крайней мере заметную и важную её часть, посвящён § . Однако человек в своей практической деятельности почти всегда заинтересован не в хаотических автоколебаниях, а в регулярных, которые и реализуются в реальных технических устройствах, создаваемых на базе богатого опыта и теоретических исследований.
В известном рассказе М. Твена о том, как он ремонтировал свои часы,
описан режим хаотических автоколебаний, достигнутый его часами после нескольких некомпетентных ремонтов. (Хаотичность проявлялась в том, что часы, хотя они и тикали как нормальные, непредсказуемым образом то спешили, то отставали) Там же описано, насколько такой режим не соответствует требованиям пользователя — герой рассказа убил очередного часовых дел «мастера».
В реальной жизни Н. Н. Баутин рассказывал историю с хаотической работой часов, завершившуюся более благополучно. Он пришёл к выводу, что при некоторых значениях параметров в его математической модели часов возникает режим хаотических автоколебаний. Инженеры, работавшие в часовой промышленности, отнеслись к этому выводу недоверчиво мол, так не бывает если анализ модели был правилен (они не пытались оспаривать математическую компетентность Баутина), то, значит, его модель не соответствует реальной физической системе (по крайней мере, соответствует не при всех значениях параметров, рассматривавшихся Баутиным). И каково же было их удивление, когда в один прекрасный день они нашли сломанный хронограф, работавший в соответствии стем, о чём говорил Баутин! Happy end: Баутина, конечно, не только не убили, но его авторитет заметно вырос...
После этого длительного отступления отметим, что при исследовании системы () мы несколько поторопились, отмахнувшись от

Хронограф — это прибор для точной регистрации момента времени какого-либо события. В то время это был механический хронограф, в котором запись момента времени события производилась при помощи специальных перьев на равномерно движущейся бумажной ленте. Часовой механизм и должен был обеспечивать её равномерное движение. Если я правильно понял, этот механизм, как и часы М. Твена,
непредсказуемым образом менял свою скорость работы, причём изменения происходили чаще и были заметны «невооружённым глазом — скорость менялась в два раза,
если не больше


§ . Автоколебания дуг. Пора принять их во внимание. Оказывается, аккуратное рассуждение приводит почти к тем же заключениям, что и выше,
только область G надо ограничить снаружи не окружностью а несколько иной замкнутой кривой C
′
. (Изнутри же её по-прежнему ограничивает C
r
.) Откуда берётся C
′
, я объясню на пальцах в основном тексте и строго — в петите. Ноя не буду объяснять другого почему в G имеется только одна замкнутая траектория (на которую,
стало быть, входящие в G траектории наматываются и снаружи,
и изнутри)

Начнём с того, что движение фазовых точек в верхней полуплоскости всюду направлено слева направо, те возрастает (ведь = y > 0), и чем выше, тем быстрее, а полоса −1
x
1 не такая уж широкая. При большом R дуга находится высоко, и возникает надежда, что пока покинувшая её при t = 0 точка z(t) пересекает эту полосу, |z(t)| не успевает сильно увеличиться. А после этого движется в области, где x(t) > 1, и там как y(t), таки убывают.
Можно ожидать, что со временем z(t) опустится на положительную горизонтальную полуось, те. в какой-то момент времени t = a координата) впервые (после момента 0) обратится в нуль. Можно,
далее, надеяться, что за это время |z(t)| когда-то — скажем, при каком-то t = b, где 0 < b < a, — сравняется со своим первоначальным значением |z(0)| = R после чего траектория всё-таки войдёт внутрь Правда, быстрое уменьшение y и |z| происходит, когда x и велики, а тогда y убывает очень быстро (как видно из уравнения = −x + k(1 − x
2
)
y, при больших x и y скорость уменьшения y порядка x
2
y), так что времени для существенного уменьшения |z| не так уж много. Но ведь y надо уменьшиться от величины порядка или даже больше в той точке, где z(t) пересекает вертикаль x = вторая координата y(t) =
|z(t)|
2
− 1
R
2
− 1) до нуля, а насчёт
|z| нам надо удостовериться в меньшем — нам надо только, чтобы уменьшение величины |z|, происходящее при x(t) > 1, компенсировало бы то (сравнительно небольшое) увеличение |z(t)|, которое произошло, пока точка z(t) пересекала полосу −1 x Это первое (после общих сведений в § ) серьёзное место, где я не доказываю,
а рассказываю. Доказательство, по существу, связано с важной общей концепцией устойчивости (на сей раз устойчивости не положения равновесия, чего мы очень бегло коснулись выше, а замкнутой траектории, а для её приложения к системе () нужны специальные рассуждения, использующие специфические свойства этой системы. И то,
и другое поучительно, но при принятом здесь стиле неторопливого повествования потребовало бы слишком много места

§ . Автоколебания

Итак, примем на веру, что если R достаточно велико и если фазовая точка z(t) покидает при t = 0 дугу δ
1
, то вовремя движения этой точки в той области, где y > 0 и x > 1, величина |z(t)| уменьшится до R. Рассмотрим решение z
1
(
t) = (x
1
(
t), y
1
(
t)) системы (), начальная точка которого z
1
(0) является самой левой точкой дуги, те. Имеется (как мы думаем) такой момент времени, что > R при 0 < t < b,
|z
1
(
b)| = R,
y
1
(
t) > 0 при Заметим, далее, что векторное поле фазовой скорости f (z) переходит в себя при центральной симметрии фазовой плоскости относительно центра симметрии O, те. Иными словами, если положить (u, v) = (−x, − y), то для (u, v) получится такая же система,
как для (x, y). А потому если z(t) — решение (), то и −z(t) — тоже решение. При центральной симметрии рассматривавшееся выше решение z
1
(
t) переходит в решение z
2
(
t) = (x
2
(
t), y
2
(
t)) = −z
1
(
t), начальная точка которого z
2
(0) = (1, − R
2
− 1) является самой правой точкой дуги
δ
2
и для которого > R при 0 < t < b,
|z
2
(
b)| = R,
y
2
(
t) < 0 при Рис. Обозначим через ∆
1
, дуги, заметаемые) и z
2
(
t) за время от 0 до Замкнутую кривую C
′
, которая будет ограничивать область G снаружи,
определим так она состоит из дуги дуги окружности от z
1
(
b) до дуги и дуги окружности от до z
1
(0) (рис. ; дуги перечислены в том порядке, в котором они встречаются при обходе почасовой стрелке. Ни одна траектория не пересекает дуг ибо траектории вообще не пересекаются, а другую часть кривой составляют дуги окружности C
R
, лежащие в областях, где |x| 1; в точках этих дуг движение фазовых точек направлено внутрь C
R
, и тем более внутрь

C
′

Могут возникнуть некоторые сомнения, не может ли точка изнутри области выйти обратно на её границу в точке z
i
(0)? Нет. Дело в том, что продолжение дуги в сторону отрицательных значений t лежит вне области G см. рис. ). Это следует из


§ . Автоколебания
Занимаясь сперва гармоническим осциллятором, затем добавив к действующей в нём восстанавливающей силе ещё вязкое трение и, наконец,
перейдя к уравнению ван дер Поля, мы использовали геометрические соображения, чтобы понять взаимное расположение траекторий и окружностей с центром в O. Но для маятника при больших колебаниях вместо окружностей у нас были кривые h(ϕ, y) = const, где h(ϕ, y) =
1 и непонятно, какие геометрические соображения могли бы нам помочь.
Вместо геометрии мы посмотрели, как изменяется h(ϕ(t), y(t)) со временем,
для чего вычислили производную, y(t)) (оказавшуюся нулём). Тот же приём годится и во многих других случаях и, честно говоря, даже в тех случаях, когда школьные познания позволили нам обсудить направление вектора фазовой скорости в точках окружности. Использование данного приёма оказывается более приятным делом — просто пишем себе формулы по стандартным правилам дифференцирования, не рисуя никаких картинок и не напрягая геометрическое воображение.
Скажем, раньше мы установили с помощью геометрических рассуждений, что решение z(t) = (x(t), y(t)) системы () с ростом приближается к O. Убедимся в том же самом с помощью простейших сведений из алгебры и анализа. Расстояние от точки z до O это |z|, так что надо было бы продифференцировать по t функцию) + y
2
(
t). Это был бы не бог весть какой подвиг, но здесь возможно дополнительное упрощение — вместо |z(t)| будем рассматривать функцию w(t) = |z(t)|
2
=
x
2
(
t) + В дальнейшем w(t) будет всегда иметь именно этот смысл, хотя мы уже не будем заниматься (Значение 2
w может иметь физический смысл энергии. Правда, если говорить об идеализированном колебательном контуре, состоящем из отдельных индуктивности, конденсатора и сопротивления, то 2
w — это энергия, сосредоточенная в индуктивности и конденсаторе, а неужели в сопротивлении, по которому течет ток, так-таки и нет никакой энергии Ас более реалистическими моделями даже того же колебательного контура, не говоря уже о более сложных объектах вроде электронной радиолампы, дело должно обстоять еще сложнее. Тем не менее с некоторой условностью 2
w все же называют энергией. Однако нам не понадобится привлекать никаких физических соображений, связанных с энергией нам вполне достаточно того, что w того, что это продолжение лежит в области |x| > 1, а там |z
i
(
t)| убывает, те. при малых по модулю отрицательных t выполнено |z
i
(
t)| |z
i
(0)| = R. Таким образом, оно лежит вне окружности C
R
, а значит, и вне G.

§ . Автоколебания

Продифференцировать функцию w(t) ничего не стоит) = 2x(t) ˙
x(t) + 2 y(t) ˙
y(t) = 2xy − 2 yx − 2 yky = Эта производная отрицательна (за исключением отдельных моментов времени, когда y(t) = 0, те. когда траектория пересекает ось Ox. Так как на этой оси ˙
y = −x, то моменты времени, когда y(t) = 0, являются изолированными) Значит, w(t) убывает (чему изолированные моменты, где ˙
w = 0, не мешают. Это вполне соответствует геометрическому факту, что во всех точках каждой окружности |z| = r траектории входят внутрь неё (даже в лежащих на горизонтальной оси точках (±r, 0) — там траектория на один момент касается окружности, а потом всё-таки входит внутрь неё).
Несложное дополнительное рассуждение показывает, что w(t) не только убывает, но и стремится к нулю если бы было |z(t)| → a > 0, то из семейства точек z(t) можно было бы выбрать последовательность, стремящуюся к некоторой точке) окружности |z| = Положительная полутраектория z
′
(
t), начинающаяся в этой последней точке, немедленно входит внутрь окружности |z| = a; иными словами, при t > 0 для этой траектории w
′
(
t) = |z
′
(
t)|
2
< a
2
. Возь- мм любое t
1
> 0 и обозначим через b число 2
(
a
2
− w
′
(
t
1
)). Ввиду непрерывной зависимости решений от начальных данных, при достаточной близости точки z(t
n
) к
z
′
решение
ζ(t) c начальным условием) = z(t
n
) будет столь близким к) при всех t из отрезка, что |z
′
(
t
1
) − ζ(t
1
)| < b. Стало быть, |ζ(t
1
)| |z
′
(
t
1
)| + b < a. Но) = z(t + t
n
) (почему. Получается, что) со временем становится меньше a
2
. А раз функция w(t) убывает, то отсюда видно, что стремиться кона не может.
Вернёмся к системе (), соответствующей уравнению ван дер Поля. Посмотрим, как изменяется w(t) = для её решений) = 2xy + 2 y(−x + k(1 − x
2
)
y) = 2k(1 − Мы снова видим, что при |x| < 1 величина |z(t)| возрастает, а при > 1 убывает (то и другое — вначале исключая точки оси Ox, где = 0. Но z(t) попадает на горизонтальную ось только в какие-то

Ничего не стоит, ибо мы используем цепное правило для производной сложной функции (g(t)) =
df где вычисляется прите. после вычисления в результат подставляется x = g(t)), так что за нас потрудились авторы этого правила, И. Ньютон и Г. Лейбниц. (До сих пор нам был нужен только простейший частный случай этого правила, когда функция g(t) — линейная


§ . Автоколебания изолированные моменты времени t не говорилось ли о чём-то в этом духе раньше, ив утверждении о возрастании или убывании можно не делать оговорки y = Используем формулу () для доказательства того факта, что решение) с любым начальным значением z(t
0
) определено при всех Раньше я это подразумевал настолько само собою разумеющимся, что даже не говорил, что это не мешало бы доказать. Благочестивый обман?
Не без того, но он был не без некоего полуоправдания. Раз мы (следуя ван дер Полю) полагаем, что () описывает некий физический процесс работу радиогенератора, которая отнюдь не должна заканчиваться взрывом,
а вроде бы могла бы продолжаться вечно (износ оборудования не в счёт он не предусмотрен в ()), то и решения, которые сей процесс описывают,
должны быть определены при всех t
t
0
. Единственное возражение против этого резона состоит в том, что он основан на твёрдой уверенности в полном соответствии уравнения () физическому процессу, но ведь, вероятно,
данное уравнение всё-таки приближённое (о чём бишь написано в Теории колебаний трёх авторов, и вдруг небольшое поначалу несоответствие со временем может вырасти до того, что решение уйдёт в бесконечность,
а генератор будет работать как нив чём не бывало В общем, предположение,
что решение () определено при всех t
t
0
, представляется физически разумным, нос математической точки зрения его всё жене мешало бы проверить.
Так как 1 − x
2 1, то ˙
w
2
ky
2 2
kw. Отсюда получается, что
w(t)
e
2
k(t−t
0
)
w(t
0
)
()
при всех t
t
0
, при которых w(t) определено (те. определено решение. Действительно) = −2ke
−2kt
w(t) + e
−2kt
˙
w(t)
e
−2kt
(−2kw(t) + Значит, пока z(t) определено, e
−2kt
w(t) убывает с ростом t, так что если t
t
0
, то e
−2kt
w(t)
e
−2kt
0
w(t
0
), откуда, очевидно, следует неравенство (Если бы правый конец максимального интервала существования решения z(t) был конечным числом t
1
, то по теореме о продолжении решений до границы области величина |z(t)| стремилась бык при → ведь область определения системы () — вся плоскость. Но из () видно, что величина w(t) (а значит и |z(t)|) остаётся ограниченной при t → Любопытно, что в другую сторону повремени это не так. Физическая мотивировка тут не помогает — в обратную сторону повремени процесс

§ . Автоколебания

не пойдёт. А если сказать Но ведь раньше в системе что-то происходило?
Вот это и описывается решением сто это не довод. Во-первых, у решения смогут быть слишком большие x и y, при которых либо наше описание физического процесса не годится, либо генератор сгорит, а если он не сгорел (уж верно не сгорел, если сейчас работает, то это просто потому, что никакого процесса при больших по модулю отрицательных не было, а было то, что генератор тогда был выключен. Потом в какой- то момент времени t
0
пришёл человек и включил генератор, создав тем самым какое-то z
0
, и только после этого процесс пошёл».
Можно доказать, что решения, навивающиеся на предельный цикл изнутри, определены при всех t, но левый конец максимального интервала существования решения, навивающегося на предельный цикл снаружи,
конечен, за исключением решений, отвечающих двум исключительным траекториям.
Любопытно и то, что когда я недавно беседовал с одним известным специалистом (причём он особенно отличился как раз исследованием автономных систем второго порядка, то оказалось, что он данного факта не знал. Конечно, ему хватило намёка, чтобы он подумали быстро разобрался в ситуации. Но остаётся фактом, что раньше он об этом не задумывался и ни от кого никаких намёков на сей счёт не слышал. Это показывает, что хотя в принципе вопросы оконечности левого и правого концов максимального интервала существования решения равноправны, практически интересуются правым концом.
Использование для тех или иных целей различных вспомогательных функций и их производных вдоль решений (производных вида, где z(t) — решение изучаемой системы дифференциальных уравнений) — широко практикуемый прим. Особенно интенсивно он применяется в теории устойчивости, начиная с А. М. Ляпунова) — основоположника этой теории и второго повремени основоположника качественной теории дифференциальных уравнений.
Конечно, вопросы об устойчивости затрагивались задолго до него. Заслугой Ляпунова является систематическое развитие теории устойчивости как строгой научной теории (до него непросто несколько строгих результатов соседствовали с рядом недостаточно обоснованных, нона различие между теми и другими обычно не обращали внимания) со своим комплексом понятий и методов, составляющей цельное направление в качественной теории дифференциальных уравнений. Теория устойчивости имеет большое теоретическое и практическое значение (в полной мере её
практическая ценность проявилась после смерти Ляпунова).
Его работы по теории устойчивости появились после  гос- новная монография Общая задача об устойчивости движения вышла в г, те. после упоминавшегося выше мемуара Пуанкаре. Ляпунов


§ . Автоколебания отмечал, что у Пуанкаре уже можно найти идеи и методы, используемые
Ляпуновым, хотя Пуанкаре ограничивается частными случаями. Между интересами Пуанкаре и Ляпунова имелось различие. Пуанкаре уделял внимание всем особенностям качественного поведения траекторий автономных систем второго порядка, особенно не интересуясь возможностью частичного переноса соответствующих результатов на системы более высокого порядка (вероятно понимая, что полной картины в многомерном случае это не даст. Ляпунов же особенно интересовался вопросами,
связанными с устойчивостью, а их можно изучить и для систем более высоких порядков, исходя примерно из таких же идей, конечно должным образом развитых.
Высказывания Ляпунова о мемуаре Пуанкаре можно понять в том смысле, что Ляпунов заимствовал идеи у Пуанкаре и претендует только на дальнейшее (и весьма значительное) их развитие (что тоже немало. Но мне кажется, что Ляпунов скорее всего пришёл к большей части этих идей независимо, а упоминания о Пуанкаре можно понимать в том смысле,
что затем Ляпунов узнало тех же идеях у Пуанкаре. Значительный объём работы, проделанной Ляпуновым, едва ли вместился бы в те несколько лет, которые отделяют начало его публикаций от времени публикации мемуара Пуанкаре. Либо Ляпунов начал эту работу независимо и ко времени появления мемуара Пуанкаре успел кое-чего достигнуть, либо,
в крайнем случае, к этому времени он ещё не имел особых достижений,
но, так сказать, созрел для них, так что идеи Пуанкаре попали на хорошо подготовленную почву. Думаю, что на самом деле у него в отношении к различным задачам сочеталось то и другое, нов какой пропорции,
установить невозможно.
Заговорив о Ляпунове, надо сказать, что не будучи особенно разносторонним, он все же внес очень значительный вклад также в теорию вероятностей ив исследование вопроса о фигурах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой удерживаются вместе силами тяготения.
(Стоит добавить, что последним вопросом занимался также Пуанкаре, но
Ляпунов продвинулся намного дальше.)
У нас использование вспомогательных функций вдоль решений будет носить ограниченный характер — приём этот будет привлекаться при аккуратном оформлении приведённых выше соображений о поведении упоминавшейся положительной полутраектории
{
z
1
(
t); t
0} системы (), (эта полутраектория начинается в самой левой точке (−1,
R
2
− 1) дуги δ
1
). Тем самым будет обосновано утверждение о существовании кольцеобразной области G, в которую траектории могут входить, но из которой они не могут выходить.
Итак, пусть z(t) = (x(t), y(t)) удовлетворяет система () и z(0) =
=
(−1,
R
2
− 1). (Раньше мы писали z
1
(
t), но теперь других z у нас не

§ . Автоколебания

будет, так что можно не писать нижнего индекса) Сразу после нулевого момента времени z(t) входит в полосу |x| 1 (ведь ˙x(0) = y(0) > а там, ввиду равенства (), величина w(t) = возрастает. Значит, пока |x(t)| 1, будет) =
w(t) − x
2
(
t)
w(0) − 1 =
R
2
− 1,
˙
x(t) = y(t)
R
2
− 1,
x(t)
x(0) + t
R
2
− 1 = −1 + t R
2
− Правая часть последней формулы обращается в 1 при t =
2
R
2
−
1
, отчего и координата x(t) (бывшая −1 при t = 0) должна обратиться в при некотором t = t
1 2
R
2
−
1
. Как видно из неравенства () (с вместо t и t
0
=
0),
w(t
1
)
e
2
kt
1
w(0)
R
2
e
4
k
R2 −1
,
w(t
1
) − w(0)
R
2
e
4
k
R2 −1
− 1 Умножив и разделив правую часть на, и несколько перегруппировав сомножители, перепишем это неравенство в виде) − w(0)
4
kR ·
R
R
2
−
1
·
e
4
k
R2 −1
−
1 Когда R → ∞, второй и третий сомножители в правой части стремятся к 1 (для второго это очевидно, а для третьего следует из замечательного предела (), который при излагаемом в § подходе к определению почти столь же очевиден. Поэтому при достаточно больших скажем, при R
R
0
, имеем) − приумножении на второй и третий сомножители число 4kR может несколько увеличиться, но так как эти сомножители стремятся к 1 при → ∞, то при достаточно большом R произведение будет не больше,
чем После момента времени t = точка z(t) входит в полуплоскость > 1 и заведомо остаётся там, пока y(t) > 0, ибо ˙
x = y, так что x возрастает. В это время = −x + k(1 − x
2
)
y
−x
−1 (у нас 1 − x
2
< 0 и x
1),


§ . Автоколебания откуда следует, что) − (t − Правая часть со временем обращается в нуль. Поэтому и y(t), убывая,
достигает нуля при некотором t = Мы хотим доказать, что если R достаточно велико, тона отрезке времени t
1
t
a имеется такое b, что |z(b)| = R, те. Удобно рассуждать от противного, допустив, что при всех t из этого отрезка) > Когда t = t
1
, то y
2
(
t
1
) =
w(t
1
) − 1. При достаточно большом R будет выполнено неравенство y
2
(
t
1
)
>
2 3
w(t
1
) (это ведь означает, что) − 1 >
2 3
w(t
1
), те это заведомо так при R
2 3, ибо w(0) = R
2
. (Итак, отныне на R наложены два условия и R
2 3. Позднее будут ещё два условия, и они тоже будут состоять в том, чтобы R было достаточно большим) При t = a имеем y
2
(
a) = 0,
w(a) = x
2
(
a) > 0. Значит, существуют такие и t
3
, что t
1
< t
2
< t
3
< a,
y
2
(
t
2
) =
2 3
w(t
2
),
y
2
(
t) <
2 при t
2
< t
t
3
,
y
2
(
t
3
) =
1 3
w(t
3
),
y
2
(
t) >
1 при t
2
t < Наши основные рассуждения будут относиться к отрезку времени. На нем y
2
(
t) не слишком отличается от x
2
(
t) и w(t); это позволяет получить оценку убывания функции w(t), показывающую,
что пока t возрастает от до t
3
, эта функция довольно существенно убывает. Данный отрезок составляет часть отрезка [t
1
,
a] (напоминаю, что при t = точка z(t) пересекает вертикаль x = 1 и входит в полуплоскость x
1, а при = a эта точка впервые после момента попадает на ось иксов, который, в свою очередь, является частью того отрезка времени, на котором x(t) > 1, — ведь x(t) возрастает, пока y > 0, и раз вначале было x(t
1
) = 1, топотом все время, пока) > 0, координата x(t) будет возрастать и, значит, будет больше А пока z(t) находится в полуплоскости x > 1, w(t) убывает значит) − w(a) w(t
2
) − w(t
1
), и если окажется, что последняя разность больше 5kR, тотем самым будет установлено, что где-то на отрезке имеется такой момент времени b, что w(b) = На рисунке изображена гипотетическая траектория) =
=
(
x(t), y(t)), которая начинается в точке z(0) = (−1,
R
2
− 1) с большими для которой |z(t)| > R при всех t, лежащих между и a, а на

Повторяю, что мы сейчас рассуждаем от противного и хотим доказать, что при достаточно больших R таких траекторий нет

§ . Автоколебания 1
y= 2x
y=
1 2
x
z(0)
z( f
1
)
z( f
2
)
z( Рис. ней отмечены точки z(t
2
) ив них) = 2
x
2
(
t
2
) и 2
y
2
(
t
3
) =
=
x
2
(
t
3
) — проверьте!)
Рисунок подразумевает, что в при изменении t от до a отношение
x
y
возрастает, поэтому имеется ровно один момент t
2
, когда y
2
(
t
2
) =
2 те, и ровно один момент, когда y
2
(
t
3
) =
1 3
w(t
3
) те. Но и не предполагая такой монотонности, можно принять за последний момент времени между ив который y
2
(
t
2
) =
2 3
w(t
2
) (после этого всё время до момента a будет выполнено неравенство y
2
(
t) <
2 аза первый момент времени между ив который y
2
(
t
3
) =
1 значит, y
2
(
t) >
1 3
w(t) при t
2
t < На самом деле
x
y
действительно возрастает при указанных t так что уточнения о выборе и t
3
— последний момент первый момент … — излишни. Но чтобы в этом убедиться, надо уметь дифференцировать дроби (тогда как, повторяю, с помощью сделанных выше оговорок о выборе и можно обойтись без ссылки на возрастание. А именно, пока x > 1 и y > 0,
x
y
˙
=
˙
x y − ˙yx
y
2
=
yy − (−x + k(1 − x
2
)
y)x
y
2
=
y
2
+
x
2
+
k(x
2
− 1)xy
y
2
> 1.


§ . Автоколебания
Вместо y(t) нам будет удобнее иметь дело с v(t) = y
2
(
t). Заметим,
что v(t
2
) =
2 3
w(t
2
) и т. д. Для значений из [t
2
,
t
3
] мы получим:
а) оценку сверху для скорости убывания v(t) вида |˙v(t)| V так чтоб) оценку снизу для разности v(t
2
) − v(t
3
) видав) оценку снизу для скорости убывания w(t) вида | ˙
w(t)| W так что Величины V , ∆v и W будут указаны в явном виде.
Если бы величина v уменьшалась со скоростью V , то она уменьшилась бы на ∆v за время. Атак как при скорость уменьшения меньше V, а изменение v за это время больше ∆v, то t
3
− Ввиду в) за это же время w(t) уменьшается не менее чем на ∆v
V
. Мы увидим, что если R достаточно велико, то
W∆v
V
5
kR.
()
А ведь w(t
2
)
w(t
1
)
w(0) + 5kR = R
2
+
5
kR. Поэтому получается, что
w(t
3
)
R
2
вопреки предположению.
К пункту а. Имеем ˙
v = 2 y ˙
y = −2xy − 2k(x
2
− 1) y
2
. Здесь оба слагаемых отрицательны (при рассматриваемых t), поэтому = 2xy + 2k(x
2
− 1) y
2 2
xy + 2kx
2
y
2
w +
1 используем тот факт, что 2xy
x
2
+
y
2
.) Продолжаем) +
1 2
kw
2
(
t
1
)
(
R
2
+
5
kR) +
1 2
k(R
2
+
5
kR)
2
=
=
R
4 1
R
2
+
5
k
R
3
+
1 2
k 1 +При R → ∞ выражение в квадратных скобках стремится к. Поэтому в качестве величины V , оценивающей сверху |˙v| при больших R, мы можем взять V = К пункту б. Имеем) − v(t
3
) =
2 3
w(t
2
) −
1 3
w(t
3
)
2 3
w(t
3
) −
1 3
w(t
3
) =
1 3
w(t
3
)
1 3
R
2
(w убывает, t
2
< t
3
, и мы предполагаем, что всё время w
R
2
). Берём
∆
v =
1 К пункту в. Ввиду ()
˙
w = 2k(1 − x
2
)
y
2
,
| ˙
w| = 2k(x
2
− 1) y
2 2
k
w
3
− 1
w
3 2
k
R
2 3
− 1
R
2 3

§ . Автоколебания

(раз
1 3
w
y
2 2
3
w и w = x
2
+
y
2
, то 3
w
x
2
). Берём W =2k
R
2 3
−1
R
2 А теперь проверяем ():
W∆v
V
=
2
k
R
2 3
−
1
R
2 3
·
1 3
R
2
kR
4
=
2 1
3
−
1
R
2 При большом R это имеет порядок 27
R
2
, что больше, чем 5kR.