Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
коэффициентами Исследование природных и технических процессов часто приводит к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, те. уравнениям вида x ( n) = линейная функция от x, ˙ x, …, причем в этой линейной функции каждое с i = 0, 1, …, n − 1) фигурирует с некоторым постоянным множителем (коэффициентом. Такое уравнение принято записывать в несколько ином виде, собирая все слагаемые в его левой части+ a 1 ˙ x + a 0 x = Если данное уравнение описывает изменение (со временем) состояния некоторой изолированной физической системы, то поведение той же системы под некоторым внешним воздействием часто описывается уравнением вида+ a 1 ˙ x + a 0 x = f где f (t) — это внешняя сила, действующая на систему. (В зависимости от физического смысла рассматриваемой задачи, f (t) может быть настоящей силой, как это понимается в механике, а может иметь и иной физический смысл.) Надо сделать оговорку, что в других случаях внешнее воздействие на систему может привести к тому, что параметры, характеризующие ее внутренние свойства, становятся зависящими от времени. Эволюция (изменение со временем состояния) такой системы может описываться дифференциальным уравнением, которое сходно снов котором коэффициенты зависят от Такой пример нам доставляют самые обыкновенные качели когда человек, качающийся на качелях, приседает и выпрямляется, расстояние между Данное дифференциальное уравнение является неавтономным (напомню, что этот термин введен в § и означает, что время t явно фигурирует в уравнении. В других параграфах этой книжки рассматриваются только автономные уравнения и системы (стало быть, там речь идет об изолированных физических системах. Но для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами все обстоит так просто, что можно познакомиться и с простейшими неавтономными дифференциальными уравнениями, тем более что это представляет интерес с физической точки зрения § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами точкой подвеса качелей и их центром масс (практически — центром масс человека) является переменной величиной. В линейном приближении и при пренебрежении трением соответствующее дифференциальное уравнение выглядит как (), но теперь зависит от t, причем зависит периодически с некоторой частотой ν, поскольку человек приседает и выпрямляется периодически. (При учете поглощения энергии из-за трения в левой части добавляется еще слагаемое k ˙ x со сравнительно небольшим k > Каждому известно из собственного опыта, что при ν = 2ω когда получается одно приседание и выпрямление за полупериод качания качелей) можно довольно сильно раскачаться на качелях. Это называют параметрическим возбуждением колебаний. Оно остается вне содержания настоящей книжки, поскольку мы не будем рассматривать уравнений с непостоянными коэффициентами. В отличие от этого человек, качающий другого человека на качелях, раскачивает их (отталкивает или тянет к себе) стой же частотой, какова частота собственных колебаний качелей, те. качелей, предоставленных самим себе. В простейшем варианте математическое описание раскачивания качелей дается в этом случае уравнением вида () стой же левой частью + ω 2 x или ¨ x + k ˙ x + ω 2 x, что и для изолированных качелей, и с периодически зависящей от t правой частью f (t) = a cos ωt. Подобные вопросы относятся к нашей компетенции. В электро- и радиотехнике колебания, происходящие в колебательном контуре при воздействии на него внешней ЭДС (электродвижущей силы) в простейшем случае описываются дифференциальным уравнением ¨ x + k ˙ x + + ω 2 x = f (t), причем там весьма типична синусоидальная зависимость внешней ЭДС от времени f (t) = a cos(ωt + ϕ). Хоть это и простейший случай, ему посвящены целые страницы в учебниках — не столько даже учебниках математики, сколько физики. Номы учебника не пишем и потому затронем лишь некоторые — надеюсь, достаточно интересные — стороны дела. Уравнение () называют однородным в нем все слагаемые содержат неизвестную функцию x или некоторую ее производную водной и той же степени — первой, а () — неоднородным в нем одни слагаемые содержат неизвестную функцию x или некоторую ее производную впервой степени, а слагаемое f (t) — в нулевой). Физически бывает особенно интересным случай, когда уравнение) или () описывает некоторую колебательную систему (собственно, мы упоминали примеры именно такого рода. Колебания, описываемые () — это свободные или собственные) колебания: система, так сказать, предоставлена самой себе, она свободна от внешних воздействий. Уравнение () с подходящей (особенно периодической повремени) правой частью f (t) описывает вынужденные колебания, происходящие в системе под воздействием внешней силы. Вообще говоря, происходящие в системе движения вполне могут § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами представлять собой некую комбинацию свободных и вынужденных колебаний, нов реальных условиях свободные колебания со временем затухают, а вынужденные остаются — ведь вызывающая их внешняя периодическая сила никуда не девается. В идеализированных системах вроде гармонического осциллятора, которые мы представляем себе лишенными диссипации энергии ив которых свободные колебания не затухают, различие между вынужденными колебаниями и сочетанием вынужденных колебаний со свободными не столь очевидно, но можно сказать, что вынужденные колебания имеют период, совпадающий с периодом возбуждающей их внешней силы, который, вообще говоря, отличен от периода свободных колебаний. Когда же период внешней силы совпадает с периодом свободных колебаний, наблюдается интересное и практически весьма важное (иногда полезное, иногда вредное) явление резонанса, с примером которого мы встретимся далее. Уравнение () мы рассмотрим в общем виде — общая теория в данном случае оказывается практически не сложнее, чем примеры частного характера примеры мы будем рассматривать как раз на базе общей теории. Что касается (), то мы тоже не будем ограничивать вида левой части этого уравнения, нос самого начала ограничимся правыми частями f (t) некоторого специального характера — именно, у нас f будут так называемыми квазимногочленами (определение см. ниже. Этого достаточно для многих физических приложений. В отличие от большей части этой книжки, в настоящем параграфе геометрические соображения не играют заметной роли — они используются только в той степени, в какой сними связаны введённые в § понятия — решение, начальное значение, существование и единственность решения. Конечно, уравнение () отличается от автономной системы (), а () — от (), но тем не менее понятия и утверждения, приведённые в § для этих систем, можно с очевидными изменениями применять и к уравнениям (), (): надо просто заменить уравнение системой, посмотреть, что можно о ней сказать в свете, и перефразировать наши выводы в терминах самих изучаемых уравнений. Однако в основном наша мини-теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами не зависит от общих сведений, приведенных в § без доказательства. В основном ее содержание будет аналитическими даже алгебраическим оно существенно опирается на материал § Опыт показывает, что проинтегрировать (решить) одно уравнение проще, чем систему того же порядка это, понятно, используется в приложениях. Поэтому в учебниках часто об интегрировании § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами линейных уравнений с постоянными коэффициентами говорят отдельно от обсуждения аналогичного вопроса для систем. Однако обсуждение теоретических сведений общего характера для линейных уравнений обычно проводят на базе того, что доказывается для систем. Это логично и придает известное единство учебному курсу дифференциальных уравнений, нос другой стороны, естественно поинтересоваться, нельзя ли, так сказать, расширить степень автономности мини-теории линейных уравнений, не ограничивая ее только прикладной стороной дела Ничего принципиально нового в этом нет (тем более что в прошлом системы не играли столь центральной роли, как теперь, но возможно, некоторые методические детали в моем изложении окажутся (или вс¨ е-таки только покажутся?) новыми. Переходя от общих разговоров к делу, начнем с простого замечания решения () суть функции класса C ∞ , те. функции, имеющие производные всех порядков короче о таких функциях говорят как о функциях. Решения (), если f — функция класса тоже являются функциями. Действительно, по самому смыслу понятия решения x(t) дифференциального уравнения () или (у x(t) имеются все производные до го порядка включительно. Значит, функции x, ˙ x, …, имеют по крайней мере производные первого порядка. Но ведь производная решения x является суммой этих x, ˙ x, …, с какими-то постоянными коэффициентами плюс, может быть, еще f если речь идет о решении ()). Стало быть, тоже имеет производную. А это уже (n + я производная решения x. Функции x, ˙ x, …, имеют, выходит, не только первую, но и вторую производную. Но тогда из уравнения () видно, что у тоже имеется вторая производная, и т. д. Введ¨ ем следующее обозначение для операции дифференцирования. Пока это только символ. Но можно понимать его более содержательно как отображение совокупности всех функций (с од- Имеется стандартное обозначение для класса функций, имеющих производные до го порядка включительно, причем я производная непрерывна. (А предыдущие производные. Если надо уточнить область определения рассматриваемых функций, то пишут C n [ a, b], C ∞ ( ) и т. д. Данное рассуждение чем-то напоминает рассказ барона Мюнхгаузена о том, как он вытащил за волосы себя самого (да еще вместе с конем) из болота. (Но едва ли Мюнхгаузен иносказательно намекал на это или какое-то другое математическое рассуждение. Скорее надо признать, что его спасение было проявлением телекинеза, вызванного его биополем и, может быть, биополем лошади. В то время телекинез встречался редко и потому вызывал недоверие, нов наши дни мы все он ем достаточно наслышаны благодаря средствам массовой информации § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ной и той же областью определения у насею будет вся числовая прямая) в себя — при этом отображении функции f сопоставляется ее производная. Это отображение обладает свойствами линейности ) = a Df при a = const; D( f + g) = Df + Dg, что выражают словами является линейным оператором. Такие операторы можно умножать на числа, складывать, умножать друг на друга (композиция. Именно, для линейного оператора A через cA где c — число) обозначается линейный оператор, переводящий f в cAf . Для двух линейных операторов A и B через A + B обозначается линейный оператор, переводящий f в Af + Bf , а через AB — линейный оператор, переводящий в A(Bf ). Для отображений, не предполагаемых линейными, мы в последнем случае говорили бы об их композиции или суперпозиции и обозначали бы ее через A ◦ B, но для линейных операторов говорят об их произведении и значка не пишут. Если P(λ) — многочлен (от независимой переменной) = a n λ n + a n−1 λ n−1 + … + a 1 λ + то можно образовать такой же точно многочлен не от, а от D — ведь a i D i имеют понятный смысли их можно складывать. Таким образом) = a n D n + a n−1 D n−1 + … + a 1 D + и это означает в точности то, что) f = a n D n f + a n−1 D n−1 f + … + a 1 Df + a 0 f Само по себе решение обозначать d dt символом D ничего не меняет по существу. Но когда сказано, что D — это линейный оператор, мы получаем возможность совершать над этим символом некоторые алгебраические действия, а читатель, конечно, на других примерах уже убедился, как сильно помогает алгебра. Помогает она ив нашем случае. Нужная нам алгебра — это алгебра, относящаяся к многочленам. Понятно, что такое сумма P(λ) + Q(λ) двух многочленов. Это есть некий новый многочлен. Образовав такой же многочлен от D, получаем сумму P(D) + Q(D). Далее, по определению, произведение двух многочленов P и Q есть третий многочлен R, такой, что R(λ) = P(λ)Q(λ) при всех λ. Он обозначается через PQ. Легко проверить, что при этом R(D) = (PQ)(D) = P(D)Q(D). Поскольку умножение многочленов коммутативно, то P(D)Q(D) = У нас t и x заняты, при случаев том же смысле, что и x, могут использоваться y, и т. д. Вот и пришлось для обозначения переменной в многочлене выбрать букву, резко отличающуюся от употребительных латинских букв § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Замечание. В математике рассматривают и линейные дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. Такой оператор переводит функцию x(t) в функцию) = a n ( t)x ( n) ( t) + a n−1 ( t)x ( n−1) ( t) + … + a 1 ( t) ˙ x(t) + в связи с чем его можно сокращенно записать в виде+ a 1 ( t)D + при этом коэффициенты a i ( t) можно понимать как операторы умножения на и тогда в последней записи мы имеем некие алгебраические действия над этими операторами и операторами D i ). Но нужно сразу предупредить, что, в отличие от дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, дифференциальные операторы с переменными коэффициентами почти никогда не коммутируют друг с другом, те, вообще говоря, AB = BA приведите пример). В левой части () и () фактически стоят многочлены от G со старшими коэффициентами 1. Это не ограничивает общности, потому что отделения) на решения дифференциального уравнения = 0 не изменятся. Ниже, говоря о дифференциальном операторе, мы тоже считаем, что при операторе старшего порядка стоит коэффициент 1. Пусть многочлен P(λ) имеет корни λ 1 , с крат- ностями k 1 , …, k m . Как известно из алгебры) = m i=1 ( λ − а потому и P(D) разлагается в аналогичное произведение) = m i=1 ( D − Если (D − λ i ) k i x = 0, то итак что научившись решать уравнение, мы найдем некоторые (как говорят, частные) решения уравнения P(D)x = Упражнение. Докажите формулу смещения) = e µt P(D + Указание. Начните с того, что D(e µt z) = e µt ( D + Отсюда можно сделать следующий вывод. Пусть (D − λ i ) k i y = Так как всюду e λ i t = 0, то можно положить = e λ i t z. Для z получится дифференциальное уравнение e λ i t D k i z = 0, те. Очевидно является многочленом от t степени, меньшей k i Символ m 1 обозначает произведение сомножителей a 1 , употребление знака произведения аналогично употреблению знака суммы § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Замечание. Умножение на e µt — это некоторый линейный оператор в C ∞ : Ax — это функция e µt x(t). (Можно сказать, что это есть дифференциальный оператор нулевого порядка с переменным коэффициентом) Мы видим, что D и A не коммутируют (AD = DA), ноу насесть простая формула коммутирования» DA = AD + µA, показывающая, как можно вынести A из-под знака действия D — оказывается, при этом появляется совсем простая добавка. В некоторых других случаях для дифференциальных операторов с переменными коэффициентами тоже имеются хорошие формулы коммутирования, и это играет роль при исследовании этих операторов, связанных сними дифференциальных уравнений и специальных функций (являющихся решениями таких уравнений). Назов¨ ем элементарными решениями уравнения P(D)x = 0 его решения вида e λ i t p i ( t), где p i — всевозможные многочлены степени, меньшей k i . Тогда y = i y i — тоже решение. Позднее мы увидим, что для любого набора начальных данных (x 0 , ˙ x 0 , …, x ( n−1) 0 ) (без ограничения общности можно считать, что они заданы при t = найдется такая сумма элементарных решений, которая имеет именно такие начальные данные, и что других решений нет. Тем самым, в частности, для уравнения P(D)x = 0 будет доказана теорема существования и единственности. Но будет доказано больше не говоря уже о том, что наш результат глобальный — решение определено при всех t, — мы установим общий вид решения. Сумма нескольких слагаемых вида где k неотрицательные целые) называется квазимногочленом. Ясно, что любая сумма, где p i — многочлены, является квазимногочленом и что любой квазимногочлен приводится к такому виду с попарно различными, которые мы будем называть показателями квазимногочле- на, подразумевая, конечно, что множитель при соответствующем e λ i t является ненулевым многочленом. Этот многочлен я буду называть многочленом, соответствующим (или отвечающим) показателю. Квазимногочлен вида e λt p(t) (где p — многочлен) я буду иногда называть элементарным квазимногочленом, так что квазимногочлен является суммой элементарных квазимногочленов. Найденные нами решения уравнения P(D)x = 0 являются квазимногочленами, а элементарные решения являются элементарными квазимногочленами. Здесь надо обратить внимание наследующий вопрос. Откуда следует, что показатели и соответствующие им многочлены однозначно определены Они однозначно определены для выражения, где попарно различны, а p i — многочлены в этом случае показатели и соответствующие многочлены § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами указаны в самом виде этого выражения. Ноне может ли случиться, что одну и туже функцию x(t) можно представить в таком виде двумя различными способами? |