Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва

• Название: Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
• Дата: 20.12.2018
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: anosov.pdf
• Тип: Книга; #61083
• страница: 10 из 14

Упражнение. Чему равно подходящее C в данном случае (когда мы начинаем с ())? (Ответ C = ae
iϕ
.)
Квазимногочлен является решением уравнения (D − iν) y = По общей теории решения () надо искать среди решений уравнения − iν)(D
2
+
ω
2
)
x = 0. При этом надо различать те случаи, когда ν = и когда ν = В первом случае (D − iν)(D
2
+
ω
2
) = (
D − iν)(D + iω)(D − и решения уравнения (D − iν)(D
2
+
ω
2
)
x = 0 суть суммы квазимно- гочленов C
1
e
iνt
,
C
2
e
−iωt
,
C
3
e
iωt
, являющихся решениями уравнений − iν) y = 0, (D + iω) y = 0, (D − iω) y = 0. Однако решения последних двух уравнений нас сейчас не интересуют — это решения однородного уравнения (). Остаются решения дифференциального уравнения − iν) y = 0, являющиеся квазимногочленами вида C
1
e
iνt
. Константа
C
1
определяется из условия, что (D
2
+
ω
2
)
y = Ce
iνt
. Подставив сюда = C
1
e
iνt
, получаем
(−ν
2
+
ω
2
)
C
1
e
iνt
=
Ce
iνt
,
C
1
=
C
ω
2
−
ν
2
Вещественное решение имеет вид = Re C
1
e
iνt
=
1
ω
2
−
ν
2
Re(
Ce
iνt
) =
1
ω
2
−
ν
2
a cos(νt + Частота вынужденного колебания совпадает с частотой ν, с которой изменяется внешняя сила, амплитуда этого колебания отличается от амплитуды силы на множитель) а фаза колебания совпадает с фазой внешней силы при ν < ω и противоположна ей (равна + при ν > Хотя выше фаза или весь аргументу косинуса νt + ϕ являются числами, фазу естественно изображать точкой единичной окружности с угловой координатой = ϕ


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Во втором случае (при ν = ω) x должно быть одним из решений уравнения (D − iω)
2
(
D + iω)x = 0, причем элементарные квазимно- гочлены, являющиеся решениями уравнений (D ± iω) y = 0, нас сейчас не интересуют (они являются решениями однородного уравнения. Остаются решения уравнения (D − iω)
2
y = 0, являющиеся квазимногочленами вида C
1
te
iωt
. Константа снова определяется из условия, что (D
2
+
ω
2
)
y = Ce
iωt
. Подставив y = в левую часть последнего уравнения, получаем = C
1
e
iωt
((
D + iω)
2
+
ω
2
)
t = C
1
e
iωt
(
D
2
+
2
iωD)t = Это должно равняться Ce
iωt
, так что C
1
=
−i
1 2
ω
C. В «вещественной»
задаче () получаем, что при ν = ω имеется частное решение x =
=
a
t
2
ω
sin(
ωt + ϕ) (почему?).
Упражнение. Рассмотрите вещественное уравнение + k ˙
x + ω
2
x = a cos(νt + Покажите, что одно из его решений имеет вид = A(ν)a cos(νt + ϕ + где) а) — это угловая координата точки (ω
2
− ν
2
,
kν) (или, если угодно, соответствующего комплексного числа — откуда оно взялось?).
Остальные решения () отличаются от этого решения на решения однородного уравнения (). (Так как последние затухают, то, как уже говорилось, естественно считать, что решение () описывает вынужденные колебания системы под действием внешней силы cos(νt + В () и () мы пишем A(ν), хотя в действительности A зависит также от и (если есть диссипация) от k. Это значит, что мы обращаем внимание на то, как зависят от частоты ν внешней силы вынужденные колебания одной и той же физической системы (так что
ω
и k фиксированы. На рис. изображены графики функций A(ν) для или = νt + ϕ в комплексных терминах — как число e
iψ
). (Это может быть более наглядным, когда рассматриваются периодические функции. Функцию, периодически зависящую от с периодом 2π, можно рассматривать как функцию f на этой окружности. А если рассматривается точка, вращающаяся по окружности по закону = νt + то значение f в этой точке является периодической функцией от времени) При таком изображении фазы точка, изображающая фазу + π, диаметрально противоположна точке, изображающей фазу, отчего я и назвал эти фазы противоположными

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ω
ν
A(ν)
Рис. нескольких различных k а именно для k = 0; 0,2; 0,4; 0,7; 2; 4; 10), построенные при одном и том же. Если попытаться нанести на тот же рисунок еще и несколько графиков A(ν) для различных ω, тона нем получится слишком много пересекающихся линий ион станет неразборчивым. Более наглядным представляется утверждение, что при увеличении ив раз

график A(ν) сжимается враз по вертикали и растягивается враз по горизонтали. (Проверьте!)
Упражнение. Когда k ≈ 0, то A(ν) достигает максимума при некоторой частоте ν
k
, примерно равной, — на графике A(ν) есть «горб».
Покажите, что если увеличивать k, то, начиная с некоторого значения, функция A(ν) станет монотонно убывающей, так что при фиксированной амплитуде a внешней силы вынужденные колебания имеют наибольшую амплитуду при = 0 (когда это, собственно, не колебания, а просто смещение x под действием постоянной силы).
Чему равно в зависимости от
ω)?
Остановимся теперь на физическом значении полученных результатов. Самое интересное в них связано с явлением резонанса. Оно впервые привлекло внимание в акустике, с чем связано и название,
происходящее от латинского resono — звучу в ответ, откликаюсь.

При
α < 1 это означает их уменьшение враз. (Аналогичное замечание относится и к растяжениями сжатиям ниже


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Впоследствии также стали называть сходные явления, изучаемые в других разделах физики, и понятие резонанса приобрело широкий смысл, относясь ко всем тем случаям, когда результат периодического внешнего воздействия на колебательную систему (ее «отклик»)
сильно зависит от темпа воздействия.
В широком смысле под резонансом понимают резкое возрастание вынужденных колебаний физической системы, которое происходит,
когда частота периодически меняющегося со временем внешнего воздействия близка к некоторой резонансной частоте, связанной со свойствами самой этой системы. В примере () резонансной является частота, в примере () — частота, обозначенная водном из упражнений через ν
k
. Последняя, как там было отмечено, при малом k близка ка ведь именно при таких k максимум функции) выражен настолько резко, что имеет смысл говорить о резонансе поэтому практически ив этом случае резонансной является частота
ω.
Но резонансы наблюдаются в поведении физических систем, описываемых не только уравнениями типа (). Вначале этого параграфа я говорило параметрическом возбуждении колебаний и приводил пример качелей.
Человеку на качелях удается сильно раскачаться, приседая и выпрямляясь в правильном темпе (когда частота его движений примерно равняется удвоенной частоте собственных колебаний качелей если бы он это делал в другом темпе, сильно раскачаться ему не удалось бы. Поэтому в данном случае говорят о параметрическом резонансе. Конечно, человек становится на качели, чтобы покататься, а не для того, чтобы эмпирически исследовать зависимость колебаний качелей от темпа своих движений. Реально эксперименты с параметрическим резонансом производились нес качелями,
а с электрическим колебательным контуром, в котором под внешним воздействием периодически изменялась емкость. Поскольку в нем диссипация энергии (ограничивающая нарастание колебаний) сравнительно невелика,
то дело доходило до пробоя.

Мы это видим на примере (): с увеличением k максимум функции A(ν) уменьшается и становится менее резко выраженным (рис. ). Но понятно, что ив других случаях поглощение энергии должно сказываться примерно также. В тоже время стоит сказать, что нарастание колебаний может ограничиваться не поглощением энергии,
а нелинейностью физической системы. Говоря нестрого, но наглядно, можно сказать,
что нелинейная система может вести себя так, как будто она линейная, но резонансная частота зависит от амплитуды. При нарастании колебаний их частота оказывается вне того интервала частот, где сказывается резонанс (сама их частота не меняется,
а меняется этот интервал. Еще раз ничего неверного я сейчас не сказал, но, строго говоря, я сделал хуже — сказанное мной бессмысленно (что значит мое как будто»?).
Буквально понимать то, что я сказал, нельзя, а чтобы объяснить, как же вс¨
е-таки это можно понимать (а понимать вс¨
е-таки можно, надо было бы по-настоящему углубиться в предмет

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Сильный резонанс (особенно приводящий к разрушениям) производит эффектное впечатление. Невольно думается, откуда в резонирующей физической системе берется энергия, тем паче такая большая Да оттуда же, откуда берутся деньги в копилке — извне. Энергия может поступать понемногу, но со временем ее может накопиться немало. Точнее, если уж проводить такую аналогию, то надо вообразить копилку, в которую можно опускать лишь монеты определенного достоинства. (Что свойственно не копилке, а торговому автомату.)
Аналогия была бы еще точнее, если бы копилка вс¨
е-таки была способна принимать на хранение также и монеты иного достоинства, нов небольшом числе

И еще надо иметь ввиду, что, как уже говорилось, в реальных физических системах встречаются нелинейные явления и потери энергии. Что раньше скажется при увеличении амплитуды колебаний зависит от конкретных свойств системы. Если сперва скажутся потери энергии, то это еще можно отобразить в «копилочной аналогии»,
приняв, что в копилке за определенное время исчезает некоторая доля хранящихся в ней денег (копилка взимает плату за хранение»).
А вот убедительной «копилочной аналогии нелинейных явлений я не вижу. Так что на этом мы расстанемся с копилкой.
Со временем в системе, описываемой уравнением с диссипацией, установится режим колебаний вида Aa cos(ωt + ψ). Установится это значит, что со временем любое решение дифференциального уравнения () приближается к решению Aa cos(ωt + те. разность этих решений стремится к нулю. (Эта разность является решением однородного уравнения ¨
x + k ˙
x + ω
2
x = 0 и описывает некое свободное колебание соответствующей физической системы, которое со временем убывает. Амплитуда Aa установившегося колебания зависит от a и от ν. При небольшом k явление резонанса все еще проявляется довольно четко, приобретая следующий характер. Если ω, то амплитуда Aa установившегося колебания намного больше,
чем a, если же ν заметно отличается от ω, то Aa мала.
Академик ЛИ. Мандельштам

(—) привел в своих лекциях по теории колебаний

пример грубой ошибки в вопросе о резонансе, которую допустил английский специалист в области радио-

Переходя от копилки к качелям, заметим, что всякий, кто качал другого человека на качелях и при этом толкал качели не в такт, чувствовал по временам давление на свою руку со стороны качелей. Они возвращали обратно переданную им энергию.

Он был специалистом по радиофизике и оптике и одним из первых, с кем связано формирование теории колебаний как отдельного раздела физики.

См. Мандельштам ЛИ. Лекции по теории колебаний. МС. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами техники Дж. А. Флеминг (—). В книге Волны вводе, воздухе и эфире Флеминг написал, что мальчик, стреляя из рогатки, может разрушить железнодорожный мост через Темзу. Добро бы это написал какой-то малоизвестный автор, но Флеминг — человек с большими заслугами. В гон создал первую электронную радиолампу (тогда это был еще диод, с чего начался качественно новый этап в развитии радиотехники (причем электронные лампы доминировали в ней примерно полвека).
В примере с мостом Флеминг упустил из виду затухание колебаний. Можно вообразить, что если бы затухания не было, то со временем при обстреле из рогатки мост накопил бы такую энергию, которая могла бы его повредить, но сколько времени мальчику придется стрелять Яне пытался этого прикинуть, но несомненно стрелять придется долго. Может, мальчики не успеет за это время подрасти и, поумнев, отказаться от своей вредной затеи, но уж точно его заметят и совершить теракт ему не удастся. Однако все это сказано в предположении, будто никакого затухания колебаний моста нет.
Психологически ошибка Флеминга, возможно, объясняется тем,
что он имел дело с радиотехническими системами, в которых затухание колебаний за один период намного меньше, чему большинства механических система тем паче у моста. Поэтому там прима- лой амплитуде возмущения накапливается (причем по человеческим понятиям накапливается очень быстро) большая (по сравнению сам- плитудой возмущающей силы) энергия — это может даже повредить неправильно рассчитанную систему. Для моста же (через Темзу ли,
через скромный ли ручеек, говоря на языке наших примеров, не так уж велико, атак как при стрельбе из рогатки a несомненно мало, то мала и амплитуда вынужденных колебаний И все же мостам случалось разрушаться из-за резонанса. Два классических случая — разрушение моста в Испании в наполеоновские времена и разрушение Египетского моста через Фонтанку (С.-Петер- бург) вначале г. Оба моста были цепными период собственных колебаний таких мостов близок к  секунде, а примерно с таким периодом шагают люди и лошади.
В Испании помосту шел отряд пехоты, шагая в ногу, и получилось,
что мост подвергался довольно сильным толчкам, импульсным воздействиям с периодом, практически совпавшим с периодом его собственных колебаний. Несколько таких толчков еще не повредили бы мост, но при сравнительно длинной их серии накопилась такая энергия колебаний, при которой мост разрушился. После этого при прохождении военных отрядов помостам стали подавать команду рас

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

строить шаг, нов г. по Египетскому мосту шел конный отряд,
в котором лошади были обучены особенно стройному церемониальному шагу, команды же расстроить шаг, если она и была подана, не понимали.
Понятно, что в этих случаях амплитуда внешней силы была куда больше, чем при стрельбе из рогатки — на языке наших примеров) тоже, что и раньше, но a гораздо больше, и Aa получилось недопустимо большим. (Могло сыграть свою роль и то обстоятельство, что
Египтский мост, построенный в гни разу не ремонтировался;
цепи вполне могли проржаветь и их прочность снизилась) Теперь при строительстве цепных мостов специально вносят такие особенности в конструкцию, чтобы отодвинуть период собственных колебаний от вероятных периодов тех сил, которые предположительно будут на него действовать.
Читатель вправе выразить скептицизм насчет того, насколько дифференциальное уравнение + ω
2
x = a cos(νt + передает существенные черты колебаний моста, по которому идут в ногу люди или лошади. Речь идет, конечно, не о буквальной точности описания колебаний моста — мост куда сложнее гармонического осциллятора.
Хорошо известно сравнение теоретическая модель явления — это скорее карикатура или шарж, выпукло передающий какие-то существенные особенности изображаемого, а не фотография, воспроизводящая все его черты. Яне знаю точно, кто является автором этих слов. Достоверно известно, что такое сравнение проводил выдающийся советский физик-теоретик Я. И. Френкель,
однако в моей памяти в этой связи почему-то осталось имя отца русской авиации НЕ. Жуковского. Но может быть сам оно карикатурах не говорила это сравнение употребил кто-то другой, говоря о работах Жуковского.
В любом случае имена Френкеля и Жуковского всплывают здесь неслучайно они как раз придумали много карикатур для различных физических задач, в том числе задач технического происхождения (последнее особенно относится к Жуковскому).
Но если уж физическая система имеет период собственных колебаний, то кажется правдоподобным, что ее реакция на внешнюю силу может напоминать реакцию гармонического осциллятора в аналогичных условиях. (Что и подтверждается более общей теорией,

Мост был восстановлен только в гс некоторым изменением конструкции и утратой части декора. Но он остался египетским — его цепи держат сфинксы.

Период одного из ее собственных колебаний — у системы, которая сложнее осциллятора, их может быть несколько


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами о которой здесь, конечно, не может быть речи) Далее, у нас не учтено затухание, даром что он ем говорилось, и кроме того вместо точного равенства частот ν = ω скорее всего имеет место приближ¨енное.
Качественно ответ состоит в том, что при малом затухании и при ω в течение некоторого времени колебания нарастают примерно так, как если бы затухания не было и частоты точно совпадали.
А если за это время нарастание колебаний приведет к разрушению моста или иного объекта, то уже не имеет значения, что кабы он не разрушился, то со временем различия между его колебаниями и решениями () стали бы заметными. И, наконец, самое серьезное возражение сила воздействия человеческих или лошадиных ног на мост непохожа на плавно изменяющуюся со временем величину cos(νt + ϕ) — скорее воздействие ног на мост носит характер периодически повторяющихся толчков, да ведь я, собственно, уже и говорило толчках, импульсном воздействии.
Давайте уточним, каким математическим образом надо описывать подобную силу. Мы, конечно, по-прежнему заменяем мост гармоническим осциллятором и толчки десятков ног — одной «общей»
силой. Она отлична от нуля только в течение коротких отрезков времени вида (t
0
+
nT , t
0
+ ∆
t + nT ). (T — тот период, с которым повторяются толчки. Он пока что может не совпадать с периодом
T
0
=
2
π
ω
собственных колебаний гармонического осциллятора) В течение каждого такого отрезка времени осциллятору (если понимать его как механическую систему) сообщается некоторый импульс не очень большой, но и не очень малый. За это время координата не успевает заметно измениться, скорость же ˙
x увеличивается (или уменьшается, в зависимости от знака P) на некоторую величину в механическом случае V =
P
m
, где m — масса осциллятора).
В пределе при ∆t → 0 (и неизменном P) мы получаем такую картину. Пока t = t
0
, t
0
± T, t
0
± 2T, …, фазовая точка (x, ˙x) движется,
как при свободных колебаниях гармонического осциллятора, т. е.
согласно дифференциальному уравнению ¨
x + ω
2
x = 0. В моменты же времени t
0
+
nT координата x не меняется, а ˙
x увеличивается на V , так что фазовая точка мгновенно перескакивает из положения ), ˙
x(t
0
+
nT )) в (x(t
0
+
nT ), ˙
x(t
0
+
nT ) + V ). Таким образом,
в момент времени t
0
+
nT надо, собственно, говорить о левой произ-

Карикатуру, говоря словами не то Френкеля, не то Жуковского. Впрочем, и допре- дельная модель с гармоническим осциллятором и с охарактеризованной выше силой хотя и может быть довольно точной картиной для некоторых физических задач, но применительно к марширующему помосту отряду является, конечно, карикатурой

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

водной лев ) или правой производной пр ), при этом ), пр )) = (x(t
0
+
nT ), лев ) + V После этого в течение времени T , те. когда t возрастает от до t
0
+
(
n + 1)T , фазовая точка движется, как при свободном колебании гармонического осциллятора, начавшемся в момент времени с начальными значениями (x(t
0
+
nT ), пр )). В момент = t
0
+
(
n + 1)T происходит новый скачок, и т. д.
Упражнение. Покажите, что если подобные импульсные воздействия повторяются с периодом, равным периоду свободных колебаний осциллятора, то колебания неограниченно возрастают (физически это означает, что со временем наше упрощенное описание поведения физической системы станет непригодным — например, мост обрушится).
Указание. Точки (x(t
0
+
nT ), лев )) и (x(t
0
+
nT ), пр )) расположены на одной и той же прямой.
Разрушение мостов — это вс¨
е-таки своего рода экзотика. Намного чаще резонанс приводил к нежелательными даже опасным вибрациям в корабельном деле (да и на заводах тоже. Он может навредить и теперь, но теперь по крайней мере стало ясно, в чем тут дело, а потому можно сознательно принимать меры против резонанса. С другой стороны, резонанс, как и большинство природных явлений, будучи в одних случаях вредным, в других может быть очень полезным. В радиотехнике усиление амплитуды при резонансе — одно из основных явлений, на которых эта область техники основана. (Только они позволяет настроиться на определенную длину волны и принимать соответствующую радиостанцию) Резонанс также нередко используется в различных измерительных приборах.
Теперь мы докажем, что действительно для любых начальных данных найдется решение x с элементарными квазимногочлена- ми и что никаких других решений нет. (При этом мы фактически вновь получим уже известный нам факт, что определенные квазим- ногочлены действительно являются решениями, но теперь наши рассуждения будут сложнее прежних, поэтому имело смысл установить данный факт независимо от этих рассуждений.)
Теорема . Пусть квазимногочлен f (t) имеет показатели µ
1
,
…
…, µ
m
, а степени соответствующих многочленов

суть l
1
,
…, l
m
, так

Напомню, что это название появилось у нас в том самом месте, где определялось понятие квазимногочлена. В () многочленом, соответствующим показателю, является. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
что
f (t) степень p
1
(
t) = l
1
,
…, степень p
m
(
t) = l
m
. (Пусть P(λ) — многочлен со старшим коэффициентом 1, различные корни которого суть, и их кратности равны k
1
, так что) = (λ − λ
1
)
k
1
…(
λ − При произвольных заданных n числах x
0
, ˙
x
0
, имеется ровно одно решение x(t) дифференциального уравнения P(D)x = f , удовлетворяющее начальному условию () (те. начальные значения этого решения и его производных порядка меньше n суть как раз заданные числа x
(
i)
0
). Оно является квазимногочленом, показатели которого суть, и, возможно, корни
λ
i
многочлена P(λ) (все или часть корней. Степени соответствующих многочленов таковы. Если показатель
µ
j
квазимногочлена f не совпадает ни с одним из корней многочлена P, то эта степень равна l
j
. Если
µ
j
совпадает с некоторым из корней многочлена P, скажем сто эта степень равна Если, наконец, корень
λ
i
многочлена P(λ) не совпадает ни с одним из показателей
µ
j
квазимногочлена f (t), то степень многочлена, отвечающего в выражении для x(t), не превосходит k
i
− В той части теоремы, где говорится о существовании и единственности решения x(t) сданными начальными значениями и о том, что это решение является квазимногочленом, формулировка является простой и легко запоминающейся. Говоря о том, какие у x могут быть показатели, мы уже сталкиваемся с возможностью различных вариантов, но они действительно могут быть разными
(приведите примеры, а формулировка при этом вс¨
е-таки остается достаточно простой и запоминающейся. Когда же речь заходит осте- пенях многочленов, отвечающих этим показателям, формулировка удлиняется (это связано с существом дела — приведите примеры),
и возникает опасение, что если запомнить все это и можно, то уж в доказательстве нам предстоит перебор различных возможностей может быть, и не особенно сложный, но громоздкий. Перепробовав несколько вариантов, я нашел самым простым вариант, в котором доказательство разбивается на две части.

«Возможно» относится только к тем из, которые не совпадают ни с одним из
µ
j
Те же корни, которые совпадают, обязательно являются показателями квазимногочле- на x. На теоретико-множественном языке, вероятно известном части читателей,
{
показатели f } ⊂ показатели x} ⊂ показатели f } корни P}.

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Сперва мы докажем, что при любых числах x
0
, дифференциальное уравнение P(D)x = f имеет ровно одно решение x, удовлетворяющее начальному условию (), и что x является квазимного- членом, показатели которого содержатся среди показателей квазим- ногочлена f и корней многочлена P. Но этом этапе ничего не говорится о степенях многочленов, отвечающих показателям квазимно- гочлена x. Фактически из рассуждений данного этапа можно было бы извлечь и информацию об этих степенях, но это-то и сделало бы доказательство несколько громоздким. Затем, уже зная показатели, мы отдельно обсудим вопрос о степенях соответствующих многочленов
(не обращаясь к предыдущим рассуждениям, а действуя иначе).
Главная часть первого этапа доказательства теоремы содержится в следующей лемме.
Лемма . Пусть квазимногочлен f (t) имеет показатели µ
1
,
…
…, µ
m
, а степени соответствующих многочленов суть l
1
,
…, l
m
, так
что
f (t) степень p
1
=
l
1
,
…, степень При произвольно заданном числе имеется ровно одно решение дифференциального уравнения (D − ν)x = f , принимающее при t = значение x(0) = x
0
. Оно является квазимногочленом, показатели которого суть показатели квазимногочлена f и, возможно, Эта лемма является частным случаем утверждения теоремы о показателях, получающимся при n = Доказательство леммы . Сперва мы построим некоторое частное решение y(t) рассматриваемого уравнения (те. какое-то одно его решение, которое будет квазимногочленом с показателями
µ
j
Помимо термина частное решение имеется еще термин общее решение.
Это не одно решение, а семейство решений, зависящих от некоторых констант, которое содержит все решения данного уравнения (каждое конкретное решение получается при каком-то своем значении этих констант. Например общее решение уравнения (D
−
ν)x = 0. Что при каждом C = const получается решение, нам уже известно (но ничего не стоит проверить это еще раз непосредственной подстановкой x = в уравнение. Доказательство того факта, что других решений нет, фактически содержится в рассуждениях,
проводившихся ранее для более общего уравнения (D
−
λ
i
)
k
i
y = 0, но так как там эта сторона дела не акцентировалась, я повторю сделаем замену переменной для z получится уравнение Dz = 0; значит, z = const. Для уравнения) нам фактически тоже известно общее решение — это решения, записанные выше в различных видах (с константами C
i
,
A
i
,
A, ϕ, C). Некоторые из этих общих решений относятся к комплексной области, другие — только


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами к вещественной. Номы пока не доказали ни того, что эти семейства содержат решение с наперед заданными начальными условиями (в одних случаях комплексными, в других — вещественными, ни того, что у уравнения (нет других решений. Впрочем, геометрические соображения из § несомненно доказывают первое и по крайней мере свидетельствуют в пользу второго;
можно сомневаться, в какой степени они доказывают второе, нона самом деле их легко довести до полного доказательства. Все это следует из теоремы Затем мы построим решение того же уравнения, удовлетворяющее произвольным наперед заданным начальным условиям, которое будет квазимногочленом с теми же показателями и, возможно, еще с показателем ν. И наконец, мы докажем, что никаких других решений нет.
Начн¨
ем с частного случая — уравнения (D − ν) y = e
µt
p(t), где p многочлен степени l,
p(t) = a
l
t
l
+
a
l−1
t
l−1
+
… + a
1
t + Поскольку не обращается в нуль ни при одном t, можно перейти к новой независимой переменной z, приняв, что y = e
µt
z. Для z получается уравнение − ν)(e
µt
z(t)) = e
µt
(
D + µ − ν)z(t) = те Попробуем найти какое-нибудь решение последнего уравнения в виде многочлена от t степени l, если µ − ν = 0, и степени l + 1, если µ = Примы подставляем в уравнение ()
z(t) = b
l
t
l
+
b
l−1
t
l−1
+
… + b
1
t + Очевидно + µ − ν)z(t) = (µ − ν)b
l
t
l
+
+
[(
µ − ν)b
l−1
+
lb
l
]
t
l−1
+
… + [(
µ − ν)b
1
+
2
b
2
]
t + [(µ − какой коэффициент стоит здесь при t
i
?). Для того чтобы это выражение равнялось p(t), необходимо и достаточно выполнение системы равенств − ν)b
l
=
a
l
,
(
µ − ν)b
l−1
+
lb
l
=
a
l−1
,
…,
(
µ − ν)b
1
+
2
b
2
=
a
1
,
(
µ − Идя по этой цепочке равенств слева направо, мы видим, что требуемые, существуют

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Когда же = ν, тот. е. z должно удовлетворять уравнению. Было сказано, что мы намерены искать его решение в виде многочлена степени l + 1:
z(t) = b
l+1
t
l+1
+
b
l
t
l
+
… + свободный член не понадобится).
На сей раз подстановка выражения для z в дифференциальное уравнение приводит к выводу, что z(t) является решением тогда и только тогда, когда выполняется система равенств + 1)b
l+1
=
a
l
,
lb
l
=
a
l−1
, Существование требуемых b
l+1
,
b
l
, …,
b
1
очевидно.
Переходя к общему случаю, мы сперва убедимся, что уравнение − ν) y = f (t), где f (t) — квазимногочлен общего вида, как указано в формулировке леммы (его показатели суть, …,
µ
m
, соответствующие многочлены суть p
i
), имеет решение y(t), которое принимает заданное начальное значение и является квазимногочленом с показателями. Теперь это совсем просто. Мы уже знаем, что существуют решения уравнений (D − ν) y
j
=
e
µ
j
t
p
j
(
t), являющиеся квазимного- членами с показателями. Сумма y этих y
j
, очевидно, является решением уравнения (D − ν) y =
e
µ
j
t
p
j
(
t) = f (t), причем это решение — квазимногочлен с показателями
µ
j
Мы пока не заботились о начальном условии. Пусть задано начальное значение x
0
. Заметим, что уравнение (D − ν)z = 0 имеет решения вида z = Ce
ν t
, где C — произвольная константа. (Вообще-то это явно или неявно нам уже известно, а вс¨
е-таки — почему) Наряду с построенным выше частным решением y(t) уравнения (D − ν)x =
=
f (t) функция x = Ce
ν t
+
y(t) тоже является решением последнего уравнения (почему. Начальным значением этого решения является начальное значение будет равно x
0
, если взять = x
0
− y(0). К прежнему набору показателей решения добавился еще показатель ν, если C = 0 и если ν не совпадает ни с одним из Наконец, докажем единственность решения с заданным начальным значением. Допустим, что наряду с известным нам квазимного- членом x(t) имеется еще одна функция y(t), для которой (D − ν) y = и y(0) = x
0
. Тогда функция z = x − y удовлетворяет однородному уравнению, а ее начальное значение z(0) = 0 (это ясно. Все решения уравнения (D − ν)z = 0 имеют вида если z(0) = 0, то = 0 и z тождественно (те. при всех t) равно нулю.
Замечание.
Выше мы использовали применительно к нашему уравнению два принципа, относящихся к общим линейным уравнениям, где оператор P(D) может даже иметь перемен


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ные коэффициенты (но должен быть линейным. Во-первых, если решение дифференциального уравнения P(D)x = f , а y решение P(D) y = g, то z = x + y — решение уравнения P(D)z = f + g.
Во-вторых, общее решение неоднородного уравнения P(D)x = f получается из любого частного решения y этого уравнения прибавлением к y общего решения z однородного уравнения P(D)z = Упражнение. Извлеките из приведенных рассуждений утверждение о степенях многочленов, фигурирующих в квазимногочлене x(t):
. Если ν не совпадает с показателем µ
i
квазимногочлена f , тосте- пень многочлена, отвечающих показателю та же, что ив. Если совпадает с одним из показателей квазимногочлена f , скажем, сто степень соответствующего многочлена равна l
i
+
1. Наконец, если не совпадает ни с одним из µ
i
, а в x(t) имеется слагаемое, отвечающее показателю ν, то степень соответствующего многочлена равна нулю (так что соответствующее слагаемое есть Ce
ν с некоторой константой короче, в этом случае) =
e
µ
i
t
q
i
(
t) + Ce
ν где степени q
i
=
l
i
, аи может равняться .
. Если ν совпадает с одним из показателей квазимногочлена f скажем сто степень соответствующего многочлена равна l
i
+
1, так что) степень при j = i, степень Вместе с настоящим утверждением лемма составляет в точности частный случай теоремы для n = Первый этап доказательства теоремы . По существу, он состоит в многократном применении леммы , но оформлен будет как рассуждение, ведущееся индукцией по степени n многочлена P(λ), т. е.
по порядку дифференциального оператора P(D) — при этом, мне кажется, конец доказательства получается короче. При n = 1 теорема совпадает с леммой и потому верна. Пусть теорема доказана для всех многочленов степени n − 1. Докажем ее справедливость для многочлена) степени n. Как обычно, мы считаем, что старший коэффициент) равен 1, что не ограничивает общности.
Пусть
λ
1
— один из корней P(λ). Тогда P(λ) = (λ − λ
1
)
Q(λ), где) — многочлен степени n − 1. Он тоже имеет старший коэффициент, так что Q(λ) = λ
n−1
+
R(λ), где R(λ) — многочлен степени n − 2,
R(λ) =
n−2
j=0
a
j
λ
j

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Перепишем дифференциальное уравнение P(D)x = f в виде (D − λ
1
) ×
× Q(D)x = f и введем новую неизвестную y = Q(D)x. Тогда наше уравнение сводится к двум − λ
1
)
y = f ,
Q(D)x = Если y и x удовлетворяют этим уравнениям, то x является решением уравнения P(D)x = f . А если x является решением последнего уравнения, то y = Q(D)x является решением первого из уравнений () ив тоже время по самому определению y интересующая нас функция) является решением уравнения Q(D)x = Посмотрим, какие будут начальные условия для решений x, уравнений (), если мы хотим, чтобы x удовлетворяло заданным начальным условиям) = x
0
,
˙
x(0) = ˙
x
0
,
…,
x
(
n−1)
(0) Первые n − 1 из этих условий являются начальными условиями для того же x(t), рассматриваемого как решение второго из уравнений) (это уравнение (n − го порядка. Что же до начального значения решения y(t) первого из уравнений (), то по самому определению = Q(D)x = D
n−1
x + R(D)x = Если производные x
(
i)
(0) =
x
(
i)
0
(
i = 0, …, n − 1), то y(0) должно равняться. Итак, в качестве начального условия для надо принять такое условие y(0) = y
0
, где По лемме первое из уравнений () имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = y
0
. Это решение является квазимногочленом, показатели которого суть показатели и, возможно, λ
1
. По предположению индукции, второе из уравнений) (с этим y) имеет единственное решение x(t), удовлетворяющее начальному условию) = x
0
,
˙
x(0) = ˙
x
0
,
…,
x
(
n−2)
(0) Оно является квазимногочленом, показатели которого — это показатели и, возможно, некоторые из корней многочлена Q(λ). Стало быть, показатели x — это, во всяком случае, показатели f и еще, может быть, корни Q и λ
1
. А корни Q и являются корнями многочлена. Выходит, что x имеет как раз такие показатели, о каких говорится в теореме .


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Надо еще убедиться, что x(t) удовлетворяет начальному условию. Ведь сейчас x(t) — это решение второго из уравнений (и это решение, как и положено для решения уравнения (n − го порядка, удовлетворяет начальному условию (), предписывающему значения для производных x
(
i)
(0) с 0
i
n − 2, но ничего не говорящему об x
(
n−1)
(0). Надо проверить, действительно ли другие детали построения обеспечивают, что x
(
n−1)
(0) Уравнение Q(D)x = y равносильно тому, что D
(
n−1)
x +
n−2
j=0
a
j
D
j
x = откуда) =
y(0) −
n−2
j=0
a
j
x
(
j)
(0) а выше, обсуждая начальное условие для y, мы как рази взяли такое, что эта разность равна x
(
n−1)
0
. Утверждение теоремы о показателях полностью доказано.
Доказательство той части теоремы , где говорится о степенях многочленов, отвечающих показателям квазимногочлена x(t), основывается наследующей лемме.
Лемма Пусть x(t) — квазимногочлен, у которого показатели суть ν
1
,
…, и соответствующие многочлены имеют степени, m
s
. Тогда P(D)x(t) — квазимногочлен, у которого показатели
содержатся среди показателей квазимногочлена x(t), и для любого
из показателей P(D)x(t) степень соответствующего многочлена не
выше m
i
. Если P(ν
i
) = то заведомо является одним из показателей квазимногочлена P(D)x(t) и степень отвечающего ей многочлена
равна m
i
. Если же является кратным корнем многочлена P, то
при m
i
< у квазимногочлена P(D)x(t) нет показателя ν
i
, а при
m
i
k
i
такой показатель имеется и отвечающий ему многочлен
имеет степень m
i
− Действительно, если x =
s
i=1
e
ν
i
t
p
i
(
t), то P(D)x =
P(D) e
ν
i
t
p
i
(
t) По лемме  каждое P(D) e
ν
i
t
p
i
(
t) , если это не тождественный нуль

,
есть квазимногочлен вида e
ν
i
t
q
i
(
t), где степени многочленов не выше степеней и совпадают с последними, когда P(ν
i
) = 0 (уж в этом- то случае P(D) e
ν
i
t
p
i
(
t) не является тождественным нулем. Когда же является кратным корнем многочлена P, то по той же лемме

Некоторые из выражений P(D) e
ν
i
t
p
i
(
t) вполне могут тождественно равняться нулю. В этих случаях не являются показателями P(D)x(t).

§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами) e
ν
i
t
p
i
(
t) = 0 (тождественно) при k
i
> и) = многочлен степени при k
i
m
i
. Тем самым лемма  доказана.
Упражнение. С помощью леммы доведите до конца доказательство теоремы напоминаю, что в той ее части, которая пока что не была доказана, речь идет о степенях многочленов r
i
, фигурирующих в представлении x(t) Мы выяснили, какой вид имеют решения однородного дифференциального уравнения () — это квазимногочлены с определенными показателями в экспоненциальных множителях и определенными степенями многочленов, на которые эти экспоненты умножаются.
В общей сложности у этих многочленов имеется n коэффициентов.
Если нам заданы начальные условия, то потребовав, чтобы квазим- ногочлен с неопределенными коэффициентами и его производные надлежащих порядков имели заданные начальные значения, мы получим систему n линейных алгебраических уравнений для определения этих неопределенных коэффициентов (мы об этом уже говорили где. Коль скоро соответствующий квазимногочлен существует и единствен, то данная система имеет единственное решение. С соответствующими изменениями сказанное относится и к неоднородному уравнению (), в правой части которого стоит квазимногочлен.
В этом случае мы ищем решение в виде некоторого выражения с большим числом неопределенных коэффициентов, но уравнений для их определения получается столько же, сколько имеется коэффициентов. Мы по-прежнему можем заранее быть уверенными, что система имеет единственное решение (почему. Тем самым вопрос об интегрировании уравнения () (или () с квазимногочленом
f (t)) полностью реш¨
ен.
К сожалению, практически это решение не всегда удовлетворительно. Дело в том, что при увеличении порядка n уравнения (или () решение соответствующей системы алгебраических линейных уравнений быстро становится все более сложным делом. К счастью, имеется способ, позволяющий менее громоздким образом находить непосредственно решения, принимающие при t = 0 заданные начальные условия, не обращаясь к общему виду всех решений и не подбирая соответствующих коэффициентов. Этот способ был открыт
О. Хевисайдом и является составной частью предложенного им операционного исчисления.
О. Хевисайд (—) — английский инженер, физики прикладной математик, занимавшийся более всего вопросами электротехники, техни-


§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ки связи и теории электромагнитного поля. Он не имел систематического математического образования и доходил до всего своим умом. Поэтому у самого Хевисайда операционное исчисление не имело строгого математического обоснования ион даже не тревожился поэтому поводу ему приписывают слова Если суп вкусный, то какое мне дело, как он сварен (Можно возразить А тогда где гарантия, что в суп не залетела муха или, еще хуже, не попала бледная поганка) Однако впоследствии хевисайдовская рецептура была оправдана.
Оправдания можно достичь несколькими способами. Мне известны пять. Они, правда, имеют различную степень общности, но все одинаково хорошо покрывают вопрос о решениях уравнения P(D) = f с квазимного- членом f и с предписанными начальными значениями. Эти способы были предложены различными авторами в различное время первые предложения появились примерно через четверть века после первых публикаций
Хевисайда на эту тему. Впрочем, у О. Коши имелось нечто вроде довольно значительного и вполне строгого фрагмента операционного исчисления,
прич¨
ем он основывался, по существу, на одном из тех способов, которые впоследствии были привлечены для реабилитации Хевисайда. Как ни странно, я не встречал в литературе упоминаний об этом факте. Правда,
этот способ менее удобен, чем другой, и был оставлен.
Однако я не буду об этом рассказывать — это завело бы нас слишком далеко. Я только приведу пример, показывающий, что действительно бывает возможно найти решение x(t) уравнения () с заданными начальными значениями, не обращаясь к общему виду всех решений () и не определяя соответствующих коэффициентов с помощью системы n линейных уравнений. Яне буду объяснять, как в операционном исчислении получается приведенная ниже формула,
но читатель при желании можете е получить, используя только те сведения, с которыми он познакомился в настоящем параграфе.
Упражнение. Пусть все корни
λ
i
многочлена P(λ) — простые,
и пусть x(t) — решение () с начальными данными x
(
i)
(0)), 0
i < Обозначим через произведение − λ
i
) =
P(λ)
λ
−
λ
i
. Заметим, что в Q
i
(0) входят только производные, 0
i < n, и поэтому при заданных начальных данных мы можем легко вычислить значение) функции Q
i
(
D)x при t = 0. Докажите, что) Примените эту формулу к уже известной нам задаче о свободных колебаниях гармонического осциллятора с заданными начальными условиями