Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Упражнение. Докажите, что ln( xy) = ln x + ln что ln x — возрастающая функция на положительной числовой полуоси, равная нулю при x = 1 (значит, она положительна при x > и отрицательна при x < 1), и что эта функция непрерывна. Указание. Ввиду (), непрерывность достаточно доказать только при x = 1 (почему. При y > 0 имеем e y > 1 + y почему, откуда следует (как, что когда x > 1, то 0 < ln x < x − 1. Для x < 1 используйте, что ln x = − Упражнение. Докажите, что функция ln x — не только непрерывная, но и дифференцируемая, причём (ln Указание. Покажите, что достаточно установить её дифференци- руемость в точке x = 1 и то, что её производная в этой точке равна. Последнее равносильно такому утверждению lim h→0 ln(1 +Положим y = ln(1 + h). Тогда при h → 0 и y → 0, поэтому достаточно доказать (почему, что lim y→0 y e y − 1 = 1. Последнее равносильно замечательному пределу (), который означает просто, что e ′ (0) = Заключительный штрих — доказательство того, что lim n→∞ 1 +существует и совпадает с e = e(1). Для этого мы установим, что + 1 n n e 1 +при Когда это будет доказано, все сведется к следующему упражнению. Упражнение. Пусть имеются такие две последовательности и что при всех n 0 < и Докажите, что тогда Очевидно, () равносильно тому, что +и +Доказательство () совсем просто 1 n k k! 1 k=0 1 n k k! = 1 + 1 n § . Показательная функция (отброшенные слагаемые все. Доказательство () чуть сложнее. Когда x < 1, то 1 − заполните пропущенные места в рассуждении. Возьмем x = 1 n + 1 . Получим 1 − 1 n + 1 = n + 1 n = 1 +Экспонента в комплексной области Фактически предложение Эйлера определять как сумму соответствующего ряда относилось не к вещественным, а к комплексным Что такое с вещественными x — это определили задолго до него на традиционном пути (пусть они не был скоростным хайвеем); основные свойства этой функции, включая и формулу e x = ∞ n=0 x n n! , тоже были известны. А вот придать какой-то смысл с комплексными до Эйлера, кажется, даже не пытались. Напомню, что если обычные вещественные числа можно известным способом изображать точками прямой линии, на которой выбрано начало отсчёта (оно изображает нуль, указано положительное направление и установлен масштаб, то комплексные числа стем же успехом можно изображать точками плоскости, на которой введены декартовы координаты, те. выбраны две взаимно перпендикулярные прямые, объявленные осями x и y, указано положительное направление на каждой из этих осей и установлен масштаб. Комплексное число с вещественными x и y) изображается точкой плоскости с координатами (x, y). Можно также пользоваться радиус-вектором этой точки (те. вектором −→ Oz с началом вначале координат O икон- цом в точке z; в понятном смысле он тоже имеет координаты, для изображения того же комплексного числа. (Точки z и их радиус- векторы −→ Oz взаимно заменяемы», пока O остается на одном и том же месте.) В геометрических терминах легко описываются сложение и умножение комплексных чисел. Так, сумма двух комплексных чисел изображается вектором −→ Oz 1 + рис. ). О геометрическом изображении произведения комплексных чисел будет сказано далее, То есть таковы его проекции на оси x и y, взятые с подходящими знаками § . Показательная функция 0 z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 y 1 y 2 Рис. вначале же обычно дают формальное определение если те. изображается точками (x j , y j )), то z 1 z 2 изобража- ется точкой y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Нужно, конечно, проверить, что введённая операция действительно обладает обычными алгебраическими свойствами — коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью и что при этом i 2 , где i отвечает точке (0, действительно равно −1, те. точке (−1, 0). Проверка требует некоторого места, ноне вызывает затруднений. Наконец, напомню, что абсолютная величина (синонимы норма, модуль) |z| комплексного числа z — это расстояние от указанной точки до начала координат (или, что тоже самое, длина радиус-вектора этой точки. Используя теорему Пифагора, легко найти, что |z| Можно считать, что комплексные числа — это просто точки плоскости (или соответствующие радиус-векторы). При этом комплексные числа лишаются таинственности, которая была им присуща до того, каким была дана геометрическая трактовка. По буквальному смыслу сказанного, здесь мы попадаем в «зависимость» от геометрии. Хорошо известно, однако, что хотя эта зависимость полезна для нашего воображения, её можно считать кажущейся, считая, что точка плоскости — это просто пара вещественных чисел (x, y). В терминах таких пар легко определяются сложение и умножение. Геометрия при этом оста- ётся весьма полезным языком (мы называем пары (x, y) точками, и т. д.), На всякий случай напоминаю, что это объясняется желанием иметь возможность перемножать и x 2 + iy 2 , пользуясь обычными алгебраическими правилами дистрибутивностью (правилом раскрытия скобок) и т. да также тем, что Значит, нам надо, чтобы было) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + ix 2 y 1 + i 2 y 1 y 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). § . Показательная функция но и только языком. Абсолютную величину комплексного числа z тогда надо с самого начала определять как x 2 + y 2 Но возникает вопроса откуда мы знаем, что написанный квадратный корень существует Теперь-то мы это знаем квадратным корнем из положительного числа a служит a 1 2 = e 1 2 ln a . А чтобы мы делали, если бы у нас не было экспоненты Я говорю об этом потому, что в процессе учёбы комплексные числа появляются не только независимо от экспоненты, но обычно и раньше. Впрочем, в физматшколах (по крайней мере, некоторых) существование квадратного корня аккуратно доказывают тоже до появления экспоненты. С чисто логической точки зрения можно было бы этого не делать, а просто пользоваться квадратным корнем, сказав, что его существование будет доказано позднее. Не знаю, правда, насколько педагогически оправданным было бы такое построение курса математики, при которых некая (и немаловажная) его часть какое-то время оставалась условной, как бы подвешенной в воздухе. По традиции во вводных курсах теории функций комплексного переменного независимую переменную (которая теперь может быть комплексным числом) обозначают через z и при этом подразумевают, что z = x + iy с вещественными x, y). На более поздних этапах соблюдение такого соглашения уже не считают обязательным. Номы только начинаем работать с комплексными числами и функциями от них, поэтому давайте ему следовать. Для комплексных z мы по-прежнему определяем e(z) как ∞ n=0 z n n! Доказательство сходимости сохраняется дословно. Небольшие изменения надо внести в доказательство дифференцируемости. Но до этого надо сказать, что понимают под производной для функции комплексного аргумента f (z), принимающей (вообще говоря) комплексные значения. Наглядное представление о мгновенной скорости в этом случае отпадает, однако отсутствие такого наглядного смысла не мешает тому, чтобы по-прежнему определять производную) как предел lim h→0 f (z + h) − f (z) h . Понятие предела в комплексной области по существу не отличается от привычного «вещественного» определения. В данном случае развёрнутая формулировка гласит дифференцируема в точке z, если существует такое комплексное число a, что для любого ǫ > 0 имеется такое δ > 0, что для всех Использовавшаяся теорема, связанная со сравнением слагаемых двух рядов, справедлива ив комплексной области. (В этом можно убедиться, применяя эту теорему отдельно к рядам, составленным из вещественных (или мнимых) частей слагаемых исходного ряда § . Показательная функция с |h| < δ выполнялось неравенство (z + h) − f (z) h − a < Подобно тому как это имеет место в вещественной области, такое может быть только одно. Оно называется производной функции в точке z и обозначается через f ′ ( z). Известные нам утверждения о производной суммы или произведения сохраняются дословно и их доказательства не меняются. В вещественном случае, говоря о пределах или непрерывности, часто употребляют более короткие формулировки, говоря о всех достаточно малых h». Они сохраняются ив комплексной области, только надо иметь ввиду, что эти h теперь подразумеваются комплексными (а малость понимается как малость В нашем изложении свойств экспоненты главную роль играла теорема . Её формулировка дословно сохраняется ив комплексном случае. В доказательстве нужны небольшие пояснения и изменения. В нём фигурировала функция f (x) = e n ( ax)e n ( bx)e n ( cx). Это многочлен от x, поэтому она определена при всех x, даже комплексных, нонам она нужны только при вещественных x из отрезка. Вычисление её производной сохраняется при всех неравенство | f ′ ( x)| 3 e 2 ( m) m n+1 n! — при 0 x 1. (В комплексной области по-прежнему справедливо утверждение, что если |z| m, то e(m), — почему) Теперь нужен был бы комплексный вариант леммы в нём речь должна идти о функции f (x) от вещественного аргумента x, принимающей комплексные значения. На самом деле в комплексной области лемма справедлива дословно, но доказательство такого утверждения потребовало бы от нас некоторых дополнительных усилий и места. Для наших целей вполне достаточно и более слабого варианта: Лемма . Пусть функция f : [a, b] дифференцируема во всех точках отрезка [a, b] и всюду | f ′ ( x)| M. Тогда f (b) − f (a)| 2 M(b − Упражнение. Докажите лемму , применяя лемму к вещественной и мнимой частям функции f Лемма позволяет сделать вывод, что при a + b + c = 0 |e n ( a)e n ( b)e n ( c) − 1| 6 e 2 ( m) m n+1 n! § . Показательная функция Это неравенство вдвое хуже, нежели то, которое мы получили в вещественном случае, нос его помощью тоже можно (ипритом точно таким же образом) прийти к заключению, что e(a)e(b)e(c) = Далее дословно также получается, что e(z) = 0, e(−z) и) = e(z + w). После этого дословно проходит доказательство дифференцируемости e(x) итого, что e ′ ( x) = Определив функцию наша e(z)) для комплексных z, Эйлер поинтересовался её значениями для чисто мнимых z. При подстановке = it вряд члены сч тными k = 2n переходят вас нечётными k=2n+1 — в проверьте. Получается, что + почему законно представление ряда () в виде суммы двух рядов?). Эйлер знал, что = ∞ n=0 (−1) n t 2 n (2 n)! , sin t = ∞ n=0 (−1) n t 2 n+1 (2 n + Таким путём он пришёл к формуле Эйлера + i sin одной из самых замечательных формул во всей математике Но читатель может и не знать формулы (), поэтому его вниманию предлагается следующее рассуждение. Временно забыв о триго- Здесь предполагается, что обе тригонометрические функции — это функции угла с радианной мерой После этого Эйлер предложил определить для комплексных z функции cos z и sin с помощью тех же рядов ∞ n=0 (−1) n z 2 n (2 n)! и ∞ n=0 (−1) n z 2 n+1 (2 n + 1)! . При таком определении оказывается, что e iz = cos z + i sin z как для вещественных, таки для комплексных z. Нонам это не понадобится. А. Н. Крылов (—) — выдающийся прикладной математик, механики потому академик, корабельный инженер (и потому контр-адмирал и генерал-лейте- нант), а также знаток истории физико-математических и примыкающих к ним технических наук, — сказало формуле e πi = −1 (получающейся из () при t = π), что она символизирует единство математики, ибо в ней «−1 представляет арифметику — алгебру, π — геометрию и e — анализ. Позволю себе добавить, что знак равенства можно считать представляющим математическую логику (она была далека от научных интересов Крылова, а её прикладное использование широко развернулось только после его смерти, так что когда он говорило формуле e πi = −1, о математической логике он, видимо, не подумал § . Показательная функция нометрии, определим функции cos t и sin t с помощью рядов (), аза- тем докажем, что эти наши функции совпадают с теми, с которыми читатель познакомился в школе и которые обозначались точно также. Пока мы не установили, что ряды в () представляют обычные тригонометрические функции, обозначим суммы этих рядов так = ∞ n=0 (−1) n t 2 n (2 n)! , sin t = ∞ n=0 (−1) n t 2 n+1 (2 n + Тогда, конечно + isin Функция z(t) = является решением дифференциального уравнения, точно также, как раньше мы говорили, что z(t) = является решением дифференциального уравнения ˙ z = az. Действительно, свойство () имеет место ив комплексной области, как видно из его доказательства. Поэтому de it dt = de x dx x=it d(it) dt = e it i. Производная по t комплексно сопряжённой функции z(t) является комплексно сопряжённой по отношению к ˙ z(t) (почему, так что. Применяя формулу Лейбница +u˙ v, получаем ¯¯ z ) = ˙z¯¯ z + z˙z = iz ¯¯ z − iz¯¯ z = А когда t = 0, то z(t) = e i0 = e 0 = 1. Значит, при всех точка z(t) (точнее, изображающая её точка плоскости) находится на единичной окружности. Вектор, изображающий скорость движения этой точки (сиз- менением t), — это вектор, отвечающий комплексному числу ie it ; он получается из вектора, отвечающего z(t), поворотом напротив часовой стрелки (рис. ). Длина же этого вектора при |z| = 1 тоже равна 1. Стало быть, z(t) (с изменением t) движется по единичной То есть окружности единичного радиуса с центром вначале координат. Пусть z = x + iy = x · 1 + y · i. Число 1 изображается единичным вектором оси иксов (исходящим из O вектором единичной длины, направленным по оси x в положительном направлении, а число i — единичным вектором оси игреков. Приумножении на i оба вектора поворачиваются напротив часовой стрелки (1 переходит в число i, изображаемое вектором e y , а число i — в число −1, изображаемое вектором −e x ). Значит, также поворачиваются векторы и ye y , а следовательно, и их сумма § . Показательная функция e it ie it x y Рис. окружности против часовой стрелки с единичной скоростью и проходит за время t дугу длины t. Величина центрального угла, стягиваемого этой дугой, тоже равна В геометрии положение точки A единичной окружности характеризуется полярным углом этой точки — углом между положительной полуосью иксов и лучом OA. Насчёт угла принимаются обычные соглашения положительный угол отсчитывается против часовой стрелки, так что если A лежит ниже оси иксов, то положительный угол, характеризующий направление OA, будет больше 180 ◦ , или, выражая его в радианах, больше кроме того, допускается говорить об отрицательных углах и углах, больших 360 ◦ , те, в радианной мере, больших 2 π; углы ϕ и ϕ ± 2π характеризуют одну и туже точку A. Таким образом, полярный угол ϕ точки равен t. Наконец, обычные декартовы координаты x, y точки A (по-прежнему лежащей на единичной окружности) можно выразить через её полярный угол ϕ с помощью школьных тригонометрических функций = cos ϕ, y = sin Скорее всего, определение синуса и косинуса произвольного угла, с которым в своё время познакомился читатель, как рази состояло в том, что cos ϕ, sin ϕ суть координаты той точки единичной окружности, у которой полярный угол равен. Если определение было каким-то другим, то всё-таки легко убедиться в (). Опустим из A перпендикулярна ось x и обозначим через основание этого перпендикуляра. Из треугольника = |OA ′ | = cos ∠A ′ OA, | y| = |AA ′ | = sin В первом квадранте (где x, y 0) () совпадает с (). Но надо посмотреть ещё, что получится, когда A лежит в других трёх квадрантах. Например, во втором квадранте, где x 0, y 0, имеем = −|x|, y = | y|, cos ∠ AOA ′ = − cos ϕ, sin и () снова приводит к (). § . Показательная функция 0 x y z=re iϕ e iϕ ϕ r Рис. А раз полярный угол точки равен t, то e it = cos t + i sin t. Сравнивая это с (), приходим к выводу, что cos t = cos t, sin t = sin t. И повторим еще раз, что комплексное число с вещественным) представляется точкой единичной окружности с полярным углом. Число же представляется точкой стем же полярным углом, лежащей на окружности радиуса r с центром в O рис. После сказанного ясно, что при геометрической трактовке произведения комплексных чисел и надо пользоваться не декартовыми, а полярными координатами. Пусть имеет полярные координаты, те. Тогда имеет полярные координаты, те. Линейные уравнения с постоянными |