Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
§ . Примеры фазовых портретов После этих общих разговоров познакомимся с простейшими фазовыми портретами систем физического происхождения. При n = 1 фазовый портрет выглядит неинтересно. Это прямая, на которой отмечены точки, являющиеся положениями равновесия (в них, напомню, f (x) = 0); они разбивают прямую на некоторые интервалы на последних поставлены стрелки, указывающие направление движения при увеличении Так что интересными бывают фазовые портреты для систем второго порядка. Системы () и (), описывающие свободное падение и гармонический осциллятор, как раз являются автономными системами второго порядка. В древности наивно полагали, будто состояние движущегося тела сводится к его положению, что приводило к парадоксу, известному под названием стрела. Чем отличается летящая стрела от покоящейся, которая занимала бы тоже положение, какое в данный момент занимает летящая стрела Если они находятся водном и том же состоянии, а никакие внешние факторы на них не действуют, то почему же одна летит, а другая неподвижна Автор этого парадокса, Зенон (ок. дон. э, приводил его в защиту того мнения, что на самом деле движение — это одна видимость («движенья нет, сказал мудрец брадатый...»). Но соврем н Галилея и особенно Ньютона мы понимаем, что состояние движущегося тела характеризуется не только его положением, но и скоростью (физик вместо скорости предпочёл бы говорить об импульсе, нонам это всё равно). Переписывая уравнения () ив виде систем (), (), мы как рази добавили к переменной x новую переменную y, равную скорости изменения Пожалуй, в одномерном случае самое интересное качественное явление — «взрыв», но он-то и невиден непосредственно на фазовой прямой. Если, скажем, f (a) = 0 и справа от a всюду f (x) > 0, то решения с начальными значениями в интервале (a, неограниченно возрастают (почему неограниченно на их возрастание указывает стрелка, которая на этом интервале направлена направо однако на рисунке никак не отражается, уходит ли решение в бесконечность за конечное или бесконечное время. Некоторые представители средневековой схоластики того времени, когда европейцы уже познакомились (хотя, по-видимому, ещё не полностью) с античными и арабскими достижениями, а творческий дух ещё не покинул тогдашних схоластов, уже приближались к тому же пониманию. Но это, по-видимому, не оказало влияния на развитие науки § . Примеры фазовых портретов Нарисуем фазовый портрет для гармонического осциллятора , т. е. для системы (). Сперва мы чуть-чуть упростим эту систему, причём начнём упрощение нес неё самой, ас уравнения (). Сделаем «замену времени, приняв вместо t за независимую переменную «новое время = at, где a — постоянное число, которое мы сейчас подберем. Так как согласно (то уравнение (), записанное в терминах нового времени, имеет вид = 0. Возьмём a = ω и обозначим новое время τ снова через тогда на можно сократить, и получится уравнение ¨ x + x = Соответствующая система в нормальной форме есть = y, ˙ y = Вопрос к читателю совпадают ли переменные x и y, фигурирующие в (), с прежними x и y из ()?) Так как x теперь — это первая координата фазовой точки, то во избежание путаницы саму эту фазовую точку я теперь обозначу не через x как раньше, а через z. Её координаты суть x и y, те. Вектор фазовой скорости в этой точке f (z) = ( y, −x). Как получить вектор f (z) из радиус-вектора z (я, как видно, несколько небрежно позволяю себе считать z то точкой на плоскости, то радиус-вектором этой точки Оказывается, он получается поворотом радиус-вектора z на почасовой стрелке. Сейчас мы поясним это геометрическое утверждение. Пусть сперва точка z лежит в первом квадранте, где x, Обозначим через е проекцию на ось x, через w — её образ при отображении f , которое переводит точку (x, y) в ( y, −x) (как видно, я вектор фазовой скорости на минуту готов представлять себе как точку, являющуюся концом этого вектора, если отложить его не от z, как говорилось выше, а от O), так что для координат u и точки w имеем u = y, v = −x) и через w ′ — проекцию w на ось Фазовый портрет для свободного падения, те. для системы (), менее интересен. При желании читатель легко нарисует его сам, что, как обычно, может быть рекомендовано в порядке тренировки. Радиус-вектор точки A — это вектор, проведённый изначала координат O в точку. Он имеет те же координаты, что и Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Их принято нумеровать, как показано на рис. где стрелки на координатных осях указывают принятые на них положительные направления § . Примеры фазовых портретов 0 x y I II III IV Рис. z=(x, y) w=( y, −x) z ′ w ′ f Рис. эта проекция находится на отрицательной полуоси. (См. рис. .) Ясно, что длины |Oz ′ | = x, |z ′ z| = y, |Ow ′ | = |v| = | − x| = x = |Oz ′ |, |ww ′ | = |u| = | y| = y = Таким образом, прямоугольные треугольники и △Ow ′ w имеют одинаковые катеты, и потому равны. Значит, ∠z ′ Oz = ∠w ′ Ow это углы между гипотенузой и равными катетами. Отсюда следует, что ∠w ′ Ow = 90 ◦ − и ∠wOz = ∠wOz ′ + ∠ z ′ Oz = Наконец, поворот на от Oz к происходит почасовой стрелке (а не противне, ибо именно при таком повороте точка попадает из первого квадранта в четвёртый, где лежит точка w ведь её координаты = y 0, v = −x К сожалению, частый недостаток геометрических рассуждений, привязанных к рисунку, состоит в том, что рисунок относится к некоторому частному случаю (у нас к тому случаю, когда z лежит впер- вом квадранте. При другом расположении тех или иных деталей рисунок получается несколько иным (у нас это будет, когда z лежит в других квадрантах, и приходится начинать с начала. Читатель может сам провести (всё ради тренировки) геометрические рассуждения для оставшихся трёх случаев (различающихся тем, в каком квадранте лежит z). Мне же кажется, что в этом месте проще переключиться на более алгебраический образ мыслей. Приводимое ниже рассуждение, может быть, выглядит не короче геометрического, но уж точно большую часть места в соответствующем тексте занимает алгебраизированное резюме ситуации, а та часть текста, которая может претендовать на нечто новое сравнительно с предыдущим, занимает всего несколько строк. Если хорошо подготовленный читатель скажет, что такой части нет, я не буду возражать. Я, пожалуй, был бы не прочь подвести и менее подготовленного читателя к такой мысли § . Примеры фазовых портретов Итак, резюмирую. Наша цель — сравнить отображение f плоскости в себя (переводящее, повторяю, точку (x, y) в ( y, − x)) с поворотом R плоскости на 90 ◦ по часовой стрелке. (Буква R призвана напоминать о rotation.) Заметим, что итерации f 2 и этих отображений (как только что объяснялось в подстрочном примечании, это отображения, получающиеся при повторении и R ещё один раз, совпадают с центральной симметрией S с центром симметрии вначале координат. S переводит точку (x, y) в ( − x, − y), те в − z (опять рассматриваем z как вектор А ну, порося, превратись в карася!») Для R это геометрически очевидно (два поворота подряд на 90 ◦ — это поворот на 180 ◦ , а они есть S), для f же видно из той формулы, которая определяет. Наконец, обозначим первый квадрант через Q. Нам известно, что в точках Q отображения f и R совпадают, а мы хотим доказать, что они совпадают во всех точках плоскости. Сперва мы докажем, что в точках Q совпадают итерации и с i = = 1, 2, 3, 4. (Ещё раз напоминаю, что, например) = f ( f ( f (z))).) При i = это нам известно, а приданные итерации совпадают вообще во всех точках плоскости (ведь f 2 = R 2 = S, а тогда и f 4 = S 2 = R 4 ; последнее отображение является тождественным отображением плоскости, те. оно оставляет каждую точку на месте. Остаётся i = 3. Если z лежит в Q, то) = f 2 ( f (z)) = S( f (z)) = S(R(z)) = R 2 ( R(z)) = мы сперва заменили на S, затем f (z) на R(z) — ведь z лежит в Q, где f и совпадают, — и, наконец, S на А теперь заметим, что точка z, лежащая во втором, третьем или четвёртом квадранте, является образом некоторой точки из Q при отображении или f соответственно. Короче, z = f (z ′ ), где = 3, 2 или 1. По доказанному) стем же. А тогда f (z) = f i+1 ( z ′ ), причём i + 1 = 4, 3 или 2. По доказанному, f i+1 ( z ′ ) = R i+1 ( z ′ ) = R(R i ( z ′ )) = R(z). Приехали! Что же это за кривая, касательная к которой в каждой её точке перпендикулярна радиус-вектору этой точки Такая кривая известна из школьного курса геометрии — это окружность с центром в O. Итак, фазовая траектория точки z — это окружность радиуса |z| с центром в O рис. ). Итерировать отображение — это значит повторить его несколько раз кратная итерация — это) = f ( f (…( f n раз ( x))…)). Таким образом, здесь обозначает нею степень, а кратную итерацию. Обозначения итераций похожи на обозначения степеней, но сейчас опасность путаницы будет исключена по той причине, что f (z) или R(z) — это точка плоскости как её возводить в квадрат Но если бы говорилось об отображениях числовой оси в себя, то f 2 ( x) могло бы обозначать и f ( f (x)), и квадрат числа f (x); в подобных случаях приходится специально оговаривать, что имеется ввиду впрочем, это обычно понятно из контекста § . Примеры фазовых портретов (z) x y x y а) б) Рис. Сейчас мы говорили о направлении вектора фазовой скорости (z); что можно сказать о его длине Раз он получается из вектора при каком-то повороте, то длина его та же, те. А длина окружности радиуса |z|, по которой движется точка z, равна Значит, z проходит всю эту окружность за время Мы пришли к такому фазовому портрету. В точке O имеется положение равновесия (там вектор фазовой скорости нулевой и точка стоит на месте. Все остальные фазовые траектории — это окружности с центром в O и всевозможных радиусов. Движение происходит почасовой стрелке, а время, за которое z пробегает свою окружность и возвращается в исходное положение (как говорят, период фазовой траектории или период соответствующего решения, равно Движущаяся фазовая точка z(t), которая при t = 0 находится в положении z(0) = (A, 0) на положительной полуоси, за время t > вычерчивает дугу длины tA на окружности радиуса A и потому угол равен t по абсолютной величине. Но надо помнить, что направление почасовой стрелке считается отрицательным, поэтому при обычных соглашениях этот угол равен −t. Если же время убывает от 0 до некоторого отрицательного t < 0, то точка z движется по окружности в положительном направлении, вычерчивая дугу длины A|t|, так что) = |t| = −t, те. угол равен −t и при положительных, и при отрицательных t. Если бы при этом точка z(t) находилась на окружности единичного радиуса с центром в O, то её координатами были бы (cos t, − sin t). Атак как z(t) находится на окружности радиуса стем же центром, то z(t) = (A cos t, −A sin Далее, если начальное положение точки z(t) какое-нибудь другое, то всё равно спустя некоторое время она попадёт в некоторую точ- Ср. с окончанием § . § . Примеры фазовых портретов Рис. . Фазовый портрет гармонического осциллятора ку (A, 0) на положительной полуоси. Обозначим это время через Ввиду автономности нашей системы, коль скоро z(t) — решение, то и z 1 ( t) = z(t − α) тоже решение. Но это второе решение удовлетворяет начальному условию z 1 (0) = ( A, 0) и потому z 1 ( t) = (A cos t, −A sin Отсюда для z(t) получается) = (A cos(t + α), −A sin(t + Кстати, здесь уместно вспомнить об отображении сдвига повремени читатель легко сообразит, что оно является поворотом фазовой плоскости вокруг начала координат на угол |t| почасовой стрелке, если t > 0, и противне, если t < 0. (К сожалению, во всех остальных наших примерах нельзя столь же просто охарактеризовать Наконец, вернёмся к началу наших рассуждений. Мы начали с уравнения (), произвели некую замену времени и уже после этого перешли к системе, поэтому при использовании нового времени одна из координат на фазовой плоскости — скорость — отличается множителем (каким) от прежней скорости. Величина 2 π — это период в терминах нового времени. В терминах же прежнего времени получается T = 2 π ω . (Проверьте Вот откуда взялось когда-то удивлявшее меня 2 π.) При возвращении к прежним переменным для получится ответ) = (A cos(ωt + α), −Aω sin(ωt + как и утверждалось в () и (), а из окружностей получатся эллипсы (рис. ), имеющие уравнения y 2 + ω 2 x 2 = const () (проверьте!). Мы припомнили, что у окружности с центром в O во всех точках касательная перпендикулярна радиус-вектору, итак как фазовая траектория должна § . Примеры фазовых портретов обладать таким же свойством, то сделали вывод, что она является окружностью. Исходя из этого, мы пришли к выводу, что решения () и () даются формулами () и (). Но, строго говоря, это не совсем логично. Может быть, имеются и другие кривые, кроме окружности, которые обладают указанным свойством Если да, то, может быть, сих помощью тоже можно найти какие-то решения рассматриваемых уравнений Может быть, на самом деле решения вовсе не имеют вида () и (), а получаются с помощью этих гипотетических кривых А может быть, () и () — настоящие решения, но существуют и другие решения? На самом деле никаких других кривых с упомянутым свойством не существует и это нетрудно доказать, слегка продолжив излагаемые ниже рассуждения, номы так далеко не пойдём, а ограничимся тем, что относится непосредственно к сфере наших интересов — к решениям. Прежде всего, () — всё-таки решение () (и значит, () — решение ()). Чтобы убедиться в этом, мы прокручиваем в обратную сторону прежние рассуждения. По-прежнему заменой времени всё сводится к случаю = 1. В этом случае точка z(t) = (A cos(t + α), − A sin(t + α)) движется (с возрастанием t) по окружности радиуса A почасовой стрелке со скоростью A радиус и величина скорости получаются из того, что cos 2 t + sin 2 t = 1). Значит, векторе скорости) перпендикулярен радиус-вектору, равен ему по длине и направлен почасовой стрелке, те) получается из вектора z(t) поворотом на почасовой стрелке. А мы выяснили, какой формулой описывается такой поворот. Прибегнув к ней, получим, что z(t) удовлетворяет (). Остаётся заметить, что для любого наперёд заданного начального значения) найдётся решение вида () именно с таким начальным значением. Положив A = x 2 0 + y 2 0 , и заменив (x 0 , y 0 ) на, сведём данный вопрос к тому случаю, когда (x 0 , y 0 ) — точка единичной окружности, а любая такая точка может быть записана в виде (cos α, − sin α). (Нужны ли подробности Если да, то восстановите их самостоятельно) Завершающий штрих ссылка на единственность решения с заданными начальными значениями. В § иным способом доказано не только, что () суть решения (), но и что других решений нет. Говоря о маятнике, мы считали, что его отклонение от полупря- мой, направленной из O вертикально вниз, мало. Что получится, если не считать это отклонение малым, а остальные предположения сохранить Напоминаю, в чём они состояли. Маятник — это материальная точка P на конце невесомого стержня, столь жёсткого, что его длина не меняется другой конец стержня находится в точке подвеса O. Стержень может свободно вращаться вокруг O в некоторой вертикальной плоскости, так что P перемещается по окружности C радиуса l сцен- тром в O. Нет ни трения в O, ни сопротивления воздуха. Добавлю ещё, что масса P будет обозначаться через m. § . Примеры фазовых портретов Угол отклонения стержня от направленной вниз вертикали, начинающейся в O, обозначим через ϕ раньше он обозначался через x; он по- прежнему измеряется в радианах и может быть как положительным, так и отрицательным) Мы увидим, что при сделанных предположениях дифференциальное уравнение движения маятника таково + ω 2 sin ϕ = 0, где ω 2 = g l () (Когда ϕ мало, то sin ϕ≈ϕ, и () с большой точностью совпадает с) Обычным образом это уравнение можно переписать в виде системы Скорость точки P направлена по касательной к окружности и по величине равна l ˙ ϕ. (Величина здесь — это непросто длина вектора скорости, но длина, взятая со знаком). Не повторяя тех соображений, которыми в школьном курсе физики обосновывалось это выражение (если гнаться за полной строгостью, то оно, как и объяснения по поводу ускорения, о котором речь зайдёт чуть ниже, может нуждаться в уточнениях, не затрагивающих существа делано затягивающих изложение. Отмечу, что оно получается в два слова, если воспользоваться комплексными обозначениями и простейшими сведениями о показательной функции в комплексной области (см. § Примем O за начало координат, направим положительную полуось x вертикально вниз и ось y — горизонтально, причём положительное направление на оси y подразумевается согласованным с положительным направлением для отклонений OP от вертикали (последнее определяет положительное направление на касательной к окружности C в её нижней точке (l, 0) и оно должно совпадать с положительным направлением оси y.) Использую единичный вектор (вектор единичной длины) |