Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
§ . Показательная функция Этот и следующий параграфы отчасти являются отступлениями от нашей основной линии в них нет речи о геометрической или кинематической интерпретации дифференциальных уравнений (за исключением самого конца § , который, в свою очередь, является отступлением от основной темы этого параграфа) и вообще почти нет геометрических соображений вместо этого в § мы займёмся показательной функцией экспонентой, а в § приведём примере использования в теории дифференциальных уравнений. При желании эти два параграфа можно пропустить. Нос другой стороны, роль экспоненты в этой теории настолько велика, что было бы странного- ворить о дифференциальных уравнениях, совсем не упоминая о Тем более, что и вообще в математике иве приложениях экспонента играет столь же важную роль, что и всем известные многочлены. Если с многочленами худо ли, хорошо ли учащийся знакомится ещё в школе на протяжении нескольких лет, то знакомство с экспонентой является намного менее основательным. Это до некоторой степени неизбежно — самоопределение экспоненты, не говоря уже об исследовании её свойств, требует использования понятия предела, а его невозможно ввести до последних классов. А важнейшее свойство экспоненты, на котором основано большинство её применений, касается её производной. Интуитивно производная, может быть, проще предела, потому что, как уже подчёркивалось, производная это попросту мгновенная скорость (о которой что-то знает всякий, видевший спидометр автомобиля, но при аккуратном определении этого понятия и при обсуждении его свойств приходится привлекать пределы. Из-за этого знакомство с экспонентой тоже приходится на самый конец обучения в школе, даже если это специализированная физматшкола. А может быть, окончательное знакомство читателя с ней состоялось, только когда он стал студентом. Но помимо этих неизбежных причин, из-за которых экспонента «появляется на сцене довольно поздно, есть и другая причина, замедляющая ознакомление с нею. Оно обычно происходит в порядке, более или менее соответствующем истории. Традиционно показательная функция вводится в несколько шагов (при этом определяется также степенная функция x a , о чём нет необходимости говорить особо § . Показательная функция) Степень a n c натуральным (те. положительным целым) показателем определяется как · a · … · a n раз) Степень с отрицательными целыми n определяется как. Принимается также, что a 0 = 1. В ) и ) число вполне могло бы быть отрицательным (во втором пункте исключается только = 0), но далее приходится ограничиваться положительными a. ) Доказывается существование положительного корня й степени произвольное натуральное числа, после чего вводится для рационального r. ) С помощью предельного перехода от рациональных чисел к иррациональным определяется с произвольным вещественным На каждом шаге надо проверять, что при произведенном расширении понятия степени по-прежнему сохраняются основные правила+ и a xy = ( a x ) y ) Проверяется непрерывность и дифференцируемость и как функций отв первой из них x > 0, во второй a > 0). ) Доказывается существование предела e = lim n→∞ 1 + 1 n n , а также, возможно, и то, что e x = lim n→∞ 1 + x n n ) Доказывается, как говорят в вузах, замечательный предел) После этого уже сравнительно быстро получается, что, где ln — натуральный логарифм, и dx a dx = ax a−1 Вс¨ е это читатель осваивал постепенно, отнюдь не в один года закончил, может быть, уже в вузе. Очень возможно, что на самом деле кое-где при этом полных доказательств не приводилось — для целей всеобщего образования порой неизбежно приходится кое-что тактично обходить, но применительно к образованию будущего специалиста, который будет иметь дело с математикой, а тем более собирающегося заниматься этой наукой, тактичные умолчания или бодрые внушения, что все ясно, тогда как в действительности нечто было пропущено, смахивают на то, что в старину называлось благочестивым обманом. Если ради того, чтобы в сознании читателя понемногу поступавшие к нему сведения об экспоненте сложились в единую картину, заново изложить всё вместе сначала до конца, то сколько же вре- § . Показательная функция мени на это понадобится Вероятно, придерживаясь более высокого, чем в школе, университетского темпа и предоставляя слушателям самим проделать очевидные (действительно очевидные, без обмана!) выкладки или рассуждения, можно уложиться в три-четыре лекции, но не меньше. (Да и то, какого напряжения и какой самостоятельной работы это потребовало бы от слушателей) Поистине, в математике нет царских дорог. Царских нет, но скоростные хайвеи есть Я хочу рассказать обод- ном таком хайвее. Ньютон как-то сказал, что если он видел дальше других, то это потому, что он стоял на плечах гигантов. Учитывая это высказывание, мы тоже вскарабкаемся на плечи одного из титанов прошлого — Леонарда Эйлера. Эйлер (—) был едва лине самым крупным математиком XVIII века. Некоторую конкуренцию ему может составить только более молодой Ж. Лагранж (—, итальянец по происхождению, работавший в Турине, Берлине и Париже, заслуги которого очень высоко оценивал сам Эйлер. Мне все же кажется, что если сравнивать все достижения того и другого, Эйлеру, пожалуй, можно оказать некоторое предпочтение. Даже если признать уровень их исследования примерно одинаковым (по-моему, так оно и есть), надо учесть еще и то, что научные интересы Эйлера были несколько шире. Во всяком случае, оба они были первыми в своих поколениях. Ив тоже время они различались по стилю своих работ. Эйлер с увлечением занимался специальными конкретными задачами, а Лагранж в большей степени стремился разрабатывать общие методы. Это, конечно, не означает, будто Лагранж не решал конкретных задач, но он предпочитал решать их на базе общих методов (часто им же и развитых, тогда как Эйлер чаще придумывал свой отдельный прием для очередной задачи (хотя, конечно, в его наследии тоже имеется немало общих соображений). Эйлер был родом из Швейцарии, а работал в Петербургской (в — гг. и с г) ив Берлинской Академии наук (в — гг.), причем и вовремя работы в Берлине он сохранял тесные связи с Петербургской АН. Незадолго до смерти Эйлер сказал, что на публикацию подготовленных им, но еще не напечатанных статей уйдет лет. Редкий случай Эйлер ошибся в раза — понадобилось лет Это только для публикации законченных Впрочем, неизвестно, было ли это сочетанием известной скромности с подчёр- киванием преемственности науки или это был намёк на то, что к числу тех, кому Ньютон обязан, не принадлежал Гук (—), отношения которого с Ньютоном почти всегда были натянутыми. Гук был весьма сутулыми потому не годился в гиганты. (Тем не менее Ньютон кое-чем обязан Гуку — вовремя светлого промежутка, когда их отношения временно улучшились, переписка с Гуком стимулировала работу Ньютона о движении планет, что, как-никак, привело к созданию эпохального шедевра Математических начал натуральной философии § . Показательная функция статей. А публикация всего его архива продолжалась свыше лети еще не вполне закончена. И Эйлер, и Лагранж внесли вклад не только в математику, но ив математическую физику, прежде всего — в механику и астрономию, а Эйлер также ив геометрическую оптику. Студент, изучавший механику на достаточно высоком уровне, знает, что после Лагранжа она приобрела другой вид. Менее известно, что та механика, которую столь значительно усовершенствовал Лагранж, — это была механика, физические основы которой заложил Ньютон, но математическую форму которой придал Эйлер. Не только студенты-математики, но и школьники соприкасаются с наследием Эйлера, чаще всего не подозревая об этом, потому что Эйлер написал ряд учебников различного уровняв которых изложение многих тем приобрело практически окончательный вид. В более сложных из них заметная часть материала основана на собственных исследованиях Эйлера. На первых двух курсах университета мы посей день во многом следуем по проложенному им пути. На более элементарном уровне Эйлером была придана современная форма тригонометрии, ион был также автором предназначенного для школы учебника алгебры. Несмотря на свое предназначение, последний оказался слишком трудным для школы (где Эйлер не преподавал должно быть, он наивно судил об учащихся по самому себе, нона основе его подхода рядом авторов были написаны успешно использовавшиеся учебники. Эйлером был предложен ряд обозначений, ставших общепринятыми, в том числе e, π и Следуя Эйлеру, я сразу определю некоторую функцию, которая окажется функцией e x . Но вначале отнюдь не будет ясно, какое отношение новая функция имеет к каким бы тони было показателям (даже при натуральных x), поэтому вначале я обозначу её через. (Однако я всё же позволю себе с самого начала называть эту функцию экспонентой, хотя по своему происхождению это слово сокращение от экспоненциальная функция, что является синонимом ‘показательной функции’.) Если сразу привести определение e(x), взятое с потолка, то это будет выглядеть каким-то непонятным фокусом, вроде как в цирке. Я начну с предварительных соображений эвристического характера. Они ничего не доказывают, но кое-что подсказывают. Одно из главных и особенно ценных для нас свойств функции e x состоит в том, что она дифференцируема и. (Это свойство экспоненты тесно связано с другим важнейшим её свойством+ y — одно из этих свойств легко вывести из другого в одну сторону мы со временем это проделаем) Отсюда, конечно, следует, что и все производные старших порядков. В частности, при x = 0 все они равны . Вот мы и постараемся построить такую § . Показательная функция функцию e(x), у которой все производные в точке x = 0 равны Конечно, таких функций много — Эйлер сказал бы, что, рисуя график подобного рода функции, мы можем произвольно изменить его в стороне от точки с абсциссой (координатой) 0. Номы возьмём самую простую, самую естественную из них — авось повезти она окажется нужной нам e(x). Начнём с многочленов, которые, конечно, не годятся в e(x), но могут (если повезёт) доставить для e(x) некое приближённое выражение. Правила дифференцирования многочленов носят, по существу, алгебраический характер, и их вывод отнюдь не предполагает знакомства с функциями вроде x a . Я считаю известным, что dx n dx = nx n−1 Отсюда следует, что − 1)…(n − k + когда когда k > В частности, у одночлена x n n! (здесь n!, как обычно, обозначает «n факториал, те. произведение всех натуральных чисел от 1 до n) в точке = 0 все производные, кроме й, равны нулю, а я производная равна. Ау многочлена) = 1 + x + x 2 в точке x = 0 производные (включая его нулевую производную, т. е. его самого) таковы) = d dx e n (0) = … = d n dx n e n (0) = 1, прочие производные равны От e(x) мы хотим, чтобы у неё все производные в точке x = 0 равнялись. Пожалуй, e n ( x) может служить приближённым выражением для нашей гипотетической e(x). И можно надеяться, что чем больше, тем точнее многочлен e n ( x) приближает e(x). Почему бы нам не попробовать определить e(x) как) = lim n→∞ e n ( x) Обозначение вида n k=0 a k используется как сокращение для a 0 + a 1 + … + Бесконечная сумма» ∞ k=0 a k (пишут также a 0 + a 1 + … + a n + …) — это, по определению, предел lim n→∞ n k=0 a k . Выражение ∞ k=0 a k называется (бесконечным) рядом. Если указанный предел существует, то его называют суммой этого ряда и говорят, что ряд сходится к этой сумме § . Показательная функция Упражнение. Докажите, что при всех n e ′ n ( x) = Можно надеяться, что, переходя к пределу при n → ∞, из этого удастся вывести основное свойство функции e(x): e ′ ( x) = Соврем ен Ньютона известен следующий способ интегрирования дифференциальных уравнений. Правая часть уравнения должна быть аналитической функцией своих аргументов (это условие практически не является серьезным ограничением — в приложениях оно почти всегда выполнено. Решение ищется в виде степенного ряда от независимой переменной с неопределенными коэффициентами. Подстановка этого ряда в уравнение вместе с использованием предписанных начальных условий позволяет определять эти коэффициенты один за другим. На первый взгляд может показаться, что это универсальный способ и ничего лучшего не надо, однако на самом деле он не всегда оказывается лучшим (чаще не оказывается) и потому практически используется в довольно ограниченной области. Уже Ньютон, исследуя движения планет, дал блестящие примеры использования совсем других соображений. Но для уравнения ˙ x = x с начальным условием x(0) = 1 данный метод прекрасно работает. (А мы как рази подозреваем, что функция e(t) будущая e t — должна быть решением этого уравнения с этим начальным условием) Ищем x в виде x(t) = ∞ n=0 a n t n . Известно, что у сходящегося степенного ряда существует производная и что она выражается аналогично производной многочлена ˙ x = ∞ n=0 na n t n−1 = ∞ n=0 ( n + член с n = мы не пишем, ибо он входит с нулевым множителем. (Как это ни простои ни естественно, это надо доказывать Я, кстати, не уточнил, при каких существует производная) Имеем x(0) = a 0 , поэтому a 0 = 1, а из ˙ x − x = получается, что + 1)a n+1 − a n ) t n = 0. Известно (но опять-таки нуждается в доказательстве, что степенной ряд тождественно равен нулю только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. Значит, a n+1 = a n n + при всех Поскольку a 0 = 1, то далее получается 1 = 1, a 2 = 1 1 + 1 = 1 2 , a 3 = 1 /2 2 + 1 = 1 проверьте. Вот мы и пришли кряду (Специальные функции, упоминаемые в части § , помеченной как ), часто вводят в соответствии с этим способом. С другой стороны, он в принципе мог бы использоваться для численного решения дифференциальных уравнений, но здесь он уступает способам, общая схема которых описана виз, хотя иногда и играет некоторую вспомогательную роль. Так что здесь мы встречаемся с простейшим примером использования данного метода для определения некоторой специальной функции § . Показательная функция Если знать кучу разных фактов из матанализа и теории дифференциальных уравнений, то сказанное является строгим доказательством того, что уравнение ˙ x = x имеет ровно одно решение x(t) с начальным значением) = 1 и что это решение при всех t представляется рядом. Нов этой книжке не предполагается, что читатель всё это знает. Поэтому у нас предыдущие соображения играют только эвристическую (наводящую) роль, а теперь начнётся настоящая работа. Вот мы и вырулили на хайвей им. Эйлера — Эйлер как рази предложил определять экспоненту именно таким способом. (С какой целью он это сделал, будет сказано позднее.) Надо ясно понимать, что предыдущие соображения с многочленами не гарантируют ни сходимости ряда (), ни того, что он сходится именно к предполагая, что мы всё-таки знакомы с этой функцией). Всё, что они могут дать — это что e n ( x) = o(x n ), те. что 0 при x → Иными словами, для любого > 0 имеется такое δ n > 0, что при < выполнено равенство |e x − e n ( x)| < ǫ|x n |. Но заранее не исключено, что чем больше n, тем меньшим надо брать для некоторых функций так оно и есть. Тогда невозможно было бы сказать что-либо определённое о ряде (). Однако предыдущие соображения — это не более чем наводящие соображения. Мы их используем только в том отношении, что они обратили наше внимание на этот ряд. А теперь займёмся им самим по себе, независимо от этих соображений. В первую очередь нам надо доказать, что ряд ∞ k=0 x k k! сходится (при всех x). Доказательство получается применением следующей теоре- мы. Теорема . Пусть имеются такие два ряда ∞ n=0 a n и ∞ n=0 b n , что при всех n чем сказано также, что числа a n — вещественные неотрицательные); тогда говорят, что первый ряд мажорирует второй а второй — мажорируется первым. Если при этом первый ряд сходится, то и второй тоже сходится, причем абсолютно . Я не буду этого доказывать, так как не буду и использовать. Пояснение для студентов, чтобы всё уложилось по полочкам речь идёт об оценке остаточного члена в формуле Тейлора, а именно, об оценке в форме Пеано. Ряд b n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд § . Показательная функция Заметим, что условие при всех n, можно чуть ослабить: |b n | a n при всех достаточно больших n те. при всех n, больших некоторого Упражнение. Используя эту теорему, докажите сходимость ряда, сравнивая его слагаемые x n /n! со слагаемыми заведомо сходящегося ряда ∞ n=0 C 2 n для подходящего C. (Почему он сходится?) Замечание. Фактически при этом доказывается не только сходимость ряда (), но и его абсолютная сходимость это значит, что сходится ряд, члены которого суть абсолютные величины членов ряда. Абсолютная сходимость в ряде отношений лучше обычной, ноя не буду этим пользоваться, чтобы сохранить независимость от университетского курса. Отмечу для особо продвинутых студентов, что абсолютная сходимость эквивалентна другому свойству, которое было введено в группе Бурбаки под названием «суммируемости ряда» и которым иногда удобнее пользоваться. Нужная нам теорема, в свою очередь, является простым следствием известного критерия Коши сходимости последовательности: Последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого ǫ > 0 найдется такое натуральное число N, что для всех номеров, n > N будет ǫ. Говоря описательно, члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки друг к другу.) Заметим, что последовательность, удовлетворяющая указанному в этом критерии условию, называют фундаментальной последовательностью или последовательностью Коши. |