Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Москва Издательство МЦНМО УДК .. ББК . А А Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем М МЦНМО, . — с В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этими связаны слова то решаем, то рисуем в названии книги) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения хаоса в поведении детерминированных объектов. Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости. Книга не заменяет вузовские учебники, но так как в ней затрагиваются и не освещаемые в них вопросы, а часть других вопросов освещается иначе, то она может заинтересовать и студентов вузов со значительной математической программой. ББК . ISBN ---- © Аносов Д. В, . © МЦНМО, . Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Примеры фазовых портретов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . . . § . Автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность . . . . § . Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие Мне всегда казалось, что популярная литература по математике страдает одним существенным недостатком. Ориентируясь на читателя, находящегося на уровне хорошего школьника, она его знакомит с разнообразным материалом, вполне доступном на этом уровне, и дат ему возможность попробовать свои силы на задачах, связанных с таким материалом. Всё это бывает увлекательно (для читателя, не страдающего идиосинкразией к самостоятельной умственной работе вообще и к занятиям математикой в частности. Но. Но большая часть этого материала не имеет отношения к тому, чем на самом деле занимаются математики. Сравните это с литературой по физике, рассказывающей как о повседневных проявлениях физики вокруг нас», так и о самой актуальной научной тематике (атомном ядре, элементарных частицах, полупроводниках, лазерах и прочих чудесах современной электроники, имеющих, в конце концов, квантовую природу, а также с литературой по астрономии (новейшие исследования Солнечной системы, образование и жизнь звёзд и галактик, пульсары и квазары...). Правда, читатель может хорошо разобраться с какими-нибудь свойствами треугольника, не входящими в школьную программу, илистой физикой в повседневной жизни, которой посвящены, например, книги Я. И. Перельмана, ноне верится, чтобы он своими силами запустил космическую ракету с рентгеновским телескопом на борту... (Или, не дай бог, построил ядерный реактор) Так что самые захватывающие физические и астрономические знания поневоле носят более опосредованный характер. Но всё же это знания. Не уверен, что популярная математическая литература может в этом отношении полностью сравняться с литературой по физике или астрономии. Боюсь, что попытка сравняться приведёт к разговорам о том, какая замечательная это наука, к биографиям великих учёных и подчас к формулировкам отдельных результатов вроде Великой теоремы Ферма в тех случаях, когда для понимания формулировок особых знаний ненужно (а вот для понимания доказательств может оказаться недостаточно даже обычного университетского математического образования. Но всё же можно рассказать кое о чём не слишком далёком от текущей исследовательской работы. Эта книжка — одна из попыток такого рода Предисловие Она посвящена дифференциальным уравнениям. Математическое описание физических законов (и прежде всего фундаментальных законов, те. тех, которые лежат в основе нашего понимания природных процессов) чаще всего даётся именно дифференциальными уравнениями. Естественно, последние важны также для многих вопросов техники, прежде всего тех, где играет большую роль физика. Дифференциальные уравнения встречаются и за пределами физики, и если здесь их роль несколько меньше, то это просто потому, что за пределами физики вообще меньше используется математика. Но это всё разговоры о важности нашего предмета, а не о его содержании. Я попытался дать некоторое представление о части этого содержания. Данная книжка — не попытка заменить учебники по нашему предмету. В самом скромном учебнике есть многое, о чём я даже не упоминаю. Я и не ставил себе цели научить пользоваться дифференциальными уравнениями хотя бы на самом начальном уровне — это, повторяю, задача учебника. Зато кое-что, о чём я пытаюсь рассказать, отражает (на максимально упрощённом уровне) более сложные ибо- лее новые вещи. Порой я именно рассказываю, а не доказываю, что опять-таки связано с характером книжки. Однако кое-что я доказываю иначе здесь вообще была бы не математика, а одни разговоры о ней. (Так что читать эту книжку надо всё-таки с листом бумаги и ручкой. Мне кажется, что какой-то работы с этими предметами требует даже часть материала, излагаемого без доказательств.) Для понимания книжки достаточны знания, которыми обладают учащиеся физико-математических школ или специализированных классов. Она должна быть доступна и интересующимся математикой более или менее подготовленным учащимся общеобразовательных школ. Самое сложное, что здесь требуется — это понимание смысла понятия производной и начальное умение дифференцировать. (Только в части текста, набранной петитом, порой упоминается кое-что ещё, но ведь на то они петит...) К сведению читателя, которому эта книжка покажется слишком толстой, чтобы читать её всю подряд параграфы , являются основой для всего дальнейшего, и без них не обойтись. Далее же имеются две независимые друг от друга части. В параграфах , рассказано, как решаются некоторые дифференциальные уравнения, и сказано об их физических приложениях, — здесь мы решаем. В параграфах Основное содержание книжки (не считая пары разговорных упоминаний о более новых вещах) заканчивается примерно там, где могли бы начаться мои личные воспоминания. Конечно, для молодого читателя это куда более давнее прошлое, чем для меня, но всё же это не невесть какой ...надцатый век Предисловие, , мы рисуем — привлекаем геометрические соображения для ответа на некоторые важные вопросы, обычно ничего не решая здесь тоже говорится о физических приложениях. В § подробнее характеризуется содержание следующих параграфов. Насч¨ ет имеющихся в книге упражнений некоторые из них как бы ответвляются от основной линии, однако большинство существенно для этой самой линии. Но так как данная книга — не учебник, торе- шение упражнений необязательно. Читатель с ленцой или с ограниченным временем может просто ознакомиться с содержащимися в них утверждениями, запомнить таковые (хотя бы на короткое время пока он будет читать пару следующих страниц) и идти дальше. Ведь все равно кое-что я сообщаю без доказательств. (Ноя это делаю преимущественно тогда, когда доказательства либо слишком громоздки, либо требуют знаний, которых у читателя не предполагается. Для решения упражнений таких знаний не требуется, и соответствующие рассуждения, как мне кажется, не являются слишком длинны- ми.) Перед тем как я написал эту книжку, я прочёл в иго- дах на эту тему несколько лекций для старшеклассников и студентов младших курсов в летней школе Современная математика в Рат- мино (около Дубны. Как это часто бывает в подобных случаях, по сравнению с лекциями текст стал длиннее (и, я надеюсь, аккуратнее), хотя по существу в лекциях в той или иной степени уже затрагивались все рассматриваемые здесь вопросы. Я благодарю руководителей школы за приглашение и за хорошие условия для работы (настоящий текст я начал писать уже там). Я благодарю также ОД. Аносову и В. А. Курлина, убедивших меня выбрать именно эту тему для лекций, и А. В. Клименко, А. А. Корнева, А. А. Лосева, В. Н. Сальникова и А. Г. Хованского за полезные замечания по рукописи и (или) обсуждение затронутых в ней тем. В этом отношении особенно большую роль сыграл А. В. Клименко, под влиянием которого я полностью пересмотрел текст конца § окончательный вариант отличается от его предложений, но без них не было бы этого варианта. Наконец, я благодарю А. В. Клименко, А. А. Корнева и сотрудников МЦНМО за изготовление рисунков. Д. В. Аносов § . Введение Уравнение — это равенство, в котором что-то известно, а что-то нет, и требуется это неизвестное определить или, по крайней мере, узнать он м нечто новое. Например, в школе решают линейные и квадратные уравнения, скажем, x 2 − 4x − 5 = 0. Это уравнение имеет два решения, те. неизвестное x может быть одним из двух чисел x = 5 или x = −1. Как ив этом примере, в школьных уравнениях неизвестное — это какое-то число. Иногда надо найти не одно число, а сразу несколько чисел, скажем, x и y. Это бывает, когда решают систему уравнений, например + y = 3, x − y = Ответ (в данном случае он единственный x = 2, y = Но бывает, что неизвестная величина (или неизвестные величины это не число (числа, а функция (несколько функций. Вероятно, наиболее важные и наиболее распространённые задачи такого рода это дифференциальные уравнения. В школьном курсе математики о них нет речи, но простейшие примеры дифференциальных уравнений нелегально фигурируют в школьном курсе физики. Например, изменение со временем высоты x свободнопадающего тела определяется таким законом : ускорение постоянно и равно некоей известной величине Здесь g — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с 2 ; более точное значение для g зависит от места на Земле, где падает тело. Мы рассматриваем тело как материальную точку, размерами которой сравнительно с высотой можно пренебречь (в противном случае разные части тела могли бы находиться на разной высоте. Кроме того, подразумевается, что высота x мала по сравнению с радиусом Земли, вследствие чего можно пренебречь зависимостью ускорения от x, и скорость падения невелика, что позволяет пренебречь сопротивлением воздуха. Ускорение — это скорость изменения скорости (точнее мгновенная скорость изменения мгновенной скорости. Мгновенную скорость изменения какой-нибудь величины (в данном случае высоты Закон открыт Г. Галилеем (—). § . Введение зависящей от времени t что, как известно, выражают словами есть функция от t» и при случае отражают в обозначениях, записывая, часто обозначают, ставя точку над символом, обозначающим эту величину. В нашем случае скорость падения есть, а ускорение тогда надо обозначить через ¨ x. Теперь словесную формулировку () можно заменить символьной = Положительное направление на оси координат x — это направление вверх, ведь x — это высота. Ускорение же имеет противоположное направление вниз. В тоже время под g принято понимать положительную величину. Поэтому в правой части () стоит знак минус) Нас интересует, как высота x меняется со временем t, те это какая- то функция от t, которую мы хотим найти. Обсуждение математического смысла физического (кинематического) понятия мгновенной скорости приводит к выводу, что скорость в момент t — это производная dx(t) dt функции x(t) по t. Это прекрасно пояснено в известной книге Фейнмана, и я не вижу нужды в повторении сказанного там. Таким образом, в левой части (стоит вторая производная, те. производная d dt dx(t) dt от производной. Математическая операция, состоящая в переходе от x(t) к ˙ x(t), называется дифференцированием (подробнее: дифференцированием функции x(t) по t) . Коль скоро привлекается дифференцирование, понятно, что уравнение () называют дифференциальным — вот мы и пояснили это название на простейшем примере. У понятий, связанных с дифференцированием, имеется и другой аспект, при котором на первый план выходит не скорость, а главная линейная часть приращения функции, именуемая (с точностью до оттенков) дифференциалом этой функции. Исторически понятия производной и дифференциала возникли одновременно ив конечном сч- те, как бы эквивалентны. Они отражают одну и туже идею локально Кинематика — раздел механики, который изучает движения тел только с геометрической стороны и не вникает во взаимодействия тел, силы, определяющие движения; это, так сказать, геометрия плюс время». Фейнман Р, Лейтон Р, Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. : Современная наука о природе. Законы механики. М Мир, были и переиздания). Не у каждой функции существует производная, да еще при всех t, при которых эта функция определена. Когда производная существует, то говорят, что функция является дифференцируемой. § . Введение (на малом отрезке времени) хорошая (дифференцируемая) функция «ведёт себя почти также, как и простейшая функция — линейная. Нов тоже время мгновенная скорость воспринимается как-то легче, чем главная линейная часть приращения. Даже кажется, будто скорость — что-то само по себе ясное, не о чем и разговаривать. Между тему древних греков, кои были неглупыми, понятия мгновенной скорости не было (Имеется подозрение, что Архимед представлял себе мгновенную скорость, но ничего о ней не писал, по-видимому считая подобные вещи только эвристическими и оставляя их для себя».) Нам легче, чем древним грекам, усвоить, что имеет смысл говорить о мгновенной скорости движения, потому что каждый видел спидометр автомобиля, тогда как на колесницах и конях спидометров не ставили. Разумеется, о производной можно говорить и тогда, когда независимая переменная не имеет физического смысла времени. Когда этой переменной служит x, производную часто обозначают штрихом (x) dx = f ′ ( x). Таким образом, выражения ¨ f (t), d 2 dt 2 f (t), f ′′ ( x) означают одно и тоже так называемую вторую производную (те. производную от производной) функции f Мы будем использовать следующие свойства производных + g) ′ = f ′ + g ′ , ( af если a = const, те постоянное число + формула Лейбница), f g ′ = f ′ g − fg ′ g 2 при g = если x = at, где a = const, то (at) dt = af ′ ( x) = a df и, наконец, формула для производной сложной функции если x = = g(t), то (g(t)) dt = df (x) dt = df В последней формуле обозначение после производной указывает, что надо взять значение этой производной при x = В записи это подразумевается без особого на то указания, поскольку это было сказано с самого начала) О сложной функции Самыми сложными из них являются () и (). Многое можно понять и без этих свойств § . Введение (g(t)) говорят, что она является композицией или суперпозицией функций f и g, и обозначают её знаком f ◦ g; тогда () можно записать ещё так ( f ради единообразия здесь производная по тоже обозначена штрихом) или подробнее, указывая, каким должен быть аргументу С этим, вероятно, и связано название этой формулы — цепное правило (дифференцирование идет по цепочке — сперва дифференцируется, затем Формула (), очевидно, является частным случаем (), когда g(t) = и этот частный случай намного проще общего в разностном отношении (a(t + h)) − f мы заменяем в знаменателе h на ah и для компенсации» умножаем всё на a. А отношение (a(t + h)) − f (at) ah = f (at + ah) − f является разностным отношением (at + k) − f для функции f (x) в точке = at с приращением аргумента k = ah. Совершенно всё равно, говорим ли мы, что h → 0 или что, поэтому предел lim h→0 f (a(t + h)) − f существует и равен значению производной при x = В общем случаев доказательстве () имеется небольшой подводный камень, который, впрочем, не вызывает трудностей — надо только его заметить. Мы, конечно, начинаем с равенства (g(t + h)) − f (g(t)) h = f (g(t + h)) − f (g(t)) g(t + h) − g(t) · g(t + h) − и делаем предельный переход при h → 0, но где гарантия, что + h) − − g(t) = 0? Если ˙ g(t) = 0, то это действительно гарантировано при достаточно малых (по абсолютной величине) ненулевых h почему. Случай же ˙ g(t) = приходится рассматривать отдельно (что совсем нетрудно в этом случае и левая, и правая части () равны нулю, — почему?) В учебниках эти формулы сопровождаются стандартным припевом если существуют производные, фигурирующие в правой части, то существует и производная, стоящая в левой части». Общее понятие дифференциального уравнения таково это уравнение, содержащее искомые (неизвестные) функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Большое значение § . Введение дифференциальных уравнений объясняется тем, что очень часто (и притом в очень важных случаях) законы природы выражаются в форме дифференциальных уравнений. Если независимая переменная только одна, как в (), то о производной по этой переменной говорят как об обыкновенной производной, а если независимых переменных несколько, то производные по ним называют частными производными. О соответствующих дифференциальных уравнениях говорят обыкновенное дифференциальное уравнение, уравнение с частными производными. С этими названиями связаны различные шутки и анекдоты. В записях Пушкина анекдотами называются короткие рассказы о различных подлинных (или слывущих подлинными) случаях, в чём-то выразительных, ноне обязательно смешных. В наши дни анекдот может быть вымышленным, но должен быть смешным. Анекдот, который я сейчас расскажу, является анекдотом в обоих смыслах. Лет назад в Екатеринбурге (тогда — Свердловск) местная газета опубликовала статью о работавшем и посей день работающем в этом городе математике — академике Н. Н. Красовском. Помимо общих слов, какой он замечательный (что, кстати, правда, но без дальнейших пояснений звучит голословно, там была и конкретика, о которой Николай Николаевич поведал своим сотрудникам, а они рассказали мне. Вот как они пересказали слова Красовского. — Приходит корреспондент одной из местных газет ко мне в кабинет. На доске в кабинете написаны уравнения. Корреспондент спрашивает Чем Вы занимаетесь. Я отвечаю — мы занимаемся изучением обыкновенных дифференциальных уравнений. На другой день в газете появилась статья, в которой, в частности, говорилось На доске были написаны сложнейшие уравнения, которые академик по своей скромности с легкостью называет обыкновенными». Если Красовский такой скромный, тонами сам бог велел. У нас будут только обыкновенные дифференциальные уравнения. Причём, в отличие от Красовского, отнюдь не сложнейшие. Самый высокий из порядков всех производных, входящих в уравнение, называется порядком этого уравнения. Таким образом, () это дифференциальное уравнение второго порядка, равно как и фигурирующее ниже уравнение (), а ˙ x = x — уравнение первого порядка. Из школьного учебника известно, что изменение высоты при свободном падении, соответствующее закону (), те. дифференциально- Для частных производных принято слегка модифицированное обозначение — скажем, частная производная функции f (x, y) по x обозначается через f (x, y) ∂x § . Введение му уравнению (), задается равенством) = x 0 + v 0 t − gt 2 Здесь x 0 — высота в начальный момент времени t = 0, а v 0 — скорость в тот же момент (начальная скорость, то есть, начисто математическом языке, ˙ x(0). Доказательство, собственно, уже никак не связано с представлением о свободном падении или чем-нибудь ещё физическим речь идёт просто о решениях дифференциального уравнения) (см. ниже. Таким образом, дифференциальное уравнение (имеет не одно решение, а бесконечное семейство таковых, причём каждое решение однозначно определяется своими начальными значениями и Эти наблюдения относятся к очень простому дифференциальному уравнению, но сделанные выводы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, имеют гораздо более общее значение. Фактически процесс решения дифференциального уравнения (заключается в самом обычном интегрировании, те. нахождении функции с заданной производной (к тому же очень простой. Действительно) означает, что у скорости v(t) = ˙ x(t) производная) = −g. Отсюда v(t) = v 0 − gt. После этого надо найти функцию имеющую производную ˙ x(t) = v 0 − gt. Ответ даётся формулой (Конечно, дифференциальное уравнение вида dx dt = известная функция от когда всё сводится к обычному интегрированию, — это очень специальный частный случай. Но по аналогии с этим примером процесс решения более общих дифференциальных уравнений тоже называют интегрированием, даже когда в этом процессе никак не участвуют те интегралы, о которых говорится в интегральном исчислении. А полученные решения дифференциального уравнения называют его интегралами. Почему-то эта старинная терминология дожила до наших дней. (Она используется даже группой Бурбаки, даром что та известна своей тенденцией к терминологическим изменениям) Казалось бы, почему бы попросту не называть решения решениями Видимо, этому препятствует обстоятельство чисто словесной природы слово решение означает и процесс решения, и его результат, тогда как интегрирование и интеграл — различные слова, означающие различные вещи. Я, как и многие мои современные коллеги, изберу компромиссный вариант и буду часто называть процесс решения интегрированием, а функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению, буду называть его решениями (а не интегралами § . Введение ϕ l m O mg L C а) б) в) Рис. . Осцилляторы а) математический маятник б) грузик на пружинке; в) электрический колебательный контур Другое дифференциальное уравнение, которое если и не совсем встречается, то почти встречается в курсе физики, описывает гармонические осцилляторы. Гармонический осциллятор — это колебательная физическая система, описываемая дифференциальным уравнением Здесь — некоторый постоянный коэффициент.) Примерами с известной точностью могут служить обыкновенный маятник при небольшом отклонении от наинизшего возможного положения равновесия массивный шарик на невесомой пружинке, подчиняющейся закону Гука (в этих двух случаях на систему, отклонившуюся от равновесного положения с x = 0, действует возвращающая сила, пропорциональная x, но имеющая противоположный знак электротехнический колебательный контур, состоящий из конденсатора и индуктивности (катушки индуктивности) (рис. Физический смысли в этих трёх случаях различен, как различны соответствующие физические процессы и указания, при каких условиях эти процессы описываются уравнением (Так называемый математический маятник состоит из тяжелой материальной точки, которая подвешена к некоторой неподвижной точке O с помощью невесомого, нерастяжимого и несгибаемого стержня длины l; стержень колеблется в некоторой вертикальной плоскости, проходящей через O. Величина x характеризует отклонение маятника от направленной вниз вертикали, проходящей через обычно за x принимают угол отклонения, выраженный в радианах. Отклонения в одну сторону от вертикали считаются положительными, а в другую — отрицательными. Подразумевается, что x мало и что на маятник действует только сила тяжести (нет ни трения в точке подвеса, ни сопротивления воздуха. При этом оказывается, что ω 2 = g/l. (Повторяю, что сейчас мы рассматриваем только малые колебания маятника, при которых угол ϕ на риса мал по абсолют § . Введение ной величине. Вывод уравнения () для математического маятника приводится в § В физике маятник — это твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса. Маятник, состоящий из грузика, подвешенного на верёвке, собственно, не вполне соответствует данному определению другое дело, если он подвешен с помощью невесомого, нерастяжимого и несгибаемого стержня. Но практически годится и грузик, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, а масса нити очень мала по сравнению с массой груза. Никаких таких оговорок не надо, если, как было сказано вначале, маятник является твёрдым телом. Можно показать, что физический маятник колеблется также, как математический маятник с некоторой длиной l, которая зависит от распределения массы в физическом маятнике. В принципе l можно вычислить (точно или приближённо), зная это распределение, но практически приточных измерениях пользуются физическими маятниками специальной конструкции, для которых придуманы остроумные примы, как с большой точностью экспериментально определять это Будучи школьником, я узнал, что период колебаний маятника равен до сих пор помню, что меня удивило — откуда здесь взялось Те, кто учится в физико-математических школах, возможно, уже знают, откуда. В обычной же школе не говорят об уравнении (но всё же сообщают кое-что о его решении, а именно, период решения поэтому я и сказал, что () почти встречается в школе. На маятник действует сила тяжести, возвращающая отклоненный маятник на вертикаль, проходящую через O, но и после возвращения на неё маятник, обладая некоторой скоростью, по инерции продолжает двигаться и снова отклоняется от вертикали в сторону, противоположную той, откуда он пришёл. На шарик, висящий на пружинке, действует сила тяжести и упругая сила сжатой или растянутой пружины эти две силы действуют также, как если бы силы тяжести не было, но равновесное состояние пружинки (когда она не сжата и не растянута) было бы несколько другим (она была бы в нём несколько удлинённой по сравнению со своей настоящей длиной. Упругая сила пружины вместе с силой тяжести возвращают шарик в положение равновесия, в котором упругая сила в точности уравновешивает силу тяжести (пружинка при этом несколько растянута, но шарик по инерции проскакивает через это положение § . Введение В этих двух примерах мы имеем дело с механическими колебаниями, тес колебаниями, происходящими под действием механических сил. В электрическом контуре разность потенциалов между обкладками заряженного конденсатора вызывает появление тока в катушке; он не прекращается в тот момент, когда конденсатор полностью разряжена благодаря индуктивности катушки продолжает течь дальше, перезаряжая конденсатор. В этом случае за x можно принять заряд на конденсаторе, так что напряжение между обкладками конденсатора ёмкости C равно x/C, а ¨ x — это скорость изменения тока ˙ x, ей пропорционально падение напряжения L ¨ x на индуктивности L. Суммарное падение напряжения вдоль этих двух элементов замкнутой цепи равно нулю, что и приводит к уравнению () с. В электротехническом примере точность описания физической системы уравнением) может быть намного выше, чем в предыдущих механических примерах. Оказывается, решение дифференциального уравнения () имеет вид) = A cos(ωt + где A и α — некоторые константы, свои для каждого решения. Они называются, соответственно, амплитудой и фазой. При желании можно выразить их через начальные значения, те. через x 0 = x(0) и ˙ x 0 = = ˙ x(0). Однако в данном случае чаще бывает удобнее пользоваться амплитудой и фазой. Обратите внимание, что для обоих дифференциальных уравнений второго порядка, с которыми мы пока встречались, семейство решений двухпараметрическое, те. решение зависит от двух параметров. В () параметрами служат и v 0 = ˙ x 0 , а вино, как говорилось, можно было бы выразить решение через начальные значения и Это неслучайное совпадение в теории дифференциальных уравнений доказывается, что для мало-мальски хороших уравнений го порядка x ( n) = f (t, x, ˙ x, …, x ( n−1) ) (позднее я уточню, что здесь значит хорошее) решение полностью определяется своими начальными значениями, каковыми для уравнения го порядка являются зна- Это несколько по-разному доказывается в § ив, причём в последнем непосредственно доказывается также, что других решений нет, авто же объясняется со ссылкой на общие результаты теории дифференциальных уравнений. С формулами () связан также термин начальное условие. При его использовании имеется некоторый разнобой. Иногда под этим названием понимают всю систему n равенств. Иногда же каждое из них называют начальным условием, и тогда можно сказать, что решение полностью определяется n начальными условиями. (Я в основном придерживаюсь первого варианта, но иногда отхожу от него § . Введение чения в начальный момент времени (этим моментом может служить = 0, а может и какое-нибудь другое t = t 0 ) самого решения и его производных первых n − 1 порядков, те) Здесь верхний индекс указывает порядок соответствующей производной. Часто, впрочем, вместо и пишут короче x 0 , Если, к примеру, взять уже упоминавшееся дифференциальное уравнение первого порядка = то его решение зависит только от одного параметра, за каковой можно взять x 0 . Это решение имеет вид x(t) = x 0 e t , где e = 2,718… — основание натуральных логарифмов. Студентам, как, вероятно, и учащимся физико-математических школ, должно быть сразу понятно, что это действительно решение указанного уравнения с начальным значением тех, кто ещё не имеет соответствующих знаний, отсылаю к § , возможно, данное там изложение может быть небезынтересными для студентов. Но что, может быть, и для студентов не совсем очевидно — это что других решений сданным начальным значением нет. Утверждение о единственности решения уравнения ˙ x = x — это, конечно, частный случай некоей общей теоремы, но оно допускает такое простое отдельное доказательство, что стоит это доказательство привести. Пусть x(t) решение с начальным значением x 0 . Рассмотрим вспомогательную величину. Простое упражнение (предоставляемое читателю) — проверить, что ˙ y = 0. Значит, y — константа. Но когда t = 0, то y = x 0 (почему?). А раз y — константа, то она равна и при всех t. Итак, e −t x = при всех Но это и означает, что x(t) = Из () видно, что решения () суть периодические функции от с периодом 2 π/ω. Заметим, что все колебания гармонического осциллятора и большие, и малые — имеют один и тот же период (это свойство называют изохронностью колебаний. Это связано с линей- ностью уравнения (), тестем, что согласно этому уравнению можно выразить как линейную функцию от x. Для нелинейных урав- В более общем случае уравнение x ( n) = f (t, x, ˙ x, …, x ( n−1) ) называется линейным, если в его правую часть неизвестная x и ее производные входят линейно, то есть является суммой x и ее производных, взятых с какими-то независящими от них множителями. Эти множители — их называют коэффициентами данного уравнения — вполне могли бы зависеть от t, номы будем рассматривать только уравнения с постоянными коэффициентами § . Введение нений (те. уравнений, не являющихся линейными) изохронности почти никогда нет, что становится заметным при достаточно больших колебаниях. Легенда гласит, что Галилей установил независимость периода колебаний маятника от амплитуды, наблюдая колебания люстры в церковном соборе и подсчитывая число ударов своего пульса, приходящихся на определённое число колебаний. Трудно представить себе, чтобы в соборе амплитуда колебаний люстры была заметной по сравнению с длиной её подвески, исключая разве случай землетрясения, не очень подходящий для спокойных наблюдений. Таким образом, Галилей находился в области применимости линейного приближения на самом деле движение маятника описывается нелинейным дифференциальным уравнением, с которым мы познакомимся в § но когда колебания достаточно малы, это уравнение с довольно большой точностью можно заменить линейным. При больших колебаниях такая замена не годится, надо пользоваться самим нелинейным уравнением, а для него изохронности нет. Колебания маятника с большим (лучше сказать, сне обязательно малым) размахом рассматривал Х. Гюйгенс (—). Как известно, он изобрёл и построил в г. часы с маятником, в которых сразу же была достигнута невиданная ранее точность хода. Идею таких часов высказал ещё Галилей, но он их не построил. У Гюйгенса так называемый часовой ход (устройство, обеспечивающее взаимодействие маятника или балансира с прочим механизмом) былиной, нежели предлагал Галилей, так что Гюйгенс скорее всего не знало предложении Галилея. Впоследствии выяснилось, что у маятниковых часов был ещё один изобретатель — астроном, математик, механики часовой мастер И. Бюрги (—). Он даже вроде бы построил такие часы. Но Бюрги почти ничего не публиковали его достижения нередко оставались его личным делом, не влияя на развитие науки и техники. О его часах стало известно много позднее, когда давным-давно были созданы часы Гюйгенса. Не в пример Бюрги, Гюйгенс написал книгу Маятниковые часы, где, кстати, говорилось не только о самих часах, но и о вопросах механики, имеющих отношение к маятнику. Бюрги также изобрёл логарифмы и даже опубликовал таблицу антилогарифмов, но опубликовать удосужился только тогда, когда все уже знали об изобретении логарифмов Дж. Непером (—). Боюсь, что если не считать нескольких музейных экспонатов, от Бюрги реально до нас дошла только. запятая. Биографический словарь сообщает, что Бюрги вместе с Кеплером (—) (одно время они оба работали в Праге) ввёл запятую для отделения в десятичной дроби её целой части от дробной § . Введение В частности, во втором издании в г. Гюйгенс впервые заговорило центробежной и центростремительной силе. Гюйгенса беспокоила обнаруженная им неизохронность колебаний маятника (те. зависимость периода колебаний от их размаха) ему казалось, что она должна вредно отражаться на точности хода часов, ведь (думал Гюйгенс) размах колебаний маятника может быть различным. Он даже придумал некое приспособление (так называемый циклоидальный маятник, обеспечивавшее изохронность. Но часы с этим приспособлением если и были построены, тов единичных экземплярах и надежд не оправдали. Авто же время маятниковые часы работали неплохо. Много лет спустя, в конце XIX века или даже в XX веке, стало понято, что опасения Гюйгенса были напрасны. Галилей и Гюйгенс говорили о свободных колебаниях маятника, те. маятника, на который не действуют никакие внешние силы (кроме, конечно, силы тяжести); он, так сказать, предоставлен самому себе. В часах же маятник взаимодействует с часовым ходом, и это принципиально меняет дело там происходят несвободные колебания, атак называемые автоколебания, размах и период которых определяются устройством часов и не зависят от первоначального размаха колебаний маятника (если только первоначальный размах был достаточен для того, чтобы часы вообще пошли |