Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Теорема . Если два квазимногочлена m i=1 e λ i t p i ( t) (где попарно различны, а p i — ненулевые многочлены) и) (где тоже попарно различны, а q j — ненулевые многочлены) при всех t принимают одинаковые значения, то они совпадают и по своему виду, те и при подходящей нумерации, λ m = µ m , p 1 = q 1 , …, Замечание. Мы могли бы довольно долго обходиться без этой теоремы, считая, что когда речь идет о показателях и соответствующих многочленах, то они сопоставляются не самой функции x(t), атому способу, каким она представлена в виде. Тогда временно допускалась бы возможность, что) можно представить также ив виде другого квазимногочлена — другого выражения, и с этим другим представлением x(t) в виде квазим- ногочлена могли бы связываться другие (хотя бы отчасти другие) показатели и многочлены. И только где-то в конце попутно с другими результатами мы убедились бы, что эти хитросплетения были излишни. Однако лучше убедиться в этом с самого начала. Доказательство теоремы . Если бы два различных по своей форме квазимногочлена (у которых показатели и соответствующие многочлены не вполне совпадают) принимали при всех t одинаковые значения, то отсюда следовало бы (каким образом, что при всех t имеет место равенство) с какими-то числами ν, и многочленами p, r i , причем ν отлично от всех а многочлен p(t) ненулевой) = a l t l + a l−1 t l−1 + … + a 1 t + где Дабы убедиться в невозможности этого, мы подберем такой многочлен Q(λ), что Q(D) k i=1 e ν i t r i ( t) = 0 при всех t, Q(D)(e νt p(t)) = при некоторых а точнее, Q(D)(e νt p(t)) = e νt q(t), где q — некоторый многочлен той же степени, что и Если степень равна l i , тов последнем выражении порядок производной выше степени дифференцируемо § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами го многочлена. Стало быть, для оператора Q(D) = (будет Q(D) k i=1 e ν i t r i ( t) = С другой стороны, имеет место Лемма . Пусть R(λ) — многочлен. Под действием R(D) квазимногочлен e νt p(t) переходит в квазимногочлен e νt q(t), где степень многочлена q не превосходит степени многочлена p. Если R(ν) = 0, то эти степени равны. Если же ν является кратным корнем многочлена P, а многочлен имеет степень l, то при k > l под действием R(D) элементарный квазим- ногочлен e νt p(t) переходит в тождественный нуль, тогда как если k l, то) = e νt q(t), где q — многочлен степени l − k. В доказательстве теоремы мы ввели оператор Q(D), для которого Q(ν) = = k i=1 (ν − ν i ) l i + 1 = 0. По лемме выражение) не может тождественно равняться нулю (те. обращаться в нуль при всех t). Этим завершается доказательство теоремы — если лемма доказана. Доказательство леммы . Пусть p(t) = a l t l + a l−1 t l−1 + … + a 1 t + a 0 , где. Имеем) = e νt R(D + ν)p(t) = где q(t) = R(D + ν)p(t). Поскольку + ν) = R(ν) + сумма одночленов вида почему, то + ν) = R(ν) + сумма операторов вида Каждый одночлен под действием R(D) переходит в некоторую сумму слагаемых вида c j t j c j i — ведь дифференцирование уменьшает степень многочлена, и только приумножении на R(ν) степень остается прежней, если только R(ν) = 0. Поэтому + ν)p(t) = сумма одночленов степени, не большей так что степень q(t) не превосходит степени Если R(ν) = 0, то R(ν)a l t l — (ненулевой) старший член многочлена ибо остальные входящие в R(D) операторы переводят в одночлены меньшей степени и каждый одночлен с i < l переводится оператором + ν) в многочлен степени, меньшей l. Стало быть, степень q равна в этом случае При всех t R(D)(e νt p(t)) = 0. В подобных случаях часто пользуются знаком ≡, т. е. пишут R(D)(e νt p(t)) ≡ 0. В настоящей книжке он не употребляется, хотя многие равенства являются тождественными равенствами — мне кажется, что обычно это само по себе должно быть понятно без особых разъяснений. Именно степени l − k, а не степени, не превосходящей l − k, те. коэффициент при t l−k в q(t) отличен от нуля § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Наконец, пусть ν — корень многочлена R кратности k, так что R(λ) = = Q(λ)(λ − ν) k , где Q(ν) = 0. Тогда) = e νt P(D + ν)p(t) = e νt Q(D + В результате кратного дифференцирования многочлена p, имеющего степень, получается тождественный нуль, когда k > l, и некоторый многочлен) степени k − l, когда k l. В последнем случае при применении к многочлену оператора Q(D + ν) получится многочлен той же степени — в сущности, мы это уже видели выше, но при желании сейчас мы можем более формальным образом сослаться на уже доказанную часть леммы многочлен r можно рассматривать как элементарный квазимногочлен с показателем 0, а 0 не является корнем многочлена отравного при подстановке в этот многочлен 0 вместо получается отличное от нуля число В x = y i , где y i — элементарные решения, имеется n коэффициентов. Это коэффициенты многочленов p i ( t), у их k i . (Столько коэффициентов имеется у многочлена степени k i − 1. У нас же может иметь им еньшую степень. Но такой многочлен можно записать как многочлен якобы (k i − й степени, у которого коэффициенты при старших степенях t равны нулю) Всего n коэффициентов. Столько же бывает и начальных значений. А условие, что x имеет заданные начальные значения) = x (0) 0 , ˙ x(0) = в отличие от (), мы теперь будем говорить только о начальных значениях в момент времени t 0 = 0), приводит к линейным уравнениям для определения этих коэффициентов, потому что каждая из производных x ( i) (0) является суммой этих коэффициентов с какими- то множителями. Фактически это видно из доказательства леммы , но повторим еще раз. Производная квазимногочлена сама является квазимногочленом с теми же показателями и с новыми множителями при экспонентах эти множители снова являются многочленами от t и их коэффициенты линейно выражаются через коэффициенты первоначальных многочленов p i . Действительно e λ i t p i ( t) = e λ i t ( ˙ p i ( t) + Когда, то) — многочлен той же степени, что и p i , когда же λ i рав- но нулю, такое слагаемое фактически отсутствует. Далее, ˙ p i ( t) — многочлен на единицу меньшей степени, нежели p i , если только не есть константа. Когда и, то e λ i t p i ( t) = 0 и у производной дифференцируемого квазимногочлена x нет показателя λ i . Продолжая дифференцировать x, получаем, что все его производные являются аналогичными квазимногочлена- ми и что коэффициенты соответствующих многочленов линейно выражаются § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами через коэффициенты первоначальных многочленов p i . Значение же каждого квазимногочлена при t = 0 является суммой свободных членов многочленов, соответствующих показателям квазимногочлена. Значит, начальные значения) линейно выражаются через коэффициентов тех, которые фигурируют в исходной формуле x Данная система — это необходимое и достаточное условие для того, чтобы решение x = e λ i t p i ( t) дифференциального уравнения = 0 удовлетворяло предписанным начальным условиям (Поскольку в нашей системе алгебраических линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, то можно надеяться, что она имеет решение ипритом только одно. Позднее на основании других соображений будет доказано, что соответствующее решение дифференциального уравнения () существует и единственно значит, данная система линейных алгебраических уравнений разрешима и ее решение (те. совокупность коэффициентов многочленов является единственным. Практический вывод состоит в использовании метода неопределенных коэффициентов если мы хотим найти решение конкретного уравнения с предписанными начальными данными, то надо составить и решить соответствующую систему. Если в каком-нибудь конкретном примере это удастся, тотем самым мы не только еще разубедимся, что приданных конкретных начальных условиях у данного уравнения имеется решение в виде суммы элементарных квазимно- гочленов, но и найдем это решение. Решая в приводимом ниже примере эту линейную систему алгебраических уравнений, мы заодно увидим, что ее решение единственно. Это будет означать единственность соответствующего квазимно- гочлена. Однако при этом останется неясным, нет ли у дифференциального уравнения еще другого решения, удовлетворяющего тем же начальным условиям, которое не является квазимногочленом. Повторяю, что ниже иным способом будет доказано отсутствие таких реше- ний. Пока же рассмотрим пример — гармонический осциллятор (Для него P(λ) = λ 2 + ω 2 , решения уравнения P(λ) = 0 суть λ = поэтому x = C 1 e iωt + C 2 e −iωt . В физической задаче начальные данные обычно вещественны и нужно найти вещественное решение. Покажем, что оно получается при C 2 = ¯¯ C 1 . Надо использовать вещественность не при каком-то одном t, а при всех t. Дифференцируя, добавляем к равенству) = 0 () § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами еще iωC 2 e −iωt ) = те Умножив () на i и прибавив обе части полученного равенства к соответствующим частям (), заключаем, что проверьте) A вычитаемое здесь равно, и Доделайте сами. В этом рассуждении подразумевалось (где, что = 0; как быть при = Упражнение. Покажите, что полученное вещественное решение может быть записано также в следующем виде + A 2 sin ωt = A cos(ωt + ϕ) = где A 1 , A 2 , A, ϕ — вещественные, а C, вообще говоря, комплексное. Заметим, что, как показывает опыт, обычно при интегрировании как данного, таки других линейных дифференциальных уравнений выгоднее как можно дольше работать с решением в комплексной форме, поэтому представление вещественного решения как вещественной части комплексного решения часто оказывается всего удобнее. В конце XIX — начале XX века расчеты с комплексными числами нашли широкое применение в электротехнике и радиотехнике. Как я слышал, в связи с этим Пуанкаре — самый выдающийся математик того времени однажды напомнил, что всего несколькими десятилетиями ранее студенты парижской Высшей политехнической школы протестовали против попытки Коши ввести в практику преподавания начальные сведения о комплексных числах и функциях комплексного переменного, говоря, что это предмет сухой и практически бесполезный. Пуанкаре добавил, что как разв то время общественное настроение было возбуждено картиной Жерико Плот Медузы ( г) Современники и соотечественники Пуанкаре прекрасно понимали, о чем идет речь, но читателю настоящей книжки могут понадобиться пояснения. Фрегат Медуза потерпел кораблекрушение. Может быть, в томи не было особой вины капитана, получившего свой пост благодаря связям в правительственных кругах, — на море всякое бывает — но уж точно, что он не последовал предписанию морской этики капитан покидает тонущее судно последним, а совсем наоборот, первым покинул корабль на шлюпке вместе с несколькими старшими офицерами, бросив остальных на произвол судьбы. Оставшиеся люди попытались спастись, сгрудившись § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами на единственном плоту (при подготовке судна к плаванию капитан не позаботился о достаточном количестве аварийных плавсредств) и не имея почти никаких запасов еды и, главное, воды (тоже по вине капитана, не позаботившегося об НЗ). У них не было защиты от палящего солнца. В конце концов плот заметили с проходившего рядом корабля, но к этому моменту многие погибли, здоровье других было существенно подорвано... Мастерское изображение трагического положения погибающих людей выглядело обвинительным актом против правительства эпохи Реставра- ции. Теперь, заметил Пуанкаре, комплексные числа используются при расчетах в радиотелеграфии, которая позволяет попавшим в беду людям дать весть о себе. В фазовой плоскости (x, ˙ x) при ω = 1 получаются окружности, проходящие через любую начальную точку. При = 1 заменой времени уравнение сводится к предыдущему. В фазовой плоскости, отвечающей первоначальной задаче, получаются эллипсы. Упражнение. Рассмотрите уравнение (). Покажите, что при k < 2ω имеется небольшая диссипация энергии) вещественные решения имеют вид 4 · t + с произвольными вещественными A, ϕ. Множитель с косинусом показывает, что в системе все еще происходят колебания, хотя и сиз- мен¨ енной (уменьшенной) по сравнению со случаем k = 0 частотой, а экспоненциальный множитель — что со временем колебания затухают. На фазовой плоскости фазовые траектории суть спирали, навивающиеся на положение равновесия, находящееся вначале координат (риса я уже говорил, что такое положение равновесия называется устойчивым фокусом. Покажите, далее, что при k 2 ω большое трение уже не оставляет сил для колебания — в фазовой плоскости получаются узлы (рис. б, в. Теперь читатель может проверить, что рис. б действительно соответствует случаю k = 2ω, как иго- ворилось ранее. Какие фазовые портреты получаются при k < 0 (что физически означает не поглощение энергии, а ее поступление в си- стему)? Займ¨ емся теперь интегрированием дифференциального уравнения) с квазимногочленом f в правой части = g j , g j = e µ j t q j ( t), § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами где q j — многочлен степени l j . Достаточно найти частные решения уравнений P(D)z j = g j () (очевидно, что достаточно. Так как (D − µ j ) l j + 1 g j = 0 (почему, то − Итак, решения () надо искать среди решений (). Конечно, годятся только некоторые из последних (для произвольного решения уравнения) будет каким-то элементарным квазимногочленом с показателем, ноне обязательно именно квазимногочленом Но раз мы знаем, как они выглядят, то мы можем использовать метод неопределенных коэффициентов. При этом приходится различать два случая: µ j не равно никакому из, и. В первом где r j — многочлен степени l j , те. той же степени, что и q j . Во втором случае z j = e λ i t r j ( t), где r j — многочлен степени ведь — кратность λ i как корня многочлена ( λ − В нем можно не писать слагаемые степеней, меньших k j , т.к. они дают (приумножении на соответствующую экспоненту) решение однородного уравнения. Поэтому в имеется всего l j + 1 слагаемых (со степенями t k j , t k j + 1 , Сказанное приводит к следующей рекомендации. Решение дифференциального уравнения () — теперь уже с учетом начального условия () — надо искать в виде суммы x = z j + y решений уравнений () и решения y однородного уравнения P(D) y = 0. При этом надо записывать и y с неопределенными коэффициентами. Значения последних надо определять из двух условий. Во-первых, z j должны удовлетворять уравнениям () с заданными g j . (Как объяснено выше, в z j = e µ j t r j ( t) можно не писать некоторых слагаемых. Проверьте, что для определения коэффициентов многочлена r j получается l j + 1 уравнений — столько же, сколько имеется этих коэффициентов) Во-вторых, с помощью n неопределенных коэффициентов, фигурирующих в выражении для y, надо удовлетворить начальным условиям. Применим эти общие соображения к примеру + ω 2 x = a cos(νt + Которая у нас пока что отчасти остается недоказанной, так что успех при ее применении пока что не гарантирован. Но это не мешает уже сейчас пробовать ей следовать в томили ином конкретном примере. Если в каком-то примере у нас все сойд¨ ется», то тем самым мы вс¨ е-таки решим этот пример. В этом отношении ситуация здесь аналогична ситуации для однородного уравнения § . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами рассматриваемому в вещественной области (a, ν и ϕ вещественны). Конечно, ω тоже предполагается вещественным — это обычно подразумевается, когда пишут ¨ x + При этом можно считать, что > 0 и ν > 0 (знак ω вообще не влияет на уравнение, раза изменение знака ν равносильно заменена почему. Согласно общей теории, надо взять решение уравнения + ω 2 x = с подходящими перейти к его вещественной части. |