Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва

• Название: Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
• Дата: 20.12.2018
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: anosov.pdf
• Тип: Книга; #61083
• страница: 12 из 14

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона.
Грубость и типичность
Теория Пуанкаре—Бендиксона описывает возможные типы предельного поведения траекторий на фазовой плоскости. Будем считать, что автономная система () задана в области G и имеет там конечное число положений равновесия (последнего для нас достаточно, а формулировки при этом упрощаются вообще же в теории
Пуанкаре—Бендиксона рассматривается и общий случай. Пусть положительная полутраектория {x(t); является ограниченной
(т. е. имеется такое C > 0, что |x(t)| C при всех t t
0
) и её замыкание содержится внутри G те. там лежат все предельные точки — точки вида lim
t
n
→∞
x(t
n
))

. Тогда для поведения x(t) при t → ∞ имеются только следующие возможности) {x(t)} является положением равновесия или замкнутой траекторией стремится к положению равновесия) {x(t)} навивается на предельный цикл;
а)
б)
в)
Рис. . Навивание траектории на различные кривые) {x(t)} навивается на замкнутую кривую L так сказать, криволинейную ломаную, состоящую из одного или нескольких поло-

Само собой разумеется, что на векторное поле фазовой скорости накладываются обычные ограничения типа гладкости, гарантирующие существование и единственность решений и надлежащие свойства решения как функции от времени t и начальных данных (свойства упоминавшегося в §  x(t, Короткая формулировка для достаточно подготовленных студентов (включающая и ограниченность, и условие о предельных точках полутраектория относительно компактна в G.

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

а)
б)
в)
Рис. 
жений равновесия (вершины ломаной) и соединяющих их траекторий сепаратрис (звенья ломаной. Как видно из рис. , кривая может иметь самопересечения. В соответствующих точках происходит ненастоящее пересечение одной дуги кривой L с другой еду- гой, вроде показанного на риса, атак сказать, слипание точек двух её дуг, как показано на рис.  б. Название слипание связано стем, что — вне теории Пуанкаре—Бендиксона — такое самопересечение могло бы получиться при сближении двух частей одной замкнутой кривой, как показано на рис.  в. В этом случае L называют «сепа- ратрисным циклом (контуром или ломаным предельным циклом».
Таким образом, список возможностей в теории Пуанкаре—Бен- диксона невелик добавлю, что доказательство его исчерпывающего характера не очень трудно. Совсем другая задача — выяснить, какие именно возможности реализуются для конкретного уравнения (или некоторого класса уравнений. Она может быть очень трудной.
Основная заслуга Пуанкаре в данном случае состояла в том, что он начал использовать в подобных вопросах геометрию. Теперь обращение к ней стало само собой разумеющимся делом, а как же иначе К основному результату теории Пуанкаре—Бендиксона иначе, действительно, не подойдёшь
(а ведь его можно сформулировать и независимо от геометрии как утверждение о поведении решений системы () при t
→
∞
— в случаях ), ) и это достаточно очевидно, только формулировка случая ) стала бы довольно громоздкой. Но и во многих других вопросах привлечение геометрии помогает если и не столь существенным образом, то по крайней мере упрощая понимание ситуации. Так обстоит дело, например, в теории устойчивости.
А между тем сам Ляпунов геометрическим языком совершенно не пользовался. Не то чтобы он его не понимал (как бы он смог в противном случае оценить работы Пуанкаре, но, видимо, считал его излишними, похоже, даже допускал, что привносимая этим языком ясность может быть обманчивой,
особенно при n > 2. Если говорить о неосторожном обращении с геометрией,
когда кажущееся принимается за доказанное, то Ляпунов, конечно, был прав,
хотя это относится не только к геометрии, но и к чему угодно


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность
Только недавно удалось окончательно

доказать, что если в правых частях системы () стоят многочлены, то у системы может быть только конечное число предельных циклов. Даже когда f
1
, f
2
— многочлены второй степени, этот результат весьма нетривиален и был получен сравнительно недавно (Р. Бамон, ). В общем же случае он был доказан разными способами ЮС. Ильяшенко и Ж. Экалем в — гг. Как сказано водной из недавних статей обзорно- программного характера, сообществу математиков, работающих в качественной теории дифференциальных уравнений, потребуется время, чтобы переварить эти работы

Если у каждой системы () с многочленами й степени число предельных циклов конечно, то всё жене исключено, что среди таких систем с одними тем же k имеются системы со сколь угодно большим числом предельных циклов. Это до сих пор неизвестно (даже при = 2.) Если же окажется, что у всех систем () с многочленами й степени число предельных циклов не может быть сколь угодно большим, те. число предельных циклов у них не превосходит некоторого числа, то возникает ещё более непонятный вопрос, насколько велико это Он составляет часть так называемой й проблемы Гильберта. Гильберт,
видимо, был настолько уверен в конечности a
k
, что даже не сформулировал отдельно вопроса на сей счёт.
Д. Гильберт (—), как и Пуанкаре (которому Гильберт, по его собственному признанию, всё-таки несколько уступал, работал в различных разделах математики. (Ноне во всех. Так, у него бывали серьёзные тематические соприкосновения с Пуанкаре, но настоящих пересечений, кажется,
не было или почти не было.)
В г. на II Международном математическом конгрессе Гильберт сделал доклад Математические проблемы. После небольшой вводной части,
где он говорило роли конкретных проблем для развития математики, Гильберт сформулировал как бы на пробу проблемы из различных разделов математики. Он сказал, что названные проблемы — это только образцы про-

Окончательно, потому что ещё в г. А. Дюлак (—) опубликовал доказательство, оказавшееся неполным. Его работа была вполне содержательной, нос заключительным выводом он поторопился.

Автором цитированной статьи был С. Смейл, о вкладе которого в теорию динамических систем немного говорится в конце настоящего параграфа. Суждение такого эксперта нельзя не считать весомым, тем более что он, вероятно, выражал своё впечатление не только от этих работ, но и от бесед по их поводу со своими коллегами
(а при его положении среди них, надо думать, были люди, тоже заслужившие немалый авторитет в данной области).

Если среди систем () с многочленами й степени имеются системы со сколь угодно большим числом предельных циклов, то можно сказать, что a
k
=
∞

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

блем». Но образцы оказались удивительно удачными и оказали большое стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке, да и навек кое-что осталось (хотя в основном с проблемами Гильберта сумел справиться век).
Теория Пуанкаре—Бендиксона говорит нам, какие вопросы можно задавать по поводу предельного поведения отдельных траекторий конкретного уравнения (вопросов оказывается не так уж много,
и знать это весьма нелишне, ноне очень-то помогает отвечать на них. Кроме того, на полном фазовом портрете мы видели бы предельное поведение всех траекторий, а между тем теория Пуанкаре—
Бендиксона почти ничего не говорит о том, как могут сочетаться возможности, относящиеся к различным траекториям, потому что и на самом деле возможны почти любые сочетания.
Андронов обратил внимание, что в ряде интересовавших его вопросов теории автоколебаний многие типы фазовых портретов являются в известном смысле исключительными. Собственно, это относится к большинству формально возможных фазовых портретов. Так что число разумных вопросов сокращается. Точная реализация замысла Андронова была им достигнута совместно с Л. С. Понтрягиным

в г. В их окончательной формулировке выдвигаются две точки зрения, различающиеся по своему содержанию (это, так сказать, точки зрения с различных позиций, но замечательным образом приводящие к одному и тому же заключению.
Рассмотрим сперва пример. У гармонического осциллятора все траектории замкнутые, но стоит добавить хотя бы небольшое сопротивление движению, те. перейти от уравнения () к (), добавив слагаемое k ˙
x с маленькими все решения устремятся к началу координат. А если наряду с диссипацией энергии добавить

Л. С. Понтрягин (—) в возрасте лет ослеп в результате несчастного случая. Для слепого получить полноценное высшее образование — уже подвига Понт- рягин достиг гораздо большего, став одним из крупнейших российских математиков.
До началах гг. он занимался преимущественно топологией (это относительно новый раздел науки, окончательно сформировавшийся, кстати, благодаря Пуанкаре;
некоторая (честно говоря, несколько примитивная) характеристика принятой в ней точки зрения (но, увы, нее результатов) содержится водном из подстрочных примечаний далее. Здесь его достижения принадлежали к числу лучших мировых. Однако и тогда он порой отвлекался на дифференциальные уравнения (в основном не без влияния Андронова. В этот период появилась та их совместная работа, о которой я сейчас говорю) Начиная с х гг. Понтрягин полностью переключился на теорию дифференциальных уравнений (в широком смысле слова — включая пограничную между нею и вариационным исчислением математическую теорию оптимальных процессов).
На мой взгляд, второй период его творчества несколько уступает первому, но и одного второго периода достаточно для высокой оценки его достижений


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность ещё небольшую подкачку энергии в систему, то может получиться уравнение ван дер Поля () с более сложным фазовым портретом.
С другой стороны, если начать с уравнения () тес системы (си немного изменить его коэффициенты, то фазовый портрет не изменится. Можно доказать, что он не изменится и при произвольном
«малом возмущении, те. при добавлении в правые части () не только маленьких линейных функций от фазовых координатно и произвольных функций от x, y, если эти функции и их производные достаточно малы. Аналогичный факт имеет место и для системы (отвечающей уравнению ван дер Поля.
Замкнутость траекторий систем () и () связана с законом сохранения энергии, причём в данном случае одного из её видов (механической энергии, если понимать () как уравнения для малых колебаний маятника или грузика на пружинке. Вообще, если для физической системы (рассматриваемой как отдельный объект) справедлив какой-то физический закон, то это может налагать ограничения на то, какими могут быть правые части системы дифференциальных уравнений, описывающих эту систему. (Яне говорю, конечно, о нарушении физических законов — они на то и законы, чтобы не нарушаться но они могут относиться не к рассматриваемой нами отдельной физической системе, к е, так сказать, внутренней динамике, а к этой системе в связи с окружающей средой) Пока мы имеем дело только с консервативными системами, возможность качественного изменения фазового портрета такой системы при произвольных малых возмущениях не должна нас смущать — произвольное возмущение, вообще говоря, нарушает консервативность.
Другое дело — автоколебательные системы, которыми особенно интересовался Андронов. Здесь есть ещё следующая сторона дела.
Нет оснований утверждать, что работа лампового генератора описывается в точности уравнением () — это ведь не фундаментальный,
«первичный» физический закон вроде закона Кулона взаимодействия электрических зарядов, математическое выражение которого можно считать точно известным (или по крайней мере известным сочень большой точностью. При выводе () предполагается, что зависимость проходящего через лампу тока от напряжения на сетке выражается определённой формулой. Эта зависимость была установлена в результате измерений и представлена графически, а затем для полученного графика подобрали функцию от напряжения, которой равен ток.
Ясно, что степень точности этой эмпирической формулы намного ниже, чем точность формул, выражающих фундаментальные законы

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

природы. Да, может быть, к особой точности здесь и не стремились,
а довольствовались приблизительным сходством между графиком и графическим выражением зависимости тока от напряжения. Поэтому очень хорошо, что фазовый портрет для уравнения ван дер Поляне меняется при малых возмущениях — неточность, вероятно свойственная этому уравнению, не мешает тому, чтобы его фазовый портрет был правильным фазовым портретом лампового генератора

В теории Андронова—Понтрягина рассматриваются системы (которые заданы в замкнутой области, ограниченной некоторой гладкой замкнутой кривой C без самопересечений

, и у которых вектор фазовой скорости f нигде на кривой C неравен нулю и всюду на направлен внутрь. Совокупность таких систем будем обозначать через
1
(
происходит, конечно, от vector (field), а верхний индекс напоминает о гладкости класса C
1
). С физической точки зрения условие о поведении f на C можно понимать так, что при больших или преобладают диссипативные члены, и поэтому решения входят внутрь области D. Уже несколько разговорилось, что для автоколебательных систем это обычная ситуация.
Занимаясь уравнением (), мы встретились с формально несколько иной ситуацией. Во-первых, кривая C
′
, ограничивавшая снаружи интересующую нас область, была негладкой, а только кусочно-гладкой — она состояла из нескольких гладких дуг, примыкавших друг к другу под углом. Во-вторых, на части этих дуг фазовая скорость не была направлена внутрь C
′
, а касалась этих дуг.
Однако можно показать, что кривую можно заменить близкой к ней гладкой кривой C, обладающей указанными выше свойствами. Яне буду этого доказывать. (Но мне кажется, что студент-математик довольно легко спра-

На это можно возразить, что если мы не уверены в точном виде функции f , то надо рассмотреть тот специальный класс уравнений, который получается при различных со сходными свойствами, а непроизвольные малые возмущения уравнения (Что, конечно, давно сделано. Но если бы фазовый портрет для () существенно изменялся при сколь угодно малых возмущениях, то, во-первых, сомнительно, чтобы в пределах упомянутого специального класса фазовые портреты были бы одинаковыми, а во-вторых, не исключено, что есть какие-то ещё неучтённые нами обстоятельства,
которые могли бы на этот портрет повлиять.

Замкнутая область — это область в прежнем смысле, к которой присоединена её
граница.

Здесь произошло небольшое отступление от соглашений, принятых в § , где речь шла о системе, заданной в открытой области. Но когда граница области устроена столь просто, как у нашей D, не возникает вопроса, как понимать обычное условие гладкости векторного поля фазовой скорости f те. функций f
i
, служащих его координатами)
в такой области.

Имеется ввиду строго внутрь, те нигде не касается C.


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность вится с этим. Насчёт возможностей школьника, даже из физматшколы, я не так уверен.).
В предварительном порядке можно дать намёк нате две точки зрения, которые были выдвинуты в работе Андронова и Понтрягина.
Первая состоит в том, что во главу угла ставится сохранение (или несохранение) фазового портрета при малом возмущении рассматриваемой системы из, те. при малом изменении её правой части.
Система называется грубой, или структурно устойчивой, если при любых достаточно малых возмущениях её фазовый портрет не меняется, те. остаются неизменными все качественные свойства поведения её траекторий. В этом определении (конечно, нуждающемся в уточнениях, которые будут даны ниже) свойства рассматриваемой системы () сравниваются со свойствами близких к ней систем.
А после этого Андронов и Понтрягин установили, как охарактеризовать грубую систему посредством свойстве собственного фазового портрета. При этом выяснилось, что при малом возмущении грубой системы снова получается грубая система и что любую систему из
1
можно слегка изменить таким образом, что получится грубая система
(«грубые системы плотны в. Поэтому можно сказать, что грубые системы являются как бы преобладающими, типичными в
1
Здесь первая точка зрения, выдвинутая Андроновым и Понтрягиным,
смыкается со второй точкой зрения, которая как рази состоит в том,
чтобы охарактеризовать фазовые портреты систем из, являющихся преобладающими, типичными.
Слово типичность, подобно регулярности и хаотичности, является неточным термином, а неформальной характеристикой (подразумевая, хотя бы отчасти, и обращение к интуиции. Читателю-студенту, вероятно, известно, что нигде неплотное подмножество отрезка (вроде бы его надо считать
«пренебрежимо малым, исключительным) может иметь положительную меру Лебега, сколь угодно близкую к длине отрезка (какая уж тут исключительность, разве можно пренебрегать таким множеством. Таким образом,
имеется несогласованность различных вариантов, какими можно уточнять смысл слова типичность. В настоящей книжке типичность динамической системы всегда близка к первому варианту, использование которого в данной области восходит к работе Андронова и Понтрягина. (Близка, ноне всегда соответствующие формулировки в точности такие же, как у них я не останавливаюсь на уточнениях.)
Но и второй вариант имеет право на жизнь, и не только вообще, но ив вопросах интересующей нас теории динамических систем. (Прошу пове-

«Грубость» понимается в том же смысле, как в выражении грубо, но надёжно»,
а не в смысле хамства

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

рить мне на слово, даром что это слово здесь не только никак не мотивировано, но и звучит как-то приблизительно. Пояснения потребовали бы слишком много места.)
Студент поймет, почему первый вариант называется топологическим,
а второй — метрическим (метрическим не в смысле каких-то связей смет- рическими пространствами, а в смысле теории меры. Насколько я знаю,
на метрический вариант в теории динамических систем и на некоторую коллизию между двумя вариантами в этой теории впервые обратил внимание
А. Н. Колмогоров в середине х гг.
Мне остаётся уточнить постановку задачи, а затем я сформулирую ответ (те. укажу свойства фазовых портретов грубых систем).
Два момента в постановке нуждаются в уточнении. Во-первых, раз мы говорим о малых возмущениях, то надо объяснить, как мы будем характеризовать степень отличия , g) друг от друга двух систем из системы () и системы
˙
x
1
=
g
1
(
x
1
,
x
2
),
˙
x
2
=
g
2
(
x
1
,
x
2
)
()
(короче, ˙
z = g(z))? И во-вторых, надо совершенно чётко указать, когда качественные свойства фазовых портретов двух систем из
1
счита- ются одинаковыми.
Итак, что принять за Dist( f , g)? В основном всё сводится к подходящей характеризации d(ϕ, ψ) разницы между двумя функциями ϕ, с обычными числовыми значениями, ибо если мы договоримся, что понимать под расстоянием d(ϕ, ψ) между ϕ и ψ», то для векторных полей f = ( f
1
,
f
2
),
g = (g
1
,
g
2
) можно принять, скажем , g) = d( f
1
,
g
1
) +
d( Здесь мы сталкиваемся стем, что под расстояниями между двумя функциями можно понимать принципиально различные величины. Вообще-то уже под расстоянием между точками x = (x
1
,
x
2
),
y = ( y
1
,
y
2
) на плоскости можно понимать не только обычное геометрическое расстояние d
геом
(
x, y) (равное y
1
)
2
+
(
x
2
− y
2
)
2

Dist в обозначении Dist( f , g), конечно, связано со словом distance — расстояние.
Дело в том, что некоторые свойства этого расстояния между f и g напоминают привычные свойства обычного расстояния между точками. Замечание для студентов:
я здесь имею ввиду, что, рассматриваемое с этим расстоянием, является метрическим пространством.

И это сказывается не только в теории дифференциальных уравнений (где, кстати,
это сказывается отнюдь не только в интересующем нас вопросе, но ив ряде других разделов математики


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность по теореме Пифагора, но и другие величины, ничуть не хуже говорящие об отличии x от y, например, d
′
=
|x
1
− y
1
| + |x
2
− y
2
| или y
1
|, |x
2
− y
2
|) (наибольшее из двух чисел |x
1
− y
1
|, |x
2
− Но различие между этими расстояниями всё жене настолько велико, чтобы сказываться на таких понятиях, как предел если последовательность точек стремится к точке x в смысле одного из этих
«расстояний» (те. если выполняется одно из утверждений
d
геом
(
x, y
n
) → 0,
d
′
(
x, y
n
) → 0,
d
′′
(
x, y
(
n)
) → то y
n
→ x также ив смысле других расстояний (те. выполняются и два других из утверждений ()). Различия же между различными
«расстояниями» между функциями могут быть столь большими, что,
как мы увидим, это сказывается и на понятии предела.
Казалось бы, всего естественнее принять d(ϕ, ψ) = max |ϕ(x
1
,
x
2
) −
− ψ(x
1
,
x
2
)|, причём максимум берётся по всем точкам замкнутой области где заданы ϕ и ψ). После этого мы могли бы измерять близость систем () и () величиной () (е малость означала бы просто малость d( f
1
,
g
1
) и f
2
,
g
2
)). Но, как мы сейчас увидим, для наших целей такое расстояние между векторными полями не годится. Если бы мы его приняли, то оказалось бы, что качественные свойства
(пусть не все, но некоторые) могут измениться при сколь угодно малом возмущении. Подробнее какой бы ни была исходная «невозму- щённая» система (), сколь угодно близко к ней найдётся «возмущён- ная» система () с другими качественными свойствами. Получается,
что грубых систем вообще не существовало бы.
Например, пусть у исходной системы () все положения равновесия являются изолированными и (a
1
,
a
2
) — одно из них. У сколь угодно близкой к () системы () (близкой, повторяю, в смысле малости , g)) положение равновесия (a
1
,
a
2
) вполне может не быть изолированным. Не вникая в детали, это можно пояснить на одномерном примере аналогичного характера. На рис.  изображены графики двух функций одной переменной и ψ, близких в смысле малости, ψ). Функция ϕ имеет изолированный, а ψ — неизолированный нуль

в точке x = 0, те. система ˙
x = ϕ(x) имеет там изолированное положение равновесия, а система ˙
x = ψ(x) — неизолированное.
А ведь является ли положение равновесия изолированным или неизо- лированным — это, несомненно, надо отнести к числу качественных свойств фазового портрета.

Функция
ϕ имеет нуль в точке a а a является нулём функции ϕ), если ϕ(a) = Это, может быть, звучит как своего рода сленг, но так говорят

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

ϕ
ψ
0
x
y
Рис. Хотя изложенные соображения и не являются исчерпывающими, их достаточно, чтобы читатель согласился с выводом расстояние) (ас ними) для нас не годится

Недостаток расстояния d(ϕ, ψ) состоит в том, что близость функций и ψ друг к другу (в смысле малости этого расстояния) ничего не говорит о близости их производных. Если нарисовать такой аналог рис. , на котором производная) была бы близка к рис. ), то видно, что, монотонно убывая (при увеличении может иметь только один нуль a, причём он близок к точке x = Говоря на языке автономных систем возмущённая система ˙
x = имеет единственное положение равновесия a и оно близко к положению равновесия 0 невозмущённой системы ˙
x = ϕ(x). Более того:
у обеих систем вектор фазовой скорости слева от положения равновесия направлен направо, а справа — налево. Поэтому при t → ∞ все решения стремятся к положению равновесия. Атак как в качественном отношении ничего иного в этих системах не происходит, то обе системы имеют одинаковые качественные свойства. Значит, система) является грубой. (Когда мы по всей форме уточним, как

Чтобы быть вполне аккуратным, надо было бы ответить ещё на пару вопросов:
а что, если у исходной («невозмущённой») системы () положения равновесия не все являются изолированными А что, если их нет Ничего существенного эти вопросы не затрагивают, просто для их обсуждения требовалось бы место, да и читать скучно.

Не годится, ибо мы хотели, чтобы при малом возмущении сохранялись все качественные свойства фазового портрета. Вполне разумна другая постановка вопроса:
какие свойства всё-таки сохраняются при любых достаточно малых возмущениях, если близость «возмущённой» системы () к «невозмущённой» () понимать как малость только что отвергнутой величины Dist( f , g)? Конечно, этим тоже занимались (и не только для систем второго порядка, ноя на этом не останавливаюсь


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность
ϕ
ψ
0
x
y
Рис. понимать совпадение качественных свойств, читатель без труда убедится, что данный случай подпадает под это уточнение.)
На основании обсуждения поведения траекторий системы (возле положения равновесия в конце § тоже можно сделать вывод,
что близость возмущённой системы () к невозмущённой системе) целесообразно понимать в том смысле, что не только близки к f
i
, но и первые производные
∂g
i
∂x
j
близки к f
i
∂x
j
. При таком понимании близости можно доказать, что если у () имеется гиперболическое положение равновесия (a
1
,
a
2
), то у близкой к ней системы () имеется близкое к (a
1
,
a
2
) положение равновесия, которое тоже гиперболично и имеет тот же тип (из перечисленных в § что и положение равновесия (a
1
,
a
2
) исходной системы.
Примечание для студентов часть только что сделанного утверждения относится, собственно говоря, не к теории дифференциальных уравнений, а к обычному курсу матанализа. Это часть, гласящая Пусть в некоторой области возле точки (a
1
,
a
2
) заданы две гладкие функции, которые в этой точке обращаются в нуль, и пусть в ней же якобиан (функциональный определитель. Тогда при достаточной близости к
f
1
,
f
2
двух заданных в U гладких функций имеется точка (b
1
,
b
2
), где обе функции
g
i
обраща- ются в нуль, и чем ближе к f
1
,
f
2
, тем ближе (b
1
,
b
2
) ка других точек, где g
1
=
g
2
=
0, возле (
a
1
,
a
2
) нет».
По существу, это вариант теоремы о неявных функциях, только водном отношении отличающийся оттого варианта, который, возможно, известен читателю. В обычном варианте речь не идёт о всевозможных функциях, близких к f
i
. Фактически там говорится о конечномерном семействе функций, зависящем от некоего параметра u = (u
1
, …,
u
k
). (Обычно говорят

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

о функциях g
i
(
z, u), где z = (x
1
,
x
2
), а роль наших) играют функции, u
0
), получающиеся при некотором фиксированном значении параметра = u
0
.) Мы же рассматриваем всевозможные функции g
i
, близкие к если угодно, у нас семейство функций бесконечномерно — параметрами служат сами Следующий шаг — сравнение поведения траекторий систем () и (возле (a
1
,
a
2
) и (
b
1
,
b
2
). При линеаризации системы () возле её положения равновесия (b
1
,
b
2
) получится система, коэффициенты которой близки к коэффициентам линеаризованной возле положения равновесия (a
1
,
a
2
) системы) (почему, а тогда, как видно из сказанного в конце § , оба положения равновесия имеют одинаковый тип.
Итак, мы принимаем такое определение расстояния d(ϕ, ψ) между двумя гладкими функциями, заданными в D, при котором учитывается не только величина разности этих функций, но и величина разности их производных, ψ) = max |ϕ − ψ| + максимум опять берётся по всем точкам замкнутой области D, где заданы и ψ). После этого расстояние Dist( f , g) между системами (и () определяем согласно (Различие между прежними новым определениями d(ϕ, ψ) сказывается даже на связанных сними понятиях предела. Поясним это снова на примере функций от одной переменной. При первоначальном определении d(ϕ, последовательность функций) =
1
n
sin
nx, рассматриваемых на отрезке, сходится к нулю те, тогда как при новом определении это не так — при нём она вообще не сходится (нет такой функции
ψ,
что d(ϕ
n
,
ψ)
→
0, — проверьте).
В определении
1
у нас было условие о значениях f на границе области Его аналогом было бы условие, что на концах отрезка
−
π
2
,
π
2
вектор

ϕ(x)
направлен внутрь этого отрезка, те Для функций, удовлетворяющих (), тоже справедливо, что сходимость в смысле прежнего расстояния d(ϕ, ψ) не гарантирует сходимости в смысле нового d(ϕ, ψ). Только что обсуждавшаяся последовательность ϕ
n
(
x), правда,
не удовлетворяет (), но содержит подпоследовательность) = удовлетворяющую этому условию.

Хотя омы говорили скорее как о функции с обычными числовыми значениями) в дифференциальном уравнении ˙
x = ϕ(x) играет роль векторного поля фазовой скорости. Переход от чисел к векторам на числовой прямой очевиден от точки числовой прямой a, которая отождествляется с числом a, мы переходим к вектору
−
→
0
a,
который можно затем отложить не от нуля, а от любой другой точки этой прямой


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность
Второе необходимое разъяснение — разъяснение, когда качественные свойства фазовых портретов двух систем () и () из
1
счи- таются одинаковыми. В работе Андронова и Понтрягина они считаются одинаковыми в томи только том случае, когда существует такой гомеоморфизм области D на себя (гомеоморфизм — это взаимно однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно, который переводит траектории первой системы в траектории второй, сохраняя направление движения по ним.
В таком случае говорят, что системы () и () топологически эквивалентны. Данный термин употребляется вместо наглядного, ноне очень-то точного оборота системы имеют одинаковые качественные свойства фазового портрета, каким мы пользовались до сих пор.
Гомеоморфизм
χ устанавливает взаимно однозначное соответствие между такими важными элементами фазовых портретов топологиче- ски эквивалентных систем, как положения равновесия или замкнутые траектории. Если же (полу)траектория L системы () неограниченно приближается к траектории этой системы, то траектория
χ(L)
топологически эквивалентной системы () неограниченно приближается к траектории. В этом смысле у топологически эквивалентных систем предельное поведение траекторий одинаково.
Стоит добавить ещё несколько комментариев к определению топологической эквивалентности двух автономных систем, пояснив, почему в определении говорится, что переводит траекторию в траекторию, а не решение в решение, и почему отображение считается только непрерывным, а не гладким.
Пусть система () является грубой в усиленном смысле для любой достаточно близкой к ней системы () имеется гомеоморфизм
χ
области D на себя, переводящий решения первой системы в решения второй. В частности, периодическое решение z(t) первой системы,
которое имеет период T те. для которого z(t + T ) = z(t) при всех Замечание для студентов ввиду компактности D непрерывность обратного отображения следует из непрерывности
χ.

Поскольку некоторые решения начинаются в точках кривой C ограничивающей область D), то педантизма ради надо было бы говорить о полутраекториях.

Почему эквивалентны — понятно, а почему топологически? Топология — это часть математики, которую можно назвать геометрией непрерывности, одной только непрерывности, когда игнорируется всё остальное — расстояния, углы, прямолинейность и т. п. Ясно, что гомеоморфизм как рази сохраняет все те свойства геометрических объектов, которые связаны с одной только непрерывностью. Это касается и свойств, связанных с такими важными понятиями, как предел и предельная точка последние понятия тоже можно выразить в терминах, относящихся только к непрерывности. Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

напомню кстати, что T называют также периодом замкнутой траектории, переходит в решение χ(z(t)) второй системы, очевидно,
имеющее тот же период. Обратно, если) имеет период T, то таков же и период Итак, обе системы имеют одинаковое множество периодов своих периодических решений. Рассмотрим возмущённую систему ˙
z =
=
(1 +
ǫ) f (z) с малым ǫ > 0. При возмущении направление вектора фазовой скорости не изменилось, а изменилась только величина этого вектора. Она увеличилась враз. Стало быть, замкнутые траектории у обеих систем одни и те же, но если замкнутой траектории первой системы отвечает периодическое решение с периодом T то у второй системы ей отвечает периодическое решение с периодом +Значит, периоды периодических решений второй системы суть в точности поделённые на 1 +
ǫ периоды первой системы. Но выше мы видели, что у этих систем одно и тоже множество периодов Выходит, что множество периодов периодических решений системы (взаимно однозначно отображается на себя, если каждый период разделить на 1 +
ǫ. И вдобавок за ǫ можно принять произвольное достаточно малое положительное число Этого, впрочем, даже и ненужно для того, чтобы прийти к проиворечию. Из того, что если T — период, то и +
ǫ
— тоже период,
следует, что имеются периодические решения со сколь угодно малыми периодами. Читатель может попытаться доказать, что при наших предположениях о системе () это невозможно.
Я же позволю себе срезать угол и сослаться на формулируемую ниже теорему Андронова—Понтрягина о системах, грубых в том смысле, как они это определили. Поскольку мы предполагаем, что система () является грубой в более сильном смысле, она должна обладать свойствами, указанными в этой теореме. А одно из них состоит в том, что замкнутых траекторий конечное число. Полученное противоречие показывает, что в усиленно грубых системах нет замкнутых траекторий. Это, конечно, не противоречит существованию таких систем, но исключает из рассмотрения слишком многое (включая системы, описывающие автоколебания, которыми особенно интересовался Андронов).
Теперь о том, почему в определении грубой системы считается гомеоморфизмом, те. взаимно однозначным отображением,
от которого требуется только непрерывность в обе стороны, а не гладкость (кстати, гомеоморфизм, гладкий вместе с обратным к нему


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность отображением, называется диффеоморфизмом). Оказывается, для гиперболической особой точки каждого из трёх типов (седла, узла и фокуса) можно указать некоторую величину, которая сохраняется при диффеоморфизмах, но изменяется при подходящем малом возмущении. (Такая величина имеется и для гиперболического предельного цикла, см. ниже.)
В виде примера я опишу такую величину для узла. В случае узла основного типа (рис. в) все полутраектории, кроме двух (на рис. вис- ключительные полутраектории выглядят как ось v), лежат на семействе кривых, аналогичных семейству парабол v = Cu
2
. Одни полутраектории подходят к положению равновесия O с одной стороны (на рис. в — стой стороны, где u > 0), другие — с другой. Полутраектории, подходящие к с одной и той же стороны, касаются друг друга в этой точке. (Это несколько небрежная формулировка, поскольку сами полутраектории не проходят через точку O; имеется ввиду, что после присоединения к ним этой точки получаются гладкие кривые, для которых утверждение о касании уже имеет смысл.)
Величина, о которой идёт речь, является так называемым порядком касания двух полутраекторий L и L
1
, подходящих к O с одной и той же стороны
(для любых L ион один и тот же. Этот порядок можно определить так:
возьмём на L и точки z(s) и z
1
(
s), отстоящие от O на расстояние s; тогда расстояние
|
z(s)
−
z
1
(
s)
|
имеет порядок s
µ
. Сохранение при диффеоморфиз- ме — довольно наглядный факт, который доказывается сравнительно просто.
Чтобы убедиться в возможности изменения при подходящем малом возмущении, надо было бы несколько вникнуть в локальную теорию, чего мы делать не будем, но, по-видимому, возможность такого изменения тоже можно считать довольно наглядной.
Что касается исключительных случаев, изображённых на рис. б, г, то тут и без всяких порядков понятно, что, с одной стороны, при диффеомор- физме они должны переходить в такие же случаи, ас другой — что при малом возмущении узел станет узлом основного типа. Это очевидно, когда исключительный узел появляется в связи с известными нам линейными уравнениями, а тогда по поводу аналогичного утверждения относительно более общего

Замечание для студентов величиной такого характера является отношение собственных значений матрицы коэффициентов линеаризованной системы. Однако непосредственное доказательство её сохранения при диффеоморфизме, переводящем не решение в решение, а только траектории в траектории с сохранением направления движения по ним, не так уж просто. Пожалуй, проще связать это отношение с другими величинами более геометрического характера, об одной из которых говорится ниже в основном тексте. Недостаток такого подхода состоит в том, что тогда надо отдельно рассматривать узел, фокус и седло ив каждом из этих случаев утверждение о сохранении соответствующей величины хотя и является довольно наглядным, но всё же требует доказательства и, значит, места. Яне говорю уже о том, что всё это подразумевает некоторое, хотя и самое начальное, знакомство с локальной теорией

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

(нелинейного) случая едва ли возникнут сомнения, хотя доказательство здесь не предъявлено.
Неожиданным может показаться тот факт, что узел и фокус топологиче- ски эквивалентны (считая, конечно, что они оба устойчивы или оба неустойчивы. Дело в том, что при гомеоморфизме образы гладких кривых, проходящих через точку O, вполне могут закручиваться вокруг не, а при диф- феоморфизме так не бывает. Правда, при малом возмущении грубой системы узлы остаются узлами, а фокусы — фокусами (почему, так что эквивалентность узлов и фокусов остаётся как бы в стороне.
Как видно, говоря в определении грубых систем о сохранении качественных свойств, мы на самом деле имели ввиду сохранение, собственно говоря, не всех качественных свойств (вращение траектории вокруг положения равновесия в случае фокуса — несомненно качественное свойство, а только свойств топологического характера. Тот факт, что гиперболическое положение равновесия типа фокуса при малом возмущении остаётся таковым — это,
так сказать, бесплатное приложение мы заранее об этом не заботились.
Последнее замечание к определению грубости. До сих пору нас намечалась такая формулировка система () (из класса) называется грубой, если любая достаточно близкая к ней (в смысле расстояния) система () топологически ей эквивалентна, те. если имеется такое > 0, что при Dist( f , g) < δ существует гомеоморфизм области D на себя, переводящий траектории первой системы в траектории второй. Этот гомеоморфизм, конечно, как-то зависит от систем () и (). На самом деле Андронов и Понтрягин включили в определение ещё требование, чтобы гомеоморфизм мало сдвигал точки области D — тем меньше, чем меньше Таким образом подробное определение грубости системы () гласит для любого > 0 имеется такое δ > 0, что если Dist( f , g) < δ, то существует гомеоморфизм области D на себя, переводящий траектории) в траектории () и такой, что max |χ(z) − z| < ǫ. Стало быть,
возмущение исходной системы должно быть малым в смысле окончательно принятого нами определения расстояния Dist( f , g) между векторными полями фазовой скорости, учитывающего производные,
тогда как близость к тождественному отображению (оставляющему все точки на месте) понимается в смысле первоначально обсуждавшегося определения расстояния, игнорировавшего производные, которых у может и не быть.
Позднее М. Пейксото установил, что в определении грубой системы можно отказаться от требования близости к тождественному отображению, те. что если принять определение, приведённое выше до слов
«на самом деле, то такое определение будет равносильно определению
Андронова—Понтрягина. Иными словами, можно не требовать заранее


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность близости к тождественному отображению, но если при любом достаточно малом возмущении исходной системы существует какой-то гомеоморфизм
χ,
осуществляющий топологическую эквивалентность невозмущённой и возму- щённой систем, то (опять-таки при достаточной малости возмущения — быть может, большей малости, чем раньше) их топологическую сопряжённость можно осуществить и при помощи гомеоморфизма, который мало сдвигает точки.
Из теории Пуанкаре—Бендиксона ясно, что говоря о грубости, мы должны обратить особое внимание на положения равновесия и на замкнутые траектории — те и другие являются, так сказать, основными структурными (или даже «структурообразующими») элементами фазового портрета. О третьем элементе, играющем в этой теории аналогичную роль — о сепаратрисных контурах — заботиться, как мы увидим, не надо.
В свете конца § можно догадаться, что нас должны интересовать гиперболические положения равновесия. Для замкнутых траекторий тоже имеется родственное понятие гиперболичности (таково его название, хотя гипербол тут не больше, чем в узле. Одно из возможных (эквивалентных друг другу) определений замкнутая траектория гиперболична, если она является источником илисто- ком, причём в первом случае решения с достаточно близкими к начальными значениями приближаются к L при t → −∞ с экспоненциальной скоростью (расстояние от x(t) до L убывает не медленнее чем функция с некоторыми a, b > 0), а во втором случае экспонен- циальна скорость приближения x(t) к L при t → ∞ (соответствующее расстояние оценивается сверху некоторой функцией вида Можно доказать, что говоря здесь о всех решениях x(t) с достаточно близкими к L начальными значениями, мы допускаем некоторое излишество если хоть одно решение приближается к замкнутой траектории при t → ∞ (при t → −∞) с экспоненциальной скоростью, то и все решения с достаточно близкими к L начальными значениями тоже приближаются кв туже сторону повремени) и тоже с экспоненциальной скоростью

Теперь, наконец, я могу сформулировать теорему Андронова—
Понтрягина. Она утверждает, что система из
1
является грубой тогда и только тогда, когда:

Замечание для студентов вот эквивалентное условие гиперболичности замкнутой траектории {x(t)} с периодом T:
T
0
div
f (x(t)) dt = 0.

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность) её положения равновесия гиперболичны, те. в линейном приближении являются сёдлами, узлами или фокусами. (Отсюда легко вывести, что их конечное число) её замкнутые траектории суть гиперболические предельные циклы. Их тоже конечное число (это не следует из одной только гиперболичности, но это можно вывести из неё в сочетании су системы нет сепаратрис, идущих из седла в седло

Как видно, фазовые портреты грубых систем выглядят довольно просто. И напомню, грубые системы в известном смысле являются преобладающими, типичными в. Всё это не может не вызывать удовлетворения. Естественно, возникает желание попробовать развить аналогичную теорию и для систем большего порядка.
Определение грубой системы переносится на этот случай дословно.
Но дальше всё оказывается более сложным. Удалось дать полную характеризацию фазовых портретов грубых систем. (В  и  гг.
были опубликованы работы Р. Мане (—) и Ш. Хаяши

. Их собственный вклад в это дело был достаточно велик, нов тоже время они завершили труд многих людей) Это связано с существенным расширением запаса структурных элементов (к прежним гиперболическим положениям равновесия и замкнутым траекториям добавились так называемые гиперболические множества, некоторый намёк на определение которых даётся ниже, а некоторый намёк на то, что происходит внутри такого множества — в § ). Но ни грубые системы, ни системы из некоего более широкого класса, тоже описываемого втер- минах гиперболических множеств, не являются исключительно преобладающими. Что делается за их пределами — предмет современных исследований. Выяснилось многое, но ничего похожего на концепцию (парадигму, как это теперь принято называть, которая в многомерном случае могла бы играть роль, аналогичную теориям Пуанкаре Бендиксона и Андронова—Понтрягина, пока не вырисовывается.
За пределами классической гиперболической теории имеется (в случае динамических систем с непрерывным временем, исключительно которыми

По свидетельству сотрудников Андронова, на сепаратрисы обратил внимание
Понтрягин. Андронов и раньше говорило сохранении качественных свойств прима- лых возмущениях, но тогда его внимание было приковано к источниками стокам.
Вероятно, окончательная формулировка того, что понимается под сохранением всех качественных свойств, была результатом совместных обсуждений.

У Мане рассматривались динамические системы с дискретным временем, получающиеся при итерировании некоторого отображения f . Мыс ними пока не имели делано в §  рассмотрен один пример системы такого типа (только у Мане отображение обратимо, а в нашем примере — нет. Потокам посвящена работа Хаяши, уточнённая самим Хаяши и Х. Тойошибой в — гг.


§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность мы пока что и занимаемся) один четко выраженный и хорошо изученный объект, выдерживающий малые возмущения — аттрактор Лоренца, о котором читатель, может быть, слышал. (Слово аттрактор происходит от attract притягивать, и означает тоже самое, что выше было названо стоком.)
Э. Лоренц (—) обнаружил его в результате численных экспериментов, связанных с некоторой гидродинамической задачей, и опубликовал об этом сообщение в «Journal of the atmospheric sciences» (это не самый популярный среди чистых математиков научный журнал) в г. Теоретическая интерпретация этих результатов была дана примерно через лет не без влияния развитой к тому времени в чистой математике концепции гиперболичности.
Аттрактор Лоренца оказался в некотором смысле близким родственником гиперболических множеств, но все жене гиперболическим множеством. Отношение чистых и прикладных математиков к аттрактору Лоренца различно.
Чистых математиков интересуют сравнительно тонкие детали, отличающие этот аттрактор от привычных для них гиперболических множеств. Прикладников же он убедил, что хаотичность в поведении динамических систем это не абстрактный вымысел теоретиков, а может встречаться в реальных задачах. В связи с этим концептуальным значением работы Лоренца он был избран иностранным членом Российской Академии Наук.
Но и вместе с системами типа систем с аттрактором Лоренца современная гиперболическая теория не исчерпывает всех возможностей, которые могут представиться для типичной системы. В тоже время в исследованиях, относящихся к тому, что находится за пределами области гиперболичность плюс
Лоренц», приходится привлекать гиперболические соображения. И кроме того, создается впечатление, что в неизученной области, во-первых, системам тоже присуща хаотичность и, во-вторых, там все же остается нечто от гиперболичности. Собственно, кое-что в этом духе даже доказано, однако неясно, какие свойства фазового портрета эти нечто и «кое-что» могут обусло- вить.
Гиперболическое множество — это замкнутое ограниченное

подмноже- ство фазового пространства, целиком состоящее из гиперболических траекторий (см. ниже, причём если оно содержит положения равновесия, то их конечное число и они находятся на положительном расстоянии от остальной части этого множества, с которой, собственно, и связана новизна этого понятия. Я попробую наглядно описать в общих чертах, когда траектория называется гиперболической, но это не будет точным определением. Должен сказать, что моё описание в общих чертах можно уточнять по-разному, так что гиперболическая траектория — это, по моему, не совсем точный термин

Напротив, гиперболическое множество — термин совершенно точный и стандартный, так что при его определении чётко уточняется, в чём именно в дан-

Для студентов компактное.

Однако когда речь идёт о положении равновесия или замкнутой траектории, их гиперболичность всегда понимается одинаково — так, как было описано ранее

§ . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность

ном случае состоит гиперболичность. Поскольку мы не будем этим заниматься всерьёз, нам хватит и приблизительного понимания, намёка.
Траектория L называется гиперболической, если поведение соседних траекторий по отношению к ней в направлении «поперёк L» напоминает поведение траекторий возле седла. Вот как расшифровывается это заклинание.
Вообразим, что фазовые траектории — это настоящие траектории в нашем трёхмерном пространстве, по котором летят пушечные ядра, на одном из которых (летящем по траектории L = {z(t)}) сидит барон Мюнхгаузен, следящий за соседними ядрами (благо он ещё не долетел до неприятеля, расположение войск которого он вызвался разведать. Ядро, которое вылетело из той же пушки чуть раньше или чуть позже мюнхгаузеновского ядра, те. ядро,
которое в данный момент времени занимает положение z(t + ∆t) с небольшим, Мюнхгаузен всё время видит немного впереди или немного позади себя, ведь для летящего Мюнхгаузена направление «вперёд» — это направление его движения в данный момент времени t, те. направление вектора (z(t)) = ˙z(t). Расстояние между z(t + ∆t) и z(t) — это примерно со временем оно изменяется не очень значительно. А вот глядя на ядра, летящие сбоку от него, Мюнхгаузен, может быть, увидит, что со временем они приближаются к нему или удаляются, уходя куда-то из его поля зрения.
Гиперболичность траектории L означает, что те ядра, которые летят,
скажем, слева или справа от Мюнхгаузена, и впрямь приближаются к нему,
причём с экспоненциальной скоростью (как бы они его не придавили!),
а ядра, летящие сверху и снизу от Мюнхгаузена, столь же быстро удаляются от него, в обратную же сторону повремени (при t
→ −
∞
) они к нему приближаются с экспоненциальной скоростью. Из воспоминаний Мюнхгаузена неясно, наблюдал ли он вовремя своего полёта такую гиперболичность во взаимном расположении летящих ядер если и наблюдал, тоне дал её
точного математического описания — ему это не было нужно (его целью была рекогносцировка. Когда же это стало нужно математикам (в х гг.
XX века, то это и было сделано.
Обращаю внимание, что о гиперболичности приходится говорить как в связи с регулярными, таки в связи с хаотическими движениями. Характеризуя фазовые портреты самых что ни наесть регулярных грубых систем
Андронова—Понтрягина, мы первым делом отметили гиперболичность положений равновесия и замкнутых траекторий. А хаотичность бывает связана с гиперболичностью более значительных множеств, тоже состоящих из целых траекторий. (Другое дело, что понятие гиперболического множества было введено в связи с такими более значительными множествами.)

«Чуть», небольшое ∆t» и немного заставляют признать, что во времена Мюнх- гаузена (середина XVIII в) существовали весьма скорострельные пушки. Но если согласиться, что он мог вскочить на ядро, то почему бы не согласиться и совсем остальным?

Как, а разве в обратную сторону повремени ядра не попадают в те пушки, откуда они вылетели Вопрос, может быть, и резонный, только Мюнхгаузен не был склонен педантично придерживаться строгой логики