Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва

• Название: Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем Москва
• Дата: 20.12.2018
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: anosov.pdf
• Тип: Книга; #61083
• страница: 13 из 14

§ . Хаос
Вероятно, одним из тех событий в математике второй половины века, которые вызывают интерес за её пределами, является обнаружение нового класса движений динамических систем — движений
«(квази-)случайного, хаотического характера — и понимание (хотя бы неполное, каким образом поведение систем, формально полностью детерминированных, может приобрести такой характер. В теоретическом плане это связано с пониманием того, что в некоторых системах имеются большие множества неустойчивых траекторий, говоря более точным техническим языком, траекторий, обладающих так называемой гиперболичностью. (Поэтому я думаю, что событиях гг., когда это было окончательно осознано, можно назвать гиперболической революцией).
Как может возникнуть что-то вроде хаоса, если начальное значение и закон движения (система дифференциальных уравнений (полностью определяют решение Беда в том, что в реальных (физических в широком смысле) условиях начальное значение нам бывает известно с некоторой погрешностью. Может случиться, что погрешность не играет роли (как в случае уравнения ван дер Поля —
всё равно все траектории, за исключением положения равновесия,
наматываются на предельный цикл. Может случиться, что два решения с близкими начальными значениями таки остаются близкими если не всегда, то очень долго. Но может случиться, что с увеличением времени различие между решениями возрастает с экспоненциальной скоростью.
Допустим, что мы умеем совершенно точно вычислять решение с заданными начальными значениями, если последние известны абсолютно точно, но что две фазовые точки, первоначально отстоящие друг от друга на, через некую единицу времени могут отойти друг от друга на 2
δ. Нам известно, что начальное значение есть с точностью дона самом деле оно равно x
1
(причём эта точка отстоит от не более чем на. Состояние системы изменяется стечением времени согласно решению x
1
(
t), принимающему при t = 0 значение, а мы предсказываем, что оно будет изменяться согласно решению

Несколько менее технически говорят о чувствительной зависимости от начальных условий

§ . Хаос, для которого x
0
(
t) = x
0
. Тогда при t = n ошибка в предсказании может вырасти до 2
n
δ. Допустим, что δ = см (величина порядка размера атома. Так как 2 10
=
1024 ≈ 1000, то за 30 единиц времени неопределённость вырастет в миллиард (10 9
) рази будет порядка см. Это уже обычный в лабораторной практике макроскопический масштаб. Если даже физическая система в несколько десятков раз больше, всё равно ещё через несколько единиц времени ошибка вырастет до размеров этой физической системы. И тогда мы будем знать только то, что состояние системы изображается какой-то точкой в пределах фазового пространства, те. не будем знать ничего о конкретном решении x
1
(
t).
Ещё одной особенностью динамического хаоса, на которой я не буду останавливаться, является разнообразие типов поведения траекторий, тогда как в системах с регулярным характером динамики наблюдается немного таких типов. Скажем, в случае уравнения ван дер
Поля большинство траекторий либо приходит из бесконечности, либо отходит от положения равновесия, и все они навиваются на предельный цикл. Когда в системе реализуются очень разнообразные типы поведения траекторий, то неудивительно, что многие из траекторий выглядят сложными, запутанными. Обычно это невольно привлекает внимание при ознакомлении с результатами соответствующих численных экспериментов.
О том, как растёт с ростом n, известно с незапамятных врем н — на сей счёт существует притча об изобретателе шахматной игры. Что кое-где в фазовом пространстве возможно экспоненциальное разбегание траекторий (друг от друга) — тоже не новость такова ситуация возле неустойчивого в линейном приближении узла или фокуса, а также возле седла. Но траектории на фазовой плоскости, начав удаляться друг от друга, затем попадают в область, где,
наоборот, они сближаются. Однако может случиться, что траектория одной точки будет стремиться к одному положению равновесия или предельному циклу, а траектория очень близкой к ней точки — к другому, и тогда эти две траектории никогда не сблизятся. Нона фазовой плоскости такое случается, когда исходные точки близки к сепаратрисе это можно считать редким, почти что исключительным случаем.
Новым оказалось то, что экспоненциальное разбегание может наблюдаться в довольно обширной части фазового пространства, содержащей очень много траекторий. (И даже всюду в фазовом пространстве) Тогда и возникает хаос, вызванный не воздействием каких-то внешних сил случайного характера, а внутренними свойствами самой системы, её собственной динамикой


§ . Хаос
Поскольку этим динамическим хаосом интересуются не только в чистой математике, но ив областях (полу-)прикладного характера,
соответствующие вопросы освещаются в литературе с различных точек зрения — до такой степени различных, что это напоминает старинную индийскую притчу о слепых, знакомившихся со слоном. (Что для хаотической тематики вполне естественно) Разговор об этих различиях был бы по-своему небезынтересным, но занял бы немало места. Поэтому я ограничусь точкой зрения чистого математика и расскажу только о том, как впервые встретились с «полноценным»
хаосом (и этого не поняли — опять-таки хаос!).
В тех случаях, когда ситуация принципиально более или менее ясна, решения со временем приближаются к уже упоминавшимся в конце гиперболическим множествам. Последние являются теми новыми структурными (даже структурообразующими) элементами, которые добавляются к известным нам положениям равновесия и замкнутым траекториям. Как и те, новые структурные элементы могут служить источниками или стоками, а могут, подобно сёдлам, играть своего рода диспетчерскую роль в разделении траекторий, направляющихся к различным стокам или исходящих из различных источников (а иногда и направляющихся к одному стоку, но как бы по разным путям).
В отличие от прежних структурных элементов, каждый из которых сводился к одной-единственной траектории, так что внутри самого элемента динамика очень проста, чтобы не сказать тривиальна, новые структурные элементы состоят из бесконечного числа
(континуума) траекторий и их внутренняя динамика является сложной. Там происходит экспоненциальное разбегание траекторий друг от друга (при этом гиперболическое множество вполне может
«притягивать» к себе траектории снаружи, из-за чего движения в гиперболическом множестве являются хаотическими. Другие траектории, приближающиеся к этому множеству, тоже вовлекаются в этот хаос.
В примере, который мы рассмотрим, всё фазовое пространство является как бы единым структурным элементом, заполненным хаотическими траекториями. Он, стало быть, даёт известное представление о внутренней динамике гиперболических множеств, ноне о том,
как несколько структурных элементов (старых и новых) могут сосуществовать в фазовом пространстве.
До сих пор мы имели дело с динамическими системами, движения в которых отличаются своего рода регулярностью, а отнюдь не хаотичностью. На фазовой плоскости нет места для хаоса — он становит

§ . Хаос

ся возможным, когда размерность фазового пространства не меньше трёх. Но если рассматривать динамические системы с дискретным временем (см. ниже, то хватает и двух. Более того если рассматривать динамические системы с дискретным временем, получающиеся при итерировании необратимых отображений, то хаотичность возможна даже в размерности один.
Надо объяснить, что такое динамическая система с дискретным временем. В ней фазовая точка движется не непрерывно, а скачками, так что траектория — это не непрерывная кривая, которую при своём движении пробегает точка x(t), а последовательность точек, которая начинается с начальной точки x
0
, а остальные точки шаг за шагом получаются друг из друга под действием некоторого отображения f фазового пространства в себя x
1
=
f (x
0
),
x
2
=
f и т. д. Если отображение f взаимно однозначно, так что имеется обратное к f отображение f
−1
, то можно говорить и обит. д в этом случае на нашей траектории имеются точки со всевозможными целыми n. Ноу нас f будет необратимыми траектория состоит из точек только с натуральными (те. положительными целыми) n. Ясно, что траектория фазовой точки x — это последовательность точек { f
n
(
x)}, где сейчас обозначает нею степень, а кратную итерацию

отображения f Из наблюдений барона Мюнхгаузена (конец § : сидя на ядре и глядя вокруг, он, конечно, пользуется своей системой отсчёта — той, в которой он сам неподвижен) явствует, что гиперболическое множество в системе (может существовать, лишь если её порядок n
3, ибо Мюнхгаузену (в каждый момент времени t) были нужны по крайней мере три координатных оси одну надо направить в направлении траектории (как её видит возле себя Мюнхгау- зен, те. в направлении вектора фазовой скорости f (z(t))), вторую — в поперечном направлении на соседние ядра, приближающиеся к Мюнхгаузену при, третью — на ядра, которые всё время удаляются от него, а при t
→ стремятся к нему.
Решив вместо потока рассматривать итерации отображения, мы избавляемся от первого направления, так что теперь нам хватит и двумерного фазового пространства. А после этого можно попытаться избавиться и от второго направления. Но если все ядра будут удаляться друг от друга, то как же они при этом могут оставаться в каком-то ограниченном (точнее, компактном)
фазовом пространстве Вот если оно неограниченное, то это вполне возможно, но ни с чем особенно интересным не связано. Скажем, при итерировании

Об итерациях уже говорилось при рассмотрении фазового портрета гармонического осциллятора, когда мы обсуждали, как связан вектор фазовой скорости с радиус- вектором фазовой точки


§ . Хаос отображения образы g
n
(
x) и g
n
(
y) любых двух различных точек x и y удаляются друг от друга с экспоненциальной скоростью, но что же в этом удивительного, и где здесь хаос Хаос можно получить, отказавшись от взаимной однозначности итери- руемого отображения. Тогда можно попросту взять отображение g и спроектировать его на окружность C, рассматривая её как факторгруппу
/ . Чем мы сейчас и займёмся.
Фактически динамический хаос водной одномерной (те. имеющей одномерное фазовое пространство) системе с дискретным временем был совершенно отчётливо обнаружен ещё вначале века
Э. Борелем (—). Он рассматривал отображение промежутка, 1) в себя, задаваемое формулой (x) = {2x}. Здесь фигурные скобки означают дробную часть заключённого внутри скобок числа, например. Ясно, что (x) когда 0
x <
1 2
,
2
x − 1, когда 2
x < Траектория отображения f — это последовательность {{2
n
x}, n =
=
0, 1, 2, …} (внутренние фигурные скобки означают дробную часть,
а внешние — знак последовательности. Такими последовательностями начали интересоваться в теории чисел незадолго до Бореля, а он посмотрел на них с новой точки зрения.
Прежде чем говорить о работе Бореля, надо признать, что его отображение имеет разрыв в точке 2
. Если рассматривать отображение, переводящее x в f (x) = {2x} на замкнутом отрезке [0, 1], то разрыв получается ив точке 1: сама она переходит в 0, а близкие к ней точки отрезка — в точки, близкие к 1. Бореля это не беспокоило, ибо под действием отображений на эти разрывы попадают

Ради полноты и справедливости надо упомянуть о двух более ранних достижениях,
которые относились к дифференциальным уравнениям, — для нас это вроде бы лучше нов которых хаотичность не была выявлена в такой степени, как это сделал
Борель в более абстрактной, однако и более простой ситуации. В х гг. Пуанкаре открыл так называемые гомоклинические траектории и понял, что сними связана если не хаотичность, то по крайней мере запутанность движений. (С х гг. XX века эти траектории стали важнейшими действующими лицами динамического хаоса.)
На самой грани столетий Ж. Адамар (—) более чётко обнаружил нечто вроде динамического хаоса водной задаче геометрического происхождения (геодезические линии на поверхностях отрицательной кривизны, причём он высказал предположение
(лучше сказать — пророчество, подтвердившееся позднее — окончательно в х гг.),
что обнаруженные им явления присущи отнюдь не одной только этой специальной задаче

§ . Хаос

Рис. только двоично-рациональные точки (точки вида целыми m и неотрицательными целыми n), следующие образы которых навсегда остаются в 0. Бореля (как и специалистов по теории чисел) эти тривиальные траектории не интересовали. Но факт остаётся фактом:
отображение f разрывно, и можно спросить, не связаны лис этим отмечавшиеся Борелем эффекты (о которых речь впереди)?
Похоже, что в то время никто не смотрел на работу Бореля на предмет аналогий с качественной теорией дифференциальных уравнений,
а потому и не задавался последним вопросом. Если бы он м тогда подумали, то, вероятно, быстро пришли бык мысли склеить концы отрезка 0 и 1 друг с другом, превратив отрезок в окружность. Тогда разрывы исчезнут Окружность, конечно, чуть сложнее отрезка, но уж не настолько, чтобы это вызывало какие-то затруднения.
Можно считать, что мы имеем дело с обычной окружностью C единичного радиуса на плоскости, а x — это угловая координата на ней,
только измеряющая дуги не в градусах или радианах, а в долях длины всей окружности. Отображение же f состоит в том, что резиновая окружность растягивается в два раза и затем накладывается на себя, те. растянутая окружность накладывается на первоначальную окружность C, обвивая едва раза (рис. Как ив случае маятника, угловой координате стоит разрешить принимать не только значения от 0 до 1, но и всевозможные числовые значения тогда, правда, одна и та же точка вместе с координатой характеризуется также и координатами x + n со всевозможными целыми n, но это достаточно привычно и не вызывает особых неприятностей. Точку окружности с координатой x обозначим через В § мы использовали угловую координату = 2πx, поэтому теперешнее это прежнее А затем можно стать на более алгебраическую точку зрения и сказать, что окружность — это не геометрическая окружность C на плоскости, а фактор


§ . Хаос группа
/
аддитивной группы вещественных чисел по подгруппе целых чисел. Об этом уже говорилось в § стой только разницей, что там шла речь о факторгруппе
/2π .
Введённое теперь отображение p несколько отличающееся от использовавшегося в § , см. выше) переводит весь класс {x + n} в одну и туже точку единичной окружности, а разные классы — в разные точки. В этих терминах можно сказать, что
«накрывает» окружность C посредством отображения а отображение g числовой прямой на себя, при котором x переходит в накрывает отображение f окружности в том смысле, что f
◦
p = p
◦
g. Это выражают ещё словами имеет место коммутативная диаграмма
g
//
p

p

C
f
//
C,
Коммутативность как рази означает, что отображая верхний левый элемент диаграммы в нижний правый элемент C двумя способами, соответствующими двум путям на диаграмме, — сперва направо, затем вниз, что отвечает отображению x
→
p(g(x)), или сперва вниз, затем направо, что отвечает отображению, мы получим совпадающие отображения. Откровенно говоря, в этой диаграмме нет ничего такого, чего не содержалось бы в равенстве, но почему-то подобный геометрический образ как-то легче для осмысленного восприятия, чем равенство, даром что и геометрия- то здесь довольно условная.
Наконец, раз уж я упомянул здесь комплексные числа, отмечу, что они доставляют самый короткий способ написать формулу для отображения f вновь считая, что C состоит из комплексных чисел с модулем (нормой, абсолютной величиной) 1, можно сказать, что f (z) = проверьте. Впрочем, это нам не понадобится — рассуждать (по крайней мере, в нашем случае) лучше,
прибегая к классами то беря x числом из [0, 1), то считая числа из этого класса координатами точки на геометрической окружности Читателю, надеюсь, известны так называемые двоичные дроби.
Они похожи на обычные десятичные дроби, ноту роль, которую при построении десятичных дробей играет число 10, при построении двоичных дробей играет число 2. Вкратце можно сказать, что коэффициенты) (бесконечной) деcятичной дроби суть неотрицательные целые числа, не превосходящие 9 (тогда как любое целое число) и что эта дробь представляет число (которое называют значением этой дроби говорят ещё, что дробь равна этому

Это число естественно записывать в десятичной системе счисления. Тогда перед запятой может стоять и несколько символов, являющихся числами от 0 до 9, причём самый левый из них отличен от 0.

§ . Хаос

числу)

a
0
+
1 10
a
1
+
1 100
a
2
+
… +
1 Заменяя 10 на 2 (и 9 на 1), получаем определение двоичной дроби:
она имеет вид a
0
,
a
1
…a
k
…, причём может быть любым целым числом, а остальные её коэффициенты суть 0 или 1; такая дробь представляет число (имеет значение, равна числу 2
a
1
+
1 4
a
2
+
… +
1 Например, после запятой всё время повторяется комбинация) имеет следующее значение, выраженное в привычной десятичной записи 3
+
2 2
+
1 4
+
1 16
+
… +
1 4
k
+
… = 8 + 4 +
1 3
=
12 Известно, что если с какого-то места — скажем, начиная с го коэффициента в десятичной дроби идут подряд одни девятки, прич м при k > 1 подразумевается, что a
k−1
=
9, то эта дробь равна конечной десятичной дроби a
0
,
a
1
…(a
k−1
+
1), в ней (
k − й коэффициент увеличен на 1 и на нём дробь оборвалась (если угодно, дальше идут одни нули. Из-за этого некоторые исключительные числа представляются не одной десятичной дробью, а двумя. Эти исключительные числа суть десятично-рациональные числа, те. числа вида
m
10
l
с целыми и неотрицательными целыми l. Таких чисел не так уж мало в каждом интервале их бесконечное число. И всё-таки в любом разумном смысле их гораздо меньше, чем остальных чисел, каждое из которых представляется одной десятичной дробью.
С очевидными изменениями всё это относится и к двоичным дробям. Если все коэффициенты двоичной дроби, начиная с го, равны, причём при k > 1 подразумевается, что a
k−1
=
1, то дробь равна

Здесь надо было бы условиться о том, как понимать запись со знаком минус. По смыслу приводимой формулы, −1,23 = −1 +
23 100
=
−
77 100
. С другой стороны, в школе = −(1,23) = −
123 100
. К счастью, нам не придётся встречаться с этим вопросом, так что не надо делать (и запоминать) никакого соглашения на сей счёт.

Которое опять-таки естественно было бы записывать в двоичной системе счисления, так что под можно понимать несколько стоящих подряд символов 0 или 1,
причём первым (самым левым) из них должно быть 1. Надлежало бы уточнить также смысл знака минус, но его у нас не будет


§ . Хаос конечной двоичной дроби a
0
,
a
1
…(a
k−1
+
1). Из-за этого некоторые исключительные числа представляются не одной двоичной дробью,
а двумя. Эти исключительные числа суть двоично-рациональные числа, те. числа вида
m
2
l
с целыми m и неотрицательными целыми Таких чисел не так уж мало, и всё-таки в любом разумном смысле их гораздо меньше, чем остальных чисел, каждое из которых представляется одной двоичной дробью к тому же мы знаем, что это за числа.
Из самого определения двоичной дроби ясно, что если x представляется двоичной дробью a
0
,
a
1
a
2
a
3
…, то двоичная дробь для есть (При отображении же f мы обращаем внимание только на дробную часть результата. Поэтому (считая, что всё
происходит на полуотрезке [0, 1))
f (0, a
1
a
2
a
3
…) = 0, Можно сказать, что запятая, отделяющая целую часть от дробной,
сдвигается на один шаг вправо и то, что оказывается после этого слева от неё (число a
1
), заменяется нулём. А можно сказать и так,
что запятая стоит на месте, а бесконечная последовательность коэффициентов сдвигается на один шаг влево, причём коэффициент оказавшийся при этом сдвиге левее запятой, отбрасывается и вместо него ставится 0. Для двоично-рациональных чисел x, которым соответствуют по две двоичные дроби, данный рецепт даёт две новые дроби, которые представляют одно и тоже число f Очевидно, мы можем с равным успехом сопоставить бесконечную двоичную дробь, начинающуюся с 0, классу чисел x или точке геометрической окружности C, имеющей координату x. Некоторым классам или точкам будет сопоставлено две разные дроби. Это классы, состоящие из двоично-рациональных чисел, и соответствующие точки на C. Последние таковы.
Во-первых, точка p(0), отвечающая x = 0. Во-вторых, точка p
1 делящая полную дугу окружности C — от p(0) до p(0) — пополам
(рис. ). Кстати, нам потом понадобятся получающиеся при этом по 1/2 Рис. 

§ . Хаос

луокружности. Ту из них, в точках которой 0
x
1 2
, обозначим через, а другую, где 2
x
1, — через. Стало быть, C
0
=
p
0,
1 Рис. 
C
1
=
p
1 2
, 1
. В-третьих, две точки p
1 и p
3 4
, делящие пополам полуокружности и C
1
. Теперь мы имеем уже 4 точки, которые единообразно можно представить в виде
p
i
4
с i = 0, 1, 2, 3; они делят C на четыре дуги. Специальных обозначений для этих дуг мы вводить не будем, но можно отметить, что они суть p
i
4
,
i + 1 с i = 0, 1, 2, 3. Наследующем (четвёртом) этапе добавляются четыре точки, делящие эти дуги пополам это суть точки p
1 8
,
p
3 8
,
p
5 8
,
p
7 8
. Всего теперь имеется восемь точек i = 0, …, 7; они делят C на 8 дуг (рис. Наследующем (пятом) этапе добавляем середины этих дуги т. д.
Появляющиеся при этом построении дуги соответствуют двоичным дробям, у которых несколько первых коэффициентов фиксировано,
а остальные могут быть любыми (это лучше продумать самому. Закодировав точки окружности бесконечными двоичными дробями,
мы имеем тоже самое описание в этих терминах отображения f дробь сдвигается налево на один шаги слева от запятой ставится при этом неоднозначность кодирования, имеющая место для некоторых точек x, сказывается только в том, что для f (x) получаются две двоичные дроби, но они отвечают одной и той же точке окружности.
Отметим ещё раз, что у нас появились дуги p
i
2
k
,
i + 1 св частности, полуокружности суть такие дуги,
отвечающие k = 1 и i = 0, 1). Координата первого конца этой дуги есть некоторая конечная двоичная дробь 0, a
1
…a
k
, а вся дуга состоит из точек, координаты которых начинаются с того же набора k чисел, за которым следует что угодно (ещё раз почему?).
Говоря о бесконечных двоичных дробях, мы записывали их в виде бесконечных последовательностей 0, a
1
a
2
, …, которые все начинаются с нуля и запятой. Но раз это начало у нас всегда одно и то же,
его можно не писать, а только иметь в уме. Итак, мы имеем дело с бесконечными последовательностями (a
1
,
a
2
, …,
a
k
, …) символов 0


§ . Хаос и 1. В духе обычных теоретико-множественных обозначений, совокупность всех таких последовательностей можно обозначить через, 1} . Запятой у нас больше нет, номы всё равно можем говорить о сдвиге последовательности на один шаг налево, при котором её
первый коэффициент стирается. Это отображение множества {0, в себя часто обозначают через, так что, повторяю, …) = (
a
2
,
a
3
,
a
4
, и ещё чаще называют. Как его называют, вы узнаете из дальнейшего.
Отображение
σ в множестве последовательностей доставляет нам,
так сказать, символическую модель для отображения f . Ради сокращения речи введём отображение q : {0, 1} → C, переводящее последовательность (a
1
,
a
2
, …) в точку
p
∞
j=0
a
j
2
j
окружности. Мы знаем, что это — отображение нате. его образом является вся окружность C) и что у определённых точек окружности, которые указаны выше, имеется по два прообраза, ау каждой из остальных точек прообраз ровно один.
Связь же между отображениями f и σ состоит в том, что, …)) =
f (q(a
1
,
a
2
, Здесь, в сущности, сказано в несколько модернизированных обозначениях только то, что если x — координата точки окружности C, то — координата образа этой точки при отображении f . Можно ещё сказать, что имеет место коммутативная диаграмма, 1}
σ
//
q

{
0, 1}
q

C
f
// Если A, B — какие-то множества (совокупности каких-то элементов, то через A × обозначают множество пар (a, b) со всевозможными a ∈ A вероятно, читатель знаком с подобной записью, ноя всё-таки напомню её смысл a является элементом множества) и b ∈ B. Это A × B называют произведением множеств A и B. Если A состоит из k, а B — из l элементов, то A × B состоит из kl элементов, чем и объясняется название и обозначение. Аналогично под произведением A
1
× A
2
× … × множеств, понимают множество конечных наборов (a
1
,
a
2
, …,
a
n
) всевозможных элементов этих множеств (каждое a
i
∈ A
i
), а если перемножаемые множества совпадают друг с другом A
1
=
A
2
=
… = A
n
, то их произведение обозначают через A
n
. Наконец,
множество последовательностей (a
1
,
a
2
, …,
a
k
, …) со всевозможными A, обозначают через A . Это обозначение указывает не только, что берутся последовательности из бесконечного числа элементов a
i
, но и на то, что эти элементы пронумерованы именно натуральными числами (множество таковых принято обозначать через, а не как- нибудь иначе.

Некоторые разъяснения и комментарии в связи с этим понятием приведены нас. Хаос

Ещё одно свойство модели состоит в том, что q отображает множество, состоящее из всех тех последовательностей, у которых первые k элементов суть фиксированные (a
1
, …,
a
k
), а остальные могут быть какими угодно, на дугу окружности p
i
2
k
,
i + 1 2
k
, первый конец которой имеет двоично-рациональную координату, равную значению конечной двоичной дроби 0, В связи с этим замечу, что подмножества A множества последовательностей, выделяющиеся условием следующего типа такие- тоне обязательно первые) коэффициенты принадлежащих ему последовательностей равны таким-то числам, а остальные коэффициенты произвольны, — называются цилиндрическими. Каждое цилиндрическое множество является объединением нескольких непересе- кающихся множеств вида почему. Образы цилиндрических множеств при отображении q суть конечные системы непересекаю- щихся дуг с двоично-рациональными концами. (Этому не мешает тот факт, что при отображении q два непересекающихся множества вида
B
a
1
,…,
a
n
могут перейти в две дуги с общим концом.)
Заканчивая описание кодирования, замечу, что его можно описать, внешне и не прибегая к двоичным дробям, а пользуясь только полуокружностями и C
1
. Числа a
i
, которые образуют последовательность, кодирующую траекторию {
f
n
(
x)}, указывают, в какую из полуокружностей попадает движущаяся (прыгающая с места на место с изменением n) точка x, если только точка не является исключительной (те. если она не имеет двоично- рациональную координату. А именно

,
в (n − й момент времени положение движущейся точки есть f
n−1
(
x) ∈ что для «неисключительной» точки x однозначно определяет числа. Действительно, уже отмечалось, что q(a
1
,
a
2
, …) ∈ C
a
1
. Теперь при > 1 из f ◦ q = q ◦ σ явствует, что если q(a
1
,
a
2
, …) =
x, то) = q(σ
n−1
(
a
1
,
a
2
, …)) =
q(a
n
,
a
n+1
, …) ∈ Название объясняется геометрической аналогией. Обычное трёхмерное пространство можно представить как прямое произведение плоскости Π с координатами (x, напрямую с координатой z. Можно вместо координат (x, y, z) говорить о парах (w, где w = (x, y) ∈ Π и z ∈ L. Множество тех точек (w, z), для которых w должна лежать на некоторой кривой (скажем, окружности, а z может быть произвольным числом,
является цилиндром в обычном геометрическом смысле.

Если бы мы исходили не из двоичных разложений, а из посещений полуокружностей движущейся точкой, то естественнее было бы изменить номера элементов на единицу, начав их нумерацию с нуля


§ . Хаос
Неоднозначность кодирования связана просто стем, что у и есть общие точки (их концы когда f
n
(
x) попадает туда, какой номер надо принять за a
n
? Слишком простой ответ (можно взять и и 1) не годится (точке q(0, 0, …, 0…) = q(1, 1, …, 1, …) он сопоставил бы любую последовательность из нулей и единица это уж слишком много. Нетрудно сделать необходимые уточнения, ноя не буду на этом останавливаться.
Многие свойства f легче установить с помощью символической модели, чем непосредственно. Я приведу три примера из числа самых простых (а потому, надо признать, не самых ярких в первых двух ответ легко получить и без символической модели. Точка x называется периодической точкой отображения f периода k, если f
k
(
x) = x. При этом не исключается, что и при каком-то i = 1, …, k − 1 тоже будет) = x. Если такого i нетто говорят, что k — минимальный период точки x. Предоставляю читателю убедиться, что периоды суть целочисленные кратные минимального периода.
Аналогом замкнутой траектории будет траектория периодической точки (те. замкнутая цепочка x, f (x), …, f
k−1
(
x), x). Спрашивается,
сколько у отображения f имеется периодических точек периода Сперва посмотрим, сколько таких периодических точек имеется у отображения. Периодическая точка отображения σ с периодом k это просто последовательность, …,
a
k
,
a
1
,
a
2
, …,
a
k
, …,
a
1
,
a
2
, …,
a
k
, которая получается, если всё время повторять первые k символов.
Естественно, такая последовательность называется периодической последовательностью с периодом длины k. Их имеется столько же,
сколько имеется наборов (a
1
, …,
a
k
) из символов 0 или 1, а таких наборов Теперь перейдём от символической модели к окружности. Нет ли среди периодических последовательностей таких, у которых, начиная с некоторого места, стоят сплошь нули или сплошь единицы Раз последовательность периодическая, то, значит, бесконечно повторяющаяся группа из k символов состоит из одних нулей или одних единиц. Стало быть, речь идёт о последовательностях, 0, …, и, 1, …, 1, При переходе от {0, 1} к C те. под действием отображения q) они как рази слипаются в одну точку. Другие же периодические точки

§ . Хаос

y
0
y
1
y
2
y
3
x
0
x
1
x
2
Рис. отображения при отображении q : {0, 1} → C переходят в различные точки окружности. Итаку имеется ровно 2
k
− 1 периодических точек периода Упражнение. Докажите тоже самое, не пользуясь кодированием, а анализируя свойства отображения с помощью графика функции g
k
:
x
→
2
k
x, «накрывающей»
f
k
в том же смысле, в каком g(x) = 2x накрывает f В некоторой точке (x
i
,
y
i
) этот график пересекает график функции y = i + x; здесь i = 0, 1, …, 2
k
−
1 (см. рис. для = 2). Проверьте, что периодические точки отображения с периодом k, те. неподвижные точки отображения f
k
, суть
«проекции» точек на окружность C при описанном выше отображении p :
→
C, и что при i = 0, 1, …, 2
k
−
2 эти) попарно различны, а) Если же говорить просто о периодических точках
(со всевозможными периодами, то их бесконечное число. Спрашивается, где они расположены Может быть, они все сконцентрированы на какой-то части окружности C? Нет множество периодических точек всюду плотно нате. сколь угодно близко к каждой точке окружности имеется периодическая точка.
Действительно, при любом k любая точка окружности содержится в некоторой дуге вида p
i
2
k
,
i + 1 2
k
. При достаточно большом k эта дуга сколь угодно мала. Между тем в ней лежит некоторая периодическая точка. Действительно, пусть координата первого конца этой дуги равна некоторой конечной двоичной дроби 0, a
1
…a
k
. Из сказанного выше видно, что дуга есть q(B
a
1
,…,
a
k
), а в
B
a
1
,…,
a
k
имеется периодическая точка b, для которой последовательность символов получается при бесконечном повторении набора a
1
, …,
a
k
. Точка q(b) — периодическая точка отображения f , лежащая на рассматриваемой дуге.
Третий пример использования символической модели на окружности имеются точки x, траектории которых { f
n
(
x); n ∈ } всюду плотны. Действительно, выпишем все наборы из одного, двух, трёх,
…, k символов, (1); (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1);
(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1); Каждый набор заключён в скобки, и ради удобства восприятия группа всех наборов длины n отделена от группы наборов другой длины


§ . Хаос посредством точки с запятой. Сотрём теперь все скобки и заменим точки с запятой запятыми (не забыв, педантизма ради, заключить полученную последовательность в скобки, после чего её можно обозначить одной буквой a):
a = (0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0,
1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, Траектория {
σ
n
(
a)} этого элемента множества {0, 1} попадает в каждое из цилиндрических множеств вида B
a
1
,…,
a
k
, поэтому траектория на окружности заходит в каждую из дуг p
i
2
k
,
i + 1 Во времена Бореля описание умножения на 2 в терминах бесконечных двоичных дробей уже добрую пару веков было известно любому математику. А переход от 0, к (a
1
,
a
2
, …) — вообще не бог весть какой подвиг. Так что пора, наконец, в двух словах сказать, в чём состояло открытие Бореля. Он с помощью этих самых дробей и последовательностей сопоставил, сравнил, связал итерации отображения f для Бореля, повторяю, было бы неважно, считать ли отображением отрезка или окружности) с бросаниями монеты предметом, казалось бы, совсем иного характера, относящимся к теории вероятностей. Чтобы пояснить эту фразу, надо сперва немного поговорить о теории вероятностей.
В этой науке имеется несколько исходных понятий, которые, по существу являются первичными и потому их нельзя определить с помощью других понятий математики, логики или физики. Их можно только пояснить на примерах. Нов чисто математических терминах можно описать основные свойства, присущие исходным понятиям теории вероятностей, их, так сказать, взаимоотношениям друг с другом. Это делается в так называемой аксиоматике теории вероятностей, основной вариант которой был предложен в г. АН. Колмогоровым.
А. Н. Колмогоров (—) был одним из крупнейших российских
(да и не только российских) математиков XX века, успешно работавшим в ряде направлений. В настоящей книжке он упоминается только в связи с теорией вероятностей (которой он отдал, по-видимому, больше всего времени и где его роль далеко не исчерпывается созданием работоспособной аксиоматики, ноу него имеется и несколько работ по теории динамических систем — всего несколько работ, но они томов премногих тяжелей. (Однако эти работы выходят за пределы довольно элементарного материала данной книжки) При этом он был одним из немногих, кому удалось внести одинаково большой вклад в исследование и регулярных,
и хаотических движений

§ . Хаос

Непосредственно его вклад в хаотическую тематику относится не к теории таких динамических систем, как понимается в настоящей книжке, а к абстрактной эргодической теории, имеющей дело с преобразованиями пространств с мерой, сохраняющими эту меру ни о каких дифференциальных уравнениях или гладких преобразованиях в этой теории нет речи. Но позднее принадлежащие ему или восходящие к нему идеи оказались важными и для теории динамических систем более классического типа, описываемых дифференциальными уравнениями или гладкими преобразованиями.
Для него противо- или сопоставление регулярность — хаос относилось не только к динамическим системам, но охватывало значительную часть всей математики. Когда в последние годы его жизни издавалось собрание его сочинений, первоначально запланированное в двух томах, его спросили, как распределить работы по этим томам. Он ответил, что водном томе должны быть работы по тематике, связанной с объектами, явлениями и т. д. регулярного характера, а в другом — связанной со случайностью, хаоcом и т. п. Впрочем, понадобился ещё третий том, посвящённый вопросам, так или иначе соприкасающимся с теорией информации (это тоже связано с хаосом) и с математической логикой (это ни тони другое).
Для нас нужны три первичных понятия случайное событие, вероятность и независимость.
Пример случайного события при двух бросаниях монеты выпала сперва решка (собственное полагается называть решёткой, но об этом постепенно забывают, потом «орёл». Результат (как говорят,
исход) этих двух бросаний (как говорят, двух испытаний) можно записать как (0, 1), приняв, что 0 на первом месте означает выпадание решки при первом испытании (когда монета бросается в первый раза 1 на втором месте — выпадание орла при втором испытании (втором бросании монеты).
Полагаю, нет нужды многословно объяснять, что означают записи, 0), (1, 0), (1, 1). Сами же соответствующие события обозначим через. Стало быть, (i, j) — это результат (исход) события A
ij
. А как на этом языке двух последовательных испытаний сказать, что в первый раз выпала решка Об исходе второго испытания ничего не сказано, могла выпасть и решка, и орёл. Значит, могло произойти и событие, и событие A
01
. Можно сказать, что A
ij
— это как бы элементарные события, а событие в первый раз выпала решка — не элементарное, оно состоит в том, что произошло одно из двух элементарных событий и Два элементарных события несовместны, те. не могут реализоваться вместе если, скажем, сперва выпала решка, а потом орёл, то никак не может быть, чтобы притом же самом испытании (не при по


§ . Хаос вторении этого испытания, а именно при нём самом) решка выпала два раза. Что там выпало, то и выпало, и ничто иное.
В своей аксиоматике Колмогоров начинает, собственно, не со случайных событий, ас элементарных событий. Множество всех элементарных событий (в данной вероятностной задаче) называется пространством элементарных событий. Элементарные случайные события играют роль, аналогичную роли точек у Евклида это есть то,
что не имеет частей. Другие события (не элементарные) считаются множествами, состоящими из элементарных событий, вроде того как геометрические фигуры состоят из точек. Когда пространство элементарных событий конечно, все его подмножества считаются событиями. Когда бесконечно, событиями считаются только подмножества, принадлежащие некоторому классу хороших подмножеств в аксиоматике указывается, какими свойствами должен обладать такой класс.
Раз уж в общей теории мы не уточняем, что такое элементарное или неэлементарное случайное событие, то, пожалуй, мы можем принять, что случайные события — это не какие-то там A
ij
, а просто сами комбинации (i, j) (хотя при физической реализации нашего случайного процесса такие комбинации выступают просто как записи его результатов. Аналогично, результат подбрасывания монеты n раз можно записать в виде последовательности n символов a = (a
1
, где a
i
=
0, если прим бросании монеты выпала решка, и a
i
=
1, если прим бросании выпал орёл. Множество всех таких наборов символов (всего таких наборов 2
n
) в духе сказанного о степенях множеств обозначим через {0, 1}
n
. Событие, состоящее в выпадении припер- вом и третьем испытаниях один раз решки, а другой раз орла, состоит из последовательностей, у которых и все с k > 3 — любые,
а a
1
+
a
3
=
1. Таких последовательностей Разумеется, пространство элементарных событий зависит от изучаемой вероятностной задачи. Если мы бросаем монету два раза,
то, как говорилось, это {0, 1}
2
, а если три раза — {0, 1}
3
. А что, если мы бросаем монету три раза, но интересуемся только результатами первых двух бросаний? Можно сказать, что мы проектируем {0, на {0, 1}
2
, оставляя в наборе (a
1
,
a
2
,
a
3
) только первые два символа.
А можно сказать, что мы остаёмся в {0, 1}
3
, но интересуемся не элементарными событиями (a
1
,
a
2
,
a
3
) по отдельности, а событиями, j, 0), (i, j, 1)} (которые суть в точности прообразы (i, j) при указанной только что проекции {0, 1}
3
→ {0, 1}
2
). Эти играют туже роль для двукратного бросания, какую раньше играли A
ij

§ . Хаос

Мы не можем предвидеть исход каждого отдельного испытания
(однократного бросания монеты, но если монета идеально правильная, то при большом числе N испытаний примерно в половине случаев выпадет орёл ив половине — решка. В связи с этим говорят, что вероятность выпадания орла или решки равна 2
. Это согласуется с интуитивным представлением, что если монета правильная, тонет оснований приписывать выпаданию орла и выпаданию решки различные вероятности.
Другие события тоже имеют определённые вероятности. Когда
Ω
конечно, вероятность события является суммой вероятностей принадлежащих ему элементарных событий. Когда бесконечно, вероятности событий, вообще говоря, так просто не определяются.
В аксиоматике уточняется, какими свойствами они должны обладать.
И наконец, очень важным понятием является независимость событий. (Колмогоров даже говорил, что именно с него и начинается собственно теория вероятностей) Описательно можно сказать, что события независимы, если они никак не влияют друг на друга. Например, если при первом бросании монеты выпал орёл, это никак не повлияет на результат второго бросания — с одинаковой вероятностью может выпасть и орёл, и решка. Такие соображения, не будучи чисто математическими, всё же подсказывают чисто математическое определение независимости нескольких событий, которого я, впрочем, не буду приводить.
Я отмечу только, что когда N раз повторяют двукратное бросание правильной монеты (отдельным испытанием теперь считается двукратное бросание и его результатом будет какая-то из комбинаций, j)), то примерно в
N
2
случаях при первом бросании выпадет решка и примерно в половине этих случаев при втором бросании выпадет орёл; значит, при наших двукратных бросаниях примерно в
N
4
случа- ях результатом будет (0, 1). Аналогично и другие исходы двукратных бросаний — (0, 0), (1, 0) и (1, 1) — получатся примерно в
N
4
случаях.
В связи с этим вероятность каждого из них приходится считать равной. К тому же приводят соображения, основанные на интуиции:
не видно причин, почему, скажем, исход (0, 0) должен иметь иную вероятность, чем другие исходы. Значит, эти четыре исхода равновероятны, те. их вероятности равны. А сумма этих четырёх вероятностей равна 1, ибо событие A, состоящее из этих четырёх элементарных событий это вообще всё, что может произойти при двукратном бросании. (Раз любой результат испытания (двукратного бросания) вхо-


§ . Хаос дит в наше событие A, то при повторении этого испытания N раз наше событие все эти N рази произойдёт.)
Аналогичные соображения приводят к выводу, что при бросании монеты n раз элементарные события суть указанные выше последовательности, где все {0, 1} и каждое a имеет вероятность. (И, значит, событие, состоящее в выпадании при первом и третьем испытаниях один раз решки, а другой раз орла, имеет вероятность Мы говорили о случайном процессе, состоящем в подбрасывании монеты n раз. В порядке обычной в подобных случаях идеализации можно рассмотреть процесс, состоящий в подбрасывании монеты бесконечное число раз. Результатом такой бесконечной последовательности испытаний является бесконечная последовательность, …) из нулей и единиц. Такие последовательности — это и есть элементарные события (в данной задаче. Мы уже встречались по другому поводу с такими последовательностями и сразу можем сказать, что пространством элементарных событий служит {0, 1} Представим себе, что мы проводим одно испытание (один разбросаем монету) в единицу времени. Тогда в нулевой момент времени мы не знаем, какими окажутся все (a
1
,
a
2
, …), а в первый момент мы знаем a
1
, будущими же тогда остаются моменты времени 2, 3, ив соответствии с этим, неизвестными нам исходами будущих испытаний становятся (a
2
,
a
3
, …). Выходит, за единицу времени из элементарного события (a
1
,
a
2
, …) получилось элементарное событие. Таким образом, наш случайный процесс описывается тем самым отображением в пространстве {0, 1} , с которым мы уже имели дело Теперь можно сказать, что это называют топологическим сдвигом Бернулли. Почему сдвигом, не требует объяснений.
Под Бернулли подразумевается Якоб Бернулли, с которым связано

Кстати, насколько я понимаю, Борель начал пользоваться такой идеализацией более серьёзно, чем его предшественники. До него тоже говорили о бесконечной последовательности одинаковых независимых испытаний, но результаты относились к конечной (хотя и сколь угодно длинной) её начальной части, а им были получены первые результаты, относившиеся ко всей последовательности. (Для лиц, в какой-то степени знакомых с предметом я имею ввиду различие между обычными усиленным законом больших чисел.)

У него были выдающиеся предшественники — П. Ферма (—), Б. Паскаль, Х. Гюйгенс. Но их первые шаги, когда они не носили характера отдельных наблюдений и замечаний, затрагивали довольно ограниченный материал. Показательно, что вероятностный трактат Гюйгенса (г) был включён в посмертно изданную в г. книгу Бернулли в качестве её первой главы

§ . Хаос

становление теории вероятностей как новой научной дисциплины.
Наконец, слово топологический я объясню не полностью.
Топология — часть математики, основанная на непрерывности.
В нашем множестве {0, 1} мы не ввели никакой структуры, которая позволила бы нам говорить о непрерывности или о пределах. Но это можно сделать. С другой стороны, в математике часто топологические понятия, теоремы и т. д. противопоставляются метрическим здесь это слово означает связанное с теорией меры. О последней теории я тоже скажу очень мало, но, по крайней мере, ясно, что пока что о ней вообще не упоминалось, а уже появилось, — значит, это не метрический объект, хотя ему и не возбраняется иметь какие-то связи с какими-то мерами, когда они появятся.
Бросая монету несколько раз, мы определили, что такое вероятности различных случайных событий (подмножеств {0, 1}
n
). Теперь случайными событиями должны стать подмножества {0, 1} — может быть, не все, а только некоторые, — и для них должны быть определены вероятности. Это должно хорошо согласовываться с правильностью монеты, независимостью испытаний друг от друга и стем, что мы знаем о процессе, состоящем в конечном числе бросаний монеты.
Конечно, последний процесс имеет своё пространство элементарных событий {0, 1}
n
, однако ведь можно считать итак, что нам предстоит проделать бесконечное число испытаний, номы интересуемся результатами только первых n. Это совершенно аналогично тому, что, как уже говорилось, можно, бросая монету три раза, интересоваться только исходами первых двух испытаний.
Значит, за пространство элементарных событий можно принять, 1} , а интересующие нас события являются множествами всех тех последовательностей, у которых на первых n местах стоят фиксированные символы (a
0 1
, …,
a
0
n
), а на остальных — что угодно. Мы уже обозначили такие множества через B
a
1
,…,
a
n
. Такому событию, т. е.
такому множеству B
a
1
,…,
a
n
, приписывается вероятность Итак, мы решили сопоставить множеству число 2
n
. Но ведь такова длина дуги q(B
a
1
,…,
a
n
)! Таким образом, оказывается, вероятности случайных событий связаны с длинами. Если случайное событие является цилиндрическим подмножеством в {0, 1} , то его можно представить в виде объединения нескольких непересекающихся множеств вида B
a
1
,…,
a
n
, и по правилам теории вероятностей вероятность равна сумме вероятностей этих B
a
1
,…,
a
n
. При этом q(A) является объединением нескольких непересекающихся дуги сумма длин этих дуг оказывается равной вероятности A.


§ . Хаос
Длина отрезка, сумма длин непересекающихся отрезков — всё это количественные характеристики протяжённости, массивности, веса соответствующих множеств. Нельзя ли разумным образом определить некое обобщение длины, пригодное для более общих множеств К тому времени, когда Борель установил связь между растягивающим отображением окружности и бросаниями монеты, данный вопрос уже был выяснен. Работу в этом направлении начал тоже Бо- рель, если не считать не особенно удачных ранних попыток, а решающий и практически последний шаг для подмножеств числовой прямой сделал А. Лебег (Правильное обобщение длины называется мерой (мер много;
в данном случае речь идёт о так называемой мере Лебега, которая всего ближе к длине. Мера определена не для всех подмножеств прямой, но для очень широкого класса подмножеств, которые таки называются измеримыми. Борель использовал всё это, чтобы разумным образом перенести понятие вероятности, интуитивно достаточно ясное для цилиндрических множеств, на более широкий класс подмножеств {0, 1} и, значит, получить возможность говорить о событиях и вероятностях событий в ситуации, выходящей за пределы прежней вероятностной практики. (Ему это было действительно нужно, потому что при его новом подходе, более серьёзно связанном со свойствами всей бесконечной последовательности испытаний,
нежели раньше, пришлось рассматривать более сложные подмножества. Скептики могли бы усомниться, имеет ли смысл вообще говорить о вероятности в подобных случаях, и я не думаю, чтобы такие сомнения можно было развеять до того, как Борель нашёл точку опоры в теории меры.)
Через несколько лет теория меры приобрела более общий характер, и после этого для введения правильных вероятностей в пространстве элементарных событий уже не надо было связывать бросания монеты с отображением x → {2x}. И как-то не вызвал широкого внимания тот факт, что на работу Бореля можно посмотреть с другой стороны — он доказал, что вполне, казалось бы, детерминированная система может быть совершенно сходна по своим свойствам с самым что ни наесть классическим случайным процессом.
Кроме того, задним числом представляется, что значение работы Бореля состояло не только в том, что он отчётливо обнаружил динамический хаос для итераций растяжения окружности. Легко

Было известно, что при безответственном обращении с вероятностями можно получить противоречия

§ . Хаос

понять, что принципиальные особенности поведения итераций отображения не меняются при малом возмущении (те. при заменена, где функция f
1
− f и её первая производная достаточно малы);
точнее, ситуация с кодированием (при его геометрической трактовке в терминах посещения траекторией полуокружностей вообще практически не меняется, ас вероятностями и мерами дело не так просто. Но мне кажется, что любой математик средней руки смог бы если не разобраться с этим до конца, то хотя бы установить что-нибудь вполне содержательное. Таким образом, обнаруженную
Борелем хаотическую динамику никак нельзя считать чем-то исклю- чительным.