Долгов ан. Оптика основы теории относительности атомная физика физика атомного ядра москва 2009 2
 Скачать 1.63 Mb.
|
|
BA ) должен проходить через органы зрения человека (точка 1 A ). BD – нормаль к поверхности зеркала и одновременно к поверхности земли. Согласно закону отражения углы 1 C BD и 1 A равны, следовательно, равны углы 1 A и 1 C BC . Таким образом, прямоугольные треугольники 1 AA B и 1 CC B оказываются подобными 1 1 : : , = ⇒ = = − h H A A AB C C BC x AB x e x ⇒ = = + hl x h H 1,2 м. 2.8. Человек ростом = H 1,8 м видит Луну по направлению, составляющему угол 60 α = ° с горизонтом. На каком расстоянии от себя человек должен положить на землю маленькое плоское зеркало, чтобы в нем увидеть отражение Луны Ответ ctg = ⋅ α = x H 1,04 м. 2.9. Построить изображение отрезка прямой в плоском зеркале (рис. 2.6). Указание. Плоское зеркало дает неискаженные изображения предметов. Таким образом, изображение отрезка AB в зеркале будет представлять собой отрезок прямой, проходящей через изображения точек A и B. 2.10. Две лампочки находятся в точках A и B перед зеркалом, укрепленным на вертикальной стене. Построением показать, где расположен глаз человека, увидевшего в зеркале изображения лампочек совмещенными 2.11. Почему на поверхности водоема образуется лунная дорожка Можно ли ее наблюдать на идеально гладкой поверхности воды Почему она всегда направлена к наблюдателю Рис. 2.5 Рис. 2.6 Рис. 2.7 14 Указание. Идеально гладкая поверхность воды представляет собой горизонтально расположенное плоское зеркало. При наличии небольшого волнения роль зеркал выполняют отдельные участки водной поверхности. Поверхность воды хорошо отражает падающий на нее свет при малых углах между поверхностью и падающим лучом, те. при больших (близких к 90 °) углах падения. При наблюдении вдоль направления к Луне при условии, что угол между лучом зрения и поверхностью водоема мал, отдельные блики практически сливаются. Руководствуясь вышеизложенными соображениями, можно ответить на поставленные вопросы. 2.12. На поверхности плоского экрана находится точечный источник света. Параллельно экрану расположено зеркало в форме равностороннего треугольника со стороной = a 20 см. Центр зеркала находится напротив источника. Определить площадь светового пятна, образованного на экране отраженными от зеркала лучами. Ответ 688 см 2.13. Параллельный пучок лучей падает на полусферу, лежащую на плоском зеркале, под углом α к зеркалу. Определите размеры тени на вертикальном экране. Поверхность полусферы свет не отражает. Радиус полусферы равен R. Какую форму имеет тень Решение. Н рис. 2.8 показана схема формирования тени. Вертикальный размер тени на экране (длина отрезка) составляет 2R/cos α из рассмотрения треугольника ABC. Горизонтальный размер тени не превышает 2R, как нетрудно догадаться. Тень имеет форму эллипса, вытянутого по вертикали. 2.14.* Солнечные лучи, проходя сквозь маленькие отверстия в листве, дают на поверхности земли светлые пятна в виде эллипсов одинаковой формы, но разных размеров. Большая ось самых крупных эллипсов = a 16 см, а Рис. 2.8 15 малая ось = b 12 см. Какова высота дерева, если угловой размер солнечного диска 2 10 − α = радиан Указание. Так как по условию задачи светлые пятна на земле имеют одинаковую форму, а отверстия, сквозь которые прошел образующий их свет, маленькие, то можно рассматривать указанные отверстия в качестве точечных источников света, испускающих лучи в пределах конуса с углом раствора равным α каждый, причем оси симметрии этих конусов параллельны друг другу. Самые крупные светлые пятна соответствуют отверстиям в листьях на вершине дерева. На рис. 2.9 представлена схема формирования на поверхности земли светлых пятен эллиптической формы. Угол, который составляет с вертикалью ось симметрии конического пучка лучей, обозначен как β. Угол между образующими конуса AC и AD – угол раствора, равный α << 1 радиан. По построению отрезок CE перпендикулярен оси симметрии конуса, следовательно углы BAG и ECD равны, как углы (оба острые) со взаимно перпендикулярными сторонами. В силу того обстоятельства, что угол α – мал (α = 10 –2 радиан << << 1 радиан, хорду CE можно аппроксимировать дугой окружности радиуса AC, тес большой степенью точности заменить длину указанной дуги длиной хорды CE в выражении для величины плоского угла CAE, выраженной в радианах α Одновременно можно заметить, что в силу малости угла α, углы ≅ = β BAC BAG , те. Из рассмотрения треугольника CDE следует, что cos = ⋅ β CE CD , где CD – большая ось самых крупных эллипсов. Нетрудно догадаться, что малая ось самых крупных эллипсов равна CE. Ответ 2 ≅ ≅ α ⋅ b H a 9 м. Рис. 2.9 16 2.15. Показать построением область пространства на плоскости чертежа, в котором изображение отрезка прямой AB в плоском зеркале CD будет видно полностью (см. рис. 2.10). Решение. На рис. 2.11 показаны все необходимые построения и , ′′ ′′ ′ = BB B B таким образом, отрезок ′ ′ A B является изображением отрезка AB в плоском зеркале CD. Прямые, проходящие через точки ′ A и C, ′ A и D, ограничивают область пространства, в которой будет видно изображение точки A отрезка AB. Пересечение двух вышеуказанных областей пространства (на рис. 2.11 заштриховано) – это та область пространства, в которой будут видны одновременно изображения обоих концов отрезка и, следовательно, изображение отрезка AB полностью. 2.16. Какой минимальной высоты h должно быть вертикальное плоское зеркало, чтобы человек мог, не изменяя положение головы, видеть в нем себя в полный рост H? На каком расстоянии S от пола должен находится нижний край зеркала в этом случае Зависит ли искомый размер зеркала от расстояния между зеркалом и человеком Ответ 2 = h H ; 2 = S H ; не зависит. 2.17. В комнате длиной L и высотой H на стене висит плоское зеркало. Человек смотрит в него с расстояния l. Какова высота зеркала, если человек видит противоположную стену вовсю высоту На каком расстоянии S от пола находится зеркало, если рост человека равен 1 h ? Ответ ≥ + H l h L l ; 1 ≥ + h L S L Рис. 2.10 Рис. 2.11 17 2.18. Девочка приближается к зеркалу перпендикулярно его поверхности со скоростью = υ 0,5 мс. С какой скоростью изображение девочки приближается к зеркалу 1 ( ) υ ? к девочке 2 ( ) υ ? Указание. Проделав необходимые построения можно убедиться в том, что насколько девочка зафиксированный интервал времени приблизилась к зеркалу, ровно настолько же приблизилось к зеркалу за тот же интервал времени ее изображение. Ответ 1 = = υ υ 0,5 мс 2 мс. 2.19. Точка S движется со скоростью 1 = υ 3 см/с параллельно поверхности плоского зеркала. Зеркало движется в направлении, перпендикулярном его поверхности, поступательно со скоростью 2 = υ 2 см/с. С какой скоростью движется изображение точки S? Указание. Необходимо воспользоваться принципом сложения скоростей в нерелятивистской механике. Скорость точки S есть результат векторного сложения скорости изображения точки S относительно зеркала и скорости зеркала относительно земли. Ответ 2 2 1 1 2 4 = + = υ υ υ 5 мс. 2.20. Отражающая поверхность зеркала составляет с плоскостью стола угол 135 . α = ° По направлению к зеркалу по столу катится шар со скоростью = υ 2 мс. В каком направлении и с какой скоростью движется изображение шара Ответ Вертикально вверх стой же скоростью = υ 2 мс. 2.21. Маленькое плоское зеркало З расположено параллельно стене С (рис. 2.12). Свет от укрепленного на стене точечного источника S падает на зеркало и, отражаясь, дает на стене зайчик. С какой скоростью υ будет двигаться зайчик по стене, если а) приближать к ней зеркало со скоростью 1 υ , б) перемещать зеркало параллельно стене со скоростью 2 υ ? Ответа б) 2 2 = υ υ 2.22.* Два зеркала образуют двугранный прямой угол. На систему зеркал падает луч, перпендикулярный ребру угла. Как изменится направление распространения света после отражения от двух зеркал Рис. 2.12 18 Указание. Необходимо воспользоваться законом отражения света (см. рис. 2.13). Ответ Направление распространения света изменится на противоположное. 2.23.* Два зеркала образуют двугранный угол 2 α < π . На одно из них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Найти угол отклонения этого луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Решение. Схема последовательного отражения падающего на систему из двух плоских зеркал луча показана на рис. 2.14 с учетом закона отражения, ϕ – искомый угол отклонения падающего луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Рассмотрим треугольники ABC и ACD: ( ) , 2 2 2 2 π π ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − β + α + − γ = π ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ β + γ + π − ϕ = Вышеприведенная система уравнений составлена на основании того обстоятельства, что сумма внутренних углов треугольника равна π радиан. 2 . 2 2( ) α = β + γ ⎧ ⇒ ⇒ ϕ = α ⎨ϕ = β+ β+ γ ⎩ 2.24.* Два зеркала образуют двугранный угол 2 α > π . На одно из них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Найти угол отклонения падающего луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Ответ 2 2 ϕ = π − α . Рис. 2.13 Рис. 2.14 19 2.25.* Построить луч, который, выйдя из точки A, в результате последовательного отражения в двух взаимно перпендикулярных зеркалах, придет в точку B (рис. 2.15). Указание. Необходимо построением определить положение изображений точек A ив указанных зеркалах (см. рис. 2.16) и указать траекторию луча, удовлетворяющую закону отражения. § 3. Преломление света. Полное внутреннее отражение ЗАДАЧИ. Построить ход преломленного луча вплоть до выхода из кубика, составленного из двух призм (рис. 3.1), если 0 1 2 < < n n n , где 0 n , 1 n и 2 n – показатели преломления окружающей среды и материала призм, соответственно. Решение. Требуемое построение выполнено на рис. 3.2. Пунктирными линиями показаны продолжения падающих на границу раздела двух сред лучей, штрихпунктирными линиями указаны нормали к границе раздела сред. Согласно закону преломления при нормальном падении луча угол между лучом и нормалью, те. угол падения, равен нулю) Рис. 2.15 Рис. 2.16 Рис. 3.1 Рис. 3.2 20 преломленный луч является продолжением падающего луча, те. угол преломления равен нулю. Так как синус угла для острых углов является монотонно возрастающей функцией (с возрастанием аргумента возрастает значение функции, тов соответствии с законом преломления при переходе луча из среды с меньшим показателем преломления в среду с бóльшим показателем преломления величина угла между лучом и нормалью к границе раздела сред уменьшается, те. угол падения оказывается больше угла преломления. И наоборот, если световой луч проходит из среды с бóльшим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления, то величина угла между лучом и нормалью к границе раздела сред возрастает, те. угол падения оказывается меньше угла преломления. 3.2. Построить ход преломленного луча вплоть до выхода из кубика, составленного из двух призм (рис. 3.1), если 0 2 1 < < n n n , где 0 n , 1 n и 2 n – показатели преломления окружающей среды и материала призм, соответственно. 3.3. При падении луча на границу раздела двух оптических сред под углом 45 α = ° угол преломления 60 . β = ° Каков будет угол преломления δ, если угол падения 30 γ = ° при распространении в том же направлении Решение. Согласно закону преломления на границе двух оптических сред с показателями преломления 1 n и 2 n можем записать следующие соотношения 1 2 1 2 sin sin sin sin sin 0,61 sin 38 . sin sin sin ⋅ α = ⋅ β ⎧ γ ⋅ β ⇒ δ = ≅ ⇒ δ ≅ ° ⎨ ⋅ γ = ⋅ δ α ⎩ n n n n 3.4. Луч падает на границу раздела двух оптических сред под углом 30 . α = ° Показатель преломления первой среды 1 = n 2,4. Определить показатель преломления второй среды, если преломленный и отраженный луч взаимно перпендикулярны. Указание. 90 , α + β = ° где β – угол преломления. Ответ 2 1 tg = ⋅ α ≅ n n 1,4. 21 3.5. Световой луч падает на поверхность воды под углом 1 40 . α = ° Под каким углом он должен упасть на поверхность стекла, чтобы угол преломления остался таким же Показатели преломления воды истекла в и c 1,50 n = соответственно. Ответ 2 46 . α = ° 3.6. Под каким углом должен падать луч света на поверхность материала с показателем преломления 1,73 n = , чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения Ответ 2arccos 60 . 2 n ⎛ ⎞ α = = ° ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3.7. Столб вбит в дно реки так, что часть столба высотой 1,00 h = м возвышается над водой. Найти длину тени столба на дне реки, если высота солнца над горизонтом 30 , γ = ° а глубина реки 2,00 H = м. Показатель преломления воды Решение Луч SO, определяющий длину тени от столба, будет по условию проходить через его вершину S под углом γ к горизонту (рис. 3.3). Следовательно, угол падения этого луча будет равен 90 60 . α = ° − γ = ° На поверхности воды (на границе раздела двух оптических сред – воздуха и воды) в точке O этот луч преломится ив воду войдет под углом, определяемым из закона преломления Длина тени L от столба будет равна сумме отрезков DB и BC. Так как DB = AO длину отрезка DB найдем из треугольника SAO: ctg DB AO h = = ⋅ γ . Длину отрезка BC найдем из треугольника OBC: Рис. 3.3 22 2 2 2 sin cos tg 1 sin cos BC H H H n β γ = ⋅ β = ⋅ = Окончательно для длины тени от столба на дне реки имеем 2 2 cos ctg cos L h H n γ = ⋅ γ + ⋅ = − γ 3,45 м. 3.8. Палка с изломом посередине погружена в пруд (рис. 3.4) так, что наблюдателю, находящемуся на берегу и смотрящему вдоль надводной части, она кажется прямой, составляющей угол cos 30 = ° с горизонтом. Какой угол излома γ имеет палка Показатель преломления воды равен Ответ cos arccos 20 . n n ⎛ ⎞ γ = − α ≅ ° ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3.9. На дне водоема лежит небольшой камень. Мальчик хочет попасть в него концом палки. Прицеливаясь, мальчик держит палку в воздухе под углом 45 α = ° к поверхности воды. На каком расстоянии от камня воткнется палка в дно водоема, если его глубина 50 H = см Показатель преломления воды равен Ответ 2 2 cos ctg cos S H n ⎛ ⎞ α Δ = ⋅ α − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − α 19 см. 3.10. На пути параллельного пучка лучей поместили стеклянную призму с малым углом раствора граней 4 . α = ° Показатель преломления стекла n = 1,5. Свет падает на призму под прямым углом к грани (рис. 3.5). Определить ширину темной полосы на экране Э, расположенном параллельно передней грани призмы на расстоянии S = 10 см от нее. Указание. Для малых углов 1 α << радиан рад. ≅ 57°) с большой точностью выполняются равенства sin tg α ≅ α ≅ α , Рис. 3.4 Рис. 3.5 23 где угол α выражен в радианах. Таким образом, значения синусов и тангенсов малых углов можно заменить значением самих углов, выраженных в радианах. Ответ ( ) 1 l n S Δ ≅ − ⋅α ⋅ = 3,5 мм. 3.11. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом 45 . α = ° Определить толщину пластинки, если луч при выходе из нее сместился на расстояние d = 2,0 см (рис. 3.6). Показатель преломления стекла равен 1,5. Ответ 2 2 sin sin cos n l d − α = ⋅ = α α 5,3 см. 3.12.* На стопку плоскопараллельных пластинок с различными показателями преломления падает луч под углом 60 α = ° риск нормали и преломляясь проходит сквозь всю стопку. Показатели преломления первой и последней пластинок в стопке равны 1 1 n = и 2 4 3 n = . Определить угол β между нормалью и лучом в последней пластинке. Указание. Использовать закон преломления в виде 1 1 2 2 sin sin n n ⋅ ϕ = ⋅ ϕ . Ответ 40 . β = ° 3.13. На дне водоема глубиной H находится точечный источник света. На поверхности воды плавает непрозрачный диск, причем центр диска находится над источником При каком минимальном радиусе диска ни один луч света не выйдет через поверхность воды из водоема Дно водоема свет практически не отражает. Показатель преломления воды равен n. Решение. Ни один луч света от источника S не покинет пределы водоема, если для луча SA, идущего от источника к краю диска, при пересечении поверхности воды угол преломления окажется равным 90°, так как любой луч |