Долгов ан. Оптика основы теории относительности атомная физика физика атомного ядра москва 2009 2
 Скачать 1.63 Mb.
|
|
Дж. За какое время масса Солнца уменьшится на 1 %? Указание. Подразумевается, что при изменении массы Солнца на 1 % поток энергии, излучаемой Солнцем, не изменится. Ответ T 140 млрд. лет. § 16. Кинетическая энергия и импульс релятивистской частицы. Релятивистская динамика ЗАДАЧИ. При какой скорости частицы ее кинетическая энергия равна энергии покоя Решение. Кинетическая энергия релятивистской частицы выражается как 2 2 0 0 2 2 1 m c T m Согласно условию задачи 2 0 0 T E m c = = 2 2 2 0 0 0 2 2 ; 1 m c T m c m c c ⇒ = − = − υ 2 2 1 2 1 c = − υ ; 8 3 2,6 10 2 c = ≅ ⋅ υ мс. 16.2. Кинетическая энергия электрона T = 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя Масса покоя электрона 30 0 0,911 10 m − = ⋅ кг. Скорость света в вакууме 8 2,998 10 c = ⋅ мс. Ответ 2 0 0 1 m T m m c = + ≅ 20,6. 16.3. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет половину энергии покоя. Ответ 8 2,23 10 = ⋅ υ мс. 124 16.4. До какой кинетической энергии, выраженной в МэВ, можно ускорить а) электроны б) протоны в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать α = 5 %? Масса покоя электрона 30 e 0,911 10 m − = ⋅ кг масса покоя протона 27 p 1,672 10 m − = ⋅ кг скорость света 8 2,998 10 c = ⋅ мс. Ответа МэВ б) p T ≅ 47 МэВ. 16.5. Электрон летит со скоростью = υ 0,8 с. Определить кинетическую энергию электрона в МэВ. Масса покоя электрона 30 e 0,911 10 m − = ⋅ кг. Скорость света 8 2,998 10 c = ⋅ мс. Ответ T ≅ 0,34 МэВ. 16.6. Максимальная скорость движения электронов в катодной трубке = υ 0,04 с. Найти разность потенциалов между электродами. Заряд электрона 19 e 1,602 10 − = ⋅ Кл, масса электрона e m = 30 0,911 10 − = ⋅ кг. Скорость света 8 2,998 10 c = ⋅ мс. Решение. При движении от катода к аноду электрон приобретает кинетическую энергию, равную работе, совершаемой над ним электрическим полем 2 2 0 0 2 2 e , 1 m c T m где разность потенциалов между электродами катодной трубки 2 0 2 2 1 1 e 1 m c U c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ = − ≅ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ υ 0,41 кВ. 16.7. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его полная энергия стала равна удвоенной энергии покоя. Чему равна ускоряющая разность потенциалов Отношение заряда электрона к его массе покоя 11 e/ 1,76 10 m = ⋅ Кл/кг. Ответ 2 5 5,1 10 e c U m = ≅ ⋅ В. 16.8. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его собственное время уменьшалось враз по сравнению со временем, измеренным по часам неподвижной системы отсчета Масса покоя электрона 31 0 9,1 10 m − = ⋅ кг, заряд 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл, скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Ответ ( ) 2 6 0 1 4,6 10 e m c U n = − ≅ ⋅ В. 16.9. Определить импульс релятивистского электрона, если его кинетическая энергия равна энергии покоя. Масса покоя электрона 31 0 9,1 10 m − = ⋅ кг, скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Решение. Используя условия задачи можем составить следующую систему уравнений 2 4 2 2 0 2 2 0 0 , , E m c p c E m c m где E – полная энергия электрона, p – импульс электрона. 2 22 0 0 2 3 4,7 10 E m c p m c − = ⇒ = ⋅ ≅ ⋅ кг ⋅ мс. 16.10. Определить кинетическую энергию релятивистского протона, если его импульс равен 19 5 10 p − = ⋅ кг ⋅ мс. Масса покоя протона кг. Ответ 2 2 2 2 11 0 0 6,2 10 Дж 390 МэВ c p m c m c − = ⋅ + − ≅ ⋅ ≅ 16.11.* Электрон двинется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,01 Тл со скоростью 8 2,4 10 = ⋅ υ мс. Определить радиус окружности. Масса покоя электрона 31 0 9,1 10 m − = ⋅ кг, заряд 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл, скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Решение. При движении в магнитном полена электрон действует сила Лоренца. Л e , F B = υ направленная по радиусу, те. перпендикулярно вектору скорости, и поэтому работы над частицей не совершающая. Следовательно, величина скорости частицы меняться не будет. Сила Лоренца сообщает частице центростремительное ускорение 2 ц.с. R Δ = υ , где R – радиус окружности. Уравнение движения электрона в проекции на радиус окружности можно записать в виде где 0 2 2 1 m m c = − υ – релятивистская масса электронам Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл по окружности радиуса R = 2 см. Определить кинетическую энергию электрона, считая его релятивистским. Масса покоя электрона 31 0 9,1 10 m − = ⋅ кг заряд 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Указание. Необходимо решить систему уравнений 2 0 2 2 2 0 2 2 e , 1 1 1 . 1 m B R c T m Ответ 2 2 14 0 0 e 1 1 1,47 10 Дж 92 кэВ c m c − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + − ≅ ⋅ ≅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 16.13.* Электрон с кинетической энергией T = 1,5 МэВ движется в однородном магнитном поле по окружности некоторого радиуса. Определить период обращения электрона, если индукция поля равна B = 0,02 Тл. Энергия покоя электрона 0 E = 0,51 МэВ заряд 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Ответ ( ) ( ) 2 19 0 2 e 7,0 10 c. t T E Bc − = π + ≅ ⋅ 127 § 17. Атомная физика. Планетарная модель атома Резерфорда. Боровская модель атома водорода. Постулаты Бора. Правило квантования. Спектр излучения атома водорода На основе экспериментальных данных Резерфордом была предложена планетарная (или ядерная) модель атома 1) атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающей его электронной оболочки 2) в ядре сосредоточена практически вся масса атома, причем радиус ядра враз меньше радиуса атома 3) суммарный отрицательный заряд электронов равен повели- чине положительному заряду ядра – атом в целом электронейтрален) электроны движутся вокруг ядра под действием кулоновских сил. Однако, такая модель атома противоречила законам классической электродинамики, поскольку ускоренно движущийся электрон как и любой ускоренно движущийся заряд) должен был бы излучать электромагнитные волны, теряя энергию. В результате электрон должен достаточно быстро упасть на ядро. На самом деле этого не происходит. Попытку найти выход из затруднительного положения в теории атома сделал Борна пути дальнейшего развития квантовых представлений, причем и законы классической физики не отвергались. В основу своей теории Бор положил два постулата. 1) Электроны в атоме движутся по круговым орбитам, но из бесконечного множества орбит, возможных сточки зрения классической механики, разрешенными являются только некоторые определенные орбиты. Находясь на одной из таких орбит, электрон, несмотря на то, что он движется с ускорением, не излучает энергии. Такие орбиты Бор назвал стационарными. 2) Атом испускает излучение, когда электрон переходит (скачком) с одной стационарной орбиты на другую стационарную орбиту (обычно говорят о переходе атома из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние. При каждом таком переходе испускается один фотон, энергия которого равна n m h E E ν = − , (17.1) где n E , m E – энергия начального и конечного состояний, соответственно (те. n m E E > ). Поглощение света – процесс, обратный излучению, происходит аналогичным образом, при поглощении фотона той же энергии. Согласно правилу отбора, введенному Бором, стационарными являются те орбиты, для которых выполняется условие (правило квантования , n n m r n ⋅ ⋅ = = υ (17.2) где n = 1, 2, 3… – целочисленный параметр, являющийся номером квантового состояния (орбиты) и называемый главным квантовым числом m – масса электрона n υ – скорость электрона на й орбите, радиус которой n r ; = – постоянная Планка. Свои постулаты и правило отбора Бор плодотворно применил для построения простейшей атомной системы – атома водорода (а также водородоподобных ионов. Рассмотрим электрон, движущийся по круговой орбите радиусом n r в поле неподвижного (в силу его относительной массивности) ядра с зарядом e Z . При 1 Z = такая система соответствует атому водорода, при 1 Z > – водородоподобному иону, те. атому с порядковым номером Z, из которого удалены все электроны, кроме одного. На электрон будет действовать сила кулоновского взаимодействия с ядром атома, сообщая электрону центростремительное ускорение. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление можно записать в виде 2 2 2 0 e 4 n n n m Z r r = πε υ , (17.3) где 0 1 4 πε – постоянная закона Кулона. Вторым уравнением системы, описывающей движение электрона, является правило квантования орбит n n m r n ⋅ = Решая совместно указанную систему уравнений, получим выражения для скорости движения электрона на й орбите и ее радиуса) произвели замену 2 h = π = ) 2 2 0 2 e ε = ⋅ π n h r n mZ (17.5) Для атома водорода (Z = 1) ближайшей к ядру орбите (n = 1) соответствует радиус 10 1 0,529 10 r − ⋅ м, который часто называют боровским радиусом. Из полученного выражения для n r видно, что 2 1 n r r n = ⋅ (17.6) Внутренняя энергия атома водорода складывается из кинетической энергии электрона и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром 2 2 2 4 2 2 0 0 e e 1 2 4 8 ⋅ ⋅ = − = − ⋅ πε ε n n n m Z m Z E r h n υ . (17.7) Для атома водорода наименьшему значению энергии соответствует главное квантовое число n = 1: 18 1 2,17 10 Дж эВ. − − ⋅ − Ε В боровской модели квантуются не только радиусы орбит, но и энергии. Различные разрешенные значения энергии атома обычно изображаются на схеме энергетических уровней в виде горизонтальных линий. Для водорода такая схема уровней показана на рис. 17.1. Низший энергетический уровень (или состояние) называется основным состоянием. Более высокие энергетические уровни называются возбужденными состояниями. Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода может находиться на любом из разрешенных уровней, но никогда между ними. Знание разрешенных уровней энергии позволяет предсказать частоты и длины волн всех спектральных линий атома водорода (водородоподобных ионов { } 2 4 2 2 2 0 e 1 1 8 n m hc mZ h E E h m n ν = = − = − λ ε . (17.8) Величинам) называется постоянной Ридберга. Часто постоянной Ридберга называют величину 4 2 3 0 15 1 e 8 3,290 10 с . ν λ − = = ≅ ε ≅ ⋅ m R cR h (17.10) С учетом выражений для R λ и R ν можно записать 2 2 2 2 , n Z hcR Z hR E n n λ ν = = − (17.11) { } 2 2 2 1 1 , nm Z R m n ν ν = − (17.12) { } 2 2 2 1 1 nm Z R m n λ λ = − (17.13) Серия спектральных линий водорода, соответствующих переходам в основное состояние (n = 1), получила название серии Лайма- на. Серии спектральных линий, соответствующих переходам впер- вое и второе возбужденное состояния (n = 2 и n = 3) получили названия серий Бальмера и Пашена (см. рис. 17.1). Если атом поглотил энергию, достаточную для перехода в состояние с энергией, равной нулю (те. на удаление электрона на уровень n = ∞), то электрон перестает быть связан с ядром. Минимальная энергия, необходимая для вырывания электрона из атома, называется энергией ионизации (энергией связи. Для атома водорода энергия ионизации, соответствующая вырыванию электрона из низшего энергетического состояния равна 1 E E E ∞ = − = 13,6 эВ. Энергия, необходимая для перевода электрона из основного со- Рис. 17.1 стояния водно из возбужденных состояний называется энергией возбуждения возб. E . Часто энергию ионизации и энергию возбуждения представляют в виде ион. ион. e E = ϕ и возб. возб. e E = ϕ , величины ион и возб. ϕ называют потенциалом ионизации и потенциалом возбуждения. Причем переходу электрона на первый возбужденный уровень (n = 2) соответствует первый потенциал возбуждения 1 ϕ , переход на второй возбужденный уровень (n = 3) – второй потенциал возбуждения 2 ϕ и т.д. Для атома водорода ион 13,6 В 1 ϕ ≅ 10,2 В 2 ϕ ≅ 12,1 В. § 18. Атомная физика. ЗАДАЧИ. Какой процент от массы нейтрального атома урана 238 составляет масса его электронной оболочки Энергии покоя электрона, протона и нейтрона равны, соответственно, 0e E = 0,511 МэВ, 0p E = 938 МэВ и 0n E = 940 МэВ. Указание. Число протонов в ядре атома урана Z = 92, число нейтронов и протонов вместе составляет A = 238, число протонов в ядре атома равно числу электронов в электронной оболочке. Ответ 0,02 %. 18.2. На какое наименьшее расстояние альфа-частица, имеющая скорость 7 1,9 10 = ⋅ υ мс, может приблизиться к неподвижному ядру золота, двигаясь по прямой, проходящей через центр ядра Зарядовое число и массовое для альфа-частицы для альфа-частицы равны 1 2 Z = и A = 4, зарядовое число для ядра золота 2 Z = 79. Элементарный электрический заряд 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Атомная единица массы 8 2 2 9 10 Нм Кл . k = Указание. Использовать закон сохранения энергии. Ответ 2 1 2 14 min 2 0 1 2 e 3,0 10 kZ Z r m A − = ≅ ⋅ υ м. 132 18.3. Радиус орбиты электрона в атоме водорода 10 0,53 м. Рассчитать, согласно теории Бора, для данного состояния атома водорода а) частоту вращения электрона б) длину волны электромагнитного излучения с такой частотой в) скорость электрона г) электростатическую силу притяжения электрона к ядру е) силу электрического тока, обусловленного движением электрона по орбите ж) кинетическую энергию электрона з) потенциальную энергию электрона и) полную энергию электрона в атоме. Постоянная Планка 34 6,63 10 Дж с Масса и заряд электрона т 31 9,11 10 − = ⋅ кг и 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Постоянная закона Кулона 9 2 2 9 10 Нм Кл . k = Решение. а) Запишем систему из двух уравнений одно из них выражает условие квантования Бора, другое – связывает линейную скорость электрона с частотой его вращения по орбите e ; 2 2 , h m r r ⎧ = ⎪ π ⎨ ⎪ = πν квантовое число n принимает в указанной ситуации значение n = 1, так как фигурирующее в условии задачи значение радиуса орбиты соответствует ближайшей к ядру орбите при n = 1. 15 2 2 e 6,6 10 4 h m r ⇒ ν = ≅ ⋅ π Гц. б) 8 4,55 10 м ⋅λ = ⇒ λ = ≅ ⋅ = ν 455 Å. в) 6 e 2,2 10 2 h m r = ≅ ⋅ π υ мс. г) 2 8 эл. 2 e 8,2 10 F k r − = ⋅ ≅ ⋅ Н. д) 2 22 ц.с. 9,0 10 a r = ≅ ⋅ υ м/с 2 е) e I t = , где 2 1 r t π = = ν υ – период обращения электрона 3 e 1,05 10 I − ⇒ = ν ≅ ⋅ Аж Дж эВ. з) 2 18 e 4,37 10 Дж − ≅ − ⋅ = − 27,3 эВ. и) полн 10 Дж U − = + ≅ ⋅ = − 13,6 эВ. 18.4. На какое расстояние в радиальном направлении смещается электрон, переходящий с первой на четвертую боровскую орбиту атома водорода Радиус первой боровской орбиты Б м. Ответ Б 7,94 10 r r − Δ = ⋅ ≅ ⋅ м. 18.5. Во сколько раз отличается напряженность электрического поля ядра на второй и третьей боровских орбитах атома водорода Найти напряженность поляна первой боровской орбите. Радиус первой боровской орбиты Б 10 r − = ⋅ м. Заряд электрона 19 e 1,602 Кл. Постоянная закона Кулона 9 2 2 9 10 Нм Кл . k = Указание. Поле ядра можно рассматривать как поле точечного заряда 2 e n n E k r = , где n r – радиус й боровской орбиты. Ответ 4 2 3 2 2 3 2 3 2 r E E r ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5,1; 11 1 5,1 10 E ≅ ⋅ В/м. 18.6. Вычислить радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней для водородоподобного иона гелия He + . Заряди масса электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл и 31 e 9,11 10 m − = ⋅ кг. Постоянная Планка 34 6,63 10 Дж с Постоянная закона Кулона 9 2 2 9 10 Нм Кл . k = Указание. Необходимо внести изменения в систему уравнений, отвечающих боровской модели атома водорода, чтобы она стала описывать водородоподобный ион учесть, что заряд ядра водородоподобного иона равен e Z , где Z – зарядовое число ядра элемента. Для ядра атома гелия Z = 2. 134 e 2 2 e 2 , 2 e . h m r m kZ r r ⎧ = ⎪ π ⇒ Ответ Б 0,265 10 r r Z − = ≅ ⋅ ; 6 4,37 10 ⋅ υ мс. 18.7.* Если в атоме водорода электрон заменить отрицательным мю-мезоном, образуется система, которая называется мезоатомом. Пользуясь теорией Бора, найти радиус мезоатома в состоянии с наименьшей энергией. Масса мю-мезона мкг, масса электрона 31 e 9,11 10 m − = ⋅ кг, первый боровский радиус для атома водорода Б 10 r − = ⋅ м. Заряд мю-мезона равен заряду электрона. Указание. Так как масса мю-мезона много меньше массы протона (ядра мезоатома, то ядро мезоатома можно считать неподвижными рассматривать движение только мю-мезона. В указанной ситуации достаточно в системе уравнений, отвечающих боровской модели атома водорода, заменить массу электрона на массу мю- мезона. Ответ e 13 м Б м 2,6 10 m r r m − = ⋅ ≅ ⋅ м. 18.8.* Частица массой m движется по круговой орбите в цен- тральносимметричном поле, где сила притяжения, действующая на частицу со стороны центра поля зависит от расстояния r до центра поля как , F r = α где α – положительная постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле, выразить ее через частоту, с которой колебалась бы частица под действием указанной силы. Решение. Запишем систему уравнений, описывающих боровское условие квантования и второй закон Ньютона для заданной частицы, в проекциях на радиальное направление 2 2 2 ; n n n n n n n n n h h m r n r n m m r r m r ⎧ ⎧ υ ⋅ = ⋅ υ ⋅ = ⋅ ⎪ ⎪ π π ⎪ ⇒ ⎨ ⎨υ υ α = ⋅ = α ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 135 2 2 2 ; n n n n n n n n n h h m r n r n m m r r m r ⎧ ⎧ υ ⋅ = ⋅ υ ⋅ = ⋅ ⎪ ⎪ π π ⎪ ⇒ ⎨ ⎨υ υ α = ⋅ = Кинетическая энергия частицы 2 Потенциальная энергия частицы в поле квазиупругой силы 2 Полная энергия частицы , 2 n n n h E T U n n m α = + = ⋅ = где m α ω = – собственная частота колебаний под действием квазиупругой силы. 18.9.* Позитрон – элементарная частица, масса которой равна массе электрона, а положительный заряд равен по величине заряду электрона. Система, состоящая из электрона и позитрона, вращающихся вокруг общего центра масс, называется позитронием. Вычислить расстояние l между частицами в позитронии в основном состоянии используя представления теории Бора для атома водорода. Радиус первой боровской орбиты для атома водорода Б 10 r − = ⋅ м. Указание. В боровском условии квантования необходимо учесть движение обеих частиц электрона и позитрона m r m r + = = υ υ , где r – радиус траектории, по которой движутся вокруг общего центра масс электрон и позитрон. При записи второго закона Ньютона необходимо учесть то обстоятельство, что расстояние между частицами равно диаметру окружности, по которой они движутся 2 2 2 e 4 m k r r = υ , где k – постоянная закона Кулона. Ответ Б 1,06 10 l r − = ≅ ⋅ м. 18.10. Сколько квантов с различной энергией может испустить атом водорода, если электрон находится на третьей боровской орбите Решение. Каждой боровской орбите соответствует определенное значение главного квантового числа n и энергии электрона E (рис. 18.1). Атом испускает кванты электромагнитного излучения при переходе электрона в более низкое энергетическое состояние. На рис. 18.1 показаны возможные переходы атома водорода из заданного возбужденного состояния св состояние с наименьшей энергией с n = 1 (основное состояние. Каждый из указанных переходов (31, 32 и 21) будет сопровождаться испусканием квантов различных энергий. Таким образом, ответ на вопрос задачи выглядит следующим образом. Число квантов с различной энергией, которые может испустить атом водорода, если электрон находится на третьей боровской орбите, равно 3. 18.11.* Электрон в атоме водорода перешел из основного состояния в возбужденное, получив энергию E Δ = 12,8 эВ. Какова наибольшая длина волны, которую может теперь излучить атом водорода Энергия электрона в основном состоянии 1 E = − 13,6 эВ. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Решение. Определим на какой орбите оказался электрон в результате возбуждения, для чего воспользуемся соотношением 1 2 n E E n = , где n – главное квантовое число. 1 1 2 E E E n ⇒ Δ = − ; Рис. 18.1 137 1 1 4 E n E E = = Δ +Наибольшей длине волны излучения, которое может испустить атом водорода при возвращении в основное состояние, соответствует переход электрона на ближайшую орбиту с более низкой энергией, так как при этом изменение энергии электрона и, соответственно, энергия испускаемого кванта будут минимальными, а длина волны излучения максимальной. Таким образом, излучению с наибольшей длиной волны отвечает переход электрона из состояния св состояние с n = 3, тогда 1 1 2 2 max 4 3 E E hc = − λ ; 6 max 1,88 10 − ⇒ λ = ⋅ м. 18.12. Зная постоянную Ридбергам подсчитать максимальную энергию, которую может иметь фотон, излучаемый атомом водорода. Ответ ф 10 Дж 13,6 эВ. Определить для атома водорода потенциал ионизации i ϕ и первый потенциал возбуждения 1 ϕ . Энергия электрона в основном состоянии 1 E = − 13,6 эВ. Ответ 1 e i E ϕ = − = 13,6 В 1 1 3 4e ϕ = − = E 10,2 В. 18.14. Определить для водородоподобного иона гелия He + потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Ответ i ϕ = 54,4 В 1 ϕ = 40,8 В. 18.15. В результате поглощения кванта света электрон в атоме водорода перешел с первой боровской орбиты на вторую. Определить длину волны и частоту кванта. Постоянная Ридберга 15 3,29 10 R ν = ⋅ Гц. Скорость света 8 2,998 10 c = ⋅ мс. Решение. Согласно условию задачи энергия поглощенного кванта равна разности энергий электрона на второй и первой боровской орбитах, следовательно она равна энергии кванта, который будет испущен электроном при переходе из возбужденного состояния (на второй боровской орбите) в основное (на первой боровской орбите, а частоту этого кванта, равную частоте поглощенного, мы можем рассчитать, используя формулу ( ) 2 2 1 1 R n m ν ν = ⋅ − , где n и m – номер боровских орбит, между которыми совершается переход. В нашем случае n = 1 и m = 2, откуда получим для частоты поглощенного кванта 15 3 2,47 10 4 R ν ν = ≅ ⋅ Гц. Длину волны кванта найдем из соотношениям. В каком состоянии находился атом водорода, если известно, что при его переходе в энергетически низшее состояние испускается квант электромагнитного излучения с длиной волны λ = 972,5 Å? Постоянная Ридбергам Ответ главное квантовое число, характеризующее первоначальное состояние атома 4 1 R n R λ λ λ = = λ − 18.17. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны 5 1,2 10 λ = ⋅ см. Определить радиус орбиты электрона возбужденного атома. Постоянная Рибберга R ν = 7 1 1,097 10 м . − = ⋅ Радиус первой боровской орбиты Б м. Ответ Б 10 1 R r r R λ − λ λ = ⋅ ≅ ⋅ λ − м. 18.18. Наибольшая длина волны, излучаемая атомом водорода при переходе электрона на второй энергетический уровень, равна max λ = 656,3 нм. Исходя из этих данных определить наибольшую длину волны, излучаемую атомом при переходе электрона напер- вый энергетический уровень. Постоянную Ридберга считать неизвестной Указание. Наибольшей длине волны фотона соответствует наименьшая энергия фотона, для чего электрон должен переходить на второй уровень с ближайшего к нему третьего энергетического уровня ( ) 2 2 max 1 1 1 Наибольшая длина волны излучения при переходе электрона на первый энергетический уровень, соответственно, реализуется для перехода с ближайшего к нему второго уровня ( ) 2 1 1 1 2 R λ = ⋅ Ответ max 5 27 λ = ⋅λ ≅ 121,5 нм. 18.19. Длина волны, излучаемая атомом водорода при переходе электрона на второй энергетический уровень с четвертого равна λ = 4850 нм. Определить минимальную длину волны, излучаемую атомом при переходе электрона на первый энергетический уровень. Постоянную Ридберга считать неизвестной. Указание. Минимальной длине волны излучения соответствует максимальная энергия испускаемого фотона, те. происходит переход электрона на первый энергетический уровень с уровня, для которого значение главного квантового числа n стремится к ∞. Ответ min 3 909 16 λ = ⋅λ ≅ нм. 18.20.* Атом водорода переходит из возбужденного состояния в основное. При этом он испускает, последовательно, один за другим два кванта света с длинами волн 1 4051 λ = нм и 2 λ = 97,25 нм. Определить энергию первоначального (возбужденного) состояния атома. Энергия ионизации атома водорода равна i E = 13,6 эВ. Постоянную Ридберга считать неизвестной. Указание. Энергия ионизации i E равна энергии фотона, испускаемого атомом водорода при переходе электрона на первый энергетический уровень с уровня, для которого значение главного квантового числа n стремится к ∞: Ответ 1 2 1 2 n i E E hc λ + λ = − + ⋅ − λ ⋅ λ 0,5 эВ. 140 18.21. Разрядная трубка заполнена водородом при низком давлении. При каком напряжении на электродах будет происходить возбуждение атомов Постоянная Ридбергам Указание. Указание на низкое давление газа в разрядной трубке подразумевает, что плотность газа или, другими словами, концентрация молекул мала, следовательно, свободные электроны, имеющиеся в газе (по крайней мере, заметная часть из них, могут ускоряться электрическим полем при движении от катода к аноду без потери приобретаемой кинетической энергии в неупругих столкновениях с атомами, те. могут достигать максимальной энергии равной e U, где U – прикладываемая между электродами разность потенциалов. Именно эти электроны будут определять нижнюю границу напряжения, при котором в окрестности анода становится возможным возбуждение атомов в результате столкновения с ускоренными в электрическом поле электронами. Наименьшая энергия, которую ускоренный электрон должен сообщить атому для его перехода в возбужденное состояние, соответствует переходу атомарного электрона с первого энергетического уровня на второй. Ответ 3 4e hcR U λ ≥ ≅ 10,2 В. 18.22.* Фотон с энергией ф 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Масса электрона 31 e 9,11 10 m − = ⋅ кг. Решение. Подразумевается, что до столкновения атом водорода можно полагать покоящимся. Предположим, что импульс фотона пренебрежимо мал по сравнению с импульсами ядра и электрона после взаимодействия. Запишем уравнения, выражающие закон сохранения импульса и закон сохранения энергии я я e e 2 2 e e я я 1 ф 1 2 2 , i O M m m M E E E E = ⋅ − ⎧ ⎪⎪ + = + ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ υ υ υ υ где я, e m , я и e υ – массы и скорости ядра и электрона, 1 E – энергия атома водорода в основном состоянии, те. энергия электрона в атоме на первом энергетическом уровне. 2 e e ф я 2 i m m E E M ⎛ ⎞ ⇒ − + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ υ , в силу того обстоятельства, что я , вторым слагаемым в скобках можно пренебречь. ф 6 e e 2 1,01 10 E E m − = ⋅ υ мс. Оценим импульс фотона и электрона, и сравним их ф 26 ф 10 E P c − = ≈ кг ⋅ м/ с 24 e e e 10 P m − = ≈ υ кг ⋅ м/ с действительно ф , те. сделанное предположение справедливо. Оценим тепловую скорость атома водорода, например, при температуре, близкой к комнатной T = 300 К 3 ср.кв e 3 2 10 мс ⋅ << μ υ υ , где ср.кв υ – средняя квадратичная скорость атомов R = = 8,31 Дж/(моль ⋅ К 3 1 10 − μ = ⋅ кг/моль – масса одного моля атомов водорода. Таким образом, допущенное пренебрежение начальной скоростью атома водорода получает свое обоснование. 18.23. Первоначально неподвижный атом водорода испустил фотон с длиной волны λ = 121,5 нм. Какую скорость приобрел атом водорода Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с масса атома водорода 27 H 1,67 10 m − = ⋅ кг. Ответ H h m = ≅ λ υ 3,3 мс. 142 18.24. Какую скорость приобретет покоящийся атом водорода, поглощая фотон и переходя в первое возбужденное состояние Энергия ионизации атома водорода 27 H 1,67 10 m − = ⋅ кг. Скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Решение. Запишем уравнения, выражающие закон сохранения энергии и закон сохранения импульса ф ф 4 , i i E m E E E m c ⎧ − = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ υ υ 2 H H 2 4 i i E m m c E ⇒ ⋅ ⋅ Можно предположить, что скорость атома υ окажется много меньше скорости света с, поэтому слагаемым 2 H 2 m ⋅ υ следует пренебречь по сравнению со слагаемым H ⋅ с H 3 4 i E m c = ≅ υ 1,8 мс << с. 18.25.* Атом водорода поглощает фотон, вследствие чего электрон, находившийся на второй боровской орбите, вылетает из атома со скоростью 5 6 10 = ⋅ υ мс. Чему равна частота фотона Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Масса электрона 31 9,11 10 m − = ⋅ кг. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Указание. Следует считать атом водорода покоившимся до столкновения с фотоном и сделать предположение (которое затем необходимо проверить) о том, что импульс фотона пренебрежимо мал по сравнению с импульсами электрона и ядра атома после взаимодействия. Следует также учесть, что масса электрона много меньше массы ядра атома. Использовать уравнения, выражающие закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Ответ 2 15 1,07 10 2 4 i E m h h ν = + ≅ ⋅ υ Гц. 18.26.* Какой минимальной кинетической энергией должен обладать атом водорода, чтобы при неупругом лобовом столкновении с другим, покоящимся, атомом водорода один из них оказался способным испустить фотон. До соударения атомы находились в основном состоянии. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Решение. Пусть υ – скорость налетающего атома водорода. Перейдем в систему отсчета, в которой оба атома до столкновения движутся навстречу друг другу со скоростями 2 υ каждый. Условию минимальности необходимой кинетической энергии налетающего атома водорода в изначальной системе отсчета будет соответствовать условие минимальности кинетической энергии сталкивающихся атомов в новой систем отсчета (кинетическая энергия тем меньше, чем меньше скорость тела. Для излучения фотона внутренняя энергия одного из атомов должна возрасти на величину 3 4 i E , те. электрон должен перейти в атоме с первой боровской орбиты (основное состояние) на ближайшую вторую боровскую орбиту (первое возбужденное состояние. Воспользуемся законом сохранения энергии ( ) 2 2 min 3 2 2 2 где min E – искомая кинетическая энергия налетающего атома. min 3 2 i E E ⇒ = = 20,4 эВ. 18.27. Для удаления валентного электрона из атома натрия необходима энергия i E = 5,14 эВ. Если валентный электрон перевести в возбужденное состояние, то атом натрия, возвращаясь в состояние с наименьшей энергией, испускает квант, которому соответствует длина волны 7 5,89 10 − λ = ⋅ м. Определить энергию возбужденного состояния. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Ответ возб. i hc E E = − + = λ 3,03 эВ. 18.28. Протон, движущийся со скоростью 4 0 4,6 10 = ⋅ υ мс, сталкивается с неподвижным свободным атомом гелия. После удара протон отскакивает назад со скоростью 0 2 = υ υ , а атом переходит в возбужденное состояние. Вычислить длину волны света, который излучает атом гелия, возвращаясь в первоначальное состояние. Массы протона и атома гелия 27 p 1,67 10 m − = ⋅ и He m = 27 6,64 10 − = ⋅ кг. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Указание. Использовать закон сохранения импульса 0 p 0 p He 2 m m m ⋅ = и закон сохранения энергии 2 2 2 p 0 0 He p 2 2 2 Ответ 7 2 p 0 p He 8 6,00 10 3 1 3 hc m m m − λ = ≅ ⋅ − υ м. 18.29. Фотон с длиной волны λ = 800 Å выбивает электрон из атома водорода, находящегося в основном состоянии. Вдали от атома электрон влетает в однородное электрическое поле, вектор напряженности которого E = 100 В/м совпадает с вектором скорости электрона. На какое максимальное расстояние от границы поля может удалиться электрон Заряд электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Решение. Используя опыт решения ранее рассмотренных задач, например задачи 18.22, можем записать уравнение закона сохранения энергии для процесса ионизации атома водорода в виде 2 e 2 i m hc E − +Кинетическая энергия электрона, приобретенная им в процессе ионизации атома, будет затрачена на совершение работы против силы Кулона в электрическом полем. Фотон, которому соответствует длина волны λ = 900 Å, выбивает электрон со второй боровской орбиты атома водорода. Находясь вдали от атома электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 5 Тл так, что магнитное поле перпендикулярно скорости электрона. Определить радиус орбиты, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле. Заряди масса электрона Кл и 31 9,11 10 m − = ⋅ кг. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Ответ ( ) 3 2 4 2,2 10 e i m hc E R B − λ − = ≅ ⋅ м. 18.31. Атом водорода испустил фотон при переходе электрона со второй боровской орбиты на первую. Испущенный фотон попал на фотокатод и выбил из него фотоэлектрон. Определить максимальную скорость фотоэлектрона, если работа выхода электрона из материала фотокатода A = 8,2 эВ. Энергия ионизации атома водорода эВ. Масса электрона 31 9,11 10 m − = ⋅ кг. Ответ ( ) 5 max 2 3 8,4 10 4 i E A m = − ≅ ⋅ υ мс. 18.32.* Атомарный водород облучают параллельным пучком монохроматического света от источника P = 1 Вт. Через единичную поверхность сечения пучка ежесекундно проходит 23 2 1 3,8 10 м c N − − = ⋅ ⋅ фотонов. Площадь поперечного сечения пучкам На излучение расходуется η=80 % мощности источника. Считается, что атомы водорода находятся в основном состоянии, определить максимально возможный номер боровской орбиты, на которую будут переходить электроны в атомах. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Ответ max max 5,5 i i NSE n n NSN P ≤ ≅ ⇒ = − η 5. 18.33. При переходе электронов с некоторой более удаленной орбиты на вторую боровскую орбиту, атомы водорода испускают монохроматический пучок света. При падении этого пучка по нормали на дифракционную решетку максимум второго порядка 146 (k = 2) наблюдается под углом дифракции 30 . ϕ = ° Постоянная дифракционной решетки d = 2,6 мкм. Определить номер орбиты n, на которой первоначально находились электроны в атомах водорода. Энергия ионизации атома водорода i E = 13,6 эВ. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость света 8 3 10 c = ⋅ мс. Ответ 1 1 4 sin i n khc E d = = − ϕ 6. § 19. Физика атомного ядра. Строение ядра атома. Дефект массы и энергия связи нуклонов в ядре. Законы радиоактивного распада. Ядерные реакции Ядро атома состоит из частиц двух типов – положительно заряженных протонов (заряд протона по величине равен заряду электрона, масса протона 27 p 1,6726 10 m − = ⋅ кг) и электрически нейтральных нейтронов (масса нейтрона 27 e 1,6750 10 m − = ⋅ кг. Протоны и нейтроны объединяют общим названием – нуклоны. Различные типы ядер называют нуклидами. Число протонов в ядре называется зарядовым числом Z – это одновременно порядковый номер соответствующего химического элемента в периодической таблице Менделеева. Поэтому его также называют атомным номером ядра. Общее число нуклонов в ядре называют массовым числом A. Чтобы охарактеризовать данный нуклид достаточно указать значения зарядового Z и массового A чисел. Для обозначения ядер обычно применяется символьная запись X A Z , где под X подразумевается химический элемент. Ядра, содержащие одинаковое число протонов, но разное число нейтронов, называют изотопами. Например, изотопами являются обычный водород 1 1 H (протий) тяжелый водород 2 1 H (дейтерий) и сверхтяжелый водород 3 1 H (тритий. Силы, удерживающие нуклоны в ядре, называются ядерными силами, которые представляют собой проявление самого интенсивного из известных в физике взаимодействий – так называемого сильного взаимодействия. Ядерные силы, действующие между двумя протонами в ядре, примерно на два порядка величины больше кулоновских сил. Действие ядерных сил быстро спадает с расстоянием на расстояниях, больших 13 2 10 − ⋅ м, их действие не проявляется. Вплоть до расстояний порядкам они проявляются как силы притяжения, на меньших расстояниях как силы отталкивания. Радиус ядра возрастает в зависимости от массового числа согласно формуле 15 1 3 1,3 10 r A − ≈ ⋅ ⋅ м. (19.1) Массы ядер, как и массы атомов и молекул, принято измерять в атомных единицах массы (а.е.м): 1 а.е.м. 27 1,6605655 10 − = ⋅ кг. Часто массы ядер и элементарных частиц выражают в единицах энергии электрон-вольт, те. фактически указывается энергия покоя 2 0 0 E m c = Массе в 1 а.е.м. соответствует энергия покоя в 931,5 МэВ. 30 e 0,9109534 10 кг 0,00054858 а.е.м. 0,51100 МэВ а.е.м. 938,57 МэВ а.е.м. 939,57 МэВ. m = = Масса стабильного ядра я всегда меньше суммы масс входящих в него нуклонов. Следовательно, энергия покоящегося ядра меньше суммарной энергии невзаимодействующих покоящихся нуклонов на величину св я Z m m c ⎡ ⎤ = + − − ⋅ ⎣ ⎦ (19.2) которую называют энергией связи нуклонов в ядре. Она равна той минимальной работе, которую необходимо совершить над ядром или той минимальной энергии, которую необходимо сообщить ядру, чтобы разделить нуклоны, образующие ядро, и удалить их друг от друга на расстояния, при которых они не взаимодействуют. Силы, удерживающие нуклоны в ядре – это силы притяжения. Силам притяжения соответствует отрицательная потенциальная энергия. Например, в боровской модели атома водорода, благодаря отрицательной потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром, внутренняя энергия атома оказывается отрицательной, и для того, чтобы разделить атом на невзаимодействующие электрон и ядро, необходимо совершить работу (или другими словами затратить энергию. Энергия связи электрона с ядром атома водорода в основном состоянии равна 13,6 эВ. По сравнению с полной энергией атома, которая примерно равна 938 МэВ (фактически это энергия покоя атома) – это очень маленькая величина. Для других атомов энергия связи ядер примерно враз больше энергий связи электронов с ядром. Таким образом, взаимодействие электронов с ядром не дает заметного вклада в полную (в релятивистском смысле) энергию, а значит и не влияет заметным образом на массу покоящегося атома. Следует помнить, что понятие силы в классическом представлении неприменимо к описанию явлений, происходящих внутри таких объектов как атом и ядро атома, а служит только для обозначения соответствующего взаимодействия. Величина ( ) p я Z m m ⎡ ⎤ Δ = + − − ⎣ ⎦ (19.3) называется дефектом массы ядра. Очевидно, что св E c Δ Если в выражение для энергии связи добавить и вычесть в правой части в скобках величину e Zm (суммарную массу электронов в нейтральном атоме) и пренебречь энергией связи электронов с ядром, то можно получить следующее выражение ( ) { } 1 сват) где 1 1 H m – масса атома водорода. Данная формула более удобна для практического применения, потому, что в таблицах обычно даются не массы ядер я, а массы атомов ат. m Энергия связи, приходящаяся на один нуклон св.уд. св. E A ε = , (19.5) называется удельной энергией связи нуклонов в ядре. Ядерной реакцией называется процесс взаимодействия атомного ядра с какой-либо частицей или с другим ядром, в результате которого происходит изменение состава и структуры ядра (или ядер. При любых ядерных реакциях выполняются законы сохранения электрического заряда (зарядового числа суммарного числа нуклонов (массового числа энергии импульса. Если сумма масс образующихся ядер превосходит сумму масс исходных ядер (частиц, то реакция идет с поглощением энергии эндотермическая реакция. Если же сумма масс образующихся ядер меньше суммы масс исходных ядер (частиц, то реакция идет с выделением энергии (экзотермическая реакция. Энергия реакции выделяется в виде кинетической энергии образующихся частиц и энергии квантов. Самопроизвольное превращение атомных ядер одного элемента в ядра другого получило название радиоактивности или радиоактивного распада (превращение одного элемента в другой часто называют трансмутацией. Различают три вида самопроизвольного спонтанного) превращения ядер. 1) Альфа-распад. Ядро, образующееся в результате испускания ядром частицы (ядра атома гелия 4 2 He ), должно отличаться от исходного, так как последнее теряет два протона и два нейтрона. Схема альфа-распада: 4 4 2 2 He A A Z Z X Y − − → + . (19.5) Примером альфа-распада может служить распад изотопа урана, протекающий с образованием тория 238 234 4 92 90 2 U Th He → + 2) Бета-распад. Существует три схемы бета-распада. Электронный или распад протекает по схеме 0 1 1 e A A Z Z X Y + − → + + ν , (19.6) где символом 0 1 e − обозначен электрон (испущенный материнским, те. исходным ядром, так как его заряд соответствует 1 Z = − а масса очень мала и ядро не теряет нуклонов символом ν обозначено антинейтрино – частица, имеющая нулевой заряди ничтожную массу покоя. Примером распада может служит превращение тория в протактиний 234 234 0 90 91 1 Th Pa e − → + + ν . Позитронный или распад протекает по схеме 0 1 1 e A A Z Z X Y − + → + + ν , (19.7) так как если бы один из протонов исходного ядра превратился в нейтрон, испустив позитрон и нейтрино. В качестве примера распада можно привести превращение азота в углерод 13 13 0 7 6 1 N C e + → + + ν . Электронный захват. Состоит в том, что ядро поглощает один из электронов своего атома, в результате чего один из протонов превращается в нейтрон, испуская при этом нейтрино 0 1 1 e A A Z Z X Y − − + → + ν . (19.8) При электронном захвате место захваченного электрона заполняется электроном с более высокого энергетического уровняв результате чего возникают рентгеновские лучи. Примером такого распада может служить превращение калия в аргон 40 0 40 19 1 18 K e Ar − + → + ν . 3) Гамма-распад. Представляет собой испускание ядром фотонов очень высоких энергий. Гамма-распад во многом напоминает испускание фотонов возбужденным атомом. Так как излучение не несет электрического заряда, то при распаде не происходит превращения одного химического элемента в другой. Проведенные с радиоактивными веществами опыты показали, что никакие внешние условия не влияют на характер и скорость распада. Стечением времени число радиоактивных ядер уменьшается по закону радиоактивного распада 0 2 , t T N N − = ⋅ (19.9) где 0 N – число исходных ядер в момент времени 0 t = ; T – период полураспада, те. время, за которое распадается половина из наличного числа радиоактивных ядер. Иногда закон радиоактивного распада записывается в несколько иной форме 0 e , t N N −λ = ⋅ (19.10) где величина ln 2 T λ = называется постоянной распада. Количество ядер, распавшихся за время t, равно ( ) ( ) 0 0 0 1 2 1 e t T t N N N N − −λ − = ⋅ − = ⋅ − . (19.11) Скорость распада, или число распадов в единицу времени, называется активностью радиоактивного вещества 0 0 ln 2 ln 2 e 2 t t T dN N N N N dt T T −λ − = λ = λ = = ⋅ (19.12) Приведем несколько примеров ядерных реакций, в которых происходят вынужденные превращения ядер (в отличие от спонтанных, происходящих при радиоактивном распаде, сопровождающиеся испусканием проникающего (оно же ионизирующее) излучения, подобно тому, как это происходит в реакциях распада. Отличие состоит в том, что в данном случае ядерные реакции инициируются столкновением ядра с какой-либо частицей. 14 1 14 1 7 0 6 1 N n C P + → + ; 1 235 144 89 1 0 92 56 36 0 n U Ba Kr 3 n + → + + ⋅ ; 3 2 4 1 1 1 2 0 H H He n + → + § 20. Строение ядра атома. Радиоактивный распад. Ядерные реакции ЗАДАЧИ. Сколько нуклонов, протонов, нейтронов и электронов содержат нейтральные атомы 24 12 Mg , 25 12 Mg , 26 12 Mg , что объединяет эту группу атомов Решение. Ответы на поставленные вопросы можно получить путем расшифровки численных значений параметров A и Z – массового и зарядового числа – символьного обозначения атомного ядра В первом случае число A = 24 показывает, что число нуклонов, те. протонов и нейтронов вместе, равно 24. Число протонов в ядре атома равно Z = 12, следовательно, число нейтронов равно A Z − = 12. Число электронов в нейтральном атоме совпадает с числом протонов, содержащихся в его ядре, и равно также. Аналогично, во втором случае нуклонов – 25, протонов – 12, нейтронов – 13, электронов – 12. В третьем случае нуклонов – 26, протонов – 12, нейтронов – 14, электронов – 12. Все три ядра являются изотопами – содержат одинаковое число протонов. 20.2. Определить число нуклонов, протонов, нейтронов и электронов, содержащихся в следующих нейтральных атомах а) 40 18 Ar , б) 40 20 Ca , в) 13 6 C , г) 14 7 N . В какие группы можно объединить ядра этих атомов Ответа б) 40, 20, 20, 20; в) 13, 6, 7, 6; га) и б) – изобары (одинаковое число нуклонов в) и г) – |