Долгов ан. Оптика основы теории относительности атомная физика физика атомного ядра москва 2009 2
 Скачать 1.63 Mb.
|
|
l – пройденный путь, что приведет к уменьшению его частоты на величину 2 / . gl c Δν = ν (10.4) По известной массе и скорости фотона можно найти его импульс) Направлен импульс фотона по световому лучу. Из наличия у фотона импульса вытекает, что свет, падающий на поверхность какого- либо тела, должен оказывать на эту поверхность давление и действовать на тело с силой, равной импульсу, сообщаемому фотонами телу в единицу времени, в полном соответствии со вторым законом Ньютона в импульсной форме. Фотоэлектрический эффект или фотоэффект (внешний) – испускание электронов веществом под действием света. Прибор для наблюдения фотоэффекта схематически изображен на рис. 10.1. Металлические электроды – анод и катод – помещены в откачанный до глубокого вакуума корпус и вместе с ним образуют фотоэлемент или вакуумный фотодиод. Электроды соединены через реостат с источником э.д.с., что позволяет регулировать напряжение на электродах. Для измерения тока вцепи и напряжения на электродах в электрическую схему включены амперметр и вольтметр. Свет, проходя через стеклянный корпус прибора (или специальное стеклянное окно в корпусе прибора, падает на катод. В результате вцепи возникает ток, получивший название фототока (катод часто называют фотокатодом. Возникновение фототока объясняется тем, что под воздействием света с поверхности катода вылетают электроны (фотоэлектроны, которые под действием электрического поля (ускоряющего) движутся к аноду. Опытным путем установлено, что фототок не подчиняется закону Ома. На рис. 10.2 изображен характерный вид графика зависимости фототока от напряжения между электродами при неизменной освещенности. Эту зависимость называют вольтамперной характеристикой фотоэлемента (вакуумного фотодиода. Отрицательные значения прикладываемого напряжения соответствуют ситуации, когда электрическое полене ускоряет, а тормозит фотоэлектроны, те. освещаемый электрод по существу является анодом. Пологий ход кривой указывает на то, что фотоэлектроны вылетают с поверхности катода с различными по величине скоростями. Часть электронов, соответствующих силе тока при U = 0, обладает скоростями, достаточными для того, чтобы долететь до анода без помощи ускоряющего электрического поля между электродами. Для того, чтобы такие электроны не долетели до анода, те. для обращения силы тока в нуль, нужно поменять полярность источника э.д.с. В этом случае между электродами возникнет тормозящее Рис. Рис. 10.1 электрическое поле. Напряжение 3 U , при котором 0 I = , называют задерживающим или запирающим. Фотоэлектроны, обладающие при вылете из катода наибольшим значением скорости max υ оказываются не в состоянии преодолеть расстояние до анода, если кинетическая энергия, которой они изначально обладают, будет без остатка затрачена на работу против сил поля 2 max 3 e 2 m U = − υ , (10.6) здесь e – величина (модуль) заряда электрона, в правой части равенства стоит знак «–», так как 3 0. U < При некотором напряжении между электродами фототок достигает своего максимального значения н , называемого током насыщения, при котором все испущенные катодом электроны попадают на анод. Следовательно сила тока насыщения н определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света. Экспериментально установлены следующие законы фотоэффекта. Количество электронов, выбиваемых светом с поверхности металла в единицу времени, прямо пропорционально интенсивности света (те. н пропорционален интенсивности света при неизменном спектре излучения. 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с частотой света и не зависит от его интенсивности (те. 3 U линейно возрастает с частотой света. 3. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е.минимальная частота света кр (или максимальная длина волны кр ), при которой еще возможен фотоэффект (при кр < ν или кр > λ фотоэффект невозможен. Лишь первый из этих законов может быть объяснен на основе волновой теории света, а два других противоречат ей и могут быть поняты лишь в рамках квантовых представлений. Исходя из квантовых представлений, Эйнштейн предположил, что при фотоэффекте электроны поглощают энергию света квантами h ν Поглощая фотон и приобретая всю его энергию, электрон совершает работу выхода A (против сил, удерживающих его внутри вещества) и покидает металл. Если электрон находится не у самой поверхности, то часть энергии может быть потеряна вследствие столкновений в веществе. Остаток энергии образует кинетическую энергию электрона, покинувшего вещество. Применяя закон сохранения энергии, Эйнштейн получил уравнение для фотоэффекта 2 max 2 m h A ν = + υ . (10.7) Теория Эйнштейна так объясняет законы фотоэффекта 1. Интенсивность света пропорциональна количеству излучаемых в единицу времени фотонов, и чем больше поток фотонов падает на поверхность металла, тем больше рождается фотоэлектронов (следует отметить, что далеко не все падающие фотоны отдают свою энергию фотоэлектронам, основная доля световой энергии затрачивается на нагрев вещества, поглощающего свет. 2. Зависимость кинетической энергии электронов от частоты падающего света следует из уравнения Эйнштейна 2 max 2 m h A = ν − υ . (10.8) 3. Их этого же уравнения следует и существование красной границы фотоэффекта max кр. кр. кр. 0 , A c hc h A = ⇒ ν = λ = = ν υ . (10.9) Эффектом, обратным по отношению к фотоэффекту, является испускание излучения в рентгеновской трубке при торможении ускоренных электрическим полем электронов в веществе анода антикатода. При этом максимальная энергия испускаемого фотона равна кинетической энергии электрона max e где e – заряд электрона, U – напряжение на трубке. В оптике, атомной и ядерной физике энергию (энергию фотона, энергию фотоэлектрона, работу выхода и т.д.) принято выражать в электрон-вольтах (сокращенно эВ. 1 эВ равен энергии, приобретаемой электроном при прохождении разности потенциалов в 1 В. 19 1 эВ 1,602 Дж. 89 § 11. Фотоны ЗАДАЧИ. Найти массу фотона, энергию фотона и импульс фотона для а) красных лучей с длиной волны 1 λ = 7200 Å; б) рентгеновских лучей с длиной волны 2 λ = 25 Å; в) гамма-лучей с длиной волны 3 3 1, 24 10 − λ = ⋅ Å. Постоянная Планка 34 6,626 Дж ⋅ с. Решение. Начнем с вычисления энергии фотона 19 ф 2,8 10 Дж 1,7 эВ 10 Дж 0,50 кэВ 10 Дж 10 МэВ. hc E − − − ⎧ ⋅ = ⎪⎪ = = ⋅ = ⎨ λ ⎪ ⋅ = ⎪⎩ Далее вычислим импульс фотона и его массу 27 ф 25 ф 19 0,93 10 кг мс 10 кг мс 10 кг мс, 36 ф 33 ф 2 27 3,1 10 кг 10 кг 10 кг ⋅ ⎪⎪ = = ⋅ ⎨ ⎪ ⋅ ⎪⎩ , где 8 3 10 c = мс – скорость света в вакууме. Энергия фотона ф 4,14 эВ. Найти длину волны, которая ему соответствует. Ответ 7 3,0 10 − λ м = 0,3 мкм. 11.3. Определить импульс фотона с энергией ф Дж. Ответ ф 10 P − = кг ⋅ мс. 11.4. Масса фотона ф кг. Какова соответствующая ему длина волны Ответ 7 1,3 10 − λ м. 11.5. Во сколько раз энергия фотона рентгеновского излучения с длиной волны 1 λ = 1 Å больше энергии фотона видимого света с длиной волны 2 λ = 0,4 мкм Ответ 3 ф1 ф2 4 10 . E E = ⋅ 11.6. Во сколько раз отличаются энергии фотонов, которые соответствуют частоты 15 1 5 10 ν = Гц и 16 2 1,5 10 ν Гц Ответ ф2 ф1 3. E E = 11.7. Импульсы фотонов 22 1 4 10 P − = ⋅ кг ⋅ м/с и 21 2 1 10 P − = ⋅ кг ⋅ м/с. Во сколько раз отличаются соответствующие им длины волн Ответ 1 2 2,5. λ λ = 11.8. Найти импульс фотона, энергия которого равна энергии покоя электрона. Масса электрона 31 e 9,11 кг. Ответ ф 10 P − = ⋅ кг ⋅ м/с. 11.9. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы его энергия была равна энергии фотона, которому соответствует длина волны λ = 1,24 пм. Заряд электрона 19 e 1,602 Кл. Решение 6 e 1,0 10 e hc hc U ⋅ В. 11.10. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона, которому соответствует длина волны λ = 600 нм Указание. Как покажет результат расчета, электрон – нерелятивистский, те. его скорость много меньше скорости света в вакууме. Поэтому можно импульс электрона записать, используя формулу из классической физики. Ответ 3 1, 2 мс. 11.11. Найти массу фотона, импульс которого равен импульсу молекулы водорода при температуре 20 C. t = ° Скорость молекулы равна среднеквадратичной скорости. Молярная масса водорода 3 2 10 M − = ⋅ кг/моль. Число Авогадро 23 1 A 6,022 10 моль универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/моль ⋅ К. Решение 2 ср.кв. A 2 ф ф ф ф ф ср.кв. A 3 2 2 M kT N m E c P E c M P N ⎧⎛ ⎞ ⋅ = ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ υ υ , где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа, A M N – масса молекулы. Универсальная газовая постоянная и постоянная Больцмана связаны соотношением A k R ф 2,1 10 RMT m N с − ⇒ = ≅ ⋅ ⋅ кг. 11.12. Какова длина волны фотона, энергия которого равна средней кинетической энергии молекулы идеального одноатомного газа при температуре T = 300 К Постоянная Больцмана 23 1,38 10 k − = ⋅ Дж/К. Ответ 5 2 3,2 10 3 hc kT − λ м. 11.13. Найти абсолютный показатель преломления среды, в которой свет с энергией фотона ф Дж имеет длину волны см. Ответ ф. 11.14. Фотон с энергией ф 6 кэВ сталкивается с покоящимся электроном. Найти кинетическую энергию, приобретенную электроном, если в результате столкновения длина волны фотона изменилась на y = 20 %. Считать, что скорость электрона много меньше скорости света в вакууме. Указание. Выполняется закон сохранения энергии. Ответ ф кэВ. 11.15.* Фотон с длиной волны 10 5 10 − λ = м сталкивается спер- воначально покоившимся электроном и рассеивается под прямым углом к первоначальному направлению своего движения. Какую скорость приобрел электрон в результате столкновения Скорость электрона много меньше скорости света в вакууме. Масса электрона 31 9,11 кг. Постоянная планка 34 6,626 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Решение. Введем систему координат. Ось OX направим вдоль направления первоначального движения фотона, а ось OY – вдоль направления его движения после рассеяния. Обозначим угол между осью OX и вектором скорости электрона как α. Используя законы сохранения импульса и энергии запишем следующую систему уравнений ф ф ф 2 ф ф cos : sin 2 h P OX P m OY O P m m P c P c ⎧ = ⎪ λ ⎪ = ν α ⎪ ⎨ ′ = − ν α ⎪ ⎪ ν ⎪ ′ ⋅ = ⋅ + ⎩ , где фиф импульс фотона дои после рассеяния. Из второго и третьего уравнений системы получаем новое уравнение ф ф ф выразим из последнего уравнения системы и подставим во вновь полученное 2 2 2 2 2 2 ф ф ф 2 4 m m P P P m c c ν ν + − + = ν Так как согласно условию 1 c ν << , то слагаемым 2 2 2 2 2 2 2 4 m m c c ν ν ν ⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ пренебрежем по сравнению с 2 2 m ν ( ) ф 2 ф 2 cP m P mc ⇒ ν = +Окончательно для скорости электрона получим 7 2 2,6 10 h c h m mc ν = мс. 11.6. Фотон, которому соответствует длина волны 10 5 10 − λ = м, претерпевает столкновение с покоящимся электроном и рассеивается назад. Какую скорость приобретает электрон Масса электрона кг. Постоянная Планка 34 6,626 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость электрона много меньше скорости света в вакууме. Ответ 6 2 3 10 h m ν ≅ = мс. 11.7. Сколько фотонов с длиной волны λ = 4500 Å содержит импульс монохроматического излучения с энергией 18 6,62 Дж Постоянная Планка 34 6,626 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Ответ ф. 11.8. Источник монохроматического света мощностью P = 40 Вт испускает 20 1,2 10 n = ⋅ фотонов в секунду. Определить длину волны излучения. Ответ 7 5,9 10 nhc P − λ м. 11.9. Радиопередатчик мощностью P = 1 МВт излучает на частоте МГц. Какова энергия в электрон-вольтах каждого излучаемого кванта Сколько квантов излучается за каждый период колебаний электромагнитного поля Ответ ф 10 E − ≅ эВ 28 2 1,5 квантов. 11.20. Под каким напряжением работает рентгеновская трубка, если самые жесткие лучи в рентгеновском спектре этой трубки имеют частоту 8 10 ν Гц Заряд электрона 19 e 1,6 Кл. Решение. Максимальная энергия фотонов в излучении рентгеновской трубки определяется энергией ускоренных в электрическом поле электронов e , U h = ν где e – заряд электрона, U – напряжение на трубке. 3 4,1 В. 11.21. Рентгеновская трубка излучает ежесекундно 13 2 10 N = фотонов с длиной волны, соответствует средней энергии фотонов, 10 10 − λ м. Определить КПД трубки, если при напряжении U = 50 кВ сила тока 3 А. Ответ 4 8 10 . N h c y U I − = = ⋅ λ 11.22. Капля воды массой m = 0,2 г нагревается светом с длиной волны λ = 5500 Å. Какое количество фотонов поглощает вода ежесекундно если быстрота нагрева капли / T t Δ Δ = 5 К/с? Удельная теплоемкость воды в 10 c = ⋅ Дж/кг ⋅ К, постоянная Планка 34 6,626 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с, скорость света в вакууме св 10 = мс. Ответ 19 в св 10 c . c m T N h t − ⋅ ⋅ λ Δ = ⋅ ≅ ⋅ Δ υ 11.23. Воду, объем которой V = 0,2 мл, нагревают светом с длиной волны λ = 0,75 мкм. Ежесекундно вода поглощает 10 фотонов. Определить скорость нагрева воды, считая, что вся полученная энергия идет на ее нагрев. Плотность воды ρ = 1,0 г/см 3 Ответ: 9 св. в 3,1 10 hN T t c V − υ Δ = ≅ ⋅ Δ ⋅ρ⋅ ⋅λ к/с. 95 11.24. Рубиновый лазер дает импульс монохроматического излучения с длиной волны 6943 λ = Å. Определить концентрацию фотонов в пучке, если мощность излучения лазера P = 2 МВт, а площадь сечения лучам Постоянная Планка Дж ⋅ с. Решение. Рассмотрим количество фотонов, которое за интервал времени Δt пересекают сечение (поперечное) пучка. За время Δt до указанного сечения успеют долететь фотоны, которые вначале этого интервала находились на расстоянии не более c ⋅ Δt, где c – скорость света, отсечения. Теза время Δt указанное сечение пучка пересекут фотоны, которые заключены в начальный момент в пределах цилиндра площадью основания S и высотой c ⋅ Δt (см. рис. 11.1). Таким образом, количество фотонов, которые за интервал времени пересекут выделенное сечение пучка составляет N Sc t n Δ = Δ ⋅ , где n – концентрация фотонов в рассмотренном цилиндре, те. в пучке. За время t Δ фотоны перенесут через сечение пучка количество энергии 2 hc hc Sn E N t Δ = Δ Если за время Δt мощность излучения лазера не изменяется, то отношение / E t Δ Δ равно мощности излучениям. Сколько гамма-квантов падает ежесекундно на поверхность, которую облучают гамма-лучами мощностью Вт и длиной волны 14 10 − λ м Ответ 7 1 5 10 c Рис. 11.1 96 11.26. Мощность точечного источника монохроматического излучения с длиной волны λ = 1 мкм составляет P = 100 Вт. Определить число фотонов, падающих за t = 1 сна поверхность площадью 2 1 см , S = расположенную перпендикулярно лучам на расстоянии R = 10 м. Источник излучает равномерно по всем направлениям изотропный источник. Указание. Предполагается, что среда, окружающая источник, излучения не поглощает. Следовательно, количество фотонов, испущенных источником за какой-либо промежуток времени, равно количеству фотонов, пересекающих поверхность сферы радиусом R, центр которой совпадает с источником, за тот же промежуток времени. В силу изотропности источника, количество фотонов, падающих на поверхность малой по сравнению с поверхностью сферы площади, пропорционально площади выделенной поверхности. Ответ 13 2 4 10 . 4 PSt N R hc λ Δ = ⋅ π 11.27.* Луч лазера с длиной волны λ = 630 нм имеет вид конуса с углом при вершине 4 10 − α рад. Оптическая мощность излучения P = 3 мВт. На каком максимальном расстоянии наблюдатель сможет увидеть луч лазера, если глаз воспринимает свет при условии, что на сетчатку падает n = 100 фотонов в секунду Диаметр зрачка d = 0,5 см. Указание. Диаметр поперечного сечения луча лазера на расстоянии можно рассчитать в силу малости угла α следующим образом. Ответ 2 6 max 2 5 м. 11.28.* Лазер испускает излучение с длиной волны λ = 1,06 мкм вертикально вверх. Каково будет изменение длины волны излучения на высоте l = 100 км над поверхностью Земли. Ускорение свободного падениям Скорость света 8 3 10 c = мс. Воздействием атмосферы пренебречь. Ответ 11 2 10 gl c − Δλ = λ мкм. 97 § 12. Давление света ЗАДАЧИ. Фотон частоты ν падает под углом α на зеркальную поверхность. Какой импульс P получает поверхность при отражении от нее фотона Решение. Предполагается, что зеркало является достаточно массивным телом и его скорость после взаимодействия с фотоном можно полагать очень малой. В условии задачи нет никаких указаний на присутствие внешних воздействий на фотон и зеркало, следовательно, система является замкнутой сточки зрения рассмотрения импульса системы, те. ее импульс сохраняется. Сточки зрения энергии – внешние воздействия отсутствуют, зеркальная поверхность не изменяет энергии фотона за счет поглощения и как физическое тело, можно сказать, не приобретает в результате взаимодействия с фотоном кинетической энергии, те. энергия фотона остается неизменной. Таким образом, перед нами оказывается задача, совершенно аналогичная задаче механики об абсолютно упругом столкновении тела с массивной поверхностью. При этом, если вспомнить, угол падения тела на поверхность равен углу отражения, те. точно также как и при отражении света Запишем уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекциях на ось OX, ортогональную зеркальной поверхности см. рис. 12.1). С учетом сохранения энергии фотона ф ν будет сохраняться по величине и модуль его импульса ф h P c ν = С учетом вышеуказанного+ Рис. 12.1 98 2 cos h P c ν α ⇒ = , где c – скорость света в вакууме. Вернемся теперь к вопросу о том, почему мы учли приращение импульса зеркальной поверхности, ноне стали учитывать приращение ее кинетической энергии. Основанием могут служить следующие рассуждения. Приобретаемый зеркальной поверхностью импульс пропорционален скорости поверхности, и приобретаемая кинетическая энергия – квадрату скорости. Поэтому при стремлении скорости зеркальной поверхности к нулю неучет ее кинетической энергии в законе сохранения энергии приводит к много меньшей относительной погрешности в расчетах, чем неучет ее импульса в законе сохранения импульса. В тоже время, становится осуществим сам расчет в условиях данной задачи. 12.2. Фотон с энергией ф 6 эВ падает нормально на зеркальную поверхность и отражается. Какой импульс получила зеркальная поверхность Ответ кг мс. Перпендикулярно поверхности площадью 2 100 см S = ежеминутно падает W = 63 Дж световой энергии. Найти величину светового давления, если поверхность полностью все лучи а) отражает б) поглощает. Решение. Импульс, получаемый поверхностью в единицу времени, составляет а) 2 P W t c t Δ = Δ ⋅ ; б) P W t c t Δ В случае б) при полном поглощении излучения поверхностью она, согласно закону сохранения импульса, приобретает импульс падающего на нее излучения. В соответствии со вторым законом Ньютона в импульсной форме, скорость приобретения телом импульса равна силе, действующей на тело давл. P F P S t Δ = = ⋅ Δ 99 8 давл. 2 а) 6,8 10 W P cSt − ⇒ = ≅ ⋅ Па 8 давл. б) 3, 4 10 W P cSt − = ≅ ⋅ Па где t = 60 с. 12.4. Параллельный пучок квантов с частотой ν падает на поглощающую поверхность под углом Θ. Определить давление света на эту поверхность, если через единицу площади поперечного сечения пучка за секунду приходит n квантов. Указание. Количество фотонов, которые за время t Δ упадут под углом Θ на элемент поверхности площадью S, равно количеству фотонов, заключенных в пределах наклонного цилиндра с основанием площадью S и высотой cos c t ⋅ Δ ⋅ Θ , где с – скорость света в вакууме, который изображен на рис. 12.2: конц c t n Δ = ⋅ ⋅ Δ ⋅ Θ ⋅ , где конц – концентрация фотонов в пучке. При этом, количество фотонов, падающих в единицу времени на единицу площади поверхности, которая подвергается облучению, составит конц cos N n c n n t S Δ ′ = = ⋅ ⋅ Θ = ⋅ Θ Δ Тогда импульс, передаваемый единице площади облучаемой поверхности в единицу времени окажется cos P h h n n t S c c Δ ν ν Θ ′ = ⋅ = Δ Необходимо также учесть, что вектор импульса, передаваемого поверхности излучением, направлен под углом Θ к нормали. Рис. 12.2 Ответ 2 давл. cos h n P c ν = ⋅ Θ . 12.5. Параллельный пучок света с длиной волны λ = 6600 Å падает нормально на плоское зеркало. Интенсивность падающего излучения б Вт/м 2 . Коэффициент отражения k = 0,9. Определить давление, оказываемое излучением на поверхность зеркала. Неотраженное зеркалом излучение поглощается им. Ответ ( ) 9 давл. 1 4 10 J P k c − = + = ⋅ Па. Указание. Необходимо учесть вклад как отражаемой зеркалом части пучка, таки той его части, что зеркалом поглощается. 12.6. Луч лазера мощностью N = 50 Вт падает перпендикулярно поверхности пластинки, которая отражает k = 50 % и пропускает α = 30 % падающей энергии. Остальную часть энергии она поглощает. Определить силу светового давления на пластину. Ответ ( ) 7 давл. 1 2 10 N F k c − = + − α = ⋅ Н. 12.7. Найти давление света на стенки электрической лампы мощностью N = 100 Вт. Колба лампы – сферический сосуд радиусом см. Стенки лампы отражают k = 10 % падающего на них света. Многократным отражением и поглощением можно пренебречь. Считать, что вся потребляемая лампой мощность идет на излучением. Ответ 6 давл. 2 2 10 2 kN P R c − = ⋅ π Па. 12.8. Существует проект запуска космических аппаратов с помощью наземного лазера. Запускаемый аппарат снабжается зеркалом, полностью отражающим излучение лазера. Какова должна быть мощность лазера, обеспечивающего запуск по этой схеме аппарата массой m = 100 кг. Ответ 11 1,5 10 mgc N z > ⋅ Вт. 12.9.* Короткий импульс света с энергией E = 10 Дж в виде узкого параллельного монохроматического пучка фотонов падает на пластинку под углом 60 . Θ = ° При этом k = 50 % фотонов зеркально отражается, а остальные поглощаются. Найти импульс, переданный пластине. Указание. Импульс, переданный пластине, будет состоять из двух слагаемых. Импульс 1 P G , направленный нормально к поверхности пластины, своим появлением обязан той части пучка фотонов, которая, претерпевает отражение. Импульс см. рис. 12.3) равен импульсу той части пучка, которая претерпевает поглощение, и направлен под углом Θ к нормали, те. также, как и падающий пучок. Величина этих векторов 1 2 cos E P k c = Θ G , ( ) 2 1 E P k c = Ответ 2 кг мс. Небольшое тело массой m = 10 мг, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 10 см, поглощает короткий световой импульс с энергией E = 30 Дж, распространяющийся в горизонтальном направлении. Найти угол отклонения нити от вертикали. Ускорение свободного падения можно принять равным g = 10 м/с 2 Указание. Использовать закон сохранения импульса для описания процесса поглощения светового импульса телом. Дальнейшее движение тела подчиняется закону сохранения энергии. Ответ max 2arcsin 34 2 E mc gl ⎛ ⎞ α = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ угол. мин. 12.11. Небольшое абсолютно отражающее плоское зеркальце массой m = 10 мг подвешено в вертикальном положении на невесомой нити. Зеркальце освещают горизонтальным лучом лазера, который падает на поверхность зеркальца по нормали. Световая мощность лазера N = 300 Вт. Определить угол отклонения нити от вертикали. Угол заведомо мал g = 10 м/с 2 Ответ: arctg N mgc ⎛ ⎞ α = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 34 угл. мин. Рис. 12.3 102 § 13. Фотоэффект ЗАДАЧИ. Красная граница фотоэффекта для натрия кр = 547 нм. Найти работу выхода электрона из натрия, выразить ее в джоулях и электрон-вольтах. Постоянная Планка 34 6,626 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Решение. Красная граница фотоэффекта – максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект. Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта 2 max 2 m hc A = + λ υ , максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект, отвечает нулевой кинетической энергии фотоэлектронов, те. работу выхода можно выразить следующим образом кр 10 hc A − = ≅ ⋅ λ Дж = 2,3 эВ. 13.2. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если работа выхода электрона из металла 19 3,3 10 A − = ⋅ Дж, а свет имеет длину волны λ = 0,52 мкм Ответ фотоэффект будет наблюдаться. 13.3. Какова наименьшая частота света, при которой еще наблюдается фотоэффект (красная граница фотоэффекта, если работа выхода электрона из металла A = 2,06 эВ. Ответ кр 10 ν ⋅ Гц. 13.4. Для некоторого металла красная граница фотоэффекта кр 10 ν ⋅ Гц. Определить максимальную кинетическую энергию, которую приобретут фотоэлектроны под действием излучения с длиной волны λ = 190 нм. Решение. В соответствии с условием задачи уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта можно записать следующим образом кр ν + λ , 103 19 max кр 10 hc E h − ⇒ = − ν ≅ ⋅ λ Дж = 4,8 эВ. 13.5. Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих из рубидия при его освещении ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ = 0,317 мкм, составляет max E = 1,90 эВ. Определить работу выхода электронов из рубидия и красную границу фотоэффекта (длину волны. Ответ 19 2,02 эВ 3, 24 10 Дж кр = 0,614 мкм. 13.6. Металлическую пластину освещают светом с длиной волны. Известно, что наибольшее значение импульса, передаваемого пластине одним фотоэлектроном, равно 25 3,3 10 кг мс. Определить работу выхода электрона из вещества пластины. Масса электрона 31 9,11 10 m − = ⋅ кг, постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Ответ 19 5,77 10 A − = ⋅ Дж = 3,60 эВ. 13.7. Максимальная скорость фотоэлектронов, вырванных с поверхности меди при фотоэффекте 6 max 9,3 10 = ⋅ υ мс. Определить частоту света, вызывающего фотоэффект. Масса электрона 31 9,11 10 m − = ⋅ кг. Работа выхода электрона из меди A = 4,47 эВ. Ответ 16 6,05 10 ν = ⋅ Гц 13.8. На металлическую пластину, красная граница фотоэффекта для которой кр = 0,50 мкм, падают фотоны с длиной волны λ = 0,40 мкм. Во сколько раз скорость фотона больше максимальной скорости фотоэлектронов Масса электрона 31 9,11 10 m − = ⋅ кг. Ответ кр кр ⋅ λ ⋅ = = λ − λ 642. 13.9. Если поочередно освещать поверхность металла излучением с длиной волн 1 λ = 350 нм и 2 λ = 540 нм, то максимальные скорости фотоэлектронов будут отличаться в n = 2 раза. Определить работу выхода электрона из этого металла. Металл в процессе облучения остается электронейтральным. Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта в обоих случаях 2 2 max 1 2 max 2 , 2 ; 2 mV n hc A mV hc A ⎧ ⋅ = + ⎪ λ ⎪ ⎨ ⎪ = + ⎪λ ⎩ ( ) ( ) 2 1 2 19 2 1 2 3,0 10 1 hc n A n − λ − λ ⇒ = ≅ ⋅ − λ λ Дж = 1,9 эВ. 13.10. Для некоторого металла красная граница фотоэффекта в n = 1,2 раза меньше частоты падающего излучения. Определить работу выхода электрона изданного металла, если максимальная скорость фотоэлектронов 5 max 6 10 = ⋅ υ мс. Масса электрона 31 9,11 10 m − = ⋅ кг. Ответ ( ) 2 19 max 8, 2 10 2 1 m A n − = ⋅ − υ Дж = 5,1 эВ. 13.11. Определить, во сколько раз частота излучения, вызывающего фотоэффект с поверхности некоторого металла, больше красной границы фотоэффекта, если работа выхода электрона из этого металла в n = 2,5 раза больше максимальной кинетической энергии фотоэлектронов. Ответ кр ν = = 1,4. 13.12. При некотором минимальном значении задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого светом с длиной волны λ прекращается. Изменив длину волны света в α = 1,5 раза, установили, что для прекращения фототока достаточно увеличить задерживающую разность потенциалов в β = 2 раза. Вычислить λ. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Скорость света в вакууме 8 3 10 c = ⋅ мс. Работа выхода электрона из лития A = 2,39 эВ. Указание. Использовать запись уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта в следующем виде 105 3 hc A e U = + λ , где 3 U – задерживающее (запирающее) напряжение (разность потенциалов. Ответ ( ) ( ) 1 hc A β − α λ = ≅ β − 290 нм. 13.13. Медный шарик, удаленный от других тел, под действием монохроматического света, падающего на него, зарядился до потенциала В. Определить длину волны света. Работа выхода электрона из меди A = 4,47 эВ. Решение. Шарик перестает заряжаться, те. приобретать положительный заряд, когда все выбитые сего поверхности фотоэлектроны возвращаются назад. Для этого тормозящее фотоэлектроны электрическое поле шарика должно достигнуть такой величины, при которой движущийся в нем электрон израсходует всю свою кинетическую энергию 2 max e 2 m = ϕ υ , где e – величина заряда электрона. В этой ситуации уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта можно записать следующим образом e hc A = + ϕ λ , e hc A ⇒ λ = = + ϕ 200 нм. 13.14. Если освещать уединенный никелевый шар радиусом R = 1,0 см светом с длиной волны, вдвое меньшей красной границы фотоэффекта, то шар заряжается. Какой максимальный заряд приобретет шар Работа выхода электрона из никеля A = 4,84 эВ. Указание. Потенциал уединенного проводящего шара радиусом R и зарядом q может быть выражен как q k R ϕ = , где 9 0 1 9 10 4 k = = ⋅ πε м/Ф – электрическая постоянная. Ответ 12 5, 4 10 e AR q k − = ⋅ Кл. 13.15. При освещении вакуумного фотоэлемента желтым светом с длиной волны 1 λ = 600 нм он заряжается до разности потенциалов В. До какой разности потенциалов может зарядится фотоэлемент при освещении его фиолетовым светом с длиной волны нм Фотоэлемент отключен отцепи. Заряд электрона 19 e 1,602 10 − = ⋅ Кл. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Ответ ( ) 1 2 2 1 1 2 e hc U U λ − λ = + ≅ λ λ 2,24 В. 13.16. Катод вакуумного фотоэлемента освещают монохроматическим светом. При задерживающем напряжении между катодом и анодом 1 U = 1,6 В ток вцепи прекращается. При изменении длины волны света в n = 1,5 раза потребовалось подать задерживающую разность потенциалов 2 U = 3,0 В. Определить работу выхода электрона из материала катода. Ответ ( ) 2 1 e 1 U nU A n − = = − 1,2 эВ 1,9 10 − = ⋅ Дж. 13.17. Входе фотоэффекта электроны, вырываемые с поверхности катода вакуумного фотоэлемента квантами с частотой 15 1 4,0 10 ν = ⋅ Гц полностью задерживаются напряжением 1 U = 14,0 В, а при частоте квантов 15 2 8,0 10 ν = ⋅ Гц – напряжением 2 U = 30,5 В. Заряд электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Определить по этим данным постоянную Планка. Ответ ( ) 34 2 1 2 1 e 6,6 10 U U h − − = ⋅ ν − ν Дж ⋅ с. 13.18. При длине волны λ = 620 нм ток фотоэлектронов в вакуумном фотоэлементе прекращается, если между катодом и анодом подать определенное задерживающее напряжение. При увеличении длины волны излучения, падающего на катод на α = 25 % задерживающее напряжение оказывается меньше на U Δ = 0,40 В. Заряд электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Определить по этим данным постоянную Планка. Ответ 34 e 1 6,6 10 U h c − ⋅ Δ ⋅λ + α = ⋅ ⋅ α Дж ⋅ с. 13.19. Цинковую пластинку освещают ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ = 300 нм. На какое максимальное расстояние от пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки создано задерживающее однородное поле с напряженностью В/см? Работа выхода электрона из цинка A = 3,74 эВ. Заряд электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Силовые линии электрического поля перпендикулярны поверхности пластинки. Указание. В однородном электрическом поле E S Δϕ = ⋅ , где Δϕ – разность потенциалов S – расстояние, измеренное вдоль силовой линии поля. Ответ max e hc A S E − λ = ≅ λ 0,40 мм. 13.20. Плоская металлическая поверхность освещается излучением с длиной волны λ = 1800 Å. Красная граница фотоэффекта для материала поверхности кр = 3600 Å. Непосредственно у поверхности создано однородное магнитное поле с индукцией B = 1,0 мТл. Линии индукции магнитного поля параллельны поверхности. На какое максимальное расстояние от поверхности смогут удалиться фотоэлектроны, если они вылетают перпендикулярно поверхности Заряд электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Масса электрона кг. Указание. В магнитном поле при указанных условиях электроны будут двигаться по окружности, радиус которой можно определить исходя из уравнения второго закона Ньютона 2 e V m VB R = , где выражение в правой части уравнения определяет величину силы Лоренца, действующей на фотоэлектрон в магнитном поле. Ответ кр кр мм − λ = λ ⋅λ 13.21.* Уединенный металлический шар радиусом R = 1,0 см в течение длительного времени облучают светом с длиной волны 1 λ = 0,40 мкм. Затем его стали облучать светом с длиной волны 2 λ = 0,50 мкм. На какое максимальное расстояние от поверхности шара будут удаляться фотоэлектроны, если красная граница для материала шара кр = 0,60 мкм Указание. Условие касательно того, что шар длительно облучали светом с длиной волны 1 λ подразумевает, что шаром был приобретен максимально возможный при таком облучении электрический заряд. Ответ кр кр ⋅ λ − λ = ⋅ λ ⋅ λ − λ 1,5 см. 13.22. Катод фотоэлемента освещают светом с длиной волны λ = 5000 Å. Мощность излучения, падающего на катод P = 30 мВт. При этом вцепи фотоэлемента сила тока I = 1,0 мА. Найти отношение числа падающих фотонов к числу выбитых фотоэлектронов. Постоянная Планка 34 6,63 10 h − = ⋅ Дж ⋅ с. Заряд электрона 19 e 1,6 10 − = ⋅ Кл. Решение. Количество фотонов, падающих в единицу времени на поверхность катода, можно выразить следующим образом ф N P t hc Δ = Δ λ Количество фотоэлектронов, покидающих поверхность катода и достигающих анода, можно выразить следующим образом эф эВ условии задачи подразумевается, что все электроны, выбитые с поверхности катода, достигают анода, те. речь идет о токе насыщения. На катод фотоэлемента падает световой поток мощностью P = 20 мВт. На каждые n = 10 квантов света, упавших на катод, в среднем приходится один выбитый фотоэлектрон. Определите силу тока насыщения фотоэлемента. Длина волны падающего света λ = 0,20 мкм. Ответ нас 10 P I hcn − λ = ⋅ А. 13.24. При освещении фотоэлемента светом с длиной волны 7 1,8 10 − λ = ⋅ м получили вольт-амперную характеристику, показанную на рис. 13.1. Пользуясь вольт- амперной характеристикой, определить работу выхода электрона из фотокатода и число электронов, выбиваемых из фотокатода в единицу времени. Ответ 19 3 e 7,9 10 hc A U − = − ⋅ λ Дж = 4,9 эВ 17 1 Э нас. 2,5 10 с . e N I t − Δ = ⋅ Δ 13.25.* Металлическую пластинку положили на стол и облучали фотонами с энергией ф 4,9 эВ. Работа выхода электрона из материала пластинки A = 4,5 эВ. Мощность света, падающего на поверхность пластинки, N = 1 Вт. Оценить изменение силы давления пластинки на стол, для чего считать, что каждый падающий на поверхность пластинки фотон выбивает электрон, скорости всех фотоэлектронов максимально возможные, все фотоны падают и все фотоэлектроны вылетают перпендикулярно поверхности пластины. Ответ ( ) ф 7 давл. ф ф 4 10 НС Рис. 12.1 Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. АТОМНАЯ ФИЗИКА. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА § 14. Элементы теории относительности. Сокращение линейного размера тел. Замедление времени. Взаимосвязь массы и энергии. Энергия покоя. Релятивистское выражение для кинетической энергии тела. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Релятивистская динамика тела В основу специальной теории относительности положено два постулата, являющихся обобщением опытных фактов. 1. Принцип относительности – любые физические процессы протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях) или другими словами, уравнения, выражающие законы природы, не меняют своего видав результате преобразований координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. 2. Принцип постоянства скорости света – во всех инерциальных системах отсчета свет распространяется в вакууме с одинаковой скоростью 8 ( 2,998 10 мс, независящей от скорости источника или наблюдателя. Явления, описываемые теорией относительности, ноне объяснимые с позиций классической физики, называются релятивистскими явлениями (эффектами. Из двух постулатов теории относительности вытекают как следствие выводы о зависимости длительности интервалов времени и длин отрезков от выбора инерциальной системы отсчета. Поэтому и релятивистский закон сложения скоростей отличается от классического. Пусть интервал времени между двумя событиями, происходящими с телом в инерциальной системе K, относительно которой тело покоится, равен 0 t Δ (так называемое собственное время. Этими событиями могут быть, например, рождение и распад элементарной частицы. В таком случае телом является сама частица, а собственное время отсчитано по часам, которые неподвижны относительно частицы. Тогда интервал t Δ между этими же событиями в системе отсчета движущейся относительно системы K со скоростью 0 G υ , выражается так 0 2 2 0 1 t t c Δ Δ = − υ . (14.1) Очевидно, что 0 t t Δ > Δ . В этом состоит релятивистский эффект замедления времени в движущихся системах отсчета. Если то можно пренебречь величиной 2 2 0 c υ по сравнению с единицей и тогда 0 t t Δ = Δ , те. переходим к классической механике, где время во всех системах отсчета течет одинаково. Рассмотрим стержень, который движется поступательно со скоростью относительно инерциальной системы отсчета K таким образом, что вектор скорости направлен вдоль стержня. Обозначим через длину стержня, измеренную в системе отсчета относительно которой стержень покоится. Тогда длина этого стержня l в системе отсчета K, относительно которой стержень движется со скоростью 0 G υ (см. рис. 14.1), определяется формулой 2 2 0 0 1 l l c = ⋅ − υ (14.2) Как видно из этой формулы, 0 l l < . В этом состоит релятивистское сокращение длины. Длина 0 l называется собственной длиной. Важно отметить, что сокращение длины происходит только в направлении движения. Закон сложения скоростей запишем для частного случая, когда тело M движется вдоль оси X ′ системы отсчета , K ′ которая в свою очередь движется со скоростью 0 G υ относительно системы Рис. 14.1 отсчета K. Причем в процессе движения координатные оси X и , X ′ Y и , Y ′ Z и Z′ все время остаются параллельными (рис. 14.2). Обозначим скорость тела M относительно системы K ′ через ,′ G υ а скорость этого же тела относительно системы K через . G υ Тогда релятивистский закон сложения скоростей будет иметь вид 0 0 1 x x x c ′ + = ′ ⋅ + υ υ υ υ υ . (14.3) Если 0 << c υ и , ′ << c υ то слагаемым 2 0 x c ′ ⋅ υ υ в знаменателе можно пренебречь, и вышеприведенная формула примет вид 0 , x x ′ = + υ υ υ те. получим классический закон сложения скоростей. При c ′ = υ скорость υ также равна с, как этого требует второй постулат теории относительности. Действительно, в этом случае 0 0 0 0 2 1 c c c c c c c + + = = ⋅ = ⋅ + + υ υ υ υ υ . (14.4) Замечательным свойством релятивистского закона сложения скоростей является то, что при любых скоростях 0 υ и ′ υ (конечно, небольших с) результирующая скорость υ не превышает с. В теории относительности было установлено, что в выбранной системе отсчета масса тела и его энергия взаимосвязаны 2 2 0 2 2 1 m c E mc c = = − υ , (14.5) где 0 m – масса тела, измеренная в системе отсчета, относительно которой тело покоится обычно ее называют массой покоя, иона совпадает с массой тела в механике Ньютона m – масса тела, измеренная в системе отсчета, относительно которой тело движется со Рис. 14.2 скоростью , υ и относительно которой определена энергия тела E. Величину 0 2 2 1 m m c = − υ (14.6) принято называть релятивистской массой тела. Если происходит изменение энергии тела (системы тел, то изменяется и масса тела (системы тел. Например, масса тела при его нагреве возрастает. Любое тело обладает энергией и при скорости равной нулю. Это энергия покоя 2 0 0 E m c = (14.7) Релятивистское выражение для кинетической энергии частицы имеет вид 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 m c T mc m c E E m c c = − = − = − − υ (14.8) Можно показать, что при c << υ вышеприведенное выражение превращается в классическое выражение для кинетической энергии тела 2 2 T m = υ . В силу того обстоятельства, что 0 T E E = − ⇒ 0 E T E ⇒ = + , величину 2 E mc = принято называть полной энергией тела. Энергия покоя 0 E тела содержит в себе, помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию этих частиц, обусловленную их движением относительно центра масс тела, и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как ив полную энергию, не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Релятивистское выражение для импульса частицы имеет вид 0 2 2 1 m P c = − G G υ υ . (14.9) Используя определение импульса тела, уравнение, выражающее второй закон Ньютона, в формулировке Эйнштейна записывают в виде 114 dP F dt = G G или 0 2 2 , 1 m d F dt c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ G G υ υ , (14.10) и называют основным уравнением релятивистской динамики тела. Очевидно, что при малых скоростях c << υ величина релятивистского импульса тела совпадает со значением импульса в классической механике. В частном случае движения заряженной частицы по окружности в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца в силу постоянства вектора скорости по модулю (сила Лоренца действует на частицу в направлении, перпендикулярном вектору ее скорости, следовательно, ее мгновенная мощность равна нулю, сила работы над частицей не совершает, и кинетическая энергия частицы остается постоянной. Поэтому, так как 0 2 2 const 1 m c = − υ , то 0 2 2 1 υ = ⋅ − G G m dP d dt dt c υ . (14.11) Векторная величина υ G d dt представляет из себя в указанной ситуации центростремительное ускорение ц.с. G a , причем 2 ц.с. ц.с. = = G a a R υ , где R – радиус окружности, по которой движется заряженная частица. Используя выражение для импульса и для полной энергии тела, можно получить соотношение, связывающее эти величины 2 2 2 4 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 1 , 1 ⎧ = + = ⎪ − ⎪ ⇒ ⎨ υ ⎪ = = ⎪ − ⎩ G G m c E m c P Положив в формуле 2 2 4 2 2 0 = + m c P c Ε массу покоя равной нулю, получим соотношение , E cP = (14.14) которое согласуется с соотношением 2 E P c = ⋅ G G υ только в том случае, если c = υ . Отсюда следует, что частица с массой покоя, равной нулю, всегда движется со скоростью света. К числу таких частиц принадлежит квант электромагнитного излучения фотон. Кроме того, энергия и импульс, переносимые электромагнитным излучением (электромагнитными волнами) связаны соотношением E cP = § 15. Относительность времени и расстояния. Взаимосвязь массы и энергии. Преобразование скоростей ЗАДАЧИ. Во сколько раз увеличится продолжительность существования нестабильной частицы, если ее наблюдать не в той системе отсчета, где частица покоится, а в инерциальной системе отсчета, в которой частица движется со скоростью = υ 0,99 с равномерно и прямолинейно Решение. Если система отсчета, в которой частица движется со скоростью υ равномерно и прямолинейно, инерциальная, то система, в которой частица покоится, также является инерциальной. Следовательно, можно использовать с полным основанием соотношение между временем, отсчитанным по часам, относительно которых частица покоится, и временем, отсчитанным по часам, относительного которого частица движется со скоростью υ : 2 2 0 1 , t t c Δ = Δ где 0 t Δ – собственное время частицы, t Δ – время, отсчитанное по часам, движущимся со скоростью υ относительно частицы. 2 2 2 0 1 1 1 1 0,99 t t c Δ ⇒ = = ≅ Δ − − υ 7,1. 15.2. Космическая частица движется со скоростью = υ 0,95 с. Какой промежуток времени t соответствует 0 t = 1 мкс собственного времени частицы Указано. Подразумевается, что измерения времени выполняются в инерциальной системе отсчета. Ответ t ≅ 3,2 мкс. 116 15.3. Длина неподвижного стержням. Определить длину стержня, если он движется со скоростью = υ 0,6 с. Вектор скорости направлен вдоль стержня. Решение. Подразумевается, что измерения длины выполняются в инерциальной системе отсчета. Следовательно, можно использовать соотношение между длиной стержня l, измеренной в системе отсчета, относительно которой стержень движется со скоростью и длиной 0 l , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится 2 2 0 1 l l c = ⋅ − υ 0 1 0,36 l l ⇒ = ⋅ − = 0,8 м. 15.4. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %? Ответ 8 1,98 10 ⋅ υ мс. 15.5. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью с Во сколько раз замедлится ход времени в ракете сточки зрения земного наблюдателя Ответ в 1,25 раза. 15.6.* Собственное время жизни мю-мезона 0 τ = 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю- мезон пролетел расстояние l = 6 км. С какой скоростью (в долях скорости света) движется мю-мезон? Ответ 2 2 2 0 l c l c = ≅ + τ υ 0,995. 15.7. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью с испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя. Решение. Согласно второму постулату специальной теории относительности, во всех инерциальных системах отсчета свет (электромагнитная волна) распространяется в вакууме со скоростью 8 3 10 c = ⋅ мс, независящей от скорости источника или наблюдателя. Отсюда следует, что, коль скоро ускоритель неподвижен относительно Земли, а Земля с большой степенью точности является инерциальной системой отсчета, то скорость фотона относительно ускорителя равна 8 3 10 c = ⋅ мс. 15.8. Два атомных ядра движутся навстречу друг другу со скоростью с относительно Земли каждое. Одно из них испускает гамма-частицу в направлении своего движения. Какова скорость гамма-частицы относительно второго ядра Ответ отн. с = υ 15.9.* Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями си с (где 8 3 10 c = ⋅ мс – скорость света в вакууме, измеренными относительно некоторой инерциальной системы отсчета. С какой скоростью уменьшается расстояние между частицами в указанной системе отсчета Чему равна по величине относительная скорость частиц Решение. Для ответа на первый вопрос задачи рассмотрим перемещение частиц в указанной системе отсчета за некоторый интервал времени t Δ , так как частицы движутся равномерно и прямолинейно, то величина перемещения равна пути и можно записать тогда уменьшение расстояния между частицами за тот же промежуток времени составит ( ) 1 2 1 2 l S S t Δ = + = + ⋅ Δ υ Таким образом, для скорости уменьшения расстояния между частицами получим 1 2 l t Δ = + = Δ υ υ 1,25 с = 3,75 ⋅ 10 8 мс. Полученный результат никоим образом не противоречит теории относительности. Согласно теории относительности, никакое материальное тело, никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, скорость света – предельная скорость во всех системах отсчета только для указанных ситуаций. А вот скорость изменения расстояния между телами, наблюдаемая сторонним наблюдателем, подданное ограничение не попадает. Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся правилами преобразования скоростей в релятивистской механике при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Введем наряду стой системой отсчета, в которой заданы скорости частиц 1 υ и 2 ( ) K υ , еще одну систему отсчета ( ) K ′ , в которой первая частица является телом отсчета (см. рис. 15.1). Так как частицы движутся по условию вдоль одной прямой (на рис. 15.1 этой прямой является ось OX и параллельная ей ось O X ′ ′ ) тонам понадобится формула 0 0 2 1 X x X c ′ ′ + = ⋅ + υ υ υ υ υ , где в нашем случае 2 X = − υ υ – проекция скорости тела (второй частицы) в системе отсчета K; отн. X ′ = − υ υ – проекция скорости тела в системе отсчета K ′ ; 0 1 = υ υ – скорость системы отсчета K ′ относительно системы отсчета K. Выполнив соответствующие алгебраические преобразования получим для скорости второй частицы относительно первой ( ) 2 1 2 отн. 2 1 2 c c + = ≅ + ⋅ υ υ υ υ υ 0,909 с 8 2,73 10 ≅ ⋅ мс. Как видим полученное значение относительной скорости частиц не превышает скорости света в вакууме, как следовало ожидать, потому что речь идет о скорости материального тела (второй частицы) в некоторой инерциальной системе отсчета ( ), K ′ которую мы связали с другим телом (первой частицей. Рис. 15.1 119 16.10* Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 1 = υ 0,4 с (где 8 3 10 c = ⋅ мс. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения частицу со скоростью 2 = υ 0,75 с относительно ускорителя. Чему равна скорость частицы относительно ядра Указание. Подразумевается, что скорость ядра после испускания частицы практически не изменилась. Ответ ( ) 2 8 2 1 отн. 2 1 2 0,357 1,07 10 c c − = ≅ ≅ ⋅ − ⋅ υ υ υ υ υ мВ системе отсчета K два параллельных стержня, имеющие собственную длину 0 l = 1 м, движутся в продольном направлении навстречу друг другу с равными скоростями 8 2 10 = ⋅ υ мс, измеренными в этой системе отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем Решение. Для неподвижного наблюдателя при движении протяженных тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, размеры тел в направлении движения существенно сокращаются. Свяжем систему с одним из стержней назовем его стержень 1), направив одну из осей, а именно ось , O X ′ ′ вдоль стержня рис. 15.2). Тогда в этой системе стержень 1 будет находится в покое, и его длина будет равна собственной длине 0 l . Длина l стержня 2 относительно системы отсчета : K ′ 2 2 0 отн. 1 , l l c = где отн. υ – скорость стержня 2 относительно системы K ′ (на рис. 15.2 указаны скорости G υ и − G υ стержней 1 и 2 относительно системы отсчета K). Рис. 15.2 Скорость отн. υ можно найти используя формулу 0 0 2 1 X x X c ′ ′ + = ⋅ + υ υ υ υ υ , где необходимо положить , X = − υ υ отн. X ′ υ = −υ отн. ( υ – это в такой записи модуль вектора относительной скорости, Решая получающееся при соответствующей подстановке уравнение отн. отн. 1 c − − = ⋅ − υ υ υ υ υ , находим, что 2 отн. 2 2 2 c c = + υ υ υ , откуда ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 c c c l l l l c c c − − = ⋅ − = ⋅ = ⋅ ≅ + + + υ υ υ υ υ υ 0,38 м. 15.12* Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 1 = υ 0,4 с (где 8 3 10 c = ⋅ мс. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения частицу со скоростью 2 = υ 0,75 с относительно ядра. Чему равна скорость частицы относительно ускорителя Ответ ( ) 2 8 1 2 2 1 2 0,885 c 2,65 10 c c + = ≅ ≅ ⋅ + ⋅ υ υ υ υ υ мс. 15.13. Частица движется со скоростью = υ 0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя Решение. Масса движущегося со скоростью υ тела, обладающего массой покоя 0 m , выражается формулой 0 2 2 1 m m c − − υ , 121 2 2 0 1 2 3 1 m m c ⇒ = ≅ − = υ 1,15. 15.14. Насколько увеличится релятивистская масса частицы с массой покоя 0 m при увеличении ее скорости от 1 0 = υ до 2 = υ 0,9 с Ответ на 129 %. 15.15. При какой скорости релятивистская масса движущейся частицы вдвое больше массы покоя этой частицы Ответ 3 c 2 = ≅ υ 0,866 с. 15.16. С какой скоростью должен лететь протон, чтобы его релятивистская масса была равна массе покоя альфа-частицы? Масса покоя протона 0 m ρ = 1 а.е.м., масса покоя альфа-частицы 0 m α = 4 а.е.м. Ответ ≅ υ 0,968 с. 15.17. Во сколько раз изменится плотность тела при его движении со скоростью = υ 0,8 с Решение. При движении тела со скоростью, близкой к скорости света в вакууме, происходит сокращение его линейного размера вдоль направления движения 2 2 0 1 , l l c = где 0 l – собственная длина тела вдоль направления движения, υ – скорость тела. Следовательно, точно таким же образом изменится объем тела 2 2 0 1 V Масса тела (релятивистская) будет превосходить массу покоя 0 2 2 1 m m c = − υ 0 0 2 2 2 2 0 1 1 1 1 m m V V c c ⇒ ρ = = ⋅ = ρ ⋅ − − υ υ , таким образом, плотность тела возрастет в 2 2 1 1 c ≅ − υ 2,78 раза. 122 15.18. При движении тела с некоторой скоростью продольные размеры тела уменьшились в n = 2 раза. Во сколько раз изменилась масса тела Ответ увеличилась в n = 2 раза. 15.19. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное в некотором эксперименте, оказалось равно 11 0,88 10 k = ⋅ Кл/кг. Определить скорость электрона в данном эксперименте. Отношение заряда покоящегося электрона к его массе составляет 11 e 1,759 10 m = ⋅ Кл/кг. Указание. Величина электрического заряда, измеряемая враз- личных инерциальных системах отсчета, одинакова, те. не зависит оттого, движется этот зарядили покоится. Ответ 2 2 8 e 1 2,6 10 c k m ⎛ ⎞ = ⋅ − ≅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ υ мс. 15.20. Определить энергию покоя а) электрона б) протона. Результат выразить в электрон-вольтах. Масса электрона 30 e 0,911 кг, масса протона 27 1,672 кг, скорость света в вакууме 8 2,998 10 c = ⋅ мс. Ответа МэВ б) 0 E = 938 МэВ. 15.21. Полная энергия тела возросла на E Δ = 1 Дж. Насколько при этом изменилась масса тела Решение. Полная энергия тела выражается следующим образом 2 , E так как const c = , то возрастанию полной энергии соответствует возрастание массы тела 19 2 1,1 10 E m c − Δ ⇒ Δ = ≅ ⋅ кг. 15.22. С единицы массы площади поверхности Солнца ежесекундно испускается энергия W = 74 МДж/(м 2 ⋅ с. Насколько уменьшается масса Солнца за год Радиус Солнцам. Ответ 17 1,57 10 m Δ = ⋅ кг. 15.23. Масса Солнца 30 1,99 10 V = ⋅ кг. Солнце в течение времени год излучает энергию 34 1,26 10 E = ⋅ |