Долгов ан. Оптика основы теории относительности атомная физика физика атомного ядра москва 2009 2
 Скачать 1.63 Mb.
|
|
SB, идущий от источника к точке поверхности воды B, лежащей за пределами диска, будет испытывать полное внутреннее отражение (см. рис. 3.8). Рис. 3.6 Рис. 3.7 24 При указанных условиях радиус диска R окажется минимальным необходимым. Если угол падения луча SA на поверхность воды обозначить, то согласно закону преломления можно будет записать соотношение 2 1 sin 1 sin 1 cos n n n n ⋅ α = ⇒ α = ⇒ − ⇒ α Далее рассмотрим треугольник SOA: так как SO H = и , OA R = то 2 sin 1 tg cos 1 R H n α = α = = ⇒ α − min 2 1 H R n ⇒ = − 3.14. Тело в форме конуса с углом между осью и образующей 60 α = ° погружено целиком в прозрачную жидкость вершиной вниз так, что ось симметрии тела вертикальна. При этом боковую поверхность тела нельзя видеть ни из какой точки пространства над поверхностью жидкости. Чему равен показатель преломления жидкости Ответ n ≥ 1,15. 3.15. Широкий параллельный пучок световых лучей падает на плоское основание стеклянного полушара с показателем преломления перпендикулярно плоскости основания. Каков максимальный угол отклонения прошедших через полушар лучей от их первоначального направления Указание. Угол отклонения ϕ прошедшего через полушар луча от первоначального направления будет максимальным, если угол падения α на гра- Рис. 3.8 Рис. 3.9 25 ницу стекло-воздух окажется предельным углом внутреннего отражения, те. соответствующий ему угол преломления будет равен 90°. Ответ max 1 90 arcsin 45 . n ϕ = ° − = ° 3.16.* На полушар радиусом r = 2,0 см изготовленный из стекла с показателем преломления n = 1,4; падает параллельный пучок лучей (рис. 3.10) перпендикулярно плоскости основания полушара. Определить радиус светлого пятна на экране Э, расположенном на расстоянии L = 3,8 см от центра полушара и параллельном основанию полушара. Ответ 2 1 R n L n r = − ⋅ − ⋅ ≅ 1,0 см. 3.17. Пучок длинных тонких нитей, выполненных из материала с показателем преломления 7 2 n = образует светопровод. В каждой из нитей свет распространяется, испытывая многократные полные отражения на боковой поверхности (см. рис. 3.11). Определите угол зрения такого световода (те. определите, под каким максимальным углом ϕ коси нити может падать световой луч на торец, чтобы пройти по световоду без ослабления. Ответ ( ) 2 max arcsin 1 60 . n ϕ = − = ° 3.18.* Каким должен быть внешний радиус изгиба световода толщиной l (рис. 3.12), чтобы свет, вошедший в световод перпендикулярно поперечному сечению, распространялся не выходя через боковую поверхность световода Показатель преломления материала световода равен n. Рис. Рис. Рис. 3.12 26 Указание. Нетрудно увидеть из рис. 3.13, что при последующих отражениях от боковой поверхности световода происходит увеличение угла падения, что, в свою очередь, облегчает условия для полного внутреннего отражения. Ответ 1 nl R n − 3.19. Определить кажущуюся глубину водоема h, если смотреть на него сверху, практически перпендикулярно к поверхности воды. Фактическая глубина водоема H, показатель преломления воды n. Решение. Условие задачи означает, что в глаз наблюдателя попадают лучи света, распространяющиеся под малыми углами к перпендикуляру, восстановленном к поверхности воды, те. углы α, β << 1 радиан (см. риса. Для малых углов справедливы соотношения sin tg , sin tg , α ≅ α ≅ α β ≅ β ≅ где α и β выражены в радианах. Рис. 3.14, б демонстрирует схему формирования изображения точки A дна водоема в глазу наблюдателя. При этом луч AB распространяется по вертикали и не испытывает преломления на границе раздела двух сред воды и воздуха, а луч AC испытывает преломление. Прямая CD является продолжением преломленного луча. Рассмотрим треугольники BCD и BCA, и, принимая во внимание закон преломления, запишем следующие соотношения sin sin , tg tg . n h H ⋅ α = β ⎧ ⎨ ⋅ β = ⋅ Учитывая малость углов α − β можем привести указанные соотношения к виду Рис. 3.13 Рис. 3.14 27 , n H h h H n ⋅α = β ⎧ ⇒ = ⎨ ⋅β = ⋅α ⎩ 3.20. Пловец, нырнувший в бассейн, смотрит из-под воды на лампу на потолке, находящуюся на расстоянии h = 4,00 мот поверхности воды практически над головой пловца. Каково кажущееся расстояние от поверхности воды до лампы Показатель преломления воды равен n = 1,33. Ответ кажущееся расстояние от поверхности воды до лампы составляет 5,32 мВ сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости с показателями преломления 1 n = 1,3 и 2 n = 1,5. Сверху находится жидкость с показателем преломления 1 n . Толщина слоя верхней жидкости см. На каком расстоянии от поверхности верхней жидкости будет казаться расположенным дно сосуда, если смотреть на него сверху вниз через обе жидкости Ответ 1 2 1 2 h h h n n = + ≅ 5,6 м. 3.22.* На высоте h от поверхности воды расположен точечный источник света. Где будет находится изображение этого источника, даваемое плоским горизонтальным зеркальным дном сосуда при наблюдении под малыми углами к вертикали, если толщина слоя воды равна d. Показатель преломления воды равен n. Ответ изображение будет находиться на расстоянии 2 от источника. 3.23.* Между наблюдателем и точечным источником света помещают плоскопараллельную пластинку толщиной h с показателем преломления n. На какое расстояние Δx источник покажется приближенным к наблюдателю, если угол зрения с нормалью к поверхности пластинки считать малым Указание. Условие задачи подразумевает, что в глаз наблюдателя попадают лучи, составляющие малые углы с нормалью к поверхности пластинки. Ответ 1 h n x n ⋅ Δ = − 28 3.24. Тонкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара, фокусируется в точке, отстоящей от центра шара на расстоянии, равном двум его радиусам. Определить показатель преломления стекла. Указание. Используя закон преломления с учетом малости рассматриваемых углов пучок узкий, те. его диаметр много меньше радиуса шара) можем записать следующие соотношения (см. рис. 3.15), n ⇒ α = ⋅β = γ . Далее следует рассмотреть треугольники воспользоваться теоремой синусов. Ответ 4 . 3 n = 3.25. Световой луч падает по нормали на боковую грань прямой стеклянной призмы, поперечное сечение которой – равносторонний треугольник. Показатель преломления стекла n = 1,5. Определить угол ϕ между падающими вышедшим из призмы лучами. Ответ 60 . ϕ = ° 3.26. Световой луч падает на одну из боковых граней прямой стеклянной призмы в плоскости, параллельной основаниям призмы, и параллельно другой боковой грани. Сечение призмы – равносторонний треугольник рис. 3.16). Определить угол ϕ между падающими вышедшим из призмы лучами. Показатель преломления стекла n = 1,5. Ответ 47 . ϕ ≅ ° Рис. 3.16 Рис. 3.15 29 § 4. Тонкие линзы. Построение изображений в тонких линзах. Формула тонкой линзы. Оптическая сила тонкой линзы Линза – прозрачное осесимметричное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Прямая (ось симметрии, проходящая через центры сферических поверхностей, называется главной оптической осью. Линза считается тонкой (тонкая линза, если ее толщина много меньше, чем радиус ее поверхностей. Можно считать, что главная оптическая ось пересекает тонкую линзу водной точке, называемой (оптическим) центром линзы. Прямые, проходящие через центр линзы и не совпадающие с главной оптической осью, называются побочными оптическими осями. Во всех оптических инструментах используются тонкие пучки те. пучки малого по сравнению с радиусами сферических поверхностей линз диаметра, состоящие из практически параллельных лучей, идущие вблизи главной оптической оси системы. Такие пучки называются параксиальными. Лучи параксиального светового пучка, распространяющегося параллельно главной оптической оси системы, пересекаются в точке, лежащей на этой оси и называемой фокусом линзы. У всякой тонкой линзы имеются два фокуса, лежащие по разные стороны от линзы. Расстояние от фокуса до центра тонкой линзы называется фокусным расстоянием. Фокусы равноудалены от центра линзы, если оптическая среда по обе стороны линзы одинакова. Плоскость, проведенная через фокус линзы перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной. Лучи, проходящие через центр линзы, не преломляются. Лучи, падающие на линзу параллельно какой-либо побочной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в точке, лежащей в фокальной плоскости (в точке, в которой указанная побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость. Тонкие линзы по своим свойствам делятся на собирающие и рассеивающие. Особенности прохождения лучей в собирающих, линзах показаны на рис. 4.1. Луч 1–1 ′, проходящий через центр тонкой линзы Сне преломляется. Луч 2–2 ′, падающий параллельно главной оптической оси OO ′, после преломления пересекает главную оптическую ось в фокусе. Если падающий луч 3–3 ′ проходит через фокус, то после 30 преломления он распространяется параллельно главной оптической оси (риса. Параллельные лучи 1–1 ′ и 4–4′ после преломления пересекаются в точке A в фокальной плоскости (рис. 4.1, б. Фокус, находящийся стой же стороны от собирающей линзы, что и падающий на нее световой пучок, называется передним, а тот, что находится с противоположной стороны, называется задним. Особенности прохождения лучей в рассеивающих линзах показаны на рис. 4.2. Луч 1–1 ′, проходящий через центр тонкой линзы C, не преломляется. Луч 2–2 ′, падающий параллельно главной оптической оси OO ′, после преломления распространяется таким образом, что его продолжение в противоположном распространению направлении пересекает фокус, лежащий перед линзой (задний фокус рассеивающей линзы. Если продолжение падающего луча 3–3 ′ в направлении распространения пересекает фокус, лежащий за линзой (передний фокус рассеивающей линзы, то после преломления луч распространяется параллельно главной оптической оси (риса. Рис. Рис. 4.2 31 Параллельные лучи 1–1 ′ и 4–4′ после преломления распространяются таким образом, что их продолжение в противоположном распространению направлении пересекаются в точке A в фокальной плоскости перед линзой (задней фокальной плоскости. Изображение S ′ источника света S, получаемое с помощью тонкой рассеивающей линзы, – всегда мнимое риса. Изображение, получаемое с помощью тонкой собирающей линзы, может быть как мнимым рис. 4.3, б, таки действительным (рис. 4.3, в. Для построения изображения необходимо рассмотреть преломление в линзе гомоцентрического пучка лучей, используя свойства тонких линз. Например, в построениях, показанных на рис. 4.3, рассмотрен гомоцентрический пучок, образованный лучом 1–1 ′, проходящим через центр линзы, и лучом 2–2 ′, падающим на линзу параллельно главной оптической оси. Важное свойство тонкой линзы изображением отрезка прямой линии является также отрезок прямой отрезок прямой линии, перпендикулярный главной оптической оси, имеет в качестве изображения отрезок прямой линии также перпендикулярный главной оптической оси. Линейным (поперечным) увеличением тонкой линзы Γ называется отношение Рис. 4.3 Рис. 4.4 32 A B AB ′ ′ Γ = , (4.1) где A B ′ ′ – изображение отрезка AB, причем AB и A B ′ ′ ортогональны главной оптической оси OO ′ По построению , b a Γ = где a и b – расстояние от линзы до предмета ( ) AB и до его изображения ( ) A B ′ ′ соответственно. Формула тонкой линзы 1 1 1 f a b ± = ± ± , (4.2) где f – фокусное расстояние линзы. В левой части знак «+» берется для собирающей линзы и знак «–» для рассеивающей линзы. Первое слагаемое в правой части берется со знаком «+» в случае реального предмета (источника расходящегося пучка световых лучей) и знак «–» для мнимого источника, те. в случае сходящегося пучка (сформированного в некоторой оптической системе, лучи которого (точнее их продолжения) пересекаются за линзой на расстоянии от нее (см. рис. 4.5). Второе слагаемое в правой части берется со знаком «+», если изображение, формируемое линзой, – действительное и знак «–», если изображение – мнимое. Величина, обратная фокусному расстоянию линзы 1 D f = ± , (4.3) называется оптической силой линзы. Единица измерения оптической силы называется диоптрией (дптр). [ ] дптр D = = м. Оптическая сила линзы положительна 0 D > , если линза – собирающая, и отрицательная 0 D < , если линза – рассеивающая. Оптическую силу линзы можно рассчитать, зная ее геометрические характеристики, а также оптические свойства материала линзы и окружающей среды Рис. 4.5 33 л ср 1 2 1 1 1 n D n R R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (4.4) где ли ср n – показатели преломления, материала линзы и окружающей среды 1 R и 2 R – алгебраические величины, равные по модулю радиусу соответствующей сферической поверхности линзы (нумерация идет в порядке пересечения поверхностей лучом радиус поверхности берется со знаком «+», если походу распространения луча поверхность линзы – выпуклая и со знаком «–», если поверхность – вогнутая. Для луча, распространяющегося, например, слева направо, центр выпуклой сферической поверхности лежит справа от центра линзы, а центр вогнутой – слева. Для собирающей линзы формула дает 0 D > , для рассеивающей – 0 D < . § 5. Линзы ЗАДАЧИ. Луч света падает на тонкую линзу в т. A под произвольным углом. Определить построением дальнейший ход луча, если известны положения фокусов линзы. Рассмотреть два случая а) линза собирающая б) линза рассеивающая. Решение. Для построения хода луча надо воспользоваться свойством линзы собирать пучок параллельных лучей или их продолжения) водной точке на фокальной плоскости (рис. 5.1). Проведем через центр линзы O прямую, параллельную падающему лучу, до ее пересечения в точке B с фокальной плоскостью линзы. Причем, если линза собирающая, то точка B лежит в фокальной плоскости за линзой (риса если линза рассеивающая, то точка B лежит в фокальной плоскости перед линзой (рис. 5.1, б. Рис. 5.1 34 Исходный луч (либо его продолжение после преломления в линзе) и луч OB должны пересекаться в фокальной плоскости, но луч OB проходит линзу не преломляясь и пересекает фокальную плоскость в точке B. Следовательно, исходный луч также должен попасть в точку B. Поэтому соединив точки A и B получим ответ на поставленный вопрос. В случае а) собирающей линзы через точку B пройдет сам исходный луч в случае б) рассеивающей линзы через точку B пройдет продолжение исходного луча после преломления в линзе. 5.2. На рис. 5.2 изображен ход светового луча после преломления в линзе. Найти построением ход луча до линзы. Положение фокусов известно. Указание. Можно воспользоваться свойством обратимости световых лучей. 5.3. На рис. 5.3 изображен ход луча, проходящего через тонкую линзу. Построением найти положение фокусов линзы. 5.4. На рис. 5.4 показан ход луча 1 дои после прохождения линзы. Построением найти ход луча 2 после линзы. 5.5. Построить изображение отрезка прямой AB, параллельного главной оптической оси тонкой линзы (рис. 5.5). Положение фокусов задано. Рис. 5.3 Рис. Рис. 5.5 Рис. 5.2 35 Решение. Необходимо воспользоваться тем обстоятельством, что изображением отрезка прямой является также отрезок прямой. Следовательно, нам достаточно найти построением изображения концов отрезка A и B. Схема выполняемых построений показана на рис. 5.6. Проведен луч ABC, параллельный главной оптической оси до линзы и проходящий через фокус после преломления в линзе в случаях аи б) для собирающей линзы, а в случаев) для рассеивающей линзы через фокус проходит продолжение преломленного луча. Те. в данном случае мы используем свойство линзы направлять луч, распространяющийся параллельно главной оптической оси до линзы, после ее прохождения таким образом, что луч, преломленный в собирающей линзе, пересекает фокус, расположенный за линзой, а продолжение луча, преломленного в рассеивающей линзе, пересекает фокус перед линзой. В случае а) изображение действительное, б) ив мнимое. 5.6. Построить изображения отрезков прямых AB ив тонких линзах (рис. 5.7). Положение фокусов задано. 5.7. На рис. 5.8 показаны главная оптическая ось тонкой линзы MN, предмет AB и его изображение A B ′ ′ Определите графически положение линзы, собирающая это линза или рассеивающая, положение ее фокусов. Рис. 5.7 Рис. 5.6 36 5.8. На рис. 5.9 задано положение точечного источника S, его изображения в тонкой линзе S ′ и главная оптическая ось MN. Построением определить положение линзы и ее фокусов. 5.9.* Задано положение предмета – отрезка прямой AB – и его изображения A B ′ ′ в тонкой линзе (рис. 5.10). Построением определить положение линзы, ее главной оптической оси и фокусов. Решение. Схема необходимых построений показана на рис. 5.11. Прямые |