8-15 дәріс тезистері (1). Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты

• Название: Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты
• Дата: 19.05.2022
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: 8-15 дәріс тезистері (1).docx
• Тип: Документы; #538787
• страница: 1 из 7

Тақырып №8-9. Функцияны аппроксимациялау. Эмпириялық формулаларды таңдау.

Дәріс жоспары:

1. 
   Тәжірибелік деректер сипаты
   
2. 
   Эмпириялық формулалар
   
3. 
   Деректерді жергілікті тегістеу
   

1. 
   Тәжірибелік деректер сипаттамасы. Функцияларды интерполяциялау кезінде біз белгілі нүктелерде – интерполяция түйіндерінде интерполяциялық көпмүшелік және берілген функция мәндерінің теңдік шартын қолдандық.
   

Бұл берілген функция мәндерінің дәлдігіне жоғары талап қояды. Байқау және өлшеу нәтижесінде алынған тәжірибелік деректерді өңдеу кезінде осы деректердің қателерін ескеру керек. Олар өлшеу құралдарының жетілмегендігінен, субъективтік себептерден, әртүрлі кездейсоқ факторлардан және т.б. туындауы мүмкін. Тәжірибелік деректердің қатесін шартты түрде олардың шығу тегі және шамасы бойынша үш санатқа бөлуге болады:жүйелік, кездейсоқ және дөрекі.

Жүйелік қателер әдетте өлшенетін шаманың ақиқат мәнінен бір жаққа ауытқуын береді. Олар тәжірибені қайталау кезінде тұрақты немесе заңды өзгеруі мүмкін, және олардың себебі және сипаты белгілі. Жүйелік қателер тәжірибе шарттарымен (ылғалдылық, орта температурасы және т.б.), өлшеу құралының ақауынан, оны жаман реттеуден және т.б. туындауы мүмкін. Бұл қателерді аппаратты баптау немесе сәйкес түзетулер енгізумен жоюға болады.

Кездейсоқ қателер факторлардың көп санымен анықталады, олардың жойылуы мүмкін емес, не нәтижелерді өлшеу немесе өңдеу кезінде жеткілікті дәл есепке алынбаған. Олар кездейсоқ сипат алады, өлшеуді қайталау кезінде орташа шамадан сол және басқа жаққа ауытқуды береді және қаншалықты ол тыңғылықты жүргізілгенмен, тәжірибеде оны жою мүмкін емес. Ықтималдық тұрғысынан кездейсоқ қатенің математикалық күтілімі нөлге тең. Тәжірибелік деректерді статистикалық өңдеу кездейсоқ қатенің шамасын анықтауға және оны жеткілікті рет өлшеуді қайталаумен қандайда бір шамалы мәнге жеткізуге мүмкіндік береді.

Дөрекі қателер өлшеу нәтижесін айқын бұрмалайды; олар өте үлкен және әдетте тәжірибені қайталағанда жоғалып кетеді. Дөрекі қателер статистикалық өңдеу кезінде алынған, кездейсоқ қатенің шегінен шығып кетеді. Осындай қателерімен өлшеулер лақтырылады және өлшеу нәтижесін аяққы өңдеу кезінде қабылданбайды.

Осындай түрде, тәжірибелік деректерде әрқашан кездейсоқ қателер болады. Олар, жалпы айтқанда, тәжірибені көп ретті қайталау жолымен кезкелген аздаған шамаға азайтылуы мүмкін.

Алайда бұл әрқашан мақсатқа сай емес, себебі үлкен материалдық және уақыт қорларын талап етуі мүмкін. Бірқатар жағдайда нақты бар өлшем нәтижелерінің жақсы математикалық өңделуімен дәлденген деректерді едәуір арзан және тез алуға болады

Атап айтқанда, өлшем нәтижелерін статистикалық өңдеу көмегімен өлшеу қателіктерінің таралу заңын, ізделіп отырған шаманың ең ықтимал аралығын және басқа параметрлерді табуға болады. Осы сұрақтарды қарастыру берілген материал шегінен асып кетеді, оларды баяндауды әдебиеттер тізімінде келтірілген, кейбір кітаптардан табуға болады. Мұнда тек өлшеу нәтижелері негізіндегі х бастапқы параметр және у ізделіп отырған шама арасындағы байланысты анықтаумен шектелеміз.

2. 
   Эмпириялық формулалар. және арасындағы белгісіз функционалдық тәуелділікті зерттей отырып, біз тәжірибелер сериясы нәтижесінде осы шамалардың бірқатар өлшеулерін жүргіздік және мәндер кестесін алдық.
   

Есеп жуық тәуелділікті табудан тұрады:

, (59)

Оның мәндерінің кезінде тәжірибелік деректерінен айырмашылығы аз. Тәжірибелік деректер негізінде алынған, жуық функционалдық тәуелділік (59), эмпириялық формула деп аталады.

Әріде эмпириялық формулаларды құру есебі интерполяциялау есебінен ерекшеленетінін айтқанбыз. Эмпириялық тәуелділік графигі, жалпы айтқанда, интерполяция жағдайындағы сияқты, (x_i, y_i) берілген нүктелері арқылы өтпейді. Бұл тәжірибелік деректердің қандайда бір дәрежеде тегістелетіндігіне әкеледі, ал сол уақытта интерполяциялық формула тәжірибелік деректердегі бар, барлық қателерді қайталар еді.

Эмпириялық формуланы құру екі кезеңнен тұрады: осы формуланың жалпы түрін таңдаудан және ондағы барлық параметрлердің ең жақсы мәндерін анықтаудан. Формуланың жалпы түрі кейде физикалық тұжырымдамалардан белгілі. Мысалы, серпіліс ортасы үшін σ кернеуі және ε салыстырмалы деформациясы арасындағы байланыс Гук заңымен анықталады: σ = Еε , мұндағы Е — серпімділік модулі; есеп Е бір белгісіз параметрін анықтауға келіп тіреледі.

Егер тәуелділік сипаты белгісіз болса, онда эмпириялық формула түрі кезкелген болуы мүмкін. Артықшылық әдетте жеткілікті дәлдікке ие болатын, қарапайым формулаларға беріледі. Олар алдымен геометриялық тұжырымдаудан таңдалады: тәжірибелік нүктелер графикке салынады, және алынған қисықты белгілі функциялар графиктерімен (көпмүшеліктің, көрсеткіштік немесе логарифмдік функциялар және т.б.) салыстыру жолымен тәуелділіктің жалпы түрі шамамен табылады.

Мұнда табысқа жету едәуір шамада зерттеушінің тәжірибесі және түйсігімен анықталады.

Қарапайым эмпириялық формула сызықтық тәуелділік болып табылады

у = ах + b. (2.60)

Нүктелердің тәжірибелік таралуының сызықтық тәуелділікке жуықтығы берілген тәжірибелік тәуелділік графигін құрғаннан соң оңай көрінеді. Одан басқа, осы тәуелділікті k_i мәнін есептеу жолымен тексеруге болады:



Егер сонымен бірге болса, онда (x_i, y_i) нүктелер жуықтап алғанда бір түзуде орналасқан, және (2.60) эмпириялық формуланы қолдануға болатындығы туралы мәселе қойылуы мүмкін. Осындай аппроксимациялаудың дәлдігі k_i шамасының тұрақты мәннен ауытқуымен анықталады. x_iтеңаралық нүктелердің (яғни x_i= const) дербес жағдайында y_i айырымдарының тұрақтылығын тексеру жеткілікті.

Мысал. Келесі деректерді сипаттау үшін сызықтық тәуелділікті қолдану мүмкіндігін тексерелік:



Мұндағы x_i – теңаралықты нүктелер ( x_i = x_i+1 - x_i = 0.5) болғандықтан, y_i айырымдарын есептеу жеткілікті: 0.64, 0.69, 0.65, 0.64, 0.65. осы мәндер бір біріне жуық болғандықтан, эмпириялық формула ретінде сызықтық тәуелділікті қабылдауға болады.

Бір қатар жағдайларда сызықтық тәуелділікке, координаталардың декарттық жүйелеріндегі олардың графигі түзу сызық болмаған кезде басқада тәжірибелік деректер келтірілуі мүмкін. Оған х, у орнына жаңа айнымалыларды енгізу жолымен қол жеткізуге болады:

= (х,у), = (х,у). (2.61)

(х,у) және (х,у) функциялары ( , _i) нүктелері ( ) жазықтығындағы қандайда бір түзуде жататындай етіп таңдалады. Мұндай түрлендіру деректерді теңестіру деп аталады.

(2.61) түрлендіруі көмегімен

= а + b

сызықтық тәуелділігін алу үшін бастапқы формула мына түрде жазылуы тиіс:

(х,у) = а (х,у) + b.

Осындай түрге, мысалы, у = ах^b, (х > 0, у > 0) дәрежелік тәуелділігі оңай келтіріледі. Осы формуланы логарифмдеп, lgу = blgx + lgaаламыз. = lg х, = lg удеп болжап, сызықтық байланысты табамыз: = b + с (с = lga).

Басқа қарапайым эмпириялық формула квадраттық үшмүшелік болып табылады

у = ах² + bх + с. (2.62)

Осы формуланы қолдану мүмкіндігін x_i теңаралықты нүктелері жағдайында ²y_i = y_i+2 - 2y_i+1 +y_i екінші айырымдарды есептеу жолымен тексеруге болады. ²y_i const кезінде эмпириялық формула ретінде (2.62) таңдалуы мүмкін.

Эмпириялық тәуелділік параметрлерін анықтау. Эмпириялық формулалар типі таңдалған, және оны мына түрде көрсетуге болады деп санаймыз:

. (63)

мұнда - белгілі функция, - белгісіз тұрақты параметрлер. Есеп осындай параметрлердің, ол кезде эмпириялық формула берілген функцияның жақсы жуықтауын беретін, мәндерінен тұрады, олардың мәндері нүктелерінде тең.

Жоғарыда айтылғандай, мұнда нүктелеріндегі (63) эмпириялық функцияларының мәндерімен тәжірибелік деректерінің бірдей болу (интерполяциялаудағыдай) шарты қойылмайды. Осы мәндер арасындағы айырымды (ауытқуды) арқылы белгілейміз. Онда

(64)
параметрлерінің ең жақсы мәндерін табу есебі ауытқуын қандайда бір минимизациялауға тіреледі. Осы есепті шешудің бірнеше тәсілі бар.

Олардың ішіндегі ең қарапайымы таңдалған нүктелер әдісі болып табылады. Берілген тәжірибелік нүктелер бойынша ОХУ координаталық жазықтығында нүктелер жүйесі салынады. Одан соң қарапайым сызық (мысалы, түзу) жүргізіледі, ол берілген нүктелерге жуығырақ жақындайды.

Бұл сызықта нүктелердің бастапқы жүйесіне тиесілі емес, нүктелер таңдалады. Таңдалған нүктелердің саны эмпирикалық тәуелділіктің іздестірілетін параметрлерінің санына тең болуы тиіс. Осы нүктелердің координаттары ( ) мұқият өлшенеді және таңдалған нүктелер арқылы (63) эмпирикалық функцияның графигінің өту шарттарын жазу үшін қолданылады:

φ( , а₀, а₁ ..., а_m)= , j = 0,1,..., m. (65)

Осы теңдеулер жүйесінен а₀, а₁ ..., а_m параметрлерінің мәндері табылады.

Атап айтқанда, егер эмпирикалық формула ретінде у=ах+b сызықтық тәуелділік қабылданса, онда бұл түзуде ( ) және ( ) нүктелер таңдалады және (65) теңдеулер мына түрді қабылдайды:

,

(66)

Осы таңдалған нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуін бірден жазуға болады. Бұл жағдайда (66) жүйені шешудің қажеті жоқ.

Эмпирикалық формуланың параметрлерін анықтаудың тағы бір әдісін қарастырайық — орташалар әдісі. Ол (63) тәуелділіктің а₀, а₁ ..., а_m параметрлері, x_i барлық нүктелеріндегі (64) ауытқулар қосындысын нөлге теңестіру шарттарын қолдана отырып анықталады.

(67)

Алынған теңдеу а₀, а₁ ..., а_m параметрлерін анықтау үшін қолданылады. Бір теңдеуден барлық m + 1 параметрлерін бірмәнді анықтауға болмайды. Алайда, басқа шарттар жоқ болғандықтан, (67) теңдік, ε_i ауытқуларын топтастыру жолымен m + 1 теңдеулерден тұратын жүйеге бөлінеді. Мысалы,

ε₀ +ε₁+ ε₂ =0

ε₃ +ε₄+ ε₅ + ε₆ =0

…………….

εn-₁+ ε_n =0

Осы теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз параметрлерді табуға болады.

Мысал. Белгісіз v_ожылдамдығымен түзу сызық бойымен қозғалатын дене t = 0 уақыт кезінде тежеле бастайды. t уақыттың келесі сәттерінде тежелудің басынан бастап х қашықтығы өлшенді:



Дененің қозғалысын a - тұрақты баяулауымен (яғни а үдеуімен) теңбаяулатылған деп есептей отырып, v_о және a параметрлерінің жуық мәндерін табу керек.

Шешімі. Ізделінетін параметрлер, өлшеу нәтижелерін қолдана отырып, эмпирикалық формуланың көмегімен ұсынылатын, дене қозғалысысы теңдеуінен табылуы мүмкін. Эмпирикалық формуланың түрі бұл жағдайда физикалық тұрғыдан белгілі-дененің теңбаяулатылған қозғалысы кезінде жүрілген аралық уақыттың квадраттық функциясы болып табылады:

х = At² + Bt + С.

C = 0 екендігін орнату оңай, себебі t = 0 кезінде х = 0. Эмпирикалық формула мына түрді қабылдайды

х = At² + Bt. (2.68)

А, В параметрлерін анықтау үшін екі теңдеуді алу қажет. Орташалар әдісін қолданамыз және барлық нүктелер үшін (бастапқыдан басқа) (67) теңдеуді жазамыз :

ε₁+ ε₂+ ε₃ +ε₄ +ε₅= 0.

Осы теңдеудің орнына оны бөлшектеу жолымен екі теңдеулер жүйесін жазамыз:

ε₁+ ε₂+ ε₃ = 0,

ε₄ +ε₅= 0.

(68) өрнек және кестелік деректерді қолданып, келесіні аламыз

(А · 5² + В · 5 - 106) + (А · 10² + В · 10 - 182) + (А · 15² + В · 15 - 234) = 0,

(А · 20² + В · 20 - 261) + (А · 25² + В · 25 - 275) = 0.

Немесе аяғында келесіні аламыз

175A+15B=261

1025А + 45B = 536.

Осы теңдеулер жүйесін шеше отырып, А = -0.30, В = 39.07 аламыз.

Сондықтан, жүрілген аралық пен уақыт арасындағы жуық байланысты беретін (68) эмпирикалық формуласын мына түрінде жазуға болады

х = -0.30·t² + 39.07t.

Осы теңдеуді х = at²/2 +v₀t теңдеуімен салыстыра отырып, дененің орташа үдеуі мен оның бастапқы жылдамдығы үшін бағалауды аламыз:

а = 2А = -0.60 м/с², v₀ = В = 39.07 м/с.

Эмпирикалық формуланың параметрлерін анықтаудың қаралған әдістері өте қарапайым болып табылады, алайда кейбір жағдайларда олардың көмегімен алынатын аппроксимация жеткілікті дәлдікке ие болмайды.