8-15 дәріс тезистері (1). Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты

• Название: Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты
• Дата: 19.05.2022
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: 8-15 дәріс тезистері (1).docx
• Тип: Документы; #538787
• страница: 6 из 7

Көпқадамды әдіс. Айырымдық схемаларды құрудың тағы бір жолы y_i+1 мәнін есептеу үшін бір емес, k алдыңғы қадамдардың нәтижелері, яғни y_i-k+1, y_i-k+2, … , у_i мәндері пайдаланылатындығына негізделген. Бұл жағдайда k-қадамдық әдіс алынады..

Көпқадамдық әдістер келесі түрде құрастырылуы мүмкін. (9) бастапқы теңдеуді келесі түрде жазамыз

dY(x) = f(x,Y)dx. (28)

Осы теңдеудің екі бөлігін де x бойынша [x_i,x_i+1] кесіндісінде интегралдаймыз. Сол бөліктің интегралын есептеу оңай:

(29)

(28) теңдеудің оң жағындағы интегралды есептеу үшін алдымен f(x, Y) функциясын [x_i, x_i+1] кесіндісінде f(x_i-k+1,y_i-k+1), f(x_i-k+2,y_i-k+2), …, f(x_i,y_i) мәндері бойынша жуықтау үшін k- 1 дәрежелі P_k-1 интерполяциялық көпмүшесі құрылады. Осыдан кейін келесілерді жазуға болады

(30)
(29) және (30) алынған өрнектерді теңестіру арқылы x_i+1 түйініндегі y_i+1 тор функциясының белгісіз мәнін анықтау формуласын алуға болады:



Осы формула негізінде кез-келген дәлдік реті бойынша әртүрлі көп қадамдық әдістерді құруға болады. Дәлдік реті P_k-1(x)интерполяциялық көпмүшенің дәрежесінен тәуелді, оны құру үшін k алдыңғы қадамдарда есептелген y_i, y_i-1, … , y_i-k+1тор функциясының мәндері қолданылады.

Көп қадамдық әдістердің кең таралған тобы Адамс әдістері болып табылады. Олардың ең қарапайымы k = 1 кезінде алынған, бұрын қарастырылған бірінші ретті дәлдіктегі Эйлер әдісімен сәйкес келеді. Практикалық есептеулерде дәлдіктің төртінші ретіне ие болатын және әр қадамда алдыңғы төрт нәтижені қолданатын, Адамс әдісінің нұсқасы жиі қолданылады. Оны әдетте Адамс әдісі деп атайды. Осы әдісті қарастыралық.

y_i-3, y_i-2, y_i-1, y_i мәндері (k = 4) қатарынан төрт түйінде табылсын. Сонымен қатар, f_i-3, f_i-2, f_i-1, f_i оң бөлігінің бұрын есептелген мәндері бар, мұнда f_i = f(x_i,y_i). Р₃(х) интерполяциялық көпмүшесі ретінде Ньютонның көпмүшесін алуға болады (2-тарау, § 3). h тұрақты қадамы жағдайында х_i түйініндегі оң жақ бөлік үшін ақырғы айырмалар мынадай болады



Онда Адамс әдісінің төртінші ретті айырымдық схемасын қажетті түрлендірулерден кейін былай жазуға болады

(31)

3. 
   Нәтижелер дәлдігін арттыру. Сандық шешім дәлдігін әртүрлі жолдармен арттыруға болады. Атап айтқанда, осыған жоғары ретті дәлдікпен айырымдық схемаларын қолданып қол жеткізуге болады. бірақ мұндай схемаларды тек тұрақты коэффициенттерімен теңдеулер үшін құру мақсатқа лайық, себебі айнымалы коэффициенттер жағдайында жоғары реттік схемалар қиын алгоритмдерге әкеледі.
   

Дәлдікті сол сияқты h қадамының мәнін азайту жолыменде арттыруға болады. Бірақ және бұл жолда үнемділік талабымен шектелген, себебі қажетті дәлдікпен шешімді алу есептеудің өте зор көлемін талап етеді.

Тәжірибеде жиі машиналық уақытты маңызды өсірмей-ақ сандық шешімнің дәлдігін арттыру үшін Рунге әдісін қолданады. Рунге әдісі әртүрлі қадаммен бір айырымдық схема бойынша қайталап есептеулер жүргізуден тұрады. Әртүрлі есептеулер кезінде бірдей түйіндердің дәлденген шешімі жүргізілген есептеулер сериясымен құрылады.

Предположим, что проведены две серии расчетов по схеме порядка к соответственно с шагами h и h/2. В результате расчетов получены множества значений сеточной функции у_h и у_h/2. Применим для уточнения решения формулу Рунге (3.16)¹⁾, положив в ней k = 1/2, заменив F(x) на Y(x), f(x, h) на у_h, f(x, kh) на у_h/2 и переобозначив порядок точности р через k. Для искомой функции Y(x) в узлах сетки с шагом h имеем

(7.34)

Отбрасывая последнее слагаемое, получаем уточненное значение сеточной функции в узлах сетки с шагом h:



Порядок точности этого решения равен k + 1, хотя используемая разностная схема имеет порядок точности k. Таким образом, решение задачи на двух сетках позволяет на порядок повысить точность результатов.

Для схемы Эйлера первого порядка точности (k = 1) формула Рунге принимает вид



Аналогично можно записать формулу для уточнения решения, полученного по методу Рунге-Кутта при k = 4.

Метод Рунге можно применить не только для уточнения решения, но и для оценки порядка точности разностной схемы тогда, когда он неизвестен. Для этого нужно провести расчет с тремя различными шагами h, h/2, h/4. Обозначим соответствующие сеточные функции, значения которых получены в расчетах, через у_h, у_h/2 и у_h/4. Тогда для значения порядка точности k, имеет место оценка

(7.35)

Тақырып №14. Кәдімгі дифференциал теңдеулер. Шектік есептер.

Дәріс жоспары:

1. 
   Алғашқы түсінік
   
2. 
   Ату әдісі
   
3. 
   Ақырғы айырымдар әдісі.
   

1. 
   Алғашқы түсінік. Алдыңғы сабақта бастапқы шарттармен есептер қарастырылған болатын, яғни бір (бастапқы) нүктедегі шарттармен: x=x₀, t=t₀ кезінде және т.б. Тәжірибеде, шарттар, тәуелсіз айнымалының екі мәні кезінде берілетін жағдайда (қарастырылатын кесіндінің соңдарында) басқа типті есептерді жиі шығаруға тура келеді. Шектік деп аталатын, осындай есептер жоғары ретті теңдеулерді немесе теңдеулер жүйесін шешу кезінде алынады.
   

Мысалы, екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді қарастырайық

Y"+p(x) Y'+q(x)Y=f(x) (36)

Шектік есеп, кесінді соңдарында келесі шарттарды қанағаттандыратын, [a,b] кесіндісінде (36) теңдеудегі Y=Y(x) шешімін іздеуден тұрады

Y=Y(a), Y=Y(b). (37)

Шекаралық шарттар тек (37) түрінде ғана емес, және жалпыланған түрдеде берілуі мүмкін:

α₁Y(a)+β₁Y'(a)=A (38)

α₂Y(b)+β₂Y'(b)=B

Шектік есептерді шешу әдістері әртүрлі – бұл дәл аналитикалық, және жуық, және сандық әдістер.

Аналитикалық әдістер дифференциалдық теңдеулер курсында оқытылады.

Жуықталған әдістер компьютер пайда болғанға дейін жасалған болатын. Алайда әліде олардың көпшілігі өз мәнін жоғалтқан жоқ. Олар теңдеулердің қателігін минималдауға негізделген, коллокация (орналастыру), ең кіші квадраттар және басқа әдістер. Жуықталған әдістердің мағынасын қарастырайық.

(38) шекаралық шарттарымен (36) теңдеудің жуық шешімін іздеу үшін φ₀(x), φ₁(x), …, φ_n(x)  екі рет дифференциалданатын функциялардың қандайда бір сызықтық тәуелсіз (базистік) жүйесі таңдалады. Сонымен бірге  φ₀(x) (38) шекаралық шарттарын, ал  φ₁(x), …, φ_n(x)  - А, В нөлдік оң бөліктерімен (38) шарттарын қанағаттандырады. Ізделіп отырған жуық шешім базистік функциялардың сызықтық үйлесімі түрінде ұсынылады:

Y(х) = φ₀(x) + α₁φ₁(x), …, α_nφ_n(x) (39)

Осы өрнекті (36) теңдеуге қойып, оның сол және оң бөліктері арасындағы айырманы табуға болады, ол қателік (невязка) деп аталады. Ол х айнымалысынан және α₁, α₂,…, α_n параметрлерінен функция болып табылады және мына түрге ие болады:

Ψ(x,a₁,a₂,….,a_n)= y"+p(x) y'+q(x)y-f(x) (40)

α₁, α₂,…, α_n коэффициенттерін қателік қандайда бір мағынада минимальды болатындай етіп таңдауға тырысады. Осы коэффициенттерді анықтау тәсілі сол немесе басқа жуықталған әдісті сипаттайды.

Коллокация әдісінде коллокация нүктелері деп аталатын, n нүкте таңдалады х = x_i (i = 1, 2,... , n, x_i ∊[a,b]), ондағы (40) қателіктер нөлге теңестіріледі. α₁, α₂,…, α_n қатысты n сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі алынады. Осы жүйені шешіп, осы коэффициенттерді табуға болады, одан кейін олар (39) шешіміне қойылады.

Ең кіші квадраттар әдісі берілген x₁, x₂,…, x_n нүктелер жүйесіндегі қателіктердің квадраттарының қосындысын минимальдауға негізделген. Осы шарттанда сол сияқты α₁, α₂,…, α_n қатысты n сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі алынады.

Кейбір басқада жуық әдістер осы сияқты құрылады. Олардың бәрі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін құруға келтіріледі, одан, егер оның шешімі болса, белгісіз коэффициенттер табылады. Олар одан кейін базистік функциялардың сызықтық үйлесімі ретінде шешімді құру үшін қолданылады.

Әрі қарай сандық әдістер қарастырылатын болады. Оларды екі топқа бөлуге болады: шектік есепті шешуді Коши есебін шешу тәртібіне келтіру және шектік-айырымдық әдістерді тікелей қолдану.

2. 
   Ату әдісі. Екінші туындыға қатысты шешілген, екінші ретті теңдеу үшін шектік есепті қарастырайық:
   

Y"=f(x, Y, Y'). (41)

Осы теңдеудің Y=Y(x) шешімін [0,1] кесіндісінде іздейміз. Кезкелген [a,b] кесіндісін осы кесіндіге айнымалыны ауыстыру көмегімен келтіруге болады:



Қарастырылатын кесіндінің соңындағы шекаралық шарттарды қарапайым түрде (37) қабылдаймыз, яғни

Y(0) = Y₀, Y(1) = Y₁, (42)

Ату әдісінің мағынасы (41), (42) шектік есептерінің шешімін келесі бастапқы шарттармен сол (41) теңдеу үшін Коши есебінің тізбегін шешуге келтірумен тұжырымдалады:

Y(0) = Y₀, Y'(0) = tgα, (43)



Сурет 5. Ату әдісі

Мұндағы Y₀ — ордината осьіндегі нүкте, онда ізделіп отырған интегралдық қисықтың басы орналасады; α — осы нүктедегі интегралдық қисыққа жанама бұрышы (сур. 5).

Y=Y(x, α) Коши есебінің шешімін α параметрінен тәуелді деп есептей отырып, біз Y=Y(x, α_*) интегралдық қисығын іздейміз, ол (0, Y₀) нүктесінен шығады және (1, Y₁) нүктеге түседі. Сонымен, егер α = α_* болса, онда Y(x, α) Коши есебінің шешімі Y(x) шекаралық есебінің шешімімен сәйкес келеді. х = 1 кезінде екінші шекаралық шартты (7.42) ескере отырып, Y(1, α) = Y₁, немесе келесіні аламыз

Y(1,  α ) – Y₁=0. (44)

Сондықтан α параметрін табу үшін F(α) = 0 түріндегі теңдеуді аламыз, мұндағы F(α) = Y(1, α ) – Y₁. Бұл теңдеу әдеттегі жазбадан ерекшеленеді, өйткені F(x) функциясын кейбір аналитикалық өрнек түрінде ұсынуға болмайды, себебі ол (41), (43) Коши есебінің шешімі болып табылады. Алайда (44) теңдеуді шешу үшін бұрын қарастырылған сызықтық емес теңдеулерді шешудің кез-келген әдісін қолдануға болады (5-тарауды қараңыз).

Мысалы, кесіндіні екіге бөлу әдісін қолданған кезде біз келесідей әрекет етеміз. Оның шеттерінде F(x) функциясы әртүрлі таңбалы мәндерді қабылдайтын, α* мәнінен тұратын, [α₀, α₁] бастапқы кесіндіні табамыз. Ол үшін Y(x,  α₀ ) Коши есебінің шешімі х = 1 кезінде Y₁ нүктесінен төмен, ал Y(x,  α₁ ) — жоғары болуы тиіс. Әрі қарай, α₂ =( α₀ + α₁)/2 деп болжай отырып, біз Коши есебін α = α₀ болғанда қайтадан шешеміз және кесіндіні екіге бөлу әдісіне сәйкес кесінділердің бірін лақтырып тастаймыз: [α₀ , α₂] немесе [α₂ ,  α₁ ], онда F(x) функциясының таңбасы өзгермейді және т.с.с. (5.2-суреттегі алгоритмді қараңыз). Егер екі тізбекті табылған α мәндерінің айырымы қандайда бір алдын ала берілген кіші саннан аз болса, шешімді табу процесі тоқтайды. Бұл жағдайда Коши есебінің соңғы шешімі шекаралық есептің қажетті шешімі ретінде қабылданады.

Сипатталған алгоритм ату әдісі деп аталады, өйткені ол бастапқы нүктеде интегралдық қисықтың көлбеу бұрышы бойынша "атыс" өткізеді. Айта кету керек, егер Y(x, α ) шешімі α өзгерістеріне тым сезімтал болмаса, бұл алгоритм жақсы жұмыс істейді; әйтпесе біз тұрақсыздыққа тап болуымыз мүмкін.

(7.44) теңдеуді шешу үшін басқа әдістер де қолданылады. Атап айтқанда, ең сенімділердің бірі-Ньютон әдісі. Оны қолдану келесідей.  α₀ - α_*- ға бастапқы жуықтау болсын делік.

(5.11) Ньютон әдісінің формуласын қолдана отырып,  α_k келесі жуықтауын табу үшін итерациялық процесті құрамыз:



есепке ала отырып, келесіге ие боламыз

(7.45)

Осы өрнектің бөліміндегі туындыны сандық түрде табуға болады:

(7.46)

Мұнда ∆α - α еркін аздаған ауытқуы.

(7.46) оң жағын есептеу үшін α=   α_{k -1}+∆α кезінде Коши есебін шешу керек, нәтижесінде Y(x,   α_{k -1}+∆α) мәнін табамыз. Содан кейін (7.45) формуласы бойынша α_* параметрінің келесі   α_k жуықтауын табамыз және т.с.с. Бұл итерациялық процесс   α_{k -1} және   α_k екі тізбекті жуықтаулары ε берілген кіші санынан аз болғанға дейін жалғасады.

Алгоритм решения краевой задачи методом стрельбы с применением пристрелки по методу Ньютона представлен на рис. 7.6. Нахождение решения задачи Коши Y(x, α ) входит в данный алгоритм в качестве отдельного модуля с входным данным α .

На выходе модуля получается решение Y(x, α ) в виде значений y_i(i=0,1,…, n)  в точках x_i=ih , где h = 1/n.

Методы стрельбы могут также использоваться для решения системы уравнений. В этом случае краевая задача (а не задача Коши) может возникнуть в силу того, что значения одной части искомых функций заданы при одном значении независимой переменной (например, при х = 0), а другой — при другом (например, х = 1). Тогда «пристрелка» проводится по неизвестным значениям искомых функций при х = 0 до тех пор, пока не будут удовлетворяться соответствующие граничные условия при х = 1.

Например, рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

Y'=f₁(x, Y, Z)

Z'=f₂(x, Y, Z) (7.47)


Рис. 7.6. Алгоритм метода стрельбы

Граничные условия заданы в виде

Y(0) = Y₀, Z(1) =Z₁ (7.48)

Процесс решения этой краевой задачи методом стрельбы состоит в следующем. Выбирается некоторое а, являющееся начальным приближением для Z(0). Решается задача Коши для системы (7.47) с начальными условиями Y(0) = Y₀, Z(0) = а. В результате решения при х = 1 получается некоторое значение Z(l, α ) ≠Z₁. Если разность между этими величинами невелика, то найденное решение задачи Коши принимается за искомое решение краевой задачи. В противном случае находится уточненное значение а и процесс повторяется.

Таким образом, метод стрельбы может быть также использован как для решения краевых задач для уравнений высших порядков, так и для систем уравнений.

3. 
   Шектік айырымдар әдісі.
   

Осы әдістердің артықшылығы, олар дифференциал теңдеулер үшін шектік есеп шешімін берілген нүктелер жиынында ізделіп отырған функция мәндеріне қатысты алгебралық теңдеулер жүйелерін шешуге әкелетіндігінен тұрады. Бұл дифференциал теңдеулерге кіретін, туындыларды олардың шектік-айырымдық аппроксимацияларымен ауыстыру жолымен алынады.

Берілген (42) шекаралық шарттар кезінде екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін (41) шешімнің осындай әдісінің мағынасын қарастырайық. [0,1] кесіндісін x_i=ih (i=0,1,…,n) нүктелерімен n тең бөлікке бөлеміз. (41), (42) шектік есептерін шешуді x_i түйіндік нүктелерде y_i торлық функция мәндерін есептеуге келтіреміз. Ол үшін ішкі түйіндер үшін (42) теңдеуді жазамыз:

Y"(x_i)=f((x_i,Y(x_i), Y'(x_i)), i=1,2,…,n-1 (49)

Осы қатынастарға кіретін, туындыларды олардың шектік-айырымдық аппроксимациясымен ауыстырамыз:

(50)

Осы өрнектерді (49) қойып, айырымдық теңдеулер жүйесін аламыз:

F(x_i, y_i-1, y_i y_i, y_i+1)=0, i=1,2,…,n-1 (51)

Ол y₁, y₂,…, y_n-1 торлық функция мәндеріне қатысты n-1 алгебралық теңдеулер жүйесі болып табылады. Берілген жүйеге кіретін у₀(i = 1 кезінде) және у_n (i = n – 1 кезінде) (42) шекаралық шарттарынан алынады:

y₀=Y₀, y_n=Y₁

Тәжірибеде шекаралық шарттар жалпыланған түрде жиі беріледі (38):

α₁Y(0)+β₁Y'(0)=A (52)

α₂Y(1)+β₂Y'(1)=B
Бұл жағдайда шекаралық шарттар сол сияқты шектік-айырымдық қатынастар көмегімен Y'(0)  және Y'(1)  туындыларын аппроксимациялау жолымен айырымдық түрде берілуі тиіс. Егер біржақты айырымдарды қолдансақ (сәйкес шаблон 7, а суретте көрсетілген), ондағы туындылар бірінші ретті дәлдікпен аппроксимацияланса, онда айырымдық шекаралық шарттар мына түрді қабылдайды

(53)

Осы қатынастардан у₀,у_nмәндері оңай табылады.

Алайда, әдетте, (52) кіретін, туындыларды орталық айырымдар көмегімен екінші ретті дәлдікпен аппроксимациялаған артығырақ




Сур. 7. Шекаралық шарттарды аппроксимациялау

Берілген өрнектерге қарастырылатын кесіндіден тыс жатқан ( сур. 7, б), х = -h және х = 1 + h жалған түйіндер деп аталатындағы у_-1 және y_n+1 торлық функция мәндері кіреді. Осы түйіндерде ізделіп отырған функция мәндері сол сияқты табылуы тиіс. Сондықтан, торлық функцияның белгісіз мәндерінің саны екіге өседі. Жүйені жабу үшін i = 0, i = n кезінде тағы екі (51) айырымдық теңдеуді қатыстырады.

Екінші ретті шекаралық шартты басқашада аппроксимациялауға болады (сур. 7, в). Бұл жағдайда келесі аппросимация қолданылады (б. 3 § 1 гл. 3):



Осындай түрде, дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есептерді шешу (51) түрдегі алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келтіріледі.

Бұл жүйе (41) дифференциалдық теңдеудің сызықтық немесе сызықтық еместігінен тәуелді сызықты немесе сызықтық емес болып табылады. осындай жүйелерді шешу әдісі ертеректе қарастырылған (гл. 4, 5).

Толығырақ бір дербес жағдайды қарастырайық, ол тәжірибелік қосымша тұрғысынан қызығушылдықты көрсетеді және айырымдық схеманы құру үдерісін байқауға мүмкіндік береді. Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу үшін шектік есепті шешелік

Y"(x)-p(x)Y(x)=f(x)

p(x)>0, 0≤x≤1 (54)

мына түрдегі шекаралық шарттармен

Y(0) = A, Y(1) = B. (55)

[0,1] кесіндісін h тұрақты қадаммен x_i = ih (i = 0,1,..., n) түйіндері көмегімен бөліктерге бөлеміз. Y" екінші туындыны (50) шектік-айырымдық қатынасымен аппроксимациялаймыз. Сонымен бірге Y(x_i) түйіндеріндегі ізделіп отырған функция мәндерін у_iторлық функциясының сәйкес мәндерімен жуықтап ауыстырамыз. (54) теңдеуін көрсетілген аппроксимацияны қолданып әрбір түйінде жаза отырып, аламыз



p(x_i), f(x_i) сәйкес шамаларын р_i,f_iдеп белгілейміз. Жеңіл түрлендірулерден соң соңғы теңдікті мына түрге келтіреміз

 y_i-1 - (2+h²p_i)y_i + y_i+1 = h²f_i . i=1,2,…, n-1 (56)

n-1 сызықтық теңдеулер жүйесі алынды, олардың саны түйіндердегі y₁,y₂,…, y_n-1  торлық функцияның белгісіз мәндерінің сандарымен бірдей. Кесінді соңдарындағы оның мәндері (55) шекаралық шарттармен анықталған:

y₀ = А, у_п= В. (57)

(57) шартты есепке алып, (56) теңдеулер жүйесін шешіп, торлық функция мәндерін табамыз, олар ізделіп отырған функция мәндеріне жуықтап тең болады. Мұндай шешім бар екенін және h→ 0 кезінде нақты шешімге жинақталатынын көрсетелік.

Шешімнің бар екенін дәлелдеу үшін (56) сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық. Оның матрицасы үш диагональды; негізгі диагональда -(2+h²p_i) элементтері бар. р(x) > 0 болғандықтан, p_i > 0 және матрицаның диагональды элементтері басқаларына қарағанда басым болады, өйткені әр жолда осы элементтердің модульдері қалған екі элементтің модульдерінің қосындысынан үлкен, олардың әрқайсысы бірлікке тең. Осы шартты орындау кезінде сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі бар және жалғыз.

Шешімнің жинақтылығына келетін болсақ, келесі пайымдау бар.

Пайымдау. Егер р(х) және f(x) функциялары екі рет үздіксіз дифференциалданатын болса, онда h→0 кезінде айырымдық шешім O(h²) жылдамдығымен дәл шешімге теңөлшемді жинақталады.

Бұл - (54), (55) шекті есебі үшін шекті айырымдар әдісінің жинақталуының жеткілікті шарты.

Үш диогональды матрицасы бар (56) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі айдау әдісімен шешілуі мүмкін. Бұл ретте р(х) > 0 шарты айдау тұрақтылығының шарттарын орындауға кепілдік береді.


Этот метод на практике используется также и при р(х)<0, хотя успешный результат заранее предвидеть трудно. Для оценки получаемого решения в этом случае необходимо провести расчеты для разных значений шага (не менее трех) и убедиться в том, что полученные значения функции в одних и тех же узлах близки между собой и разность их уменьшается, что говорит о стремлении решения к некоторому пределу при h→ 0.

Мы рассмотрели простейший случай линейного уравнения. Значительно труднее решать нелинейные задачи. Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка:

Y"(x)= f(x,Y), 0≤x≤1

Y(0) = A, Y(1) = B  (58)

Используя метод конечных разностей, получаем систему разностных нелинейных уравнений

 y_i-1 - 2y_i + y_i+1 = h²f(x_i ,y_i).  (59)

y₀=A, y_n=B  (60)

В теории разностных схем доказывается, что разностное решение, определяемое разностными уравнениями (59), при h→0 сходится к точному. Достаточное условие сходимости имеет вид

 (61)

Система нелинейных алгебраических уравнений (59) может быть решена итерационными методами. Для ее решения используют также метод линеаризации,т.е. сведение решения нелинейной системы к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть найдено решение системы (59) на k-ой итерации. Тогда, подставляя известные значения   в правые части системы (59), получаем



Следовательно, мы пришли к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно значений у_iна (k+1)-ой итерации. Поскольку матрица этой системы трехдиагональна, то для ее решения на каждой итерации может быть использован метод прогонки. Требуется лишь задать некоторые начальные приближения  ; значения у₀, у_n при этом определены граничными условиями (60).

Следует отметить, что сходимость данного итерационного процесса довольно медленная. Достаточное условие сходимости имеет вид



Это условие, а также условие (61) накладывают ограничения на правую часть f(x,Y)исходного уравнения (58).